Mecânc Quântc June 4, 03 Contents Introdução 3. Onds e prtículs.......................... 3. Onds de Prtículs......................... 7.. Esplhmento de um únco elétron............. 0.3 Pcotes de onds............................3. Velocdde de grupo..................... 3.4 Incertezs............................... 5.5 A verdde (pelo menos té gor).................. 8.6 O átomo de Bohr............................7 Quntzção de Sommerfeld..................... 5 Mecânc 34. Prelmnr............................... 34. Equções de Euler-Lgrnge..................... 35.. Coordends generlzds................. 36 3 Trnsformd de Legendre 40 4 Equções de Hmlton 4 4.0. Sgn cdo físco d Hmltonn............. 43 4. Prncípo vrconl (opcnl).................... 44 4.. Exemplo: brqustocrôn.................. 48 4.. Equções de Euler-Lgrnge................. 50 5 Prênteses de Posson 5 6 Vetores e equções lneres 54 6. Operdores, utovetores e utofunções no R n........... 6 6.. Produto externo....................... 6 6.. Auto-vetores......................... 66 6. Mudnç de bse........................... 67 6.3 Espço de Hlbert........................... 69 6.4 O espço L.............................. 7
6.5 Rgged Hlbert spce......................... 78 6.6 Operdores smétrcos, ou hermtnos............... 80 6.7 Operdores dferencs........................ 86 6.8 Domíno dos operdores....................... 93 6.9 Operdores uto-djuntos...................... 94 6.0 Operdores lneres.......................... 95 7 Postuldos d Mecânc Quântc 98 7. Interpretção probblístc..................... 00 7. Conseqüêncs físcs do prmero postuldo............ 0 7.3 Vlor esperdo............................ 03 8 Quntzção cnônc 05 8. Evolução temporl.......................... 06 8. Resumo................................ 3 8.3 Relzção do espço de Hlbert................... 3 8.4 Rotções................................ 34 8.5 Espnores............................... 38 9 Ressonânc 43 0 Observáves comptíves 49 0. Relções de ncertez......................... 53 Sstems de várs prtículs 54. Interção de Hesenberg....................... 57. Dos spns copldos......................... 6 Relzção de espços de dmensão n nt 68. O operdor de multplcção..................... 68. O operdor de posção........................ 70.3 O operdor de momento....................... 74.4 O problem do ordenmento..................... 75.5 Prtícul n cx.......................... 77.6 O momento d prtícul....................... 83.6. Sstems com város grus de lberdde.......... 86.7 O oscldor hrmônco........................ 87.7. Normlzção......................... 9 3 Potencs centrs 95 3. Autovlores e utovetores do momento ngulr.......... 96 3. O átomo de hdrogêno........................ 04 3.. Acoplmento spn-órbt................... 08 4 Teor ds perturbções 0 4. Acoplmento spn-órbt (contnução)............... 5
Introdução Nest prte do curso vmos estudr MQ não reltvístc. Neste modelo se consder, por exemplo, um prtícul crregd (um elétron) se movendo num certo potencl (o núcleo). A estrutur quântc do própro núcleo não é muto relevnte, ms pens o potencl (ou o cmpo) que ele ger. Neste cso, dzemos que o cmpo é externo,.e., o própro cmpo não é quntzdo. Este é o setor de um prtícul d mecânc quântc (MQ) não-reltvístc. Pr nálse de estruturs nterns do própro núcleo est bordgem é completmente ndequd. Um vez que dnâmc dos processos ocorre em um escl reltvístc e, o que é ms mportnte, ntensdde dos cmpos é su cente pr crr novs prtículs. Destrte, não podemos ms nos lmtr o setor de um prtícul e precsmos trblhr no chmdo espço de Fock, ou, de outr form, relzrmos segund quntzção. Onde se consder como prmer quntzção quntzção cnônc (ou de Drc), ou ssocção de observáves clásscos com operdores quântcos. Ao estudrmos segund quntzção estmos entrndo nos domínos d Teor Quântc de Cmpos (TQC). Este será um ssunto d últm prte deste curso. Vmos relembrr lguns pontos vstos no curso de quântc e de Físc moder.. Hpótese de Plnck: A troc de energ entre s predes do negro e cvdde são quntzds. Ou sej, prede é trtd como oscldores que só podem osclr múltplos nteros de su freqüênc nturl. Ms própr rdção não é quntzd. Est hpótese resolv o problem d ctástrofe do ultrvolet.. Hpótese de Ensten: Além d rdção é emtd em múltplos nteros d freqüênc nturl e está loclzd no espço n form de pcotes de energ (fótons). Isso explc o efeto fotoelétrco. Nest descrção rdção se comport como nd enqunto se propg (com todos os fenômenos ondultóros de nterferênc) e como um prtícul qundo é detectd. Temos duldde ond-prtícul pr rdção eletromgnétc. 3. Hpótese de De Brogle: não pens luz (prtículs sem mss) present um duldde ond-prtícul, ms tods s entddes d nturez. Ou sej,qulquer quntdde que possu um momento p terá ele ssocdo um ond. Est hpótese fo comprovd pelo esplhmento de elétrons pels cmds subseqüentes de um crstl.. Onds e prtículs O que sgn c duldde ond-prtícul? Vmos prmero nlsr dferenç nos concetos clásscos de onds e prtículs. Imgne superfíce de um quáro cuj metde está seprd por um prede com dus fends. N prte do quáro ntes d prede btemos (de 3
Fgure : Fgur - Retrd de The Feynmn Lectures on Physcs. form bem regulr) n superfíce d águ com um régu. Isso gerrá onds plns, com um cert freqüênc (gul o rtmo d régu), que chegrão té prede com os furos. Do outro ldo dest prede temos um detector que pode medr ntensdde d ond que cheg, ou sej, ele mede mpltude (clro que mpltude v vrr com o tempo, ms regstrmos pens o máxmo) que águ sobe e desce (o que equvle à energ d ond). Estmos nteressdos, n verdde, n rzão entre mpltude que s dos dos furos e mpltude que cheg té o detector. Imgne tmbém que não há re exão ns predes do nosso quáro. Prmero nós tmpmos um dos furos (o ), movemos o nosso detector em tod coordend x e vemos o que ele regstr. Como ond é crculr, pr mnter energ constnte, mpltude deve cr com o ro. Assm, o detector regstrrá um mor ntensdde qunto ms próxmo ele estver do furo. Um grá co dest ntensdde ter form I (x) d gur -b. Se repetrmos gor o expermento com pens fend bert, o detector rá regstrr ntensdde I mostrd n gur -b. O que ocorre então qundo os dos furos estão bertos? Neste cso dstrbução d ntensdde não é tão smples. Como s dus onds crculres são produzds em pontos dferentes hverá certos pontos onde crst de um ond encontrrá crst d outr, se ntens cndo, e outros onde crst de um encontrrá o vle d outr, se nulndo. Ms espec cmente, qulquer ponto cuj dferenç d dstânc entre os furos sej um múlt- 4
plo ntero do comprmento de ond combnção, ou nterferênc, será máxm. Pr pontos onde est dferenç tenh um vlor sem-ntero do comprmento de ond est nterferênc será completmente destrutv. Com sso, ntensdde regstrd pelo detector será como I (x) mostrd n gur -c. Vmos dr o processo cm um descrção ms precs. Ao tmprmos o furo e colocrmos o detector num certo ponto x mpltude d ond vr com o tempo como prte rel d quntdde A = h exp (!t) ; h C : A quntdde h é complex pr levr em cont tods s dferentes fses d osclção em dferentes pontos do espço. Tod dependênc n posção está nest fse h = h (x), ou sej, em pontos dferentes ond oscl com mesm freqüênc, ms com fse dferente. Pontos mesm dstânc do furo estão em fse. Em especl, pr dferentes vlores de x ond terá fse dferente, pos ond é crculr e estes pontos estão em ros dferentes h = jh j exp ( ) ; = (x) : Nest descrção, ntensdde d ond regstrd pelo detector qundo o furo está tmpdo é proporconl (não é gul, porque estmos dvdndo pel ntensdde totl dos furos, h = h (r)) I / ja j = jh j : O mesmo vlendo pr o expermento com o furo tmpdo A = h exp (!t) ; h C ; I / ja j = jh j : Qundo os dos furos estão bertos ntensdde, no mesmo ponto x cm, será proporconl I / ja + A j = jh exp (!t) + h exp (!t)j = j(h + h )j / jh j + jh j + jh j jh j cos = (x) = (x) (x) Ou sej, tod osclção d mpltude I est n fse ds quntddes complexs h e h. Se chmrmos de A ntensdde totl que s dos dos furos, podemos escrever: I (x) = jh j + jh j + jh j jh j cos : A Remrk É mportnte dexr clro que, nest descrção, ond que s de um furo nterfere com ond que s do outro furo. Ou sej, qundo flmos em nterferênc queremos dzer sempre nterferênc entre, no mínmo, dus coss. 5
Fgure : Fgur 3 - Retrd de The Feynmn Lectures on Physcs. O que contece gor se zermos um expermento semelhnte o nteror, ms com prtículs e não onds. Imgne um metrlhdor montd num cvlete não muto bem xdo. N frente dest metrlhdor temos um prede com dos furos e, depos dest prede um dspostvo cpz de coletr s bls que pssm pelo furo. Este dspostvo pode ser colocdo em qulquer ponto o longo d prede num posção que mrcmos com coordend x. O expermento é relzdo colocndo o detector em um posção x, lgndo metrlhdor, em segud deslgmos metrlhdor (sso é mportnte), pegmos o detector e contmos o número de bls no seu nteror. Est quntdde, dvdd pelo número de bls que pssou pelos furos, pode ser nterpretdo como ntensdde I de bls em x. Relzmos prmero o expermento com fend fechd. Como os burcos são d ordem de grndez ds bls estes s esplhrão em tods s dreções e podemos esperr que ests se cumulem preferenclmente n frente do burco (ou em lgum outro ponto em torno deste, devdo geometr do furo). Isso nos dr um ntensdde regstrd n form I d gur. Se gor repetmos o expermento com fend tmpd, espermos obter um ntensdde I como d gur. Problem O que contece gor se mbs s fends estão berts? Neste cso, devemos esperr que s bls se esplhem como som dests ntensdde I (x) = I (x) + I (x) : O que nos dá o vlor de I mostrdo n gur. Ou sej, 6
Remrk 3 pr prtículs não observmos os efetos de nterferênc presentdo pels onds. Temos gor um questão no mínmo curos:. É sbdo desde tempos remotos que luz present o fenômeno de nterferênc. Qundo luz pss por um expermento de dus fends observmos s gurs de nterferênc descrts n experênc do quáro.. A teor de Ensten dos fótons, bem como os ddos experments do esplhmento Compton e do efeto fotoelétrco, nos mostrm que rdção é compost por quntddes bem loclzds no espço, ou sej, se comport como prtículs. Ms, como deve ter cdo clro, onds e prtículs são coss dferentes e devem se comportr de form dferente. Este comportmento bzrro d luz de, pr certos expermentos, se comportr como ond e, pr outros, se comportr como prtícul, fo chmdo de duldde ond-prtícul. Como veremos, este estrnho efeto é chve d mecânc quântc.. Onds de Prtículs O problem descrto n seção nteror tom um proporção nd mor com hpótese de de Brogle (presentd em su tese de doutordo em 94). Segundo está o comportmento ond-prtícul (ou duldde ond-prtícul) não ser peculr luz, ms tods s quntddes presentes n nturez. De cordo com hpótese de Ensten temos que luz é compost de fótons com energ E = h =) = E h Ou, em termos do comprmento de ond, = c ) E = h c ) = hc E : Se o fóton vj velocdde d luz (hpótese de Ensten) este não deve ter mss, ms, por ter energ, ele possu um momento E (cp) = 0 =) E = cp : Substtundo n expressão pr o comprmento de ond e um frequênc = hc E = h p ; = E h : A hpótese de de Brogle fo estender este resultdo, vldo pr o fóton, e rmr: qulquer quntdde que possu um momento p terá ele ssocdo um ond cujo comprmento vle = h p : 7
Problem 4 O que sgn c extmente ter ssocdo um ond? N époc de de Brogle sso sgn c pens que tods s entddes com um momento p presentrm um comportmento ondultóro, de nterferênc etc, correspondente um ond de comprmento. Flremos ms sobre sso depos, ms gor vmos ver um conseqüênc deste fto. Se hpótese de de Brogle é verdder, um elétron em movmento deve se comportr como um ond com o comprmento de onds cm. Assm, se relzrmos um expermento de dupl fend (ou expermento de Young ) com elétron, devemos observr um gur de nterferênc. Este expermento fo feto e est gur fo observd! O expermento orgnl relzdo envolve o esplhmento de elétrons pels dferentes cmds de um crstl, ms experêncs ms moderns são bem ms próxms do expermento de Young. Pr descrever este expermento você deve mgnr lgo como noss experênc com metrlhdor. Ou sej, exste um dspostvo que emte elétrons (e.g., um o quecdo), estes elétrons são trdos com um cert velocdde contr um chp com furos (e.g., trvés de um cmpo elétrco) e, o pssrem pelo furo, são coletdos por lgum detector. Temos então um ntensdde I de elétrons no detector. Se os elétrons se comportrem como prtículs, devemos esperr ntensdde I = I + I ; () gul d metrlhdor. esperr um ntensdde Já se eles se comportrem como onds, devemos I / ja + A j ; () gul ds onds no quáro. O fto é que, se o dâmetro e dstânc entre os furos for d ordem de grndez do comprmento de ond dos elétrons emtdos, relmente um gur de nterferênc () é observd! Temos qu lgo mutíssmo ms curoso: No expermento ds onds no quáro, temos que ond pln ncl, o pssr pelos furos, cr dus outrs onds e ests se nterferem. Ou sej, é nterferênc de um ond com outr. Entretnto, em expermentos com elétrons é possível obter um ntensdde muto pequen do fexe. De sorte que é possível grntr que pens um elétron sej emtdo, por exemplo, num ntervlo de lguns segundos. Neste cso, pens um elétron pss pelos furos de cd vez. Estes elétrons se cumulm n prede com o detector formndo um gur de nterferênc. Problem 5 Se o elétron bteu n prede ntes do próxmo ser lnçdo, com o que ele nterferu pr temos um gur de nterferênc? Thoms Young, 800. 8
Ms nd, é possível colocr detectores pr sber por qul fend o elétron pssou. Ao colocrmos estes detectores, podemos grntr que o elétron pssou pens por um ds fends (.e., dferente ds onds, não detectmos um prte dos elétrons em cd fend). Ms, sempre que colocmos estes detectores (e podemos com sso grntr que o elétron é um prtícul) gur de nterferênc desprece e pssmos observr um ntensdde () gul ds bls d metrlhdor. Por que o elétron mud o seu comportmento dependendo d noss observção? Dscussões deste tpo estrão presentes em todo o nosso curso. Um vez que hpótese cm un c o comportmento de tods s entddes n nturez, podemos gor descrever de form, num certo sentdo, equvlente o nosso expermento com onds e com bls,.e., prtículs. Ou sej, tnto s onds como s prtículs possuem um ond ssocd que descreve o seu comportmento. Ms como descrever então s dus gurs de ntensdde dferente? Imgne então um emssor (um metrlhdor) que tr prtículs (e.g., elétrons) ou fótons com comprmento de ond e freqüênc = h p ; = E h Ambos são gor descrtos por como um ond que vmos supor n form A = h exp (!t) ; h C lembrndo que fse de h, que depende de é dferente em cd ponto do espço, = (x). Qundo est ond tnge os dos furos temos o comportmento peculr às onds de gerrem dus novs onds em cd furo (como descrto no cso ds onds no quáro) A = h exp (!t) ; h C A = h exp (!t) ; h C onde, por terem su fonte em pontos dstntos, cd h possu um fse dferente. Onde chmmos de h mpltude d ond. Seprmos noss ond dest form porque estmos nteressdos no seu comportmento num determndo ponto x. Isto é um comportmento ondultóro,.e., o ssumrmos que um quntdde se comport como um ond, estmos dzendo que este comportmento exste. Entretnto você não deve pensr que o elétron se dvdu em dos, cd um representndo um ds onds do furo, nem que ele pssou pelos dos furos. A nterpretção do que sgn c est dvsão d ond em dus é um problem centrl em mecânc quântc. Como veremos, nterpretção deste efeto é o que sepr chmd ntg d nov mecânc quântc. Ms voltemos pr s nosss onds. (Som ds ntensddes) A ntensdde de cd ond no ponto x, qundo um dos furos está tmpdo, é proporconl I / jh j 9
(lembre que I tnh mesm form pr onds e bls). Agor, supondo que, o m d experênc, você observou um gur de nterferênc,.e., você observou I d gur, sso sgn c que ntensdde nl é proporconl à I / jh + h j (3) Suponh gor que, por lgum rzão, você não observou um gur de nterferênc,.e., você observou um ntensdde I como d gur 3, sso sgn c que est ntensdde é proporconl som ds ntensddes: I / jh j + jh j Assm, mesm descrção permte obter os dos tpos de comportmento. Ou sej:. qundo s entddes se comportm como onds ntensdde nl é o módulo qudrdo d som ds mpltudes (quntddes complexs),. ms qundo se comport como prtículs, ntensdde nl é som dos módulos qudrdos ds ntensddes. A rzão d noss entdde se comportr de um ou outr form está relcondo com um sére de crcterístcs do expermento, e.g., o dâmetro e seprção dos furos em relção o comprmento de ond. Além ds possíves nterferêncs que possmos cusr no sstem (ou outros mstéros que surgrão com nterpretção d nov MQ). Os detlhes de qundo devemos esperr um ou outro comportmento serão dscutdos ns seções seguntes... Esplhmento de um únco elétron Prmero vmos tentr entender porque é rzoável supor que o elétron, ou o fóton, é um prtícul. Ou sej, que o comportmento ondultóro presentdo pelo elétron não se refere um ond no sentdo físco (lgo que crreg lgum form de energ). Em prmero lugr temos o fto descrto que o colocrmos detectores no expermento de dus fends sempre detectmos entdde em pens um ds fends e não detectmos bsolutmente nd (nenhum form de energ) n outr fend. Vmos gor preprr um expermento de dus fends com um únco elétron. Neste expermento preprmos fonte pr emtr um únco elétron, o fzemos pssr trvés de um ntepro com dus fends e o detectmos no nl. Bem, por ser pens um elétron não espermos ter nenhum gur de nterferênc. Imgne go que preprmos várs cóps deste expermento, extmente gus, e os envmos pr centsts ns ms dferentes prtes do mundo, ou do unverso. Cd centst, o receber o expermento, r coná-lo e regstrr o ponto onde prtícul cu. Em segud ele pegrá este ddo e nos env de volt o resultdo d medd. Depos de lgum tempo, tendo recebdo os ddos de todos os expermentos, nós os plotrmos em um únco grá co. O que obtemos com sso: um gur de nterferênc! 0
Remrk 6 Observe que não mport qundo cd centst relze o expermento, tudo que mport é que todos sejm gus. Imgne gor que cd centst colocou um detector pr sber, por qul fend o elétron pssou. Neste cso, como ser de se esperr, não teremos nenhum gur de nterferênc. Ou sej, medd nterferu no sstem e destruu gur de nterferênc. Imgne gor que todos zerm o expermento sem trpcer (sem tentr detectr o elétron). Ms um prte deles (dgmos uns 60%) não nos envou os ddos. O que contece com gur neste cso? Neste cso teremos um menor ntensdde no número de elétrons detectdo em cd ponto, ms, mesmo ssm, contnurímos observndo gur de nterferênc. Podemos nd mgnr que, depos de dgtdos os ddos no computdor, um problem no HD nos fez perder 60% dos ddos. Plotndo os ddos que não se perderm nd temos noss gur. Remrk 7 Ou sej, podemos jogr for um bo prte dos nossos ddos sem comprometer em nd gur. Imgne gor o segunte vrnte. Cd centst escolheu letormente um ds fends e colocou um detector pens em um fend. Ao relzr o expermento este centst pode ter ou não detectdo lgo. Entretnto, mesmo que ele não tenh detectdo bsolutmente nd ele sbe por que fend o elétron pssou. Ou sej, se ele não detectou o elétron n fend onde colocou o detector, é porque ele pssou pel outr fend. Feto sso, pens os centsts que não detectrm nd nos envm os seus ddos. Assm, nós recebemos pens os ddos dos centsts que não n uencrm n trjetór do elétron. Ou sej, neste cso não podemos dzer que o elétron fo esplhdo por nd emtdo pelo nosso detector. De nenhum form ntergmos com o elétron, ms sbemos extmente por qul fend cd elétron pssou. Dest form, novmente perderemos um prte dos ddos (dgmos 60%). Ms o que ocorre gor se plotrmos os ddos? A gur de nterferênc fo destruíd! Resumndo, nós sbemos que o elétron é um prtícul, porque qundo o detector não detectou o elétron ele tmbém não detectou nd (não detectou presenç de nenhum ond) e não ntergmos com est prtícul. E mesmo ssm destruímos gur de nterferênc..3 Pcotes de onds Um ond, e.g., n dreção x e de comprmento está esplhd por tod dreção x. Ms um prtícul, e.g., um elétron, ocup um regão nt do espço. Como então comptblzr o comportmento ondultóro com o de um prtícul? A dé qu, que v sofrer lgums mod cções no futuro, é que é possível se tenur ntensdde de um ond trvés d superposção de outrs onds. Por exemplo, consdere dus onds de mesm mpltude, um de número de
Fgure 3: Fgur 4 ond k e outr com número de ond k + k, com freqüênc, respectvmente e +. A sobreposção dests onds nos drá usndo go temos = sn (kx!t) ; = sn ((k + k) x (! +!) t) ; = + = sn (kx +!t) + sn ((k + k) x + (! +!) t) ; sn A + sn B = cos (A B) sn (A + B) (x; t) = cos (!t kx) sn (kx!t) + (kx!t) ; consderndo podemos escrever kx!t >> kx!t ; (x; t) = cos (!t kx) sn (kx!t) ou sej, pr um tempo xo, e.g., t = 0, temos como (x; 0) = cos (kx) sn (kx) k << k noss ond oscl com número de ond k mor (gul d ond orgnl), ms tod el tem um mpltude moduld por k. Dest form, podemos tenur ond em lguns pontos do espço. Se contnurmos este processo somndo um n ndde de onds, podemos obter um pcote de onds concentrdo em pens um regão do espço. Este processo é o mesmo de tomr decomposção em sére de Fourer d ond cm. Remrk 8 Podemos obter um ond loclzd num cert regão do espço trvés de um pcote de onds.
Fgure 4: Fgur 5.3. Velocdde de grupo Um ond se move com velocdde V = =k. Entretnto, qundo trblhmos com combnção de um grupo de onds formndo um pcote, temos tmbém velocdde de movmento do pcote como um todo. Lembre-se que cd ond tem um velocdde e velocdde do pcote não é gul velocdde de nenhum dests onds ndvdulmente. Além dsso, não estmos supondo que o pcote mntém su form com o tempo. Ou sej, como s onds têm velocddes dferentes o pcote pode se deformr (se esplhr, ou se contrs) com um tempo, ms contnu sendo um pcote e estmos flndo d velocdde do movmento deste pcote. Est velocdde é chmd de velocdde de grupo g e está relcond com velocdde d envoltór que modul nosso pcote. Voltndo o nosso exemplo nteror de dus onds temos (x; t) = cos (!t kx) sn (kx!t) + (kx!t) : Se segurmos velocdde d prmer crst, ou do prmero nó, temos que neste ponto o cosseno tem seu vlor máxmo (gul um), ou sej, usndo (!t kx) = 0 =) x t =! d = k dk = g k = ;! = ; temos que prmer, prte do produto (que é envoltór d noss ond) possu um velocdde g = d dk ; 3
usndo hpótese de De Brogle temos Usndo gor relção reltvístc k = = h p ; = E h : g = d dk = de dp E (pc) = mc ) E de = c p dp temos g = c p E : Usndo s expressões d energ e do momento reltvístco E = c:p 0 = q mc ; p = p = m = u c onde u é velocdde d prtícul de mss m, temos g = u m q u u c ou sej, velocdde de grupo é gul velocdde u d prtícul. Exercse 9 Rept o cálculo cm pr o cso de fótons (m = 0) e mostre que g = c. Assm, um quntdde loclzd no espço (um prtícul) pode ser vst como um pcote de onds se movendo com velocdde de grupo (ms est nterpretção será lterd no futuro). Ms se noss prtícul é formd por um n ndde de onds com freqüêncs e comprmentos de número de ond dferentes e sbemos que p = h = h k ; E = h : Problem 0 Qul é nl o momento e energ d noss ond (ou d prtícul ssocd)? Est é ms um ds questões centrs d mecânc quântc. 4
.4 Incertezs Voltndo então o problem dos nossos pcotes de ond, rest-nos entender como s várs freqüêncs e comprmentos de ond presentes no pcote se relconm com o momento e energ d prtícul. Um resultdo muto conhecdo em problems envolvendo pcotes de ond é que o pcote não possu um comprmento de ond de ndo, ms sm todo um rnge de comprmentos que vr de + (ou k k + k). D mesm form, usndo relção de de Brogle p = h = h k ; podemos rmr que prtícul ssocd o pcote não possu um momento determndo, ms que seu momento está dentro do rnge entre p e p + p Entretnto, sempre que prtícul nterge com lgo trnsferndo momento, e.g., num problem de esplhmento, est trnsfere um momento bem de ndo. O que ndc que, dos vlores no rnge cm, pens um determndo vlor se mnfest qundo observmos nterção do pcote em lgum expermento. N velh mecânc quântc este fenômeno fo explcdo como se, qundo observdo, entdde perdesse seu comportmento ondultóro e gsse como um prtícul de posção e momento bem de ndos. Observe que o mesmo contece no problem de esplhmento de dus fends, mesmo qundo temos formção d gur de nterferênc. Cd elétron, ou fóton, é detectdo num posção especí c, com momento e energ bem determndos. Mesmo que, o pssr pels fends, estes presentem um comportmento purmente ondultóro (permtndo nterferênc entre dus onds).assm, ms um vez, n nterpretção d velh mecânc quântc, s entddes, qundo não observds, se comportm como onds (esplhds num cert regão do espço e com momento dentro de um rnge), ms, qundo observds, tod est regão se concentr num áre comptível com s dmensões ds prtículs ssocds, ou nd, no cso de elétrons e fótons, tod regão d ond se contr, ou colps, num únco ponto e todo o seu rnge de momento colps num únco vlor. Este fenômeno fo chmdo de colpso d função de ond. Assm, todo pcote de ond temos ssocd um rnge de vlores do momento que, o ser observd prtícul, nos drá um vlor especí co (ms um vlor qulquer dentro deste rnge). Dzemos então que prtícul ssocd ond possu um (únco) momento, ms este vlor possu um ncertez dentro do rnge p e p + p Ou nd, qundo um prtícul é descrt por um pcote de onds, o momento ssocdo o seu comportmento corpusculr possu um ncertez dentro dos vlores cm. 5
O mesmo ocorre com mnfestção d posção do comportmento corpusculr d entdde. Um pcote de ond, como o d gur 5, se estende por um regão do espço gerlmente muto mor que s dmensões d prtícul ele ssocd. Dzemos então que, qundo este pcote colpsr, o cráter corpusculr d prtícul poderá se mnfestr em tod regão x. Ou nd, posção d prtícul possu um ncertez x. Assm, tod entdde está ssocd um pcote de ond, que, o ser observdo, rá colpsr num prtícul. Antes deste colpso, prtícul ssocd o pcote possu um ncertez x em su posção e p em seu momento. Se usrmos o exemplo smples do nosso pcote de dus onds senods (x; t) = cos (!t kx) sn (kx!t) + (kx!t) ; podemos estmr espessur de um dos pcotes como dstânc entre os pontos x e x ts que com o que temos x = k ; 0 = cos k sn (kx) = 0 k x = k ; 0 = cos k sn (kx) = 0 k x = x x = k =) xk = : Este resultdo pode ser generlzdo pr um conjunto de n nts onds formndo um pcote verddermente concentrdo. Utlzndo resultdos obtdos com s desgulddes ds trnsformds de Foure (um conseqüênc do chmdo teorem de Plncherel) é possível obter desguldde xk Não vmos nos preocupr qu com este desenvolvmento mtemátco, pos no futuro obteremos o mesmo resultdo trvés de rgumentos ms smples e, num certo sentdo, ms gers. Usndo gor relção de de Brogle p = h k =) k = h p temos xp h =) xp ~ ; ~ = h com ~ (gá-brr) um constnte ntroduzd por Drc. Este resultdo represent um cso prtculr de um desenvolvmento (devdo Drc) que veremos no futuro e é conhecdo como relção de ncertez de Hesenberg. 6
Em especl, observe que se não há ncertez no número de ond, noss prtícul é descrt pens por um únc ond que, conseqüentemente, estrá esplhd em todo o espço. Ou sej, um prtícul de momento bem de ndo tem ncertez n posção n nt. Relções semelhntes podem ser dervds qunto estudmos o rnge de freqüêncs do pcote. Neste cso temos um relção entre o tempo e energ do sstem: Exercse Usndo obtenh relção cm. Et ~ t! Est relção é um pouco ms dfícl de ser nterpretd e, por sso, voltremos el pens qundo estudrmos lguns exemplos concretos. Um nlog (tlvez) útl ser nção de um nstrumento muscl. A som de dus freqüêncs próxms produz o efeto de btmento, ou sej, se dus freqüêncs muto próxms são tocds junts ouvmos um vrção n ntensdde do som. Qunto ms s freqüêncs se proxmm mor o ntervlo entre os pcos dest vrção. Isso é usdo pr nr um nstrumento com um freqüênc pdrão. Qundo o tempo é longo, o nstrumento está ndo. Entretnto, pr grntr que freqüênc sej extmente desejd, precsrímos grntr que o tempo do btmento é n nto. Neste sentdo, qunto mor ncertez n energ de um sstem, por exemplo entre dos níves de energ, mor será nstbldde do sstem e, pr grntrmos que o sstem está num nível de energ bem de ndo, terímos de ver cr que jms hverá trnsção entre os dos níves. A relção cm represent um ds mores dferenç entre mecânc quântc e tod físc nteror. Estes concetos de ncertezs em quntddes físcs já erm utlzdos em várs teors nterores, como, por exemplo, mecânc esttístc. Ms, neste cso, ncpcdde de se observr com precsão s crcterístcs do sstem estvm relconds com lgum lmtção prátc. Por exemplo, em mecânc esttístc o grnde número de consttuntes dos sstems físcos torn mprtcável plcção d mecânc clássc como o desenvolvmento de cd ente. Assm, ests teors trblhm com méds sujets desvos. Entretnto, o cráter d ncertez d MQ é nerente própr teor. Ou sej, não é possível se determnr com precsão bsolut posção e o momento de qulquer entdde físc. Conseqüentemente, não pens estes vlores, ms tod evolução temporl d entdde (que n mecânc é um conseqüênc d posção e momento) possurá tmbém um ncertez. Não sbemos o estdo nl de nenhum sstem, ms pens ntervlos de vlores onde ele pode se encontrr. Este comportmento pode ter dus nterpretções. N prmer o sstem possu um vlor bem de ndo de posção e momento, ms não nos é permtdo conhecer estes vlores (como se estes vlores estvessem esconddos no sstem). Neste cso é como se 7
prtícul exstsse, ms não fossemos cpzes de olhr pr el. N segund, estes vlores relmente não exstem bem de ndos em nenhum entdde físc, té o momento em que est é observd. Neste cso, é como se prtícul relmente não exstsse enqunto não olhmos pr el. A defes dos pontos de vst cm (ou de lgo precdo com eles) gerou um verdder ruptur entre os defensores e funddores d MQ. Ensten, um grnde defensor do prmero ponto de vst chegou dzer coss como então lu não está lá qundo eu não estou olhndo pr el. Um ponto nd ms mportnte sobre estes dos pontos de vst é que, prmer vst, eles podem precer pens dferençs losó cs. Entretnto, em 964, John Stewrt Bell presentou meos quntttvos que permtrm, trvés de expermentos, ver cr qul destes pontos de vst correspond com o comportmento d nturez. Ms sso é um outr hstór....5 A verdde (pelo menos té gor) Vmos prmero fzer um breve retrospectv. Em 90 Plnck presentou seu trblho soluconndo o problem d rdção do corpo negro. Neste trblho surge estrnh dé d energ dos oscldores (elétrons) poder ssumr pens vlores seprdos por ntervlos dscretos. Como se, de lgum form, o movmento destes elétrons não tvesse um form contínu. Est mesm dé está por trás do problem do clor especí co, onde, como se por conseqüênc d quntzção dos níves de energ, os grus de lberdde não fossem ms cessíves pr energs muto bxs. O movmento ds coss não se presentv de form contínu em escls muto bxs de energ. Em segud, 905, temos explcção de Ensten do efeto fotoelétrco, nest explcção, rdção (quntzd por Plnck) emtd por crgs em movmento, não pens tnh um quntdde dscret de energ, ms tmbém estv loclzd num regão nt do espço. Est nterpretção deu luz, que té então er trtd como um ond, um cráter corpusculr. Temos então o curoso efeto d duldde ond-prtícul d luz. O esplhmento Compton, ver cdo em 9, corroborou hpótese de Ensten. As coss se tornm nd ms estrnhs com hpótese de de Brogle, em 95, de que o comportmento dul ond-prtícul, não er um peculrdde d luz, ms sm de tods s entddes d nturez. Temos então dé ds onds de mtér. Tods s coss então possuem um comportmento ondultóro, ms, o serem detectds, comportm-se como prtículs. A hpótese de de Brogle fo comprovd em 97 no expermento de Dvsson-Germer trvés do esplhmento de elétrons por crsts. Um grnde problem pr est nov teor é nterpretção do que sgn c scmente função de ond ssocd às prtículs. Por não trnsportr nenhum form de energ, est ond certmente não poder ser reconhecd como um ond no sentdo ordnáro d físc. Como veremos dnte, teor evoluu muto, no sentdo de fzer várs prevsões que form con rmds expermentlmente e explcr um sére de ddos té então nexplcáves. Todos estes 8
resultdos form obtdos prtr do modelo tômco de Bohr (93), e do desenvolvmento de dus formulções ndependentes de como este novo conceto de onds de mtér deve ser plcdo. Ests formulções form proposts por Schrödnger, em 96, e outr por Hesenberg, em 97. Ms todos estes resultdos e formulções não form su centes pr elucdr o mstéro do sgn cdo físco d função de ond. As relções de ncertez de Hesenberg, presentds em 95, permtrm qunt cr qundo deverímos esperr um comportmento ondultóro ou corpusculr ds entddes físcs. Se ncertez n posção x é pequen, entdde estrá loclzd no espço e se comportrá como um corpúsculo. Já qundo ncertez no momento p é pequen, entdde não estrá loclzd no espço e se comportrá como um ond. Entretnto, ests relções não explcvm porque, por mor que fosse ncertez n posção, entdde sempre er detectd num regão. Ou sej, qul o mecnsmo do colpso d função? As dés de Nels Bohr e Hesenberg sobre s ncertezs nerentes nos processos de detecção ds prtículs (qundo flmos prtículs, estmos dzendo qulquer cos) remetem nturlmente s dés de medd de posção e velocdde d mecânc esttístc e, nturlmente, dé de probblddes. Ms fo pens em 97 que Mx Born presentou o que é consderdo hoje corret nterpretção d função de ond. O postuldo de Born rm que: A ntensdde d função de ond ssocd à prtícul represent probbldde d prtícul ser detectd nquel regão do espço. Ou sej, se (x; y; z) é um pcote de ond ssocdo um prtícul (lembre que ntensdde é proporconl o módulo qudrdo d função de ond) então j (x; y; x)j dx dy dz = j j dv ; é probbldde d prtícul ser detectd no volume dv. Dentro dest nterpretção função de ond ssocd à prtícul perde todo o seu cráter físco, no sentdo de não estr relcondo com o trnsporte de nenhum quntdde mensurável. Ou sej, não é possível se medr, ou observr, dretmente função de ond. Além dsso, um vez que prtículs podem ser observds e preservm su reldde físc, no sentdo usul de serem detectds, est nterpretção prvleg dé de que s entddes físcs em todos os processos são prtículs. Sendo s onds probbldde de se encontrr prtícul em lgum lugr (usremos prtr dqu est lngugem). Est nterpretção elmn o problem do colpso d função de ond, ms, obvmente, temos nd de encontrr um sentdo físco pr os fenômenos de nterferênc cusdos por est função de ond. A nl, como lgo que não trnsport nenhum quntdde físc (momento, energ etc) pode nterferr no comportmento ds quntddes físcs. Este problem está dretmente relcondo com formulção d MQ propost por Feynmn, em 948. Voltremos este problem qundo trtrmos espec cmente d hpótese de Born, ou d chmd Interpretção 9
de Copenhgue. Só é mportnte ter em mente que um bo prte do desenvolvmento segur fo feto ntes dest nterpretção. Ms, mesmo que seus crdores não tvessem est nterpretção em mente (ou mesmo não cetssem posterormente), tudo se torn bem ms fácl de entender se, desde já, segurmos s dés de Born. 0
.6 O átomo de Bohr Por que os átomos (em especl o átomo de hdrogêno) emtem rdções pens em freqüêncs com ntervlos bem de ndos? E por que o elétron não colps no núcleo átomco? O problem cm fo resolvdo por um modelo proposto por Bohr em 93, trvés dos seguntes postuldos:. O átomo de hdrogêno exste pens em níves dscretos de energ. Estes níves são crcterzdos pelos seguntes vlores dscretos do momento ngulr dos elétrons em órbts crculres p = nh ; n N : onde p é o momento ngulr do elétron. Qundo o elétron possu um destes vlores de momento ngulr, ele está estável,.e., não rrd.. Qundo um átomo efetu um trnsção do nível de energ E n pr um E m ele rrd (se E n > E m ) ou bsorve (se E n < E m ) um fóton de energ: h = je n E m j : Um bo motvção pr estes postuldos fo presentd por de Brogle em 94??, usndo su própr hpótese de onds. O elétron pode ser descrto por um ond. Se ele está num orbt onde su energ está bem de nd (pos sbemos extmente energ que ele emte o sr dest órbt), então su função de ond deve ser um ond de freqüênc bem de nd e não um pcote. Est ond de comprmento bem de ndo está dstrbuíd por todo o percurso cessível o elétron. Com sso, pel hpótese de um órbt crculr de ro r, no perímetro d crcunferênc deve cber um número ntero do comprmento de ond r = n temos Usndo relção = h p ; rp = nh ; onde rp é o momento ngulr do elétron p = rp Com sso, sendo forç coulombn um forç centrl (que preserv o momento ngulr), podemos escrever I I I rp = pr d = prd = p d = nh ;
Fgure 5: Órbt de Bohr e ond de de Brogle pr n = 4. Fgur retrd do Lbo. que é prmer hpótese de Borh. Ou sej, est hpótese est relcond com o rgumento que ond que descreve o elétron tem comprmento de ond bem de ndo e este comprmento deve ser condzente com o tmnho d órbt. A segund hpótese de Bohr está dretmente relcond com s hpóteses de Ensten e Plnck de que rdção eletromgnétc é emtd em pcotes com energ h. Vejmos gor quê resultdos podemos obter do modelo de Bohr. Prmermente, o colpso do átomo é elmndo por um postuldo. Como órbt é estável, forç centrípet (estmos usndo o sstem de unddes Gussno) m c = m v r = p mr 3 ; deve contrblnçr trção d forç coulombn (pr o núcleo tendo mesm crg do elétron) e r = p mr 3 =) r = Usndo prmer hpótese de Bohr I p d = nh =) p = nh =) p = n~ p e m : (4) temos r n = n ~ e m = n 0 ; 0 = ~ me
Onde 0 ( 0,53 Å) é chmdo ro de Bohr e corresponde o prmero ro permtdo do modelo. A energ do elétron num dd órbt é som de su energ cnétc e potencl: usndo (4) e E = mv e p r = p e mr r r = mr =) E = mr mr = Usndo gor o vlor de r n e hpótese de Bohr E n = n ~ ~ m n = 0 m 0 p = R n ; R = ~ m 0 p p mr o vlor negtvo pens ndc que forç é de lgção. Ou sej, o elétron tem energ zero no n nto e, qunto ms perto do núcleo, ms lgdo (.e., ms estável) e menor su energ. O rótulo n, que crcterz o nível de energ, é chmdo de número quântco prncpl. O resultdo cm nos permte clculr energ de trnsção entre dos níves de energ h n!m = E m E n = R m n n = E n!m : Tudo que precsmos gor é comprr este resultdo com o expermentl,.e., com séres de Blmer e Lymn. Prmero vmos esquecer constnte e escrever: E n!m / n m com n = pr sére de Lymn (??) e n = pr sére de Blmer (??). Em outrs plvrs, se o modelo de Bohr está correto, sére de Lymn represent trnsções dos níves exctdos pr o nível de menor energ (nível fundmentl), enqunto sére de Blmer represent s trnsções dos níves ms exctdos pr o prmero nível exctdo. Isso é fácl de entender. Como s medds de Blmer se referem espectro estelr, ou outros corpos em lt tempertur, o menor nível que o átomo de hdrogêno pode tngr neste mbente (por estr em equlíbro térmco) é o prmero estdo exctdo. Cso ele tente r pr o estdo fundmentl, o própro meo fornecerá energ pr que ele se excte. Já os resultdos de Lymn se referem gses tempertur mbente, onde o nível do prmero estdo exctdo (como veremos) é muto mor que energ térmc do meo, de sorte que os átomos podem perfetmente se encontrr no estdo fundmentl. O grnde sucesso do modelo de Bohr pr explcr e prever o comportmento tômco fo um grnde trunfo pr MQ. Um vez que este modelo estv 3
Fgure 6: Fgur retrd do Esberg. em completo cordo com s hpóteses de Ensten e de Brogle e com ddos experments. Entretnto, como veremos, o modelo de Bohr é muto smpl cdo e não pode dr cont de todos os fenômenos observdos no espectro do átomo de hdrogêno. Nquel époc, medds ms precss ds lnhs espectrs mostrvm que os níves de energ E n erm, n verdde, város níves muto próxmos,.e., são observds rdções com freqüêncs muto próxms. Est é chmd estrutur n do átomo de hdrogêno. Voltremos este problem, juntmente com outrs crcterístcs não contemplds pelo modelo de Bohr, no futuro. 4
.7 Quntzção de Sommerfeld A teor quântc estv sendo crd, então dé (que não é muto dferente d de hoje) ser procurr s crcterístcs peculres dest teor pr um cso especí c e generlzr pr todos os csos. Como fez de Brogle com duldde ond-prtícul do fóton. A solução de Plnck pr o corpo negro corresponde um quntzção nos níves de energ (ou ds mpltudes de osclções) do oscldor hrmônco. Enqunto quntzção de Bohr do átomo de hdrogêno corresponde um quntzção do momento ngulr (ou ds órbts) do elétron no átomo. Exste lgum relção entre estes dos processos? Perceb que pr obter os níves de energ e os ros ds órbts de Bohr, prtmos do modelo clássco, cuj energ é dd por E = mv e r = p e mr r : E mpusemos que estes níves são dscretzdos segundo regr: p = n~ : O mesmo equvle (teor de Plnck) prtr d expressão clássc pr o oscldor hrmônco e mpor um regr de quntzção ns mpltudes. Todos estes dos modelos prtem de um teor clássc conhecd e "quntzm" o problem clássco trvés de um cert regr de quntzção sobre lgum quntdde físc mensurável. Remrk Exstr um form de sstemtzr est regr de quntzção ds quntddes físcs, de sorte que pudéssemos obter s versões quântcs de outros sstems clsscmente conhecdos. A um procedmento deste tpo dmos o nome de regr de quntzção, ou smplesmente, quntzção. Remrk 3 Quntzção é o problem centrl d físc teórc tul. Em prmero lugr, n mecânc clássc qul quntdde precs ser conhecd pr descrevermos completmente o comportmento de um sstem (.e., su evolução temporl)? N formulção de Hmlton d mecânc tod evolução de um sstem clássco pode ser determndo conhecendo-se chmd hmltonn do sstem, H (q; p; t). A hmltonn é um função dos momentos p e ds coordends q generlzds do sstem e, no gerl, do tempo. Neste formlsmo evolução do sstem é dd pels equções de Hmlton _p = @H @q ; _q = @H @p Pr sstems conservtvos, nos qus H (q; p) não depende do tempo, hmltonn pode ser dent cd com energ do sstem. 5
Um grnde vntgem no uso ds equções de Hmlton e ds coordends generlzds é que s equções pr cd coordend têm mesm form ndependente do sstem de coordend escolhdo. Isso não contece, por exemplo, n equção de Newton. Pr coordends crtesns, s equções do movmento são: F = m dx dt =) F x = mx ; F y = my Já se usrmos coordends polres s equções pssm ter form x = r cos ; x = r sn ; ^ = ^y cos ^x sn ; ^r = x cos + ^y sn ; F r = mr + mr _ ; F = mr + m _r _ : Inclusve, um form smples de se obter s expressões cm é usndo s equções de Hmlton. Em coordends polres, energ d prtícul, num potencl U, vle: K = m (v ) + m (v r) = r m _ + m ( _r) Introduzndo o momento ngulr p e o momento rdl p r podemos escrever p = rp = rmv = r m _ p r = mv r = m _r p K = mr + p r m ssm, energ totl do sstem e, conseqüentemente, hmltonn, tem form H = mr + p r + U (r; ) m De onde temos s equções de Hmlton: p _p = @H @ = _ = @H @p = @U @ ; _p r = @H @r = p @H ; _r = = p r mr @p m @U @r p mr 3 Pr obter, por exemplo, equção pr r, podemos dervr últm ds equções cm com relção o tempo r = _p r m 6
E usr equção pr _p r : mr = _p r = @U @r p mr 3 usndo expressão pr o momento ngulr, p = r m _, temos mr + rm _ = @U @r = F r : e o mesmo procedmento pode ser usdo pr obter F = @U=@. Vejmos como c descrção do oscldor hrmônco n mecânc de Hmlton. Pr um oscldor hrmônco E = mv + kx =) H (q; p) = p m + kx Assm, s equções de Hmlton têm form _p = @H @x = kx ; _x = @H @p = p m Dervndo segund equção do relção o tempo e usndo prmer temos x = _p m =) x = kx m =) mx + kx = 0 ; que é conhecd equção do oscldor hrmônco. Como tod nformção est contd n hmltonn e est depende pens ds posções e momentos, podemos descrever evolução do sstem trvés de um curv no plno p q, chmdo espço de fse. Por exemplo, no cso do OH, pr um dd energ (.e., um vlor xo de H) temos E = p m + m! x ou sej, s trjetórs formm um gur fechd, neste cso, ms espec cmente, um elpse. Isso contece porque coordend x é peródc. Assm, pr qulquer coordend peródc, trjetór no espço de fse form um gur fechd. Por ser fechd, est gur certmente encerr um áre. Clsscmente est áre pode ssumr qulquer vlor, ms, se energ só puder ssumr vlores dscretos, conseqüentemente est áre tmbém só poderá ssumr vlores dscretos. Assm, o quntzr os níves de energ do OH, utomtcmente quntzmos s áres ds trjetórs do oscldor no espço de fse. Est dé está dretmente relcond com ás relções de ncertez pos, enqunto clsscmente os estdos ds prtículs são pontos, quntcmente devem ser áres com vlores qp ~ : 7
Ou sej, relção de ncertez mplc que s órbts de um oscldor, ou de qulquer outr vrável peródc, não pode ter um áre menor que qp ~=. Em especl: Remrk 4 O oscldor, cujo centro d órbt é conhecdo, não pode prr e, obrgtormente, tem um energ mínm dferente de zero! O mesmo vle pr um elétron num orbt crculr em torno do próton. Como mss do próton é muto mor que do elétron, seu comprmento de ond (do próton), pr um mesm velocdde, é muto menor. Assm, podemos loclzr o próton (centro d orbt), num regão muto menor que poderímos loclzr o elétron. Assm, mgnndo que sbemos onde está o próton, o elétron num órbt crculr de ro r deve respetr r = r =) rp ~ =) rp p ~ 4 : Resumndo, s relções de ncertez mplcm vlores mínmos pr s áres ds coordends peródcs no espço de fse. E hpótese de Plnck mplc nd que ests áres crescem pens em quntddes dscrets. 8
A regr de quntzção de Sommerfeld, ou regr de quntzção d velh MQ, é um generlzção dos resultdos cm. Est regr mpõe que: Pr qulquer coordend peródc órbt d trjetór no espço de fse só pode ssumr vlores múltplos d constnte de Plnck I p dq = n h : H(q;p)=E O ftor ntero de proporconldde n recebe o nome de número quântco. (Plnck) Vejmos como est regr está relcond com hpótese de Plnck. O prmero psso é dent cr coordend peródc. Neste cso, obvmente estmos flndo d posção (coordend crtesn) do oscldor. Qulquer ponto ser lcnçdo pelo oscldor será revstdo perodcmente. Então, noss coordend peródc é x e o momento el conjugdo é o momento lner p = m _x. Agor precsmos escrever hmltonn, do sstem usndo est coordend e momento. Como o sstem é conservtvo, hmltonn não depende do tempo e é gul energ totl do oscldor H (p; x) = p m + m! x = E Como energ do sstem se conserv, pr um dd energ (mpltude de osclção), podemos escrever s p = m E m! x Com o que podemos clculr I p dx = p I r me m E! x dx fzendo (qu está mplícto que x é peródc) r m E!x = sn =) dx = r E! m cos d e usndo que pr um período completo [0; ] temos I p dx = r E p Z p me sn cos d! m = E! Z 0 0 cos d 9
usndo temos I p dx = E! cos = (cos () + ) Z 0 = E! = E : cos () d + Z 0 d Usndo regr e quntzção de Sommerfeld I p dx = E = nh ) E n = nh obtermos regr de quntzção de Plnck. (Bohr) Vejmos gor como est regr está relcond com os postuldos de Bohr. Assumndo o modelo de Bohr, temos que s órbts são crculres em torno do núcleo. Ms um vez, precsmos dent cr coordend peródc. Neste cso, obvmente estmos flndo do ângulo que dent c posção pr um certo ro R. Como noss vrável de posção é um ângulo, o momento el relcondo é um momento ngulr p = R m e. _ Neste cso, como forç coulombn é centrl e conserv momento ngulr, temos I Z p d = p d = p Usndo gor regr de quntzção de Sommerfeld temos: I p d = nh = p =) p = n~ Que é o prmero postuldo de Bohr. Assm, plcção dret d regr de quntzção de Sommerfeld permte obter (sstemtcmente) os resultdos de Plnck e Bohr. A grnde vntgem do processo está no fto de podemos gor plcr est regr pr outros sstems. Isto fo feto por Sommerfeld pr tentr explcr estrutur n do átomo de hdrogêno. O ponto de prtd é que restrção de Bohr de que s órbts devem ser crculres tlvez sej forte dems. Vmos então (segundo Sommerfeld) relxr est restrção e dmtr órbts elíptcs. Neste cso, contnumos tendo vrável ngulr peródc, ms, gor, vrável rdl r tmbém pode vrr dentro de um vlor mínmo (ro menor d elpse) té um vlor máxmo b (ro mor d elpse). A energ cnétc totl do sstem gor é som d energ cnétc de cd um ds vráves: K = m (v ) + m (v r) = r m _ + m ( _r) : 0 30
E temos gor dos momentos, um conjugdo vrável ngulr (momento ngulr) p = rp = rmv = r m _ =) _ = p r m ; e outro conjugdo vrável rdl (momento lner rdl) p r = mv r = m _r =) _r = p r m : Com estes momentos energ cnétc pode ser escrt como K = p mr + p r m E, ms um vez como o sstem é conservtvo, hmltonn é energ totl do sstem: H (p r ; p ; ; r) = p mr + p r e m r = E (5) Antes de tudo, note que vrável rdl tmbém é peródc r [; b]. Temos gor dus vráves peródcs e, conseqüentemente, dos números quântcos I I p d = n h ; p r dr = n r h : Como o potencl do nosso problem não mudou, contnumos tendo conservção do momento ngulr e, conseqüentemente, contnumos tendo regr de quntzção I p d = n h =) p = n ~ Pr coordend rdl, usmos novmente le de conservção de energ, e escrevemos s p r = m E + e p r mr Onde o snl de + se refere trjetór de! b e o de de b!. Como só estmos dmtndo órbts elíptcs, temos I Z s b p r dr = m E + e p r mr dr = p : b Aplcndo gor regr de quntzção de Sommerfeld temos I p r dr = hn r =) p = ~n r =) n r = b n b onde, pr um órbt crculr = b =) n r = 0 3
ou sej n r N ; n N : Além dsso, segundo um procedmento nálogo o que zemos pr encontrr os níves de energ do átomo de Bohr, pr um órbt estável devemos ter p mr + p r e m r = 0 ; de onde obtemos s relções = (n + n r ) ~ Ze n ; b = (n + n r ) : Voltndo pr (5) De nndo podemos escrever E nr;n = Z e 4 ~ (n + n r ) : n n r + n = n ~ Ze ; b = n n ; E n = Z e 4 ~ n Nosso problem tem dos números quântcos. Com energ depende pens de n, contnumos usndo este número e chmdo de número quântco prncpl. Além dsso, temos gor o número quântco zmutl n. (Degenerescênc) O ponto novo nest descrção é o surgmento de estdos de energ degenerdos,.e., estdo dferentes com o mesmo vlor de energ. Por exemplo, pr o prmero estdo exctdo devemos ter n =. Ms sso pode ser obtdo tnto fzendo n r = 0; n = ; num orbt crculr, ou n r = ; n = : num órbt elíptc. Estes dos níves são dferentes (estdos, ou con gurções, dferentes pr o elétron), ms representm elétrons com mesm energ. Ou sej, gor espec cr o estdo de energ do elétron não é su cente pr sbermos em que estdo ele está. Pr sso, devemos dr n r e n, ou n e n. D mesm form, pr n = 3 podemos ter n = 3 =) n r = 0 n = =) n r = n = =) n r = 3
De form gerl, pr um ddo nível de energ n temos n estdos degenerdos. Pr os químcos, os níves com n r = 0 (mor n ) é chmdo de s (shrp), o nível n r = é chmdo de p (prncpl). O procedmento segue este esquem com nomencltur d pr n r = (shrp, prncpl, d use, e fundmentl, o restnte sendo nomedo em ordem lfbétc). Um nível é nomedo pelo vlor de n e n r, ou sej, o estdo fundmentl (únco) é chmdo s (n = ; n r = 0 ou n = ; n = ). Já pr o prmero estdo exctdo, temos dos estdos s e p, e ssm segue s s p 3s 3p 3d. Est dvsão dos níves (dependendo d excentrcdde d órbt) está relcond com estrutur n do átomo de hdrogêno. Como dssemos cm, todos os níves com mesmo n possuem mesm energ. Ms s lnhs espectrs observds se referem freqüêncs dferentes e, conseqüentemente, dferentes energs. Exercse 5 Então como estes estdos de mesm energ podem gerr trnsções com dferentes energs? O ponto observdo por Sommerfeld é que todo o trtmento usdo té qu é clássco e não lev em cont os efetos d Teor d Reltvdde. Ao se mover no cmpo purmente elétrco gerdo pelo núcleo, o elétron, em seu referencl, enxerg um cmpo mgnétco e este cmpo fz com que órbts crculres e elíptcs tenhm um energ dferente. Este efeto pode ser centud colocndo-se o átomo num cmpo mgnétco externo. O resultdo obtdo por Sommerfeld usndo mecânc reltvístc fo E n;n = Z e 4 ~ n + Z n 3 n 4n onde ' =37 é chmd constnte de estrutur n. Voltremos flr sobre sso (com detlhes) no trtmento do átomo de hdrogêno no nl deste curso. Ms gor já sbemos que os níves de energ do átomo de hdrogêno possuem estrutur d gur bxo. O modelo de Sommerfeld, pesr de explcr dequdmente os níves de energ tomndo em cont estrutur n, nd não é su cente pr explcr outrs observções. Medds nd ms precss mostrm que mesmo os níves descrtos cm possuem um seprção em outros níves. Est nov dferenç, muto menor que nteror, é chmd de estrutur hper n do átomo de hdrogêno. Est estrutur não prece no nosso modelo porque ele nd é muto smpl cdo. O elétron, lém de mss e crg, possu tmbém um crcterístc ntern chmd spn. Pr dr cont d estrutur hper n, precsmos nclur est crcterístc no nosso modelo. ; 33