Uma construção de códigos BCH

Uma construção de códgos BCH Antono Aparecdo de Andrade, Tarq Shah e Attq Qamar Resumo Um códgo BCH C (respectvamente, um códgo BCH C ) de comprmento n sobre o anel local Z p k (respectvamente, sobre o corpo Z p ) é um deal no anel Z p k [X] Z (respectvamente, no anel p[x] ), que é gerado por um polnômo mônco que dvde X n 1. Shankar [1] mostrou que as raízes de X n 1 são as undades do anel de Galos GR(p k, s) (respectvamente, corpo de Galos GF (p, s)) que é uma extensão do anel Z p k (respectvamente, do corpo Z p ), onde s é o grau de um polnômo rredutível f(x) Z p k[x]. Neste estudo, assummos que para s = b, onde b é um prmo e é um ntero não negatvo tal que 0 t, exstem extensões de anés de Galos correspondentes GR(p k, s ) (respectvamente, extensões do corpo de Galos GF (p, s )) do anel Z p k (respectvamente, do corpo Z p ). Assm, s = b para = 2 ou s = b para > 2. De modo análogo a [1], neste trabalho, apresentamos uma seqüênca de códgos BCH C 0, C 1,, C t 1 C sobre Z p k de comprmentos n 0, n 1,, n t 1, n t, e uma seqüênca de códgos BCH C 0, C 1,, C t 1, C sobre Z p de comprmentos n 0, n 1,, n t 1, n t, onde cada n dvde p s 1. Palavras Chave: Anel de Galos, corpo de Galos, códgo BCH. Introdução É bem conhecdo que as estruturas algébrcas têm valosas aplcações na teora de códgos corretores de erros. Blake [2] obteve códgos cíclcos sobre Z m, onde m é da forma l =1 p, e em [3] obteve as matrzes de verfcação de pardade para esses códgos. Interlando e Palazzo [4] obteve a estrutura de deas prncpas no anel Z m[x], onde m, n são nteros postvos. Spegel [5], obteve códgos cíclcos sobre, que por sua vez são dervados Z m, onde m = l =1 pk, a partr de códgos sobre Z p k de códgos sobre o corpo Z p, para = 1, 2,, l. Posterormente, Spegel [6] obteve códgos BCH sobre o anel Z p k a partr de códgos BCH sobre corpos p-ádcos e suas classes resduas. Um códgo BCH C (respectvamente, um códgo BCH C ) de comprmento n sobre um anel local Z p k (respectvamente, sobre o corpo Z p ), onde p e n são prmos entre s, é um deal no anel Z p k [X] (respectvamente, no anel Z p[x] por um polnômo mônco que dvde X n 1 no anel Z p k [X] ), que é gerado (respectvamente, no Os autores agradecem o apoo da Fapesp 2007/56052-8 e 2011/03441-2 e também da Propg - Unesp. Departamento de Matemátca, Iblce - Unesp, São José do Ro Preto - SP, Brasl, andrade@blce.unesp.br Departamento de Matemátca, Unversdade de Quad--Azam, Islamabad, Paqustão, starqshah@gmal.com, qamar.maths@gmal.com. 1

Z anel p[x] ). Shankar [1] mostrou que as raízes de Xn 1 são as undades do anel de Galos R = GR(p k, s) (respectvamente, do corpo de Galos GF (p, s) = K) que é uma extensão do anel Z p k (respectvamente, do corpo Z p ), onde s é o grau de um polnômo rredutível f(x) Z p k[x]. O conjunto R denota o grupo multplcatvo das undades de R e K o grupo multplcatvo do corpo K. Shankar [1] mostrou que R possu um e apenas um subgrupo cíclco G n de ordem n relatvamente prmo com p. Além dsso, se r p (f) = f gera um subgrupo cíclco de ordem n em K, então f gera um subgrupo cíclco de ordem nd em R, onde d é um número ntero maor ou gual a 1 e f d gera o subgrupo cíclco G n em R [1, Lema 1]. Alem dsso, Shankar apresentou um algortmo para a construção de códgos BCH com símbolos no anel local Z p k [1]. O presente trabalho estende a prmera parte de [1] de tal manera que para s = b t, onde b é um prmo e t é um ntero postvo, exstem extensões de anés de Galos R = GR(p k, s ), onde 0 t e s = b (respectvamente, extensões de corpos de Galos K = GF (p, s ), onde 0 t e s = b ), do anel Z p k (respectvamente, do corpo Z p ). Para cada, onde 0 t, segue que R possu um e apenas um subgrupo cíclco G n de ordem n, que dvde p s 1 e relatvamente prmo com p [1, Teorema 2]. Além dsso, se f = r p (f ) gera um subgrupo cíclco de ordem n em K, então f gera um subgrupo cíclco de ordem n d em R, onde d é um número ntero maor ou gual a 1, e (f ) d gera um subgrupo cíclco G n em R para cada [1, Lema 1]. Assm, nesse trabalho, estendemos o algortmo dado por Shankar [1, p. 482] para a construção de um códgo BCH com símbolos em um anel local Z p k para cada membro de uma cadea de anés de Galos e corpos de Galos, respectvamente. Consequentemente, exstem duas stuações onde s = b para = 2 ou s = b para > 2. Assm, de modo semelhante a [1] obtemos uma seqüênca de códgos BCH C 0, C 1,, C t 1 C sobre o anel Z p k com comprmentos n 0, n 1,, n t 1, n t, e uma seqüênca de códgos BCH C 0, C 1,, C t 1, C sobre o corpo Z p com comprmentos n 0, n 1,, n t 1, n t. 1 Cadeas de códgos BCH Seja o anel local fnto Z p k, onde p é um prmo e k um ntero postvo. Seja f(x) Z p k[x] um polnômo rredutível com grau s = b t, onde b é um prmo e t é um ntero não negatvo. Assm R = Z p k [X] (f(x)) = GR(pk, s) é a extensão de Galos do anel Z p k e K = Zp[X] (f(x)) = GF (p, s) = GF (ps ) é a extensão de Galos de Z p. O próxmo lema é muto mportante para a construção de uma cadea de anés de Galos. Lema 1 [7, Lema XVI.7] Um subanel de GR(p k, s) é um anel de Galos da forma GR(p k, s ), onde s dvde s. Por outro lado, se s dvde s, então GR(p k, s) possu uma cópa de GR(p k, s ). Os elementos 1, b, b 2,, b t 1, b t são os úncos dvsores de s e desse modo tomamos s 0 = 1, s 1 = b, s 2 = b 2,, s t = b t = s. Pelo Lema 1 exstem polnômos rredutíves f 0 (X), f 1 (X),, f t (X) com graus s 0, s 1,, s t, respectvamente, de tal forma que podemos construr anés de Galos R = Z p k [X] (f (X)) = GR(pk, s ), onde 0 t. Como s dvde s +1 para 0 t, segue, pelo Lema 1, que exste uma cadea de anés de Galos R 0 R 1 R 2 R t 1 R. Analogamente, K 0 K 1 K 2 K t 1 K é uma cadea de respectvos corpos de Galos, onde K = Zp[X] (f (X)) = GF (p, s ) = GF (p s ), com 0 t. Para cada, onde 0 t, 2

seja R o grupo das undades de R e K os grupos multplcatvos dos corpos K. Nosso nteresse é no subgrupo cíclco G n de R para cada, onde 0 t, cujos elementos são as raízes do polnômo X n 1 para algum ntero postvo n. Teorema 2 [7, Lema XVI.7] Seja Z p k = R 0 R 1 R 2 R t 1 R uma sequênca de anés de Galos com correspondente cadea Z p = K 0 K 1 K 2 K t 1 K de corpos de Galos. Para cada, onde 0 t, se f (X) é um polnômo regular em R [X] e que r p (f (X)) possu uma raz smples ā em K, então f (X) possu uma e apenas uma raz a tal que r p (a ) = ā. Os dos teoremas seguntes servem de base para a construção do subgrupos cíclcos G n, para cada tal que 0 t, que proporconam um método para gerar esses subgrupos cíclcos. Teorema 3 [1, Teorema 3] Seja Z p k = R 0 R 1 R 2 R t 1 R uma cadea de anés de Galos com correspondente cadea Z p = K 0 K 1 K 2 K t 1 K de corpos de Galos. Para cada, onde 0 t, seja ζ um gerador da cadea de subgrupos cíclcos de ordem n em R. Assm, o polnômo Xn 1 pode ser fatorado como X n 1 = (X ζ )(X (ζ ) 2 ) (X (ζ ) n ) se, e somente se, ζ possu ordem n em K. Um polnômo a(x) que é um dvsor de X n 1, onde 0 t, pode ser fatorado de modo únco sobre K. Decorre do Teorema 3 que a fatoração de a(x) sobre G n também é únca, conforme o segunte coroláro. Coroláro 4 [1, Corollary 1] Seja Z p k = R 0 R 1 R 2 R t 1 R uma cadea de anés de Galos com correspondente cadea Z p = K 0 K 1 K 2 K t 1 K de corpos de Galos. Para cada, onde 0 t, seja a (X) Z p k[x] tal que dvde X n 1 e que pode ser fatorado sobre o subgrupo cíclco G n como a (x) = (X (ζ ) e 1 )(X (ζ ) e 2 ) (X (ζ ) e l ) se, e somente se, ā (X) pode ser fatorado como ā (X) = (X ( ζ ) e 1 )(X ( ζ ) e 2 ) (X ( ζ ) e l ) sobre os corpos K. Teorema 5 [1, Teorema 4] Seja Z p k = R 0 R 1 R 2 R t 1 R uma cadea de anés de Galos com correspondente cadea Z p = K 0 K 1 K 2 K t 1 K de corpos de Galos. Para cada, onde 0 t, se barζ gera um subgrupo cíclco de ordem n em K, então ζ gera um subgrupo cclco de ordem n d em R, onde cada d é um número ntero maor ou gual a 1 e (ζ ) d gera o subgrupo cíclco G n de R. Teorema 6 [7, Lema XVI.7] Para cada, onde 0 t, se Z p k = R 0 R 1 R 2 R t 1 R é uma cadea de anés de Galos com correspondente cadea Z p = K 0 K 1 K 2 K t 1 K de corpos de Galos, então exste apenas uma cadea G n0 G n1 G n2 G nt de subgrupos cíclcos maxmas de R0 R 2 R 3 R t, onde a ordem de cada G n é p s 1, para 0 t, que é relatvamente prma com p. Exemplo 1 Como f(x) = X 8 + X 4 + X 3 + X 2 + 1 Z 8 [X] é um polnômo rredutível com grau s = 2 3, segue que f(x) é rredutível sobre Z 2 3 e Z 2. Portanto R = Z 2 3 [X] (f(x)) = GR(23, 8) e K = Z 2[X] (f(x)) = GF (2, 8) = GF (28 ) com correspondentes anés e corpos de Galos, respectvamente. Os elementos 1, 2, 2 2, 2 3 são os úncos dvsores de 8 e sejam s 1 = 1, s 2 = 2, s 3 = 2 2, s 4 = 2 3. Assm, exstem polnômos rredutíves f 2 (X) = X 2 X + 1, f 3 (X) = X 4 + X + 1, f 4 (X) = f(x) em Z 8 [X] com graus s 2, s 3, s 4, respectvamente, de modo que podemos consttur os anés de 3

Galos R = Z 2 3 [X] (f (X)) = GR(23, s ), onde 1 4. Como s dvde s +1 para todo 1 4, segue que R 1 R 2 R 3 R. De modo análogo, K = Z 2[X] (f (X)) = GF (2, s ) = GF (2 s ), onde 1 4, ou seja, K 1 = GF (2, 1) = Z 2, K 2 = GF (2, 2), K 3 = GF (2, 4) e K = GF (2, 8) com K 1 K 2 K 3 K. Seja {X} a classe de resíduos de X em R. Seja ζ = {X} tal que ζ = {X} em K. Assm, ζ é uma raz prmtva em K e ζ tem ordem gual a 4 255 = 1020 em R. Logo, ζ 4 é um elemento prmtvo de G 255, e se α = ζ 4, então G 255 = {1, α, α 2,, α 255 }. Agora, para o subgrupo cíclco G 15 de R3, como 15 dvde 255, tomamos o elemento α17 de G 255 que gera o subgrupo cíclco G 15 de R. Se calcularmos ζ 68 em R3, então a ordem de ζ 68 é também 15. Consequentemente, α 17 = ζ 68 gera um subgrupo cclco de ordem 15, ou seja, G 15 = {1, α 17, α 34, α 51, α 68, α 85, α 102, α 119, α 136, α 153, α 170, α 187, α 204, α 221, α 238 }, onde α 17 é um elemento prmtvo em K3. Agora, como a ordem de α 17 é 15 e 15 é dvsível por 3, segue que o próxmo subgrupo cíclco é gerado por (α 17 ) 5 = α 85, sto é, G 2 = {1, α 85, α 170 } é um subgrupo de R2. O próxmo subgrupo cíclco de R é G 1 = {1}. Deste modo, obtemos uma cadea de subgrupos cíclcos G 1 G 3 G 15 G 255 sobre R1 R 2 R 3 R. Seja G n o subgrupo cíclco maxmal de ordem n de R para cada, onde 0 t. Consderamos que todos os elementos de G n são as raízes de X n 1. Note que mdc(n, p) = 1 = mdc(n, p), para cada tal que 0 t. Agora, para cada tal que 0 t, para a construção de um códgo BCH sobre o anel R, seja g (X) o polnômo gerador. Para cada tal que 0 t, seja ζ o elemento prmtvo de G n no anel R. Assm, ζ é um elemento prmtvo de K ζ. Seja = R p (ζ ) o resto não negatvo quando ζ é dvddo por p. Agora, escolha ζ e j, onde 1 j n, como as raízes do polnômo g (X) do subgrupo cíclco G n. Assm, g (X) dvde X n 1. Seja M e j (X), onde 1 j n k, o polnómo mínmal de. Assm, a construção de g (X) é dada por ζ e j g (X) = mmc{m e j (X) : 1 j n k}. Desse modo, g (X) é um polnômo gerador de um códgo BCH C sobre R. Uma vez que cada g (X) possu raízes no subgrupo cíclco, segue que g (X) deve dvdr g +1 (X). Consequentemente, exstem as duas stuações s = b para = 2 ou s = b para > 2. Assm, de modo análogo a [1] obtemos uma seqüênca de códgos BCH C 0, C 1,, C t 1, C sobre Z p k com comprmentos n 0, n 1,, n t 1, n t (respectvamente, uma seqüênca de códgos BCH C 0, C 1,, C t 1, C sobre Z p com comprmentos n 0, n 1,, n t 1, n t ). Assm, ḡ (X) = r p (g (X)) = mmc{m e j (X) : 1 j n k} gera um códgo BCH C com símbolos em Z p, onde m e j (X), para 1 j nk, são os polnômos mínmas de r p (ζ e j ). Teorema 7 Seja Z p k = R 0 R 1 R 2 R t 1 R uma cadea de anés de Galos com correspondente cadea Z p = K 0 K 1 K 2 K t 1 K de corpos de Galos. Para cada, onde 0 t, seja g (X) um polnômo gerador de um códgo cíclco de comprmento n com símbolos em Z p k. Sejam α e 1, α e 2, α e 3 α e n k as raízes de g (X) no subgrupo cíclco G n, onde α tem ordem n. Assm, a dstânca mínma do códgo é maor do que o maor número de nteros consecutvos módulo n no conjunto F = {e 1, e 2, e 3,, e }. n k Demonstração: Seja a cadea de códgos gerados por g (X) com símbolos em Z p k, denotados por C, e seja a cadea de códgos gerados por r p (g (X)) com símbolos em Z p, dentotados por C. Assm, podemos ver que todo v (X) de C, r p (v (X)) pertence C. Seja d o número de nteros consecutvos modulo n nos cojuntos 4

F. Assummos que a dstânca mínma de C é menor que d + 1. Seja r (X) em C tal que as n -uplas r tem peso de Hammng menor que d + 1. Assm, se r p (r (X)) = r (X), então o peso de Hammng do vetor r é menor que d + 1. Mas, r p (g (X)) possu como raízes d potêncas consecutvas de r p (α ), e portanto pelo lmtante BCH dos códgos C, segue que possu dstânca mínma no mínmo d + 1. Portanto, a dstânca mínma de C deve ser no mínmo d + 1. 2 Algortmo De modo análogo a [1] apresentamos um algortmo para a construção de códgos BCH correspondentes à cadea R 0 R 2 R 3 R t R de anés de Galos sobre Z p k. 1. Escolha polnômos rredutíves f (X) sobre Z p k de grau b para cada, onde 0 t, que são também rredutíves sobre GF (p) e forme a cadea de anés de Galos Z p k = GR(p k, 1) GR(p k, b) GR(p k, b t 1 ) GR(p k, s) = R 0 R 1 R 2 R t 1 R e sua correspondente cadea de corpos de Galos Z p = GR(p, 1) GR(p, b) GR(p, b t 1 ) GR(p, s) = K 0 K 1 K 2 K t 1 K, onde cada GR(p, b t ) GF (p bt ). 2. Para cada, onde 0 t, seja ζ = r p (ζ ) um elemento prmtvo em K. Se ζ possu ordem d (p s 1) em R para alguns nteros d, então (ζ ) d gera G p s 1. Suponha, para cada onde 0 t, que α é um elemento de G p s 1. 3. Para cada onde 0 t, se α e 1, α e 2, α e 3 α e n k são as raízes de G (X), então encontre M e j (X), para j = 1, 2, 3,, n k, e os g (X) são dados por g (X) = mmc{m e j (X) : 1 j n k}, onde α e j = (ζ ) d e j. O comprmento de cada códgo na cadea é o mínmo múltplo comum das ordens de α e 1, α e 2, α e 3 α e n k, e à dstânca mínma do códgo é maor do que o maor número de nteros consecutvos no conjunto F = {e 1, e 2, e 3,, e nk } para cada, onde 0 t. Exemplo 2 Incamos pela construção de uma cadea de códgos sobre o anel fnto Z 4 de comprmentos 1, 3 e 15, respectvamente. Seja f(x) = X 4 + X + 1 Z 4 [X] um polnômo rredutível de grau s = 2 2. Assm, f(x) é rredutível sobre Z 2 2 e sobre Z 2. Seja R = Z 2 2 [X] (f(x)) = GR(22, 4) o anel de Galos e K = Z 2[X] (f(x)) = GF (2, 4) = GF (2 4 ) o corpo de Galos correspondente. Os elementos 1, 2 e 2 2 são os úncos dvsores de 4 e, portanto, sejam s 1 = 1, s 2 = 2, s 3 = 2 2. Logo, exstem polnômos rredutíves f 1 (X), f 2 (X) = X 2 X + 1 and f 3 (X) = f(x) em Z 4 [X] com graus s 1, s 2 e s 3, respectvamente, de tal forma que podemos formar os anés de Galos R = Z 2 2 [X] (f (X)) = GR(22, s ), onde 1 3. Como s dvde s +1 para todo 1 3, segue que R 1 R 2 R. Novamente, pelo mesmo argumento, segue que K = Z 2[X] (f (X)) = GF (2, s ) = GF (2 s ), onde 1 3. Logo, K 1 = GF (2, 1) = Z 2, K 2 = GF (2, 2) e K = GF (2, 4) com K 1 K 2 K. Agora, seja {X} a classe resdual de X em R. Seja u em R tal que u = {X} está em K. Assm, u + 1 é um elemento prmtvo em K e u + 11 possu ordem 30 em R. Assm, (u + 1) 2 = u 2 + 2u + 1 é 5

um um elemento prmtvo de G 15 e α = (u + 1) 2. Logo, G 15 = {1, α, α 2,, α 14 } e os elementos de G 15 são dados por α = u 2 + 2u + 1 α 2 = 2u 2 + 3u α 3 = 3u 3 + u + 2 α 4 = u 2 α 5 = 2u 3 + u 2 + 3u + 3 α 6 = 3u 3 + 2u + 2 α 7 = u 3 + 3u 2 + u α 8 = 3u + 3 α 9 = 3u 3 + u 2 + u + 3 α 10 = 2u 3 + 3u 2 + u α 11 = u 3 + 3u 2 + 1 α 12 = 3u 3 + 3u 2 α 13 = u 3 + 3 α 14 = u 3 + 2u 2 + 3u + 1. Agora, para o subgrupo cíclco G 3 de R2, sabemos que 3 dvde 15 e o resto é 5. Desse modo, seja o elemento α 5 de G 15 o gerador do subgrupo cíclco G 3 de R2. Como α 5 = (u + 1) 10, segue que o valor de (u + 1) 10 em R2 é u + 3. Assm, α 5 = (u + 1) 10 = u + 3. A ordem de 3 também é 3. Logo, G 3 = {1, α 5, α 10 } com u + 3 sendo prmtvo em K 2. Agora, a ordem de α5 é 3 e 3 é dvsível por 1. Assm, o próxmo subgrupo cíclco é gerado por α 5 3 = 1, e portanto, G 1 = {1}. Logo, obtemos uma cadea de subgrupos cíclcos maxmas G 1 G 3 G 15 na cadea R1 R 2 R. Sejam α = (u + 1) 2, ζ 2 = (u + 1) 10 e ζ 1 = (u + 1) 30 = 1 tal que α = u + 1, ζ 2 = (u + 1) 10 e ζ 1 = (u + 1) 30 = 1. Assm, α, ζ 2 e ζ 1 são elementos prmtvos de G 15, G 3 e G 1 tal que α, ζ 2 e ζ 1 são elementos prmtvos em K, K 2 e K 1, respectvamente. Para cada C 1 em R 1 segue que R1 = {1, 3}, K 1 = {1} e G 1 = {1}. Portanto, um polnômo gerador é g 1 (X) = X 1. Assm, g 1 (X) = X +3 e ḡ 1 (X) = X + 1. Smlarmente, para g 2 (X), segue que ζ 2 é um elemento prmtvo de K 2, G 3 = {1, ζ 2, ζ2 2} e g 2(X) = (X ζ 2 )(X ζ2 2) = X2 + X + 1. Isto mplca que ḡ 2 (X) = X 2 + X + 1. Agora, sabemos que G 15 = {1, α, α 2,, α 14 } e para um polnômo gerador g(x) que tem α como raz, segue que α, α 2, α 22, tem os mesmos polnômos mnmas, e assm M 1 (X) = (X α 3 )(X α 6 )(X α 9 )(X α 12 ) = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. Agora, α 3, (α 3 ) 2, (α 3 ) 22, (α 3 ) 23, tem os mesmos polnômos mnmas, e assm M 2 (X) = (X α)(x α 2 )(X α 4 )(X α 8 ) = X 4 + X 2 + 3X + 1. Smlarmente, α 5, (α 5 ) 2, (α 5 ) 22, (α 5 ) 23, tem os mesmos polnomos mnmas, e assm M 3 (X) = (X α 5 )(X α 10 ) = X 2 + X + 1. Também, α 7, α 11, α 13, α 14 tem os mesmos polnomos mnmas, e assm Portanto, M 4 (X) = (X α 7 )(X α 11 )(X α 13 )(X α 14 ) = X 4 + 3X 2 + X + 1. g(x) = lcm{m 1 (X), M 2 (X), M 3 (X), M 4 (X)} = M 1 (X)M 2 (X)M 3 (X)M 4 (X). Deste modo, o códgo BCH C sobre R generado por g(x) possu comprmento 15. Portanto, correspondendo a cadea R 1 R 2 R, exstem códgos BCH C 1, C 2 e C com comprmentos 1, 3 e 15, respectvamente. Além dsso, ḡ 1 (X) = r 2 (g 1 (X)) = g 1 (X) ḡ 2 (X) = r 2 (g 2 (X)) = g 2 (X) ḡ(x) = r 2 (g(x)) = r 2 (M 1 (X))r 2 (M 2 (X))r 2 (M 3 (X))r 2 (M 4 (X)) g(x) 6

geram os códgos BCH C 1, C2 e C com símbolos em GF (2), GF (2 2 ) e GF (2 4 ), respectvamente. Também, as dstâncas de Hammng mínma dos códgos C 1, C 2 e C são 1, 3 e 15, respectvamente. 3 Conclusão Com base no trabalho de Shankar [1] sobre a construção de códgos BCH com símbolos em um anel local Z p k e no corpo Z p, para cada membro de uma cadea de anés de Galos e de corpos de Galos, respectvamente, obtemos uma seqüênca de códgos BCH C 0, C 1,, C t 1, C t sobre Z p k com comprmentos n 0, n 1,, n t 1, n t e uma seqüênca de códgos BCH C 0, C 1,, C t 1, C t sobre Z p com comprmentos n 0, n 1,, n t 1, n t. Esta técnca fornece a opção de seleconar um códgo BCH mas adequado com capacdade de correção de erros e taxa de códgo, mas com comprmento prevamente escolhdo. Referêncas [1] Shankar, P., On BCH codes over arbtrary nteger rngs, IEEE Trans. Inform. Theory, IT-25(4), (1979), 480-483. [2] Blake, I.F., Codes over certan rngs, Inform. Contr., 20, (1972), 396-404. [3] Blake, I.F., Codes over nteger resdue rngs, Inform. Contr., 29, (1975), 295-300. [4] Interlando, J.C. and Palazzo Jr., R., A note on cyclc codes over Z m, Latn Amer. Appl. Res., 25(S), (1995), 83-85. [5] Spegel, E., Codes over Z m, Inf. Control, 35, (1977), 48-51. [6] Spegel, E., Codes over Z m, Revseted, Inf. Control, 37, (1978), 100-104. [7] McDonlad, B.R., Fnte rngs wth dentty, Marcel Dekker, New York (1974). 7