Atividades: Distância entre dois pontos e ponto médio

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1 Atividades: Distância entre dois pontos e ponto médio Você já deve ter se perguntado: Por que estudar Matemática? Para que serve isso? Outros de vocês, talvez, nunca se perguntaram isso, apenas estudam por terem afinidade com o pensamento matemático e simpatizarem com seus procedimentos. Há outros que só se lembram dela em situações práticas e/ou lúdicas. Fato é que, de diferentes formas, a Matemática chega a cada um de vocês. Ela tem um valor formativo que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo. Desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas, em quase todas as atividades humanas. Analisando o ensino de Matemática sob esta ótica, fica implícito que aprenderá mais aquele indivíduo que gerenciar melhor o oceano de informações no qual ele se encontra, exercitando sua memória, criatividade, raciocínio e capacidade de argumentação. Na busca da excelência dessas habilidades, essas atividades, que agora você tem em mãos, foram desenvolvidas. Sua principal característica é a possibilidade de investigação, experimentação e generalização, fundamentais para o exercício profissional futuro e para a continuidade de estudos - dentro e fora das ciências exatas. Trabalhando com elas, você vai se tornar melhor na: Leitura e interpretação de textos científicos; Expressão clara e correta de um conhecimento adquirido; Capacidade de resolver problemas. Procure realizar todas as atividades abaixo, pois acredita-se que, com esse trabalho, você aumentará suas chances de sucesso no ENEM e outros exames sustentados em habilidades, pois você será preparado adequadamente para desenvolver e usar a Matemática. Desenvolverá competências para exercer verdadeiramente a cidadania!

2 Observe a placa: Ela mede a distância entre dois pontos! Agora, observe a letra da música abaixo: Essa distância Quando bate a saudade Vem esse desejo de te ver Não preciso de avião pra te encontrar É só fechar os olhos Quando bate a vontade De ter você pertinho do coração Vem versos de amor que guardo Pra falar na hora certa Mais essa distancia Já não cabe entre nos dois Tá vindo uma lua tão linda Tão sua, tão minha Eu quero ficar com você Toda vez que eu te beijo Quando ganho um beijo seu Eu me entrego, eu me rendo Toda vez que eu te beijo Quando ganho um beijo teu Quando bate a saudade Vem esse desejo de te ver Não preciso de avião pra te encontrar Só fechar os olhos Quando bate a vontade De ter você pertinho do coração Vem versos de amor que guardo Pra falar na hora certa Mais essa distancia Já não cabe entre nos dois Tá vindo uma lua tão linda Tão sua, tão minha Quero ficar com você Toda vez que eu te beijo

3 Quando ganho um beijo teu Eu me entrego, eu me rendo Toda vez que eu te beijo Quando ganho um beijo teu Mais essa distancia Já não cabe entre nos dois Tá vindo uma lua tão linda Tão sua, tão minha Quero ficar com você Autor: Ivete Sangalo Álbum: Real Fantasia Estilo: Axé Gravadora: Universal Music Ano: 2012 Na letra, Ivete Sangalo também fala da distância que separa duas pessoas. Uma outra maneira de falar da distância entre dois pontos é usando a Matemática! A seguir, uma série de conceitos e atividades serão apresentadas e, por meio da Geometria Analítica, será explorado o cálculo da distância entre dois pontos, certamente utilizado na construção da placa apresentada acima e na música de Ivete Sangalo, na qual deseja-se que a distância entre duas pessoas seja nula. Distância entre dois pontos Conceitos Considere os pontos A = (x A,y A ) e B = (x B,y B ) quaisquer. Vamos determinar a distância entre esses dois pontos. 1º Caso: A e B definem um segmento paralelo ao eixo das abscissas.

4 Neste caso, A e B possuem a mesma ordenada e a distância entre eles será a distância entre suas abscissas, ou seja d(a,b) = 2º Caso: A e B definem um segmento paralelo ao eixo das ordenadas. Neste caso, A e B possuem a mesma abscissa e sua distância será a distância entre suas ordenadas, ou seja, d(a,b) = 3º caso: O segmento AB não é paralelo a nenhum dos eixos cartesianos

5 Neste caso, podemos tomar um ponto C com a mesma abscissa de B e a mesma ordenada de A e formar um triângulo ABC, que será retângulo em C. Observe que d(a,c ) = e que d(b,c) =. Usando o Teorema de Pitágoras neste triângulo, temos: Como, podemos escrever tirando a raiz quadrada e sabendo que a distância entre A e B tem que ser positiva, deduzimos a relação Obs.: Os dois primeiros casos são casos particulares dessa última relação. Por exemplo, se consideramos que x A = x B nessa última igualdade, temos: que é o 2º caso. = Por isso, apesar de usarmos três casos para deduzir a fórmula de distância entre dois pontos, temos apenas que nos lembrar de uma única fórmula:

6 Que triângulos podem ser classificados, quanto aos lados, em: Equilátero: se a medida dos três lados for igual. Isósceles: se a medida de dois lados for igual, independente da medida do terceiro lado. Escaleno: se a medida dos três lados forem distintas. Usando o conceito de distância entre dois pontos e dadas as coordenadas dos vértices de um triângulo ABC, podemos determinar a medida de seus lados, calculando d(a,b), d(a,c) e d(b,c). Assim, o triângulo ABC, quanto a seus lados, considerando A = (2,9), B = (6,6) e C = (3,2), é um triângulo isósceles, pois: Medida do lado AB = d(a,b) = Medida do lado AC = d(a,c) = Medida do lado BC = d(b,c) = E, dessa forma, os lados AB e BC têm a mesma medida. Mãos à obra - Atividades 1) Considere que o triângulo ABC é equilátero. Se A = (1,4), B = (3,1) e sabendo que o ponto C(e,f) está no primeiro quadrante, determine as coordenadas de C. 2) Existe um triângulo equilátero ABC tal que as coordenadas de seus vértices são todos números inteiros? 3) Considere o triângulo ABC, em que A = (-11,-3), B = (5,-1) e C = (4,8) a) Represente este triângulo no plano cartesiano b) Sem fazer cálculos, apenas observando sua figura e usando sua intuição, como você classificaria esse triângulo, quanto aos lados? E quanto aos ângulos?

7 c) Classifique o triângulo ABC, quanto aos lados e quanto aos ângulos, fazendo os cálculos que justifiquem suas conclusões. d) Sua intuição estava correta? Faça um breve comentário, justificando sua resposta. 4) Considere os pontos A = (-12,-4), B = (-5,-1) e C = (18,9). a) Represente no plano cartesiano o segmento AC e o ponto B. b) Calcule d(a,b), d(b,c) e d(a,c) c) Com base nas respostas do item anterior, você conclui que o ponto B pertence ou não pertence ao segmento AC? Justifique sua resposta. 5) Considere o triângulo ABC, em que A = (2,2) e B = (14,11). Considere que este triângulo é isósceles e que um de seus lados mede. Determine as coordenadas do vértice C. 6) Considere os pontos A = (-2,3), B = (6,7) e C = (-11,4). a) Represente no plano cartesiano a circunferência de centro A e que passa por B. Represente, na mesma figura, o ponto C. b) O ponto C está sobre a circunferência, fora da circunferência ou na região interior à circunferência? Justifique sua resposta, sem utilizar o desenho feito no item anterior como argumento. 7) Considere os pontos A = (3,7), B = (-1,-1) e C = (x,1). Determine o valor de x para que o triângulo ABC seja retângulo em C, mas não seja um triângulo isósceles. Ponto médio Chamamos de ponto médio de um segmento AB ao ponto M desse segmento, tal que AM = MB. Dados os pontos A = (x A,y A ) e B = (x B,y B ), vamos determinar as coordenadas do ponto médio M do segmento AB. Observe a figura abaixo, na qual está representado o segmento AB e seu ponto médio M. Criamos, também, os triângulos retângulos AMN e ABC.

8 Os triângulos AMN e ABC são semelhantes, pois os ângulos em N e C são retos e o ângulo em A é comum. Logo,. Como M é ponto médio de AB, a proporção anterior nos diz que x M é o ponto médio do segmento que vai de x A até x B e que y M é o ponto médio do segmento que vai de y A até y B. Assim, temos M = Em resumo, as coordenadas do ponto médio do segmento AB é a média das coordenadas dos pontos A e B. Mãos à obra Atividades 1) Dado um triângulo ABC, sejam M e N, respectivamente, os pontos médios de AB e AC. O segmento MN é chamado de base média do triângulo ABC em relação ao lado BC. Considere A = (a,b), B = (c,d) e C = (e,f) a) Determine as coordenadas de M e N. b) Calcule a distância entre B e C e também a distância entre M e N. Deixe sua resposta na forma mais simples possível. c) Prove que os triângulos ABC e AMN são semelhantes. d) Mostre que MN // BC e que MN =. Este é o teorema da base média dos triângulos. 2) Considere um quadrilátero ABCD qualquer. Considere A = (a,b), B = (c,d), C = (e,f) e D = (g,h). Sejam M, N, P e Q, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC, CD e AD. a) Mostre que MN e PQ são segmentos congruentes. b) Mostre que NP e QM são também congruentes.

9 Conclua que, independentemente das posições iniciais dos pontos A, B, C, D, MNPQ, sempre é um paralelogramo. 3) Considere os pontos A = (3,5), B = (6,7) e C = (-1,12). a) Determine as coordenadas de M, ponto médio de AC. b) Determine as coordenadas de um ponto D, tal que M também é o ponto médio de BD. c) ABCD é um paralelogramo? Justifique sua resposta. 4) Considere os pontos A = (2,1), B = (15,3), C = (18,8) e D = (1,12). a) Represente o quadrilátero ABCD no plano cartesiano. Ele é um paralelogramo ou um trapézio? b) Sejam M e N, respectivamente, os pontos médios das diagonais do quadrilátero ABCD. Determine as coordenadas desses dois pontos e represente-os em sua figura. c) Seja P o ponto médio do segmento MN. Determine as coordenadas de P e represente esse ponto em sua figura. d) Você considera que P é o centro do quadrilátero ABCD? Justifique sua resposta. Você sabia que no ENEM o conceito de distância foi explorado em 2010, com a seguinte questão? A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que são fechadas representando a altitude da região, com relação ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala com tons de cinza desenhada à direita está associada à altitude da região.

10 Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região, a partir do ponto X = (20, 60). O helicóptero segue o percurso: 0,8 o L 0,5 o N 0,2 o O 0,1 o S 0,4 o N 0,3 o L. Ao final, desce verticalmente, até pousar no solo. De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é a) menor ou igual a 200 m. b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. e) maior que 800 m. Agora vá além: No item anterior, as coordenadas estão expressas em graus, de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. Em qual Hemisfério voava esse helicóptero: Norte ou Sul? Ocidental ou Oriental? Caro aluno, chegando ao fim desse trabalho, você certamente desenvolveu as seguintes habilidades: Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação. Avaliar propostas de intervenção na realidade, utilizando conhecimentos algébricos. E, com essas habilidades, você poderá certamente modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.