1 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORAS: UMA APRENDIZAGEM ATRAVÉS DE QUEBRA-CABEÇAS Alex Almeida de Souza- UEFS (alexalmeida2012@live.com) Andréa de Jesus Santos- UFES (andrea20santos@hotmail.com) Fernanda Leite Azevedo- UEFS (fernanda0015@live.com) Joseleide dos Santos Sardinha - UEFS (leidejoissi@hotmail.com ) Leila Souza de Oliveira- UEFS (justiny31@hotmail.com) Rosemeire Suzart de Jesus-UEFS-BA (meiresuzart@hotmail.com) Resumo: Apresentação de algumas demonstrações das relações métricas no triângulo retângulo e do Teorema de Pitágoras utilizando relações entre áreas, comparações de similaridade entre triângulos e quebra-cabeça, como agente motivador da aprendizagem. Palavras-chave: Relações métricas. Teorema de Pitágoras. Quebra-cabeça e Agente motivador. Público Alvo! Público em geral Objetivos " Apresentar algumas demonstrações do teorema de Pitágoras que podem ser obtidas através de comparação de áreas. Estas demonstrações dão origem a alguns quebracabeças interessantes que serão construídos e resolvidos no minicurso; " Utilizar estas demonstrações para fazer uma revisão de alguns conceitos matemáticos tais como: semelhança e congruência de triângulos, relações métricas no triangulo retângulo e Teorema de Pitágoras; " As atividades trabalhadas neste minicurso poderão ser aproveitadas pelos professores em sua sala de aula.
2 Justificativa O triângulo é a figura mais simples dentre os polígonos, tem sido muito utilizado desde a época dos antigos babilônios até hoje. O triângulo é o polígono das exceções, pois todo triângulo equilátero é equiângulo, todo triângulo equiângulo é equilátero, possui uma rigidez geométrica que os demais polígonos não têm, é inscritível numa circunferência e para que sejam semelhantes basta que tenham os lados respectivamente proporcionais. E o Teorema de Pitágoras, como é sabido, estabelece que em um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c, e reciprocamente que se um triângulo de lados medindo a, b e c é tal que então esse triângulo é retângulo e sua hipotenusa tem medida a. É importante conhecê-lo e estudá-lo não só pelo seu aspecto matemático como também pela sua aplicação na resolução de muitos problemas, teóricos ou práticos. Metodologia do minicurso O minicurso em questão tratada apresenta a construção das relações métricas no Triângulo Retângulo. Em um primeiro momento, os cursistas em grupo construirão três triângulos semelhantes a partir de dobradura em papel A4 e a partir destas figuras estabelecerão relações métricas entre seus lados. Num segundo momento, será trabalhado o estudo comparativo entre duas dessas relações e assim destacado o Teorema de Pitágoras. Por fim, a relação Pitagórica será abordada através de construções geométricas passo a passo com demonstrações pelo estudo de área, por similaridade e dissecação. Ao final de cada atividade, os participantes serão convidados a identificar os objetivos, as conclusões, quais conteúdos matemáticos foram abordados e quais são os pré- requisitos necessários para que essas atividades sejam utilizadas em sala de aula. Concluindo, será montado um painel artístico com quatro demonstrações de Pitágoras construídas neste minicurso. Para realização do minicurso é necessário uma sala ampla com quadro, data-show, e mesas para realização das atividades. O número máximo de participante deve ser 24 pessoas. As atividades desenvolvidas estão em anexo. Para realização do mini-curso é necessário os seguintes materiais para cada dupla: " 8 folhas de papel A4; " 2 cartolinas de cores diferentes;
3 " 2 tesouras; " 2 réguas, " Lápis; borrachas; 1 caixa de hidrocor; 1 par de esquadro e 1 cópia das atividades em anexo. Atividades No primeiro dia desenvolveremos as atividades 01, 02 e 03. Mas antes das atividades realizaremos uma breve apresentação em slides sobre Pitágoras, o surgimento do Teorema de Pitágoras e suas principais aplicações. No segundo dia realizaremos as atividades 04,05 e o painel com as demonstrações de todas as atividades. Referências Disponível em: < http://www.projovemurbano.gov.br/userfiles/file/materialdidatico/aluno/matematica/oficina0 4_Matem%C3%A1tica_ECII.pdf >. Acesso em 18 de fevereiro de 2014. Disponível em: < http://www.mat.ufmg.br/~elaine/aperfeicoamento/pitagoras.pdf >. Acesso em 20 de fevereiro de 2014. Anexos ATIVIDADE 01 CONSTRUÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS ATRAVÉS DAS RELAÇÕES DOS LADOS DE TRIÂNGULOS SIMILARES 1. Tome uma folha de papel A4. Dobre na diagonal marque e lasque ou recorte construindo assim dois triângulos retângulos. 2. Um deles, BAC reto em A, com catetos b e c e hipotenusa a.( reserve-o) 3. Tome o outro triângulo e trace a altura (h) relativa à hipotenusa, isto é, use um esquadro e a partir do vértice do ângulo reto, trace uma perpendicular e marque o ponto H na hipotenusa. Dobre pela altura e lasque ou recorte. Assim, você obteve mais dois triângulos B. 4. Compare os três triângulos retângulos, que obteve, dois a dois. 5. Estabeleça relações de proporcionalidade entre os lados destes triângulos, quando possível.
4 6. Escreva as relações métricas encontradas e aplique a propriedade fundamental das proporções. 7. Destaque as relações entre quadrados dos catetos e suas projeções. Some. Assim, você deve ter provado que o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos ATIVIDADE 02 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS COMPARANDO ÁREAS 1. Construa um triângulo retângulo reto em A e com base AC (b). 2. Prolongue o lado AC (b) para obter o ponto D de tal sorte que CD seja em medida igual a c. 3. Levante por D uma perpendicular, ao lado CD, com medida b.determine o segmento DE. 4. Uma o ponto E ao ponto B, vértice do triângulo primitivo. Assim, ficou formado o triângulo BCE, isósceles. Escreva a medida destes lados. 5. Você deve ter encontrado o trapézio ABED. Identifique> base menor, base maior e considere a altura (b+c). 6. Escreva a área do trapézio ABED e em seguida escreva esta mesma área como soma das áreas dos triângulos: BAC, BCE e CDE que a compõem. 7. Desenvolva os cálculos algébricos modelo desta igualdade de áreas. 8. Assim, você deve ter provado que o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. ATIVIDADE 03 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS QUEBRA CABEÇA 5 PEÇAS 1. Construa um triângulo retângulo BAC, retângulo em A, com lados medindo b, a e c. 2. Desenhe os quadrados que tenham como base, cada um destes lados. 3. Prolongue o lado a do quadrado, perpendicular à hipotenusa, de tal sorte que este prolongamento corte o quadrado de lado b. O quadrado de lado b ficou assim dividido em duas partes. Recorte-as. 4. Prolongue o lado a do quadrado, perpendicular à hipotenusa, para cortar o quadrado de lado c e trace a partir deste último ponto determinado no lado c, uma paralela à
5 hipotenusa cortando o outro lado c. O quadrado de lado c ficou dividido em três pacas. Recorte-as. 5. Você construiu um quebra cabeça de cinco peças. Sua base é o quadrado de lado a. 6. Cubra o quadrado de lado a com as cinco peças que foram decompostas dos quadrados de lados b e c. 7. Assim, você deve ter provado que o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. ATIVIDADE 04 DEMONSTARÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS QUEBRA CABEÇA 7 PEÇAS Considere um triângulo retângulo ABC de lados a, b e c. Sem perda de generalidade considere b > c e a hipotenusa. 1. Construa um retângulo de lados b e c com diagonal decrescente. Este retângulo ficou subdividido em. 2. Construa um novo retângulo de lados b e c com diagonal decrescente e um quadrado de lado c interno e à direita deste retângulo. A base do retângulo maior será de medidas c e b-c. Este retângulo ficou subdividido em trapézio esquerdo; trapézio direito inferior; trapézio superior direito e triângulo superior esquerdo. 3. Desenhe um quadrado de lado b c que será a figura. 4. Utilize,,.Componha um quadrado de lado b. 5. Utilize,. Componha um quadrado de lado c. 6. Construa um quadrado de lado a. Este será a base do seu quebra cabeça com 7 peças. 7. Cubra este último quadrado de lado a com as sete peças construídas acima. 8. Assim, você deve ter provado que o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. ATIVIDADE 05 OUTRAS VARIAÇÕES DE QUEBRA-CABEÇA a) Observe a figura abaixo que é constituída de 9 triângulos retângulo isósceles, todos
6 iguais. Ao redor do triângulo retângulo central estão dispostos três quadrados, mas os que formam o quadrado da hipotenusa formam também os quadrados dos catetos. Verifique! O que você pode concluir? b) Recorte em uma folha de cartolina as seguintes figuras: 4 triângulos retângulos congruentes quaisquer; 1 quadrado A de lado congruente a um dos catetos; 1 quadrado B de lado congruente ao outro cateto; 1 quadrado C de lado congruente à hipotenusa; 2 quadrados de lado iguais à soma dos catetos. Em seguida, faça o que se pede. Passo I: Verifique por superposição que os 4 triângulos retângulos são congruentes. Passo II: Por superposição, cubra sem deixar espaços vazios, um dos quadrados de lado igual à soma dos catetos com o quadrado C e os 4 triângulos retângulos sem que haja sobra. (Figura 4) Passo III:Por superposição, cubra sem deixar espaços vazios, o outro quadrado de lado igual à soma dos catetos com os quadrados A e B e os 4 triângulos retângulos sem que haja sobra. (Figura 5) O que você pode concluir?