Pré-Vestibular Aprofundamento Matemática
Matemática Módulo 0 Estudo das equações em R 0. Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? : x: número de filhos do casal y: número de filhas do casal = x y x = ( y ) x = y x = (x ) x = x x = y = = x + y = 7 0. A equação x + ax + bx + c = 0 admite como raízes os números, e. Nessas condições, qual é o valor da soma a + b + c? Se, e são raízes da equação x + ax + bx + c = 0, então: + + a b + c = 0 + a b + c = 0 8 a b + c = 8 a b + 8c = ( I) a b c + + + = 0 + a + b + c = 0 8 a + b + c = 8 a + b + 8c = ( II) 0. = Se x + a) 0,00 b) 0,008 c) 0,05 d) 0,5 e) 7 5, pode-se afirmar que x é igual a: 5 ( x + 7) 5 x + 7 = = x = 5, Logo x = 5 5 = = 0, 008 5 5 () + a() + b() + c = 0 7 + 9a + b + c = 0 9a + b + c = 7 (III) De (I), (II) e (III) temos: a b + 8c = ( I) a + b + 8c = ( II) 9a + b + c = 7 ( III) ( I) + ( II) a + 6c = 0 a = c ( I) ( II) 8b = b = Substituindo em ( III) : 9( c) + + c = 7 6c + c = 7 c = a = PVD-06--MA-AP + + = a b c + a + b + c = 5
0. Resolva em R a equação: x + x = x + = + x Elevando ao cubo ambos os membros x + = 8 + x + 6 x ) + x 6( x ) + x = 0 Chamando y = x, vem: 6y + y = 0 y = 0 ou y =, logo: x = 0 ou x = x = x = { } S =, ( Módulo 0 Potenciação e radiciação em R 0. a) Simplifique: 0, 06 0, 065 b) Calcule k em: ( x k y+ 5 t+ ) ( x k y 5 t+ ) = 50 a) 0, 06 0, 065 6 65 =. 000 0. 000 5 5 0 = 0 0 0 0 = 00 = 0 = 0, x y+ t+ x y t+ b) ( k 5 ) ( k 5 ) = 50 0. y x + t+ x y t = k 5 k 5 k 5 = 50 50 k = 50 k = k = + K = 6 5 = = 50 Calcule (k ) + (m ), sabendo que: k = e m + = + = = + = + = + = + 8 6 6 m 6 5 ( k ) + ( m ) = + 6 + 5 + 6 = + = 8 7 + = 6 7 0. Se a > 0, mostre que: a + = a + a + a + a8 + a a8 + a a + : Desenvolvendo o primeiro membro temos: a + a8 + a a8 + + ( a + ) ( a ) 8 ( ) a + a a a + a a8 + + a + a 8 + a a a a + a + = a + a + a a a + a + a + a ( a ) ( a a + ) ( a ) ( a + a + ) + ( ) ( ) a + a + a a + ( a ) a + a = a + a + ( cqd) + + a a a + a + a a +
0. Ufla-MG Um famoso mágico, senhor X, realizou a seguinte mágica: = 5 o passo: 6 6 = 5 5 o passo: 6 6 + 8/ = 5 5 + 8/ o passo: () 9/ + (9/) = (5) 5 9/ + (9/) o passo: ( 9/) = (5 9/) 5 o passo: 9/ = (5 9/) 6 o passo: = 5 O passo onde é cometido um erro absurdo matemático é: a) 5 o passo b) o passo c) o passo d) o passo e) o passo : A Ocorreu um erro no 5 o passo, pois: 9 = 5 9 = + ( F) Módulo 0 Grandezas proporcionais PVD-06--MA-AP 0. Determine m, n e p, sabendo-se que: m n p = = e m + n + p = 7 8 6 m n 8n = m = 8 p n = p = n 6 Se m + n + p = 7, vem n 8 + n + ( n) = 7 6 n + n + 8 n = 7 n = 9 8n Como m = m = Como p = n p = 8 0. Unicamp-SP Uma torneira enche um tanque em minutos, enquanto uma segunda torneira gasta 8 minutos para encher o mesmo tanque. Com o tanque inicialmente vazio, abre-se a primeira torneira durante x minutos: ao fim desse tempo fecha-se essa torneira e abre-se a segunda, a qual termina de encher o tanque em x + minutos. Calcule o tempo gasto para encher o tanque. Seja V o volume total do tanque. V 8 V x V x + V V = xv ( x + ) V V = 8 Sabe-se que: V + V = V. Assim: xv ( x + ) V + = V 8 x x + V + V 8 = x + x + 6 = 6 5x + 6 = 6 x = 6 x + x + = 6 + 6 + = 5 5 minutos 0. Fuvest-SP Uma empresa vende uma mercadoria e vai receber o pagamento em duas prestações. A primeira no ato da venda e a segunda trinta dias após. Supondo que o preço à vista da mercadoria seja C cruzeiros, que o primeiro pagamento seja de C cruzeiros e que a inflação nesses 0 dias seja de 5%, calcule o valor que deve ser cobrado no segundo pagamento de modo a compensar exatamente a inflação do período. E empresa x ª parcela y ª parcela C x = C C y = 5 % de + C C y = + C C y = + 6 5 C y ª parcela do pagamento 6 0. = Calcule o montante de uma aplicação a juro simples de um capital de R$ 50.000,00, à taxa mensal de %, feita em de março e resgatada em de abril do mesmo ano. Encontrar o número de dias de aplicação. 9 7 = 0 dias de aplicação i = % n = 0 j = C i n j = 50. 000 0, j = 50.000 0,07 j = 8.5 m = 50.000 + 8.5 m = R$ 68.5,00 de março de abril 7 (dias) 9 (dias) 5
05. Em dias, um viajante, andando horas por dia, faz.0 km. Quantas horas deverá andar por dia para fazer.95 km se andar 0 dias e diminuir sua velocidade em 5? : dias tempo distância velocidade 0 x.95km x = x =. 95 v x = 0. 0 v 65 5 5 6 x 5 horas e 8 minutos. 0 km v 5 v Módulo 0 Função do o grau 0. PUC-MG A tabela mostra a expectativa de vida ao nascer de pessoas de um certo país: Ano de nascimento 960 980 000 Expectativa de vida (em anos) 66,6 7,0 75, Supondo-se que a expectativa de vida aumente de forma linear, pode-se afirmar que uma pessoa nascida nesse país, no ano de 00, deverá viver (considere ano como tendo 65 dias): a) 77 anos e 6 meses. b) 79 anos e 8 meses. c) 77 anos, 7 meses e 9 dias. d) 79 anos, 9 meses e dias. : C = + f x ax b 7 =. 980a + b 75, =. 000a + b, = 0a, a = = 0, 0 75, =. 000a + b 75,. 000 0, b = 6, 6 = + f(x) = 0, x 6,6 f(.00) = 0,.00 6,6 f(.00) =,0 6,6 f(.00) = 77,6 ano l 65 dias 0,6 ano l x dias x = 9 dias 77,6 anos = 77 anos, 7 meses e 9 dias b 0. UFSM-RS Recomendações Da frieza dos números da pesquisa saíram algumas recomendações. Transformadas em políticas públicas, poderiam reduzir a gravidade e as dimensões da tragédia urbana do trânsito. A primeira é a adoção de práticas que possam reduzir a gravidade dos acidentes. A segunda recomendação trata dos motociclistas, cuja frota equivale a 0% do total, mas cujos custos correspondem a 9%. O motoboy ganha R$ por entrega, a empresa, R$ 8. É um exército de garotos em disparada. O pedestre forma o contingente mais vulnerável no trânsito e necessita de maior proteção, diz a terceira recomendação da pesquisa. Entre a 0 horas e as 8 horas da quinta-feira, as ambulâncias vermelhas do resgate recolheram 6 atropelados nas ruas de São Paulo. Folha de S. Paulo, /6/00, p. C (adaptado). Conforme o texto, num dia de trabalho, são necessárias entregas para um motoboy receber R$,00. Por medida de segurança, a empresa limitará a 0 a quantidade de entregas por dia. Como compensação, pagará um adicional fixo de p reais ao dia a quem atingir esse limite, porém reduzirá para R$,80 o valor pago por cada entrega. O valor p que manterá inalterada a quantia diária recebida pelo motoboy, ou seja, R$,00, será: a) R$ 5,0 b) R$ 5,60 c) R$ 5,80 d) R$ 6,00 e) R$ 6,0 : D Considerem-se x a quantidade de entregas por dia e f(x) o valor recebido pelo motoboy. f( x) =, 8 x, se 0 x < 0 f( x) =, 8 x + p, se x = 0 f(0) =,8 0 + p = 8 + p f(0) = 8 + p = p = 6 6
0. UFRJ Um vídeoclube propõe a seus clientes três opções de pagamento: Opção I: R$ 0,00 de taxa de adesão anual, mais R$,0 por DVD alugado. Opção II: R$ 0,00 de taxa de adesão anual, mais R$,00 por DVD alugado. Opção III: R$,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão. Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano. Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta. Seja: f (x), f (x) e f (x), as funções que dão o custo para o cliente, das três opções de pagamento respectivamente, então: f (x) =,x + 0 f (x) = x + 0 f (x) = x Assim, f (x) = 56 x + 0 = 56 x = 6 x = 8 f (8) =, 8 + 0 = 6,6 f (8) = 8 = 5,0 O cliente não escolheu a melhor opção, pois se tivesse escolhido a opção III ele teria gasto R$ 5,00. 05. Determine a função representada pela reta (r) na figura abaixo, dado que a área do trapézio é 6 (u a) ( r) y = ax + b = 6a + b ( I) a b = 6 + y = a + b ( II) = a + b ( y + ) A = = a 6 = y a + = = y = 6 + b b = y = x 0. UERJ Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao ser exalado, tem temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Através de medições realizadas em um laboratório foi obtida a função: T A = 8,5 + 0,75 T B, T B 0, em que T A e T B representam, respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente. Calcule: a) a temperatura ambiente quando T A = 5 C; b) o maior valor que pode ser obtido para T A. a) T A = 8,5 + 0,75 T B 5 = 8,5 + 0,75 T B 6,5 = 0,75 T B T B = C b) T A é máxima, quando T B é máxima. T A = 8,5 + 0,75 0 T A = C PVD-06--MA-AP 7
Módulo 05 Ângulos 0. Na figura, AM = AN, AB C = α, A C B = β, α > β e as retas MN e BC interceptam-se em P. Mostre que MPB α β = 0. Na figura seguinte tem-se AB = BC = CD = DE = EF. Determine a medida do ângulo CÂB, dado que a medida do ângulo DÊF é igual a 0º. : AM = AN MAN = θ AMN = AN M = γ; então θ + γ = 80º α + β + θ = 80º α + β α + β = γ γ = MBP = θ + β MPB + γ + θ + β = 80º MPB = γ - β α + β MPB = - β MPB = α + β ( c. q. d.) θ = 80º γ : No triângulo DÊF, temos: + + 0º = 80º 8 = 60º = 0º 8
0. UEPG-PR Na figura a seguir, em que os seguimentos MP e RN são paralelos, quanto vale, em graus, a metade da medida x? 05. Fuvest-SP Na figura a seguir AB = AC, CB = CD e A = 6º. x + 68º = 80º x = º A metade de x é 56º Calcule os ângulos DCB e ADC. AB = AC θ+ θ + 6º = 80º em que θ = θ = 7 DCB + θ= 50 DCB = 6º ADC = º θ = ABC θ = A CB 0. Dados: MNP, MQ e NQ são bissetrizes dos ângulos PMN e PNM ; MPN = α PVD-06--MA-AP Mostre que MQN α = 90 º + QMN = θ QNM = β θ + P + MQN = 80º MQN = 80º θ β ( I) θ+ β + α = 80 θ + β + α = 90º. α 90 º = θ β Substituindo em ( I) temos α MQN = 80 + 90 º MQ α N = 90 º + ( c. q. d ) 9
Módulo 06 Razões trigonométricas no triângulo retângulo 0. Mackenzie-SP Na figura a seguir, AB vale: 0. Vunesp Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60 quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 0 à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura. a) 60 d) 75 b) 65 e) Não sei c) 70 : D Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião voou partindo de A até chegar a B é: a) 0 b) 0 c) 60 d) 80 e) 90 : C y y tg0 = = x x y + 50 y + 50 tg60 = = x x x = y x = y + 50 y = y + 50 y = 50 y = 5 AB = 5 + 50 AB = 75 Trajetória (AB) = AC + BC 60 tg 60 = AC = = 60 AC AC = 0 km sen 60 = 60 60 = = BC BC BC = 0 km Distância = AC + BC = 0 + 0 (AB) = 60 km 0
0. Unicamp-SP Caminhando em linha reta, ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB =.00 metros. Quando em A, ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60 e, quando em B, verifica que o ângulo NBA é de 5. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule a distância a que se encontra o navio da praia. 05. Fuvest-SP A latitude de um ponto P da superfície da Terra é o ângulo que a reta OP forma com o plano do Equador (O é o centro da Terra). No dia de março os raios solares são paralelos ao plano do Equador. a) Orientação: Construção da figura Uso da tangente d b) tg60 = d = x x d tg5 = d 00 x 00 x =.. x =. 00 x. 00 ( ) = = ( + ) ( ) = 600 ( ) ( 600 ( ) ) = 600 ( ) m x + x =. 00 x +. 00 x. 00.00 x = = d = Calcule o comprimento da sombra projetada, no dia de março ao meio dia, por um prédio de 0 metros de altura, localizado a 0º de latitude. x x tg0º = = x = 0 m 0 0 0. Vunesp A figura mostra duas circunferências de raios 8 cm e cm, tangentes entre si e tangentes à reta r. C e D são os centros das circunferências. Se α é a medida do ângulo CÔP, o valor de sen α é: a) /6 d) 8/ b) 5/ e) /8 c) / : B 5 5 senα = = + 8 PVD-06--MA-AP
Módulo 07 Função do o grau 0. Fuvest-SP No triângulo ABC, AC = 5 cm, BC = 0 cm e cos α = /5. O maior valor possível, em cm, para a área do retângulo MNPQ, construído conforme mostra a figura a seguir, é: a) 6 b) 8 c) 0 d) e) : C sen α + cos α = 9 sen sen 5 6 α + = α = 5 y senα = = 5 a 5 y = a 5 como MQ//BC, AMQ ~ ABC, assim: 5 0 0 0 5 = = = x x a a a x 0 x x y = = 5 5 x A ( x)= x y = x 5 x A ( x) = + x 5 6 yv = = = 0 a 5 0. Fatec-SP O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das abcissas para x = e x = 5. O ponto de máximo de f coincide com o ponto de mínimo da função g, de IR em IR, definida por g( x) = x x + 6. A função f 9 pode ser definida por: a) y = x + 6x + 5 d) y = x + 6x 5 b) y = x 6x + 5 e) y = x 6x + 5 c) y = x 6x 5 : D g( x)= x x + 6 9 b xv = = = yv = = 9 6 a a 8 9 9 yv = 9 8 = 9 v =(, ) f( x) = a ( x ) ( x 5) = a ( ) ( 5) = a ( ) a = f ( x)= ( x ) ( x 5)= x 5x x + 5 f ( x)= x + 6x 5 0. FGV-SP O preço de ingresso numa peça de teatro (p) relaciona-se com a quantidade de freqüentadores (x) por sessão através da relação: p = 0,x + 00. a) Qual a receita arrecadada por sessão, se o preço do ingresso for R$ 60,00? b) Qual o preço que deve ser cobrado para dar a máxima receita por sessão? Observação: receita = (preço) x (quantidade) : a) p = 0,x + 00 60 = 0,x + 00 0,x = 0 x = 00 Considere (R) A receita questionada, então: R = 60.00 = R$.000,00 b) R(x) = p x R(x) = ( 0,x + 00) x R(x) = 0,x + 00x b xv = a = 00 = 0, 50 p = 0, 50 + 00 = R$ 50,00
0. ITA-SP Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de uma substância química medidas em intervalos de segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, tem-se que a concentração (em mols) após,5 segundos é: : D f ( x)= ax + bx + c c + b + a = c + b + a = 5 c + b + a = a = b 9 = b = c + = c = 5 f( x) = x + x 5 c + b + a = c + b + a = b + a = b + a = b + 8a = a = 6 = + = + f, 5, 5, 5 5 8, 75 7,5 5 f (, 5)=, 75 Tempo (s) Concentração (mols),00 5,00,00 a),60 d),75 b),65 e),80 c),70 05. Fuvest-SP Para todo x 0, seja f(x) o quadrado da distância do ponto, 0 ao ponto ( x, x ). a) Esboce o gráfico da função f. b) Determine o ponto da curva y = x mais próximo do ponto, 0. a) Quadrado da distância entre os pontos, 0 e ( x, x ) com x 0. 9 d = f ( x)= x x 0 x x x + ( ) = + + 9 = x x + ( com x 0) Vértice da parábola. V, 5 b) A distância tem que ser mínima. d = f(x) assume o seu valor mínimo para x = x v = y = = Logo o ponto procurado é P (,) Módulo 08 Elementos de um triângulo 0. E.E. Mauá-SP No triângulo ABC, retângulo em A, a altura AH forma ângulo de 0 com a mediana AM. Calcule os ângulos do triângulo ABH. A HB = 90 AHM = 90 Logo, AMH = 80 Como AM= Mb, temos : θ+ θ+ 80 = 80 θ = 00 θ= 50 ( ABH ) B AH + 50 = 90 B AH = 0 PVD-06--MA-AP
0. UFMG Observe a figura. Nela, AB = BD = DE e o segmento BD é bissetriz de EBC. A medida de AÊB, em graus, é: 0. Num triângulo ABC, Â = 60 e B = 80. Calcule as medidas dos seis ângulos formados pelas alturas com vértice no ortocentro H desse triângulo. : a) 96 b) 00 c) 0 d) 08 e) 0 : D Na figura, temos: β= x β+ x = 80 x + x = 80 5x = 80 x = 6 β= 7 x + β= 80 x = 08 A = 60 B = 80 C = 0 α + θ= 90 α + 50 = 90 α = 0 β= 0 γ + 0 = 90 γ = 80 t = 0 δ + 0 = 90 δ = 60
0. Fuvest-SP No quadrado ABCD de lado, temos: AE = e CF =. O ângulo AÊF é agudo, reto ou obtuso? Justifique. 05. Num triângulo ABC, AD, BE e CF são alturas. Sendo  = 50 e B = 70, calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF. : Como AD é bissetriz do ângulo BAC logo 80 D, θ=, α = 0 ( E), β= 60 Como BE é bissetriz do ângulo DEF logo Como CF é bissetriz do ângulo DFE logo F = + DE DE = 5 EF = 7 + EF= 58 AF = + 9 AF= 5 5 58 < + 5< 69 + 58 5< 7 Portanto, o triângulo AEF é acutângulo e o ângulo AÊF é agudo. PVD-06--MA-AP 5
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