UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA Função Composta e Função Inversa NOVA ANDRADINA MS
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UEMS SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA Bruno Regis do Nascimento Carlos Diego Dantas Elisangela Elisiane Novoli Glaucia Patricia Bravin de Sá Marcos Eduardo Carneiro Regiane da Silva Macedo Lima Ronvaldo de Souza Função Composta e Função Inversa NOVA ANDRADINA MS
FUNÇÃO COMPOSTA Consideremos duas funções f e g onde =g(u) e u=f(). Para todo tal que f() está no domínio de g, podemos escrever = g(u) = g[f()], isto é, podemos considerar a função composta (g f) (). Por eemplo, uma função tal como = 5 pode ser vista como a composta das funções = u = g(u) e u = 5 f. Neste tipo de função o conjunto imagem de uma função f() serve de domínio para outra função g(), que por sua vez gera um conjunto imagem A. FUNÇÃO INVERSA Seja = f() uma função de A em B ou f: A B. Se, para cada B, eistir eatamente um valor A tal que = f (), então podemos definir uma função g: B A tal que =g(). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f e denotada por f. Domínio de f = Imagem de f Imagem de f Domínio de f Eemplo: A função f:r R definida por =-5 tem como função inversa f : R R, definida por = (+5). Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico for cortado, no máimo, uma vez por qualquer reta horizontal. Se f tiver uma inversa, então os gráficos de = f() e = f () são refleões um do outro em relação à reta =; isto é, cada um é a imagem especular do outro com relação àquela reta. Para fazermos o gráfico da função inversa basta traçarmos a reta = e observarmos a simetria. Eemplo: A função f[,+ ) [,+ ), definida por f()= tem como inversa a função g:,+ ) [,+ ) dada por g()=. ^, ^(/).75 =.5 =.5.5.5.75
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS É impossível definir uma função inversa para cada uma das seis funções trigonométricas básicas, pois todas elas repetem periodicamente; portanto, não passam no teste da reta horizontal. Assim, para definir funções trigonométricas inversas, primeiro devemos restringir os domínios das funções trigonométricas. FUNÇÃO ARCO SENO Seja f: [-π/, π/] [-,] a função definida por f () = sen. A função inversa de f (), será chamada arco seno, e denotada por f - : [-,] [-π/, π/], onde f - ()= arc sen. Simbolicamente, para -, escrevemos a equivalência: = arc sen sen = arcsin().5.5 - -.5.5 -.5 - -.5 O gráfico desta função nos mostra uma função crescente. FUNÇÃO ARCO COSSENO Seja f: [, π] [-,] a função definida por f () = cos. A função inversa de f (), será chamada arco cosseno, e denotada por f - : [-,] [, π], onde f - ()= arc cos. Simbolicamente, para π, escrevemos: = arc cos = cos
arccos() 3.5.5.5 - -.5.5 O gráfico desta função nos mostra uma função decrescente. FUNÇÃO ARCO TANGENTE A função inversa da tangente é definida para todo número real. Seja f: (-π/, π/) R a função definida por f () = tg. A função inversa de f, será chamada arco tangente, e denotada por f - : R (-π/, π/), onde f - ()= arc tg. Simbolicamente, para - < <, escrevemos: = arc tg = tg arctan().75.5.5 - -.5.5 -.5 -.5 -.75 O gráfico nos mostra que quando se torna muito grande, arc tg aproima-se de /. Quando se torna muito pequeno, arc tg se aproima de - /.
É uma função crescente. OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Podemos definir a função inversa da cotangente como = arc cotg = - arc tg onde < < π. /*PI - arctan().5.75.5.5 - -.5.5 =arc cotg As funções inversas da secante e da cossecante serão funções de no domínio, desde que adotemos as definições: = arc sec = arc cos (/) = arc cosec = arc sen (/). arccos(/) 3.5.5.5 -.5 -.5.5.5 =arc sec
arcsin(/).5.5 -.5 -.5.5.5 -.5 - -.5 =arc cosec INVERSAS DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA As funções eponencial e logarítmica referem-se a movimentos inversos da potenciação. Com a função logarítmica acontece um determinado movimento numérico; com a função eponencial acontece um regresso deste movimento. Trata-se de uma estrada de mão dupla. Assim, o domínio de uma função é imagem da outra e vice-versa. São portanto funções inversas. Isto eplica por que, para resolver funções eponenciais, temos de recorrer frequentemente aos logaritmos, ou às eponenciais, no caso dos logaritmos. Observaremos o gráfico da função eponencial ep () =, e o gráfico da função logarítmica = log. ^ 8 6 4 -.5 -.5.5.5
3 log(, ) 4 6 8 - Portanto, podemos definir = como a função inversa de =, sempre que b seja um número real, positivo e diferente de. BIBLIOGRAFIA FLEMMING,Diva Marília. Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração. 5ª ed. São Paulo. Makron. 99. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5ª Ed. Rio de Janeiro. LTC. 8. ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. 6 ed. Porto Alegre. Bookman.. ÁVILA, Geraldo. Cálculo I Funções de uma variável. 6ª edição. Campinas. Livros Técnicos e Científicos Editora. 99.