EES-49/2012 Resolução da Prova 3 1 Dada a seguinte função de transferência em malha aberta: ( s 10) Gs () ss ( 10) a) Esboce o diagrama de Nyquist e analise a estabilidade do sistema em malha fechada com realimentação negativa unitária. G(s) tem 1 polo de malha aberta no spd e para valores pequenos de k o diagrama de Nyquist dá uma volta no mesmo sentido do contorno em torno de -1/k. Desse modo, para k pequeno o sistema em malha fechada é instável com 2 polos no semiplano direito. Para valores grandes de k o diagrama de Nyquist dá uma volta no sentido contrário em torno de -1/k. Desse modo, para k grande o sistema em malha fechada é estável. Obs: podemos chegar à mesma conclusão facilmente esboçando o LGR do sistema ou mesmo analiticamente, escrevendo Δ(s) = s 2 + (k-10)s+10k. b) Para um ganho k = 100, qual a margem de fase do sistema e o máximo atraso de transporte admissível para que o sistema continue estável? Com k = 100 temos e obtemos ω cg =100. Podemos calcular exatamente a fase de 100j + 10 e de 100j 10, ou, lembrando que o erro das assíntotas do diagrama de bode de fase é de cerca de 6 graus uma década abaixo e acima do polo (ou zero) podemos aproximar a fase. Calculando temos: -90 + 84.3-180 + 84.3 = -101.4. (usando aproximadamente 6 teríamos -102). E a margem de fase é portanto de 78.6 graus (78 graus). O atraso máximo admissível faz com que ω cg T = 78.6 graus = 1.37 rad (1.36 rad se usar os 6 graus). E portanto T = 1.37/100 = 0.0137 segundo ou 13.7 milisegundos (13.6 se usar os 6 graus). Algo entre 13 e 14 milisegundos (0.013 e 0.014 segundos) já seria aceitável. c) Para um ganho k = 100 e um atraso igual à metade do obtido no item anterior, calcule a ultrapassagem percentual esperada da resposta ao degrau e estime a margem de ganho superior do sistema.
Para k = 100 a margem de fase do sistema sem atraso era de 78.6 graus (ou 78 graus). Se o atraso é metade do necessário para deixar o sistema instável então a nova margem de fase será a metade da margem de fase anterior: 39.3 graus (ou 39 graus). Portanto ξ 0.39 e a ultrapassagem percentual esperada é de 26%. Para estimar a margem de ganho superior podemos esboçar o diagrama de fase de G(jω) com o atraso, ou podemos estimar ω cf analiticamente. Se o atraso é de 39.3 graus em ω = 100, ele será de 78.6 graus em ω = 200. E a fase do sistema varia lentamente para ω > 100. Se calcularmos a fase de G(jω) em ω = 200, obtemos: -90 + 87.1-180 + 87.1 = -95.8. E a fase do sistema com atraso em ω = 200 é igual a - 174.4 graus. Ou seja ω cf é ainda um pouco maior que 200. Fazendo uma regra de 3 para termos mais um atraso de 5.6 graus, chegamos a ω cf 215. Nessa frequência a fase de G(jω) é de -95.3 e a fase do atraso de -84.4 e fase total é de -179.7 graus. Suficientemente próximo de -180. Obtemos então o ganho nessa fase: e a margem de ganho é de 2.15 ou 6.65 db. Uma margem de ganho estimada em 6 db (ω cf 200) já é suficiente para obter certo na questão. 2 Dado o diagrama de Bode de magnitude a seguir, supostamente obtido experimentalmente, cuja faixa de frequências abrange todos os polos e zeros da função de transferência: a) Caso o sistema não tenha atraso, quantos diagramas de Bode de fase consideravelmente diferentes podem corresponder a esse diagrama de magnitude? Explicite cada uma das possibilidades apresentando a função de transferência correspondente. O sistema não possui nem polo nem zero na origem, uma vez que a assíntota de baixa frequência não possui inclinação. O sistema possui um zero, em torno de ω = 1 já que a inclinação após ω = 1 é positiva, e de cerca de 20dB/década. Além disso, observa-se que em ω = 1 a curva está aproximadamente 3dB acima da assíntota de baixa frequência. Dizer que o sistema tem um zero entre ω = 0.8 e ω = 1.5 já seria aceitável. Após ω = 10 a curva tem uma inclinação de cerca de 20db/década indicando que existem dois polos próximos a essa frequência. Dizer que esses polos estão entre ω = 7 e ω = 20 já seria aceitável.
O fato do diagrama de magnitude ter sido obtido experimentalmente (rever o enunciado) descarta a possibilidade da existência de polos no semiplano direito, mas não a possibilidade da existência de zeros no semiplano direito. Então, duas possibilidades para a função de transferência são: e. Adicionalmente, -G 1 (s) e G 2 (s) também resultariam no mesmo diagrama de magnitude, mas em diagramas de fase diferentes. São aceitas como respostas corretas: 2: G 1 (s) e G 2 (s) 2: G 1 (s) e G 1 (s) 2: G 2 (s) e G 2 (s) 2: -G 1 (s) e G 2 (s) 4: G 1 (s), G 2 (s), -G 1 (s) e G 2 (s) Obs: São aceitos zeros com valor absoluto entre 0.8 e 1.5 e polos com valores entre -7 e -20. Não são aceitos polos com parte real positiva. b) Esboce 2 desses diagramas de fase. Os diagramas de fase de G 1 (s), G 2 (s), -G 1 (s) e G 2 (s) podem ser esboçados como: G 1 (s): G 2 (s): -G 1 (s): G 2 (s):
Os esboços devem corresponder às funções de transferência explicitadas no item anterior. As fases indicadas podem ter uma diferença de 360*k com k inteiro. Os diagramas de fase de -G 1 (s) e G 2 (s) são os diagramas de fase de G 1 (s) e G 2 (s) deslocados de 180 graus. c) Esboce os diagramas de Nyquist correspondentes aos dois sistemas do item anterior e analise a estabilidade dos sistemas em malha fechada com realimentação negativa unitária para diferentes valores de ganho. Os diagramas de Nyquist de G 1 (s), G 2 (s), -G 1 (s) e G 2 (s) podem ser esboçados a partir do diagrama de módulo e dos diagramas de fase como: G 1 (s): Como G 1 (s) não tem polos de malha aberta no spd e o diagrama de Nyquist não envolve o ponto -1/k para qualquer k>0, o sistema é sempre estável em Malha fechada. G 2 (s):
Como G 2 (s) não tem polos de malha aberta no spd e o diagrama de Nyquist dá uma volta em torno de -1/k para k grande, o sistema em malha fechada é estável para valores pequenos de k e instável para valores grande de k. -G 1 (s): Como G 1 (s) não tem polos de malha aberta no spd e o diagrama de Nyquist dá duas voltas (ou uma volta) em torno de -1/k para k grande, o sistema em malha fechada é estável para valores pequenos de k e instável para valores grandes de k. Se k for grande o suficiente o sistema terá apenas 1 polo no spd. G 2 (s): Como G 2 (s) não tem polos de malha aberta no spd e o diagrama de Nyquist dá duas volta em torno de -1/k para k grande, o sistema em malha fechada é estável para valores pequenos de k e instável para valores grandes de k, com 2 polos no spd. Note que a análise de -G 1 (s) e G 2 (s) corresponde à análise de G 1 (s) e G 2 (s) para k < 0. Para obter os pontos desse item os diagramas de Nyquist correspondentes aos diagramas de bode do item anterior devem ser corretamente esboçados e a análise deve ser corretamente efetuada. Não tem problema se no esboço do diagrama de Nyquist o círculo interno ficar com uma parte para fora do círculo externo. Isso não muda as conclusões sobre a estabilidade do sistema. 3 Dado o sistema a seguir, projete um controlador (o mais simples possível) de modo a atender as seguintes especificações: erro em regime permanente (do sistema em malha fechada) = 1/100; margem de fase entre 67 e 68 graus; e frequência de cruzamento de 0 db (da resposta em frequência em malha aberta) = 20 rad/s.
50 Gs () 2 s 15s Temos Kv = 50/15 = 3.33, e como queremos Kv = 100, vamos precisar de K = 30 ou de um controlador de atraso de fase. Calculando o módulo e a fase de G(j20), obtemos 50/ = 50/ = 50/ = 0.1 e -90-53.13 = -143.13. Precisaremos de um ganho k = 10 para termos ω cg = 20 E a margem de fase é de 36.87 graus. Com um avanço de fase de 31 graus teremos uma margem de fase 67.87 graus. Mas como com K=10, Kv = 33.3 e ainda precisaremos de um controlador de atraso de fase. Desse modo o avanço necessário será de 37 graus (31 + 6 do efeito do atraso de fase). Alternativamente pode-se projetar um avanço de fase menor (entre 31 e 37 graus) e projetar o controlador de atraso de fase mais próximo da origem. Para um avanço de 37 graus obtemos α = 0.2486. Com α = 0.25 temos um avanço de 36.87 graus, que é suficiente para que a margem de fase esteja entre 67 e 68 graus (36.87-6+36.87 = 67.74). Portanto = 0.5, e o controlador de avanço de fase fica:. Esse controlador porém diminui K v por um fator de 2. E o K v com K = 10 e o controlador de avanço de fase fica: Kv = 16.66. Desse modo precisamos de um fator de 6 do controlador de atraso de fase. Posicionado o zero do controlador de atraso de fase em ω cg /10 = 2, temos:. Na verdade, devido ao efeito exato do controlador de atraso de fase a frequência de cruzamento de 0 db é ligeiramente maior que 20 e a margem de fase um pouco maior que 68 graus. Outros controladores que resultem em ω cg 20 (de 19 a 21), Margem de fase em torno de 67/68 graus (66 a 69) e K v = 100 também são aceitos. 4 Dado o sistema a seguir e sua resposta ao degrau em malha fechada com realimentação negativa unitária para k = 4, esboce o diagrama de bode de magnitude da resposta em frequência em malha fechada com realimentação negativa unitária para k = 8, explicitando os valores de M p (valor máximo da resposta em frequência), ω p (frequência de pico), BW (faixa de passagem) e ganho em baixa frequência. G a () s k s 2 bs c Obs: 10a, 10b e 10c
Em malha fechada a função de transferência será:. A partir da resposta ao degrau apresentada obtemos, ξ e ω n e o numerador da função de transferência, que nesse caso não será ω n 2, mas sim 2/3 de ω n 2, já que o valor em regime permanente é 2/3 e não 1. %UP = (.955-.667)/.667 43% ξ.25. T p = 4.2 e ω n =.77 ω n 2 0.6 e 2ξω n 0.4. b = 0.4; c + ka = 0.6 e ka = 0.4. c = 0.2, e como k = 4, a = 0.1 Portanto Caso alguém tenha interpretado erradamente o enunciado e considerado que T(s) = G(s), chegaria a: a = 0.1; b = 0.4 e c = 0.2 e Para k = 8 temos: E portanto ω n = 1, e ξ = 0.2. Além disso o ganho em baixa frequência é de 0.8 ou -1.94 db -2 db e não 0 db. Com ξ = 0.2 obtemos Mp = 2.55, mas esse valor é com relação a um ganho em baixa frequência de 0 db, ou seja, o ganho em ω p é de 2.04, ou 6.2 db. Obtemos também a partir das fórmulas da resposta em frequência de um sistema de segunda ordem: ω p 0.96 e BW 1.5 rad/s.
Se alguém interpretou o malha fechada de modo errado, chegaria a E também erradamente chegaria a ω n =.77, e ξ = 0.26. Nesse caso o ganho em baixa frequência seria de 1.33 ou 2.5 db e não 0 db. Com ξ = 0.26 obtemos Mp = 2, mas esse valor é com relação a um ganho em baixa frequência de 0 db, ou seja, o ganho em ω p é de 2.66, ou 8.5 db. Obtemos também a partir das fórmulas da resposta em frequência de um sistema de segunda ordem: ω p 0.72 e BW 1.14 rad/s. E o diagrama de magnitude do sistema ficaria: Caso alguém tenha chegado a esse diagrama de magnitude (que não é o correto) pode ficar com metade da questão.