Semináios de Ensino de Mtemáti/ SEMA FEUSP setemo/9 Coodenção: Pof D Nílson José Mhdo Fções Contínus no Ensino Médio? Wgne M Pomme wmomme@us Resumo Aes dos vnços ds eentes oosts uiules, lguns tems mtemátios, gelmente oddos no Ensino Sueio, ind se enontm distntes do otidino d sl de ul do ilo ásio Assim, este teto oõe um eve efleão envolvendo setos uiules eistemológios e didátios disussão d temáti ds Fções Contínus do ilo ásio O ttmento deste tem, não omo omonente uiul, ms tvés de situções de ensino emite e-vloizção dos tuis tems do uíulo, ligdos Teoi dos Númeos e elç s oneões intens e etens os onheimentos mtemátios Intodução: Iniilmente, osevndo ói denominção, s Fções Contínus esentm, o um ldo, um seto ssoido o diseto, elo fto de eesent um fção (elção de númeos inteios) e, ind, o segundo temo emont s gndezs de ntuez ontínu Assim, s: () fções ontínus onstituem um eemlo inteessnte de oedimento ue é finito, undo oedo soe númeos ionis, e infinito, undo o númeo ddo é iionl A oigem ds fções ontínus está n Géi, onde s fções, efeito de omções, em tods esits om numedo (CUNHA, 7, ) Com elção intodução de tems mis tuis no ensino d Mtemáti, fço efeêni tul Poost Cuiul do Estdo de São Pulo (8) Este doumento esent um list de onteúdos Mtemáti do ilo ásio sem lteções eiáveis em elção o ue se veiul nos divesos sistems de ensino eistentes tulmente, levndo-se em onsideção o iníio de ue os onteúdos são meios o desenvolvimento ds ometênis essois (SÃO PAULO, 8, 8) A uestão d tulizção dos tems mtemátios do uíulo é vloizd o muitos utoes e é inlusive disutid ui no SEMA/FEUSP De modo gel, são ontdos Pogmção Line, o Cálulo Difeenil e Integl, os Ftis e s Fções Contínus, dente outos, omo tems oíios seem oddos no ilo ásio, num odgem deud este nível de ensino Assim, há neessidde d esol est seme let mudnçs de onteúdos e metodologis em fe de novs eliddes do mundo tul, oiindo ondições ue os indivíduos se dtem ests mudnçs e sejm iddãos onsientes de seu el n soiedde Est oost de tulizção de tems do uíulo de mtemáti e nov Poost Cuiul odem se onilids, omo, o eemlo, ontee om inseção no ensino d Biologi e nov evolução d genéti, ssunto omleo, ms ue se mostou ssível de se oddo e tzido o otidino d sl de ul num odgem essível lunos do ensino ásio Tmém, o movimento enovção do Ensino de Físi está disutindo inseção de tóios usulmente oddos somente no Ensino Sueio, omo lguns esultdos d Físi Moden Dento dess visão: () o onteúdo mtemátio se ttdo n esol ási é ens um veíulo o desenvolvimento ds idéis fundmentis de d disilin, ue devem se onvenientemente tiulds tendo em vist s funções seem desemenhds no uíulo É fom de odgem dos difeentes ssuntos ue distingue difeentes oosts, dndo-lhes o e sustâni (MACHADO, 99, ) Assim, os essuostos delinedos me letm ossiilidde do eens nível uiul eistêni de outos tems do ensino sueio ue odeim se oddos neste nível de ensino, om um tnsosição didáti deud, omo gedoes de situções de ensino oíis Atentmos ossiilidde de um novo olh o uíulo, oneendo metáfo do onheimento omo ede, onfome Mhdo (995) e us de tems ssoidos à ói disilin de Mtemáti, ue emite um tiulção e integção ente os óios oneitos mtemátios vigentes no tul uíulo A idéi de ede onstitui um imgem, onde onhee é omo:
() ened, tee signifições, tilh signifidos Os signifidos, o su vez, são onstuídos o meio de elções esteleids ente os ojetos, s noções, os oneitos Um signifido é omo um feie de elções O signifido de lgo é onstuído flndose soe o tem, esteleendo oneões etinentes, às vezes insuseitds, ente divesos tems Os feies de elções, o su vez, tiulm-se em um gnde tei de signifições e o onheimento é um tei desse tio (MACHADO,, ) Assim, um imotnte oneão, se ossiilit o onheimento omo ede é () estelee elções ente os signifidos dos ojetos mtemátios no inteio d Mtemáti e etenmente el (MACHADO, 995, 7) Osevo ue tulmente, tl osiionmento se deslo use om ue elusividde o uso d ontetulizção, ue om etez é etemmente imotnte, ms ue etou um eto esueimento em elção eloção ds imotntes oneões intens, ue viiliz tiulção ente os óios tems d Mtemáti Em elção os ossíveis tems, fço menção um ds sugestões d n emindo n osião d defes de mestdo o mim defendid, ue sei desenvolve esuis em elção s Fções Contínus, ssunto iniilmente desenvolvido elos gegos e ue foi sendo eniueido o longo do desenvolvimento históio d mtemáti e somente etomdo nos séulos XVII e XVIII A nálise desse euso históio me fez eee lguns nós d tei teid o esse tem, odndo imições ente os Númeos Rionis e os Númeos Iionis e ue emitem o desenvolvimento de ometênis ásis nest fi de ensino As imições ente os Númeos Rionis e os Númeos Iionis Segundo Bolezzi (996), no teto A Ate de Cont, odgem histói tem imotâni fundmentl estutu o tlho didátio d Mtemáti se ensind Isso ode se osevdo om elção o sugimento dos Númeos Iionis e su elção om os Númeos Rionis É usul odgem no Ensino Básio, definindo o onjunto dos númeos iionis omo os númeos eis ue não etenem o onjunto dos númeos ionis (Iionis = R Q) A imei vist, isto ode ee os lunos ue não eiste elção ente mos Ms histói do desenvolvimento d Mtemáti nos most out visão Confome Boye (97), os ovos ntigos utilizvm sistemtimente oimções numéis Há efeêni, no io de Ahmes, de álulo d áe de íulo em elção áe de um uddo onsidedo euivlente Alguns utoes, segundo Boye (97), fzem uso deste onheimento emíio lul o vlo de PI, fto ue ee não te sido eoução dos ovos ntigos Tmém, há efeêni os mesootâmios, em Bolezzi (996), ue tvés do uso d se segesiml elizm oimções de númeos iionis Com elção à ivilizção geg e seu ego os númeos ntuis, Bolezi (996) gument ue eles não onsidevm omo númeos s fções (ionis) e nem os iionis, oém tinhm onheimento d eistêni destes, ontonndo este onflito elo uso d Geometi eess estes númeos, o ue geou ise dos inomensuáveis Assim, es dos egíios e os ovos d mesootâmi utilizem fções e númeos deimis, nosso estudo most ue somente ós identifição ds gndezs inomensuáveis é ue sugem de um fom mis definitiv os óios númeos ionis (BROLEZZI, 996, 6) Assim, o onflito esultnte d ise dos inomensuáveis, ue m o sugimento dos númeos iionis, tmém define melhoes ontonos os númeos ionis É justmente este imimento ente os númeos ionis e os númeos iionis ue emite defini melho estes onjuntos e, edito, se imotnte ontiuição o ensino de Mtemáti A eesentção deiml dos númeos iionis é neessimente infinit e não eiódi Assim, úni vi de esso um númeo iionl é utilizção de oimções suessivs tvés de númeos ionis () Aind hoje, [isto] ee desonet todos os ue enfentm os iionis () Negndo o esttuto de númeos s zões ente gndezs ue onduzim os iionis, foi ossível os gegos vive timente o lgo de tis ojetos indesejáveis Há muito se se, no entnto, ue mioi solut, use totlidde dos númeos eis eistentes é onstituíd o númeos iionis (MACHADO, 99, -)
N us de indíios deste imimento nos doumentos ofiiis, nos PCNs, Bsil (997), ude veifi eves itções om elção os númeos iionis, uj odgem é sugeid el uestão dos inomensuáveis, em tiul d elção d digonl e o ldo do uddo (zão : ), el onstução geométi ds ízes suessivs não ets de,, 5, 7, tvés do uso do Teoem de Pitágos, ssim omo elo álulo oimdo tvés d eesentção deiml ionl dests ízes não-ets e do númeo PI, sugeindo lolizá-ls n et el Osevo ue este doumento não esent efeêni om elção o númeo de eule Em vist de tis esultdos, tensão ente os dois onjuntos lev neessimente uestão de omo dministá-l em fvo do ensino e d endizgem em mtemáti Aedito ue o tem ds Fções Contínus ossiilit ontiui o dminist este jogo A segui, seá elizd um eve eosição de esttégis ue odem se elizds oim um númeo iionl o um númeo ionl, tvés d fement ds Fções Contínus As Fções Contínus Definição: Um fção ontínu simles, om inteio e os demis temos ( i, i>) ntuis não nulos, é d fom: [ ;,,,,] Um fção ontínu simles ode te finitos ou infinitos temos As fções,,, são denominds onvegente, onvegente, onvegente e onvegente d fção ontínu simles [ ;,,,,, n ] ; = [ ; ]; = [ ;, ]; = [ ;,, ] A oimção de númeos iionis o ionis é um uestão de gnde imotâni em divess situções Um eemlo ue teiz este tio de situção é mostdo io, ue utilizemos eo um séie de oedimentos ltentivos Julgmos imotnte eloção de divess esttégis de esolução, onfome eomendm Eheveí e Pozo (998), ue emite eosição e o elionmento de váios tems mtemátios, onfigundo-se um ontetulizção int-mtemáti Situção-olem : Um finte de elógios eis oduzi dois tios de ods dentds n zão : É imtiável ue ests ods tenhm mis ue dentes Enonte lgums ossiiliddes os númeos de ods ue ião oim zão desejd, utilizndo s oimções dds elos onvegentes onseutivos de um fção ontínu simles [Adtdo de Snhes; Slomão ()] A Relção de tnsmissão, d oo (engengem mio) o inhão (engengem meno), ode se eesentd o, onde eesent o númeo de dentes d oo e y eesent o númeo de y dentes do inhão, om e y inteios ositivos A fção ontínu simles simente se ssemelh um uitetu de fções unitáis suessivs, eiindo et similidde om o uso de fções unitáis elos egíios A esolh d zão : omo viável didáti foi devido et fmiliidde d esol ási om este númeo iionl, emitindo tç um lelo históio om ise dos inomensuáveis e, tmém, ue ossiilit um ttmento numéio om eueno vlo de gndez
P eesent iz n fom de fções ontínus, imei solução ue enminhmos é o ue denomino oedimento itmétio Este onsiste em eseve, seüenilmente, os onvegentes, té se ote um fção ue esond uestão, ou sej, ue eseite ondição de ontono dd elo limite de dentes, engengem mio (oo),6 (º onvegent e),6,6 (º onvegent e),6 7,6 (º onvegent e),6,6 5, 7 (º onv),, 5 5,5 O º onvegente evel ue o nº de dentes d oo sei 7 e o do inhão, om oimção dd o: 7/=,66667, o ue ooion um oimção oet té odem ds entens, ue um de engengens usuis é stisftói Deteminndo-se o 5º e o 6º onvegente, tem-se: 9,5,5,6 99 5 7,6,6,658 Osev-se, nos seis imeios onvegentes, ue eiste um eetição do lgismo Seá ue tl onjetu é veddei? P veifiá-l, de modo mis gel, odemos eseve um segundo oedimento, de ntuez lgéi De,6, donde Aind, de ue ionliz do esult : Dí, Como, então : Assim: De: Assim, o sustituições suessivs: [;,,,,] [; ] Este lgoitmo eemlifi ue um númeo iionl tem eesentção infinit n fom de fção ontínu simles eiódi De modo gel, nem, todo númeo iionl tem eesentção eiódi Lgnge, em 77, demonstou ue somente os númeos iionis lgéios têm eesentção eiódi
5 Cedit-se ue o uso de fções ontínus emonte os séulos XVI, XVII e XVIII, oém há indíios ue outos ovos ntigos onheessem udimentos desse tem Segundo Boye (97), os imeios ssos emontm Pieto Antonio Ctldi (58-66), de Bolonh, ue eseveu lgums ízes udds n fom de fções ontínus Assim, um teeio oedimento, tmém de ntuez lgéi, eess o númeo n fom de um fção ontínu, onsiste em eseve eução olinomil Elevndo-se o uddo mos os ldos, desenvolvendo o º memo e odenndo os temos em no º memo, temse: ( ) O óimo sso é fto o º memo e isol, de modo ue: ( ) Deste modo, no denomindo do º memo está esente inógnit, ue novmente o se sustituíd, de modo eoente, esultndo eessão em fom de fção ontínu Como, então [;,,,] Um uto oedimento eess um fção ontínu é ddo o Bomelli (sé XVI) Consiste n eessão: N A demonstção de tl eessão é foneid io N, tem se : N N ( N )( N ) ( N ) N ( N )( N ) N Ms: N E lindo-se suessivmente o N N N N esultdo im: N N N Alindo-se tl oedimento eesentção de omo fção ontínu simles, tem-se: [;,,,] [; ] Em 57, Bomelli utilizou seguinte oimção eesent iz udd de Considendo = e =, de: =, tem se : = + 6 + 6 + 6 +
6 Em 77, Eule eseve omo um fção ontínu P esse uinto oedimento, iniilmente onsideemos, de modo gel, ddo um iionl, odemos esevê-lo omo:, onde Tmém:, onde Assim: P o álulo de tem-se: e Aind : Dí: ( ) e ( ) Aind : Result: [; ] No so tiul de, ue Eule oôs, ode-se eseve: e Aind : Dí: ( ) e ( ) ( ) e ( ) ( ) e ( ) ( ) e ( ) 5 5 6 ( ) 6 5 6 e ( ) 6 6 6 Assim: [,66] [, 6 ] 6 Vle osev ue s ténis delineds vloizm o uso d oeção de ionlizção omo oedimento lgéio de esolução, ue seá etomdo somente osteiomente, no estudo de limites
7 Um mo ue utiliz muito ds oimções de númeos iionis o ionis é stonomi Um olem inteessnte foi desito no tigo de Vell (6) e está esentdo segui Situção : No finl de gosto de, tivemos melho osião osev o lnet Mte de todo o séulo XXI Mte esteve em oosição o Sol em 8 de gosto e, no di nteio, n su meno distâni à Te dos últimos 6 nos! Seu ilho eeionl sueou, ness osião, o de tods s estels do éu notuno Ess oosição eetiu, em ondições muito mis fvoáveis, oosição de de gosto de 9, undo Mte esteve 55,78 milhões de uilômetos d Te Pfsendo Vell (6), entende o ue signifi oosição, n Astonomi, figu ilust uto ossíveis osições ente o Sol, Te e Mte As óits dos lnets fom oimds o um iunfeêni e onsideds olnes ( eentiidde d mioi dos lnets do Sistem Sol são óims unidde, om eeção de Meúio e o tulmente eido Plutão) A figu evel ue n oosição ooe o linhmento do Sol, d Te e de Mte, ness odem, e, ness osião, enont-se em su meno distâni em elção Te Figu : As uto osições eltivs nônis dos lnets Te e Mte (Vell, 6) P entendemos elção ds fções ontínus om ess situção, iniilmente emeto Vell (6), ue eli o eíodo sinódio (S), do gego synodikós, omo o intevlo de temo deoido ente dus onfiguções iguis onseutivs, de modo ue um sto (ou ojeto) eee no mesmo lol, em elção o sto d óit mis inten Este eíodo é denomindo evolução ente do sto (no so Mte), em elção o sto de efeêni (no so Te) Em onttid, o eíodo sidel é o intevlo de temo ue um ojeto (sto, lnet) eoe um evolução (ou óit) omlet em tono de outo, tendo omo efeeni s estels fis É o eíodo el de tnslção de um sto, eltivmente um estel fi, omo o Sol Deste modo, o eíodo sinódio difee do sidel elo fto de hve o movimento de tnslção do sto em elção estel fi Po eemlo, no so do sistem Te/Lu, Lu tem um eíodo sidel de 7, dis e um eíodo sinódio de 9,5 dis O eíodo sinódio (mês lun) oesonde às osevções ds fses d Lu, ue dem oigem os lendáios lunes e luni-soles De modo mis genelizdo, onsidee dois lnets, A e B, sendo ue o lnet B está em oosição em elção um osevdo osiiondo no lnet A O lnet A ossui mio veloidde oitl, ou sej, move-se mis áido o est vijndo num uv de meno vlo de io oitl, de modo ossui um eíodo de evolução meno (figu ) Consideemos osição iniil, onde os lnets A e B enontm-se em oosição em elção o Sol (osições A e B ) P efeito de mio omeensão, onsidendo-se imei evolução do lnet A em tono do Sol (onde A =A ), o lnet B teá um osição genéi B, distint de A Continundo o movimento oitl, o lnet A teá um nov oosição om o lnet B somente n osição
8 Figu : Oosição ente dois lnets A e B ( OLIVEIRA FILHO; SARAIVA, ) P otenção d elção ente o eíodo sidel dos lnets (P i : eíodo sidel do lnet inteno e P e : eíodo sidel do lnet eteno) e o eíodo sinódio (S), ue é o mesmo os dois lnets, 6º 6º onsidee ue em um di o lnet inteio move-se e o lnet eteio eoe Assim, ós P i Pe 6º 6º um di, o lnet inteio teá gnho um ângulo de, em elção o lnet eteio Po P P definição, esse gnho é euivlente o eíodo sinódio Assim: eessão foi desenvolvid o Coénio) No so tiul do sistem Te/Mte, se-se ue Mte lev e de 78 dis nse undo o Sol se õe dus vezes seguids, ou sej, est em oosição om Te P efeito de visulizção, há um eelente simulção d oosição do sistem Mte/Te no site htt://stoifufgs//nodehtm P omov-se o vlo deste eíodo, levmos em onsideção ue Te esent eíodo sidel P T =65d 6h 9m s ou oimdmente 65,566 dis e Mte P M = 686,97985 dis O eíodo sinódio de Mte seá luldo tvés d eessão: - - S 779,96 96 dis S PT PM 65,566 686,97985 Entetnto, osevou-se ue dus oosições onseutivs não ooem nos mesmos ontos de sus óits No so do sistem Te/Mte, s oosições ooem em nos, 5 nos, nos, 7 nos, dente outs Então, suge um uestão: Como detemin ul dests oosições o lnet Mte se enont em su meno distâni em elção o Sol, omo ooid em de? Considendo-se ue o eíodo sidel d Te P T = 65,56 6 dis é o intevlo de temo ue Te eton o mesmo onto de su óit e Mte o eíodo sinódio é S= 779,96 96 dis, então, ddo ue ooeu um oosição, s óims oosições nos mesmos ontos de sus óits ooeão num intevlo de temo ue sej um múltilo omum de P T e S Assim, o olem onsiste em detemin dois númeos inteios m e n ue stisfçm seguinte elção: ms = np T m 779,96 96 = n65,56 6 n / m = 779,96 96 / 65,56 6 =, 5 6 P ote estes inteios m e n, fz-se uso do método ds fções ontínus,56,56 (º onvegent e) i e 6º S 6º P i 6º P 5,56,56 (º onvegent e) 7,978 7 7 e S P i P e (Est
9,56 (º onvegent e) 7,978 7,978 5 7 7,5668 Assim, fção ontínu ode se esit o: n [;7,,,,,,] m 7 7 Estes esultdos odem se sintetizdos n tel A n / m Vlo Difeenç /, -,5 6 5 / 7, 857 +,7 55 997 / 5, -, 977 8 7 /,6 6 66 +, 5 9 5 79 / 7,5 5 5 -, 76 6 8 /,5 8 6 +, 7 Tel : Divess elções (eduzids) ente s oosições Mte/Te (Vel, 6) Dente s divess oimções, estão evidenids s eiodiiddes itds ntes, é zoável se onside oimção: S / T = n / m = 79 / 7 Considendo-se ue o lendáio gegoino não utiliz o eíodo sidel (de tnslção) d Te, ms o eíodo do etono ds estções do no, ue tem o vlo médio de 65,5 dis o no, o eíodo de setent e nove nos oesonde : 79 65,5 dis = 885,75 dis P os 7 eíodos sinódios de Mte tem-se: 7 779,96 96 dis = 8857,6555 dis, ooe um euen difeenç de e de,9 dis do nosso lendáio Com estes ddos ode-se eve óim oosição: gosto de 8 O Númeo de Ouo A fção ontínu simles mis simles (e el!) de se eseve é dd o [;,,,] 5 Assim, o númeo,68, eesent o onheido númeo de ouo Ao eseve os onvegentes tem-se:,689887989 (º onvegent),68,68 (º onvegent ),68 e e 5 (º onv),68,68,68,68 8 (º onv) 5,68,68,688 Estes vloes eessm zão ente dois temos onseutivos d Seüêni de Fioni, dd o (,,,, 5, 8,, ) 5
O Algoitmo de Eulides Histoimente, Andde&Bili (5) essltm ue, emo os gegos onheessem o lgoitmo de Eulides, não há evidênis ue eles o utilizssem onstui fções ontínus Este indíio não dei de se onstitui em um oedimento etemmente átio e engenhoso, ue mis um vez evel imotâni de tl lgoitmo, ue gelmente não é oddo no ensino ásio Um númeo ionl tem eesentção finit em fção ontínu Sejm e númeos ntuis Eulides oõe o seguinte lgoitmo (ve tel ) Divisão uoiente esto : : : Tel : Os temos do oesso d divisão A esit oesondente oeção de divisão é dd n tel : = + ( < < ) = + ( < < ) = + ( < < ) = + ( < < ) s- = s- s- + s- ( < s- < s- ) s- s- s- s- s- s- = s s- s s- s- Tel : Algoitmo de Eulides A tel most ue d fção imói (dd no º memo) é igul som de um oefiiente inteio ( i ) e um fção ói, est últim desenvolvid em d et seguinte, n fom inves (º onvegente) (º onvegente) (º onvegente) Assim:,],, ; [ O Algoitmo de Eulides ode se utilizdo se detemin o md ente dois númeos inteios, o md ente dois olinômios e se detemin s soluções de um Eução Diofntin Line, ente outs lições
Situção : O Clendáio Gegoino: Um inível oinidêni! Beskin (987) elem um velho mnul de osmogfi onde há itção Lmentvelmente, o no não é igul um númeo inteio de dis, fto ue susit um inteessnte olem mtemátio, ligdo s fções ontínus O no tóio, uele ue m s estções, tem dução médi de no = 65 dis 5 hos 8 minutos e 6 segundos = 65, 99 dis O lendáio julino, esteleido em 5 C, onside oimção no = 65 dis 6 hos = 65, 5 dis, ou sej, tinh um difeenç de e de minutos Est difeenç de minutos, em em nos, usv um desvio de: min s no 67 s, min min s 8h min s nos Est oimção usos um olem: s estções eis hvim etoedido teze dis em elção o lendáio Julino Em 58, o Gegóio III onvoou mtemátios e stônomos esolve este olem Desde 5 C té 58, se ssm 67 nos, sendo o desvio umuldo desde então: 8h min s nos 96598 s 876 min 8 s h 6 min 8s dis 6h6min 8s 67 nos P tl, iniiou-se em se lul o desvio ooiondo um di Se em no o desvio é de min s (67 s), então di = h = min = 86 s ooion um desvio ddo o: 86 s: 67 s =8,9 nos Assim, ooe um desvio de 8 nos d di, ou ind, de e de dis em d nos Este enminhmento ooionou um euen lteção n intelção de tês nos de 65 e um no de 66 dis do lendáio julino P eti estes tês dis, eg foi intoduzi o no isseto, ue e uele ddo el seguinte eg: os nos múltilos de deiim de se issetos, eeto elos múltilos de Enunto dução médi do no Julino e de 65 dis 6h, om etid de tês dis do 97 lendáio gegoino, o vlo ssou se 65 dis 65,5 dis 65 dis 5 hos 9 min s O ue ind us um difeenç de e de 6 segundos do vlo el A dução médi de no = 65 dis 5 hos 8 min 6 s = 65, 99 dis 5 h 8 min 6 s 96 6 A fção di 86 i 7 5 6 6 8 7 6 8 7 6 A fção ontínu oesondente no = 65 dis 5 hos 8 min 6 s= [65;, 7,,, 5, 6] O º onvegente é 65 dis O º onvegente é ddo o: 65 dis, ói do lendáio Julino 7 O º onvegente é ddo o: 65 65 dis, ou sej, 7 nos issetos d 9 nos 9 7 8 O º onvegente é ddo o: 65 65 dis, ou sej, 8 nos issetos d nos 7 O 5º onvegente é ddo o: 65 65 dis, nos issetos d 8 nos 8 7
nos issetos 8 nos do lendáio nos do lendáio 96,875 97 nos issetos Segundo Beskin (987), isto é um inível oinidêni, levndo-se em onsideção ue n éo do Gegoino III s fções ontínus não e um ssunto esteleido Consideções Finis As onsideções teids neste teto evelm ossiiliddes de odgem ds Fções Contínus Simles no Ensino Básio, onsidendo- omo um ootunidde de tulizção do uíulo de Mtemáti Ptimos do essuosto ue etos tems () devem figu ente ueles e dos uis todo iddão deve te sido infomdo dunte o eíodo de esol oigtói e ue, no entnto, té eentemente se onsidevm [somente] níveis do ensino sueio (SANTALÓ, 996, 7) Aind, este tóio ossiilit tiulção ente os onjuntos dos Númeos Rionis e o onjunto dos Númeos Iionis A ói ntuez do tem emite eslee e mli o óio oneito de fção, ssim omo omove um mio entendimento envolvendo ntuez dos númeos iionis, num odgem ue evel diotomi e elegnte inteção ente ntuez diset e finit, em onttid d ntuez ontínu e infinit dos númeos eis Alim-se ests onsideções ootunidde oiid el intodução de um tem ue tiul divesos oneitos mtemátis, mlindo-se elção onstituíd intenmente mtemáti, emitindo onstução de um ede de signifidos, onfome Mhdo (995) Em elção às ontiuições de odem didáti, o se elizem oimções ds ízes não-ets, ue eesentm númeos iionis, o euso à intodução ds fções ontínus omo tem medido ossiilit eloção de divess esttégis de odgem n esolução de olems envolvendo fções ontínus Deste modo, tl oedimento emite eloção d odgem itméti e tiulção om o uso d esttégi lgéi, fvoeendo o desenvolvimento ds ometênis essois dos lunos Este teto se ene o ui E ind há mis fl ds fções ontínus, eseilmente se efeindo o númeo PI e o númeo de Eule e inilmente se ssoido uestão de oimções e o oneito de vntgem d oimção Fi óim! Refeênis Biliogáfis ANDRADE, E X L; BRACCIALI, C F Fções Contínus: Poieddes e Alições São Clos, SMABC; São Pulo: Edito Plêide, 5 v BESKIN, N M Fções Contínus Tdução de: Pedo Lim Edito Mi, Mosou, 987 BOYER, C B Histói d Mtemáti 9 ed São Pulo: Edito Edgd Blühe, 97 88 BROLEZZI, A C A Ate de Cont: Um Intodução o Estudo do Vlo Didátio d Histói d Mtemáti Dissetção de Mestdo: São Pulo, Fuldde de Edução d USP, 99 A Tensão ente o Diseto e Contínuo n Histói d Mtemáti e no Ensino d Mtemáti Tese de doutodo São Pulo, Fuldde de Edução d USP, 996 CHIQUETTO, Mos Beve Histói d Medid do Temo São Pulo: Siione, 996 CUNHA, M O Soe idéi de lgoitmo São Pulo: SEMA/USP, 7 Disonível em: <wwweduedeog//7-6--soe_o_oneito_de_lgoitmodo >
ECHEVERRÍA, M P P; POZO, J I Aende Resolve Polems e Resolve Polems Aende In: POZO, J I (og) A Solução de olems: Aende esolve, esolve ende Poto Alege: AtMed, 998 C - ISBN 85-77-56-X MACHADO, N J A Univesidde e ognizção do onheimento: ede, o táito, dádiv São Pulo: Estudos Avnçdos, v 5, n, -, Eistemologi e Didáti: As Coneções de onheimento e inteligêni e áti doente São Pulo: Edito Cotez, 995 OLIVEIRA FILHO, Kele de Souz; SARAIVA, Mi de Fátim Olivei Peíodo Sinódio e Sidel dos Plnets IAG/USP, Disonível em: < htt://stoifufgs//nodehtm> Aesso em set 9 SANCHES, Colin Fenndez Molin; SALOMÃO, Luiz Aleto Dun A Ensão Do Númeo e em Fções Contínus Uelândi: FAMAT em Revist, n, dez Disonível em: <htt://wwwfmtufu/evist/evistdez/tigos/atigocolinslomodf> Aesso em 5 nov 7 SANTALÓ, L Mtemáti não-mtemátios In: PARRA, C; SAIZ, I Didáti d Mtemáti: Refleões Psioedgógis Tdução de: Jun Auñ Lloens Poto Alege: AtMed, 996 C - SÃO PAULO Poost Cuiul do Estdo de São Pulo: Mtemáti/ Ensino Fundmentl (ilo II) e Médio São Pulo: SEE, 8 VARELLA, Iineu Gomes Peiodiiddes ns Oosições de Mte Revist Astonomi e Astofísi, n, dez 6