RESUMO. Mendes, Anderson Fabrício. Da resolução de quebra cabeças em sala de aula à aplicabilidade no cotidiano.

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1 RESUMO Mendes, Anderson Fabrício. Da resolução de quebra cabeças em sala de aula à aplicabilidade no cotidiano. O objetivo deste mini curso é de estudar o conceito de áreas por meio de composição e decomposição de figuras planas, através de atividades de quebra cabeças geométricos. Tais atividades são parte de uma pesquisa de mestrado cujo enfoque é analisar como se dá a apropriação pelos estudantes do 9º ano de expressões algébricas e fórmulas, que permitam calcular a área de figuras planas, bem como, investigar como estes estudantes aplicam no cotidiano o conceito de área. A pesquisa está organizada em três blocos de atividades: o primeiro será constituído de atividades para a construção das peças dos quebra cabeças, usando régua sem marcação, compasso, esquadros sem marcação e transferidor. O objetivo desta atividade é trabalhar construções geométricas, propriedades dos quadriláteros e triângulos com medidas generalizadas. O segundo bloco é composto por atividades envolvendo quebra cabeças geométricos, como Tangram, utilizando as peças confeccionas na atividade anterior, com a finalidade de formalizar, validar e conjecturar fórmulas matemáticas para o cálculo das áreas do Quadrado, Retângulo, Triângulo, Paralelogramo, Trapézio e Losango. Por fim, o terceiro bloco de atividades envolve uma pesquisa de campo, onde os estudantes irão visitar uma Marmoraria para vivenciarem a realidade da aplicação do conceito de área nesse comércio, e analisar como os conceitos de composição de decomposição de figuras estão presente no cotidiano dos marmoristas. Neste mini curso será desenvolvido as atividades do primeiro e segundo bloco, com a intenção observar, reunir informações, identificar e compreender as estratégias e alternativas de como os participantes se apropriam das fórmulas para o cálculo de áreas de figuras planas, bem como discutir a aplicabilidade de tais atividades na sala de aula para tornar o ensino de áreas mais significativo. Palavras-Chave: Ensino de geometria, Quebra Cabeças Geométricos, Áreas de Figuras.

2 INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA Desde minhas primeiras experiências como professor de matemática, percebi que o ensino de geometria é um problema para professores e alunos. Concordo com Perez (1991), quando afirma que há pouco ensino de Geometria nos níveis fundamental e médio e falta metodologia apropriada ao professor para que este ensino se realize. Com isso, a maioria dos professores acaba abordando-a de maneira desinteressante e sem sentido para os alunos. Por ser apaixonado pela matemática, em particular pela geometria, desde quando que ingressei no Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas em 2009, na Universidade Federal de São Carlos, tinha como objetivo dissertar sobre este tema, com a intenção de contribuir para a melhoria do ensino da Geometria. Então comecei a pesquisar várias teses e artigos sobre o tema para me inserir no mundo das pesquisas atuais dessa área de ensino. Nesta pesquisa, primeiramente procurei subsídios teóricos para entender quando, como e porque o ensino de geometria começou a ser tratado de uma forma menos importante que álgebra e aritmética. De acordo com Pavanello (1993), muitos pesquisadores e professores, em todo o mundo, vem se mostrando preocupados com o abandono do ensino da geometria. No Brasil, este fato tornou-se mais evidente após a promulgação da lei 5692/71, que concedia liberdade às escolas quanto à escolha dos programas das diversas disciplinas. Deste modo, alguns professores excluíram a geometria de seus programas, e outros, reservavam o final do ano para ensiná-la, o que quase sempre, por falta de tempo, acabava não acontecendo (MARTINS, 2003). Este fato pode ser comprovado por mim, já que leciono para estudantes do 9º ano do ensino fundamental, os quais participarão desta pesquisa, e o conteúdo de áreas de figuras planas faz parte do currículo do 4º bimestre do 8º ano, mas estes estudantes não tiveram a oportunidade de estudar esse conteúdo. Com isso, já reflete na sociedade as consequências de tais atos, pois um exemplo particular acontece com um empresário do ramo de Marmoraria da cidade de Franca. Ele encontra muita dificuldade para o preenchimento da vaga de secretária em seu negócio, que necessita a priori, conhecimento de cálculo de áreas e perímetro para fazer orçamentos. Para esta função, o uso de calculadora é permanente, mas o erro

3 acontece porquê os candidatos tem dificuldades para calcular a área e o perímetro de pias, balcões, soleiras, espelhos e outros produtos oferecidos pela empresa, além de fazer confusão de medidas de comprimento, como por exemplo, escrever 5 cm como 0,5m. Com isso, esse empresário comenta em vários lugares a falta de qualidade no ensino, em particular de geometria, e isto me incomoda de tal maneira a fazer uma pesquisa para que o ensino de áreas se torne mais significativo para os estudantes, através de composição e decomposição de figuras planas e uma visão da aplicabilidade do conceito de área no comércio, na construção, e em outros ramos da sociedade. Este fato me influenciou na escolha do tema áreas de figuras planas para minha dissertação de mestrado. Além disso, segundo Lorenzato (1995), ser um bom conhecedor de Aritmética ou de Álgebra não é suficiente para resolver problemas de Geometria, apontando este como um dos maiores méritos próprios da Geometria. É um campo extremamente amplo, que possui grande relevância no desenvolvimento intelectual do aluno. Tem aplicações importantes em outros tópicos da matemática, é tema integrador e unificador dos conteúdos matemáticos, e ainda, é uma rica fonte de visualização para os conceitos aritméticos, algébricos e estatísticos. E ainda: É um campo extremamente amplo, que possui grande relevância no desenvolvimento intelectual do aluno (FAINGUALERT, 1995). Tem aplicações importantes em outros tópicos da matemática. É um tema integrador e unificador dos conteúdos matemáticos, e ainda, é uma rica fonte de visualização para os conceitos aritméticos, algébricos e estatísticos. Desenvolve a percepção espacial e habilidades como, interpretar representações bidimensionais e tridimensionais dos objetos. Estimula e exercita habilidades gerais do pensamento ou para resolução de problemas. Tem aplicações importantes a problemas da vida real, como cálculo de áreas e volumes, medidas e leitura de mapas-coordenados. A Geometria oferece um vasto campo de idéias e métodos de muito valor quando se trata dôo desenvolvimento intelectual do aluno, do seu raciocínio lógico e da passagem da intuição e de dados concretos e experimentais para os processos de abstração e generalização.

4 A Geometria também ativa as estruturas mentais possibilitando a passagem do estágio das operações concretas para o das operações abstratas. É, portanto tema integrador entre diversas áreas da Matemática, bem como campo fértil para o exercício de aprender a fazer, e aprender a pensar. (FAINGUALERT, 1995:46) Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) afirmam que o ensino de Geometria vem tendo pouco destaque nas aulas de Matemática e tem sido confundido como ensino de medidas. Subentende-se, portando, um esforço de mostrar que o ensino de Geometria não se resume ao estudo das grandezas numéricas. Deve-se ressaltar que as atividades envolvendo composição e decomposição de figuras, uso de ladrilhamentos, do Tangram e de Poliminós, propostas no estudo da geometria subsidiam a compreensão das fórmulas de área. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções, além de possibilitar a construção de uma atitude positiva perante os erros, uma vez que as situações sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas de forma natural, no decorrer da ação, sem deixar marcas negativas. (MEC, 1997, p. 19). O estudante que utiliza um Tangram com formas geométricas, ou outro quebracabeça, tem a oportunidade de perceber formas, de representá-las, de construí-las e de criar objetos e outras formas a partir delas. É desta maneira, portanto, que tais jogos potencializam o desenvolvimento da habilidade de visualização. Sob esta perspectiva, o uso didático de tais jogos possibilita: Explorar e identificar propriedades geométricas; Classificar, selecionar e mover as peças que compõem o quebra-cabeça; Observar a conservação de uma forma após a realização de um movimento; Apropriar-se do vocabulário específico relacionado às formas geométricas elementares; Aplicar diferentes estratégias para resolução de problemas; Comparar e medir comprimentos, áreas e amplitude de ângulos; Observar relações de simetria axial; Observar congruências e semelhanças entre figuras. (KALEF et al., 2003)

5 Por fim, posso dizer que a escolha do tema Áreas de figuras planas se deve primeiramente pela importância desse conteúdo matemático no cotidiano, além de propiciar a integração entre geometria, aritmética e álgebra. 1. OBJETIVO E QUESTÕES DE PESQUISA O objetivo deste projeto de pesquisa é estudar o conceito de áreas por meio de composição e decomposição de figuras planas, através de atividades de quebra cabeças na sala de aula e vivenciar a resolução de problemas que envolvem a aplicabilidade destes conceitos no contexto de uma Marmoraria. O enfoque deste trabalho será a analise de como se da à apropriação pelos estudantes do 9º ano de expressões algébricas e fórmulas, que permitam calcular a área de figuras planas, bem como, investigar como estes estudantes aplicam no cotidiano o conceito de área. As questões de pesquisas são: 1) A utilização de instrumentos de construção sem marcação favorece a construção do pensamento algébrico, e consequentemente a obtenção de expressões e fórmulas para o calculo de áreas desses polígonos? 2) Resoluções de quebra cabeças, como Tangram, facilitam e tornam mais significativa a aprendizagem das fórmulas para calcular área de polígonos? 3) O conhecimento da aplicabilidade do conceito de área no comércio torna o ensino desse conceito mais significativo? 2. METODOLOGIA A pesquisa terá uma abordagem qualitativa, onde os dados serão constituídos através da aplicação das atividades em sala de aula, onde vamos fazer um estudo de caso, com 38 alunos do 9º ano do ensino fundamental da Escola Estadual Professora Laura de Mello Franca, localizada na cidade de Franca em um bairro de classe média baixa, no estado de São Paulo. As atividades serão filmadas e gravadas, e estas serão divididas em três blocos:

6 O primeiro envolve a construção dos quebras cabeças geométricos com uso de régua sem marcação, compasso, transferidor e esquadros sem marcação. O uso da régua sem marcação e os esquadros sem marcação se explicam pelo fato desta pesquisa ter o foco na generalização das fórmulas. Tem-se a intenção de analisar como se dá a apropriação algébrica das fórmulas para o calculo de áreas de figuras planas, sendo assim, a régua com marcação poderia ser um obstáculo, pois o estudante se prenderá a aritmética, aos valores aritméticos dos segmentos, com isto o pensamento algébrico, a generalização, poderá ficar comprometida. O segundo bloco de atividades será composto pela resolução de problemas usando os quebra cabeças montados nas atividades do bloco anterior, com o objetivo de, através da manipulação de materiais concretos e composição de decomposição de figuras, observar e deduzir as fórmulas para o calculo de áreas de retângulos, triângulos, paralelogramos, trapézios e losangos. O terceiro bloco de atividades envolve o desenvolvimento de uma pesquisa de campo, onde os estudantes visitarão uma marmoraria para vivenciar a aplicabilidade do conceito de área nesse comércio, e como a composição de decomposição de figuras planas está presente no cotidiano de tais profissionais. Os dados da pesquisa serão obtidos através da análise das atividades dos blocos citados acima, já que concordamos com Borba (2004), que enfatiza que a pesquisa qualitativa deve ter por trás uma visão de conhecimento que esteja em sintonia com os procedimentos, entrevistas, análises de vídeos e interpretações. 3. PLANO DE TRABALHO E CRONOGRAMA DE SUA EXECUÇÃO Pretendendo a coordenação das ações a serem desenvolvidas durante a pesquisa foi realizado o seguinte plano de trabalho: Frequência e participação nas disciplinas do Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas da Universidade de São Carlos, nas reuniões semanais do grupo do Observatório em Educação para ampliação de conhecimento e leituras sobre o campo conceitual em que se insere este projeto, áreas afins e suas relações na Educação. Participação em congressos, como ouvinte e apresentando o trabalho, a fim de tomar

7 contato com outros pesquisadores, professores e autores, que certamente contribuirão com sugestões e/ou críticas, pois outros ponto de vista os sobre o objeto desse estudo podem sanar e complementar a minha visão sobre este assunto. Concomitantemente a estas ações, ocorrerá a revisão bibliográfica sobre o tema e os principais conceitos abordados na pesquisa. Esta revisão será contínua, se fará a todo momento que se fizer necessário o dialogo com a literatura, portando, encerrará momentos antes a apresentação e defesa da Dissertação. O trabalho de Campo está previsto para ser realizado no 1º semestre de 2010, com duração de um bimestre. Neste momento o pesquisador e seu orientador dedicarão especial atenção para registrar, diariamente, as aulas e as reflexões dos estudantes através de filmagens e gravações. Com as informações e materiais reunidos iniciará a analise dos dados obtidos, a luz das referências bibliográficas escolhidas para a produção dos relatórios. Atividade º Semestre de 2009 º Semestre de 2009 º Semestre de 2010 º Semestre de 2010 Cursar disciplinas do programa X X X Revisão bibliográfica X X X Trabalho de Campo X X Análise dos dados obtidos. X X X Redação de Relatório X X Apresentaçã o de defesa da Dissertação. X

8 4. ATIVIDADES PARA O MINI CURSO 4.1 ATIVIDADE 1: DESCOBRINDO A ÁREA DO RETÂNGULO º Bloco : Construção das peças do quebra cabeça 1. Retângulo. Considere o retângulo ABCD abaixo. Construa, com reguá e compasso, um quadrado de mesma medida do lado AB do retângulo e pinte esse quadrado de azul, construa outro quadrado de mesma medida do lado CD e pinte ele de amarelo e dois retângulos de lados iguais ao retângulo ABCD abaixo. e os pinte de vermelho. Esses dois quadrados e esses dois retângulos são as peças de nosso quebra cabeça. Figura 1 : Retângulo ABCD Figura 2: Peças do quebra cabeças para descobrir a área do retângulo.

9 º Bloco : Calculando a área do retângulo. Monte um quadrado com as peças que você construiu. Observe a figura formada e responda as questões propostas. Se AB = 10 cm e CD = 5cm, responda justificando: a) Qual a medida do lado do quadrado que você formou? b) Qual a área do quadrado azul? Qual a área do quadrado amarelo? Qual a área do quadrado que você montou? c) Como você calcularia a área de cada retângulo usando a figura formada? d) Quais as dimensões do retângulo? e) Que relação há entre a área do retângulo que você encontrou com as medidas de seus lados? f) Será que esta relação é sempre válida para calcular a área de um retângulo qualquer? Vamos agora generalizar o raciocínio utilizado nas questões anteriores. Se AB = a e CD = b, a e b números quaisquer positivos e não nulos, responda justificando: a) Qual a medida do lado do quadrado que você montou? b) Qual a área dos quadrados azul, do quadrado amarelo e do quadrado que você montou? c) Como você calcularia á área de cada retângulo sabendo as áreas desses quadrados? Dica : (a + b)² = a² + 2ab + b² d) Quais as dimensões do retângulo vermelho? e) Qual a fórmula para calcular a área de um retângulo cujos lados medem a e b. 4.2 ATIVIDADE 2 : DESCOBRINDO A ÁREA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO º Bloco : Construção das peças do quebra cabeça 2. Retângulo.

10 Construa com régua e compasso, um quadrado de lado BC, hipotenusa do triângulo ABC abaixo e quatro triângulos retângulos congruentes ao triângulo retângulo ABC abaixo. Figura 3 : Triângulo retângulo ABC Pinte os triângulos retângulos de vermelho e o quadrado de azul. Figura 4: Peças para descobrir a área do triângulo retângulo º Bloco : Calculando a área do triângulo retângulo. Com essas peças que você construiu, justificando seu raciocínio, as seguintes questões: monte um quadrado e responda

11 a) Se os catetos medem, AC = 9 m e AB = 12 m, qual a medida da hipotenusa BC? b) Qual a medida do lado do quadrado azul? c) Qual a medida do lado que você montou? d) Qual a área do quadrado azul? e) Qual a área do quadrado que voce montou? f) Usando a figura que você montou, como você calcularia a área de cada triângulo? g) Observando o valor da área do triângulo que você encontrou e a medida dos catetos desse triângulo o que você percebe? Há alguma relação entre essas medidas, ou seja, entre a área e a medida dos catetos. Será que essa relação vale sempre? Vamos agora tentar generalizar estas observações. Suponha as medidas dos catetos do triângulo vermelho são: AB = c e AC = b e a hipotenusa BC = a, responda justificando : a) Qual o valor da hipotenusa BC, em função dos catetos? (Dica : Use o teorema de Pitágoras) b) Qual a medida do quadrado azul? c) Qual a área do quadrado azul? d) Qual a medida do lado do quadrado que você montou? e) Qual a área do quadrado que você montou? Dica ( b+c) 2 = b 2 + 2bc + c 2 f) Através do quadrado que você montou, como você calcularia a área de cada triângulo usando as áreas que você encontrou nos itens anteriores? g) Que relação há entre a área do triângulo retângulo com as medidas de seus catetos a e b. 4.3 ATIVIDADE 3 : DESCOBRINDO A ÁREA DE TRIÂNGULO QUALQUER º Bloco : Construção das peças do quebra cabeça 3. Triângulo qualquer. 1) Construa um triângulo congruente ao triângulo ABC abaixo.

12 Figura 5 : Triangulo ABC Para a construção das peças desse quebra cabeça, siga as etapas a seguir: 1 Vamos escolher o lado BC como base do triângulo. Usando régua e compasso, encontre o ponto médio do lado AB, seja M 1 este ponto. Analogamente, encontre o ponto médio do lado AC, seja M 2 esse ponto. 2 Trace o segmento M 1 M 2, este segmento é chamado base média do triângulo ABC. 3 Trace a altura AH do triângulo ABC, relativa a base BC. Note que AH intercepta M 1 M 2, chame este ponto de intercessão de D. As peças do quebra cabeças são : os triângulos AM 1 D e AM 2 D e o trapézio BM 1 M 2 C, recorte essas polígonos, eles serão as peças de nosso quebra cabeça. Figura 6: Peças para descobrir a área de triângulos.

13 º Bloco : Calculando a área de triângulos Monte um retângulo com as peças do quebra cabeças 3 e responda justificando: a) O que podemos dizer sobre a área do triângulo ABC e a área do retângulo que você montou? b) Se a altura AH do triângulo ABC mede 20 cm, qual a medida da altura do retângulo? c) Se a base BC do triângulo ABC mede 30 cm, qual a medida da base do retângulo? d) Considerando o triângulo ABC, se BC = 30 e AH = 40, qual a área do retângulo? e) Qual a área do triângulo ABC? f) Há alguma relação entre BC e AH com a área do triângulo? Será que esta relação é sempre valida? Agora é hora de generalizar estes pensamentos. Vamos atribuir valores arbitrários a base e a altura do triângulo ABC, e deduzir um fórmula para calcular a área desse triângulo a partir desses valores. Voce já é capaz de deduzir esta fórmula, se BC = a e AH = h, com a, h números quaisquer positivos e não nulos, qual será a fórmula para calcular a área do triângulo ABC em relação aos valores de a e h. Caso você tenha dúvidas e/ou incertezas, responda as questões abaixo para descobrir. a) Se a altura AH = h, qual a medida da altura do retângulo? b) Se a base BC = a, qual a medida da base do retângulo? c) Considerando o triângulo ABC, se BC = a e AH = h, qual a área do retângulo? d) Qual a área do triângulo ABC? 4.4 ATIVIDADE 4 : DESCOBRINDO A ÁREA DO LOSANGO º Bloco : Construção das peças do quebra cabeça 4, Losango.

14 A figura abaixo é um losango, pois AB = BC = CD = DA. Figura 7 : Losango ABCD Construção das peças do quebra cabeças. Construa dois losangos congruentes ao losango ABCD acima. Pinte um dos losangos de vermelho. Com o outro trace as duas diagonais, elas dividem o losango em quatro triângulos retângulos congruentes, recorte-os e pinte eles de verde. O losango vermelho e os quatro triângulos retângulos verdes são as peças de nosso quebra cabeça. Figura 8 : Peças do quebra cabeça º Bloco : Calculando a área de Losangos

15 Monte um retângulo com as peças do quebra cabeça e responda, justificando, as questões abaixo. Para as questões a, b e c considere que as diagonais do losango medem, AC = 14 m e BD = 20 m. a) Quanto mede os catetos de cada triângulo retângulo verde? b) Quais são as dimensões do retângulo que você montou? c) Qual a área desse retângulo? d) Como você calcularia a área do losango ABCD? e) Existe alguma relação entra as medidas das diagonais do losango e sua área? Vamos tentar generalizar esta observação. Considere que as diagonais medem, AC = d 1 e BD = d 2, d 1 e d 2 números positivos quaisquer, não nulos. Responda as questões abaixo justificando. a) Quanto mede os catetos de cada triângulo retângulo verde? b) Quais são as dimensões do retângulo que você montou? c) Qual a área desse retângulo? d) Qual a área do losango vermelho? 4.5 ATIVIDADE 5 : DESCOBRINDO A ÁREA DO PARALELOGRAMO º Bloco : Construção das peças do quebra cabeça 5, Paralelogramo A figura abaixo é um paralelogramo, pois AB // DC e AD // CB, o segmento AH = h é a altura do paralelogramo, distância entre as bases AB e DC. Figura 9 : Paralelogramo ABCD

16 Faça apenas um corte no paralelogramo acima, dividindo ele em duas partes, tal que você consiga montar um retângulo com essas duas partes. Essas duas partes são as peças do quebra cabeça 5. Figura 10: Peças do quebra cabeça º Bloco : Calculando a área de Paralelogramos a) Usando o retângulo que você montou, se a base DC = 20 m e a altura do paralelogramo AH = 8 m, quais as dimensões do retângulo? Qual a área desse retângulo? Qual a área do paralelogramo? b) Generalizando, se a base DC = b e a altura AH = h, onde b e h são números quaisquer, positivos e não nulos, então, quais as dimensões do retângulo que você montou? Qual a área do retângulo? Qual a área do paralelogramo? 4.6 ATIVIDADE 6 : DESCOBRINDO A ÁREA DO TRAPÉZIO º Bloco : Construção das peças do quebra cabeça 6, Trapézio.

17 A figura abaixo é um trapézio, pois AB // CD. O lado AB é a base menor do trapézio e o lado CD é a base maior do trapézio. Figura 11: Trapézio ABCD Construa, com régua e compasso, dois trapézios congruentes ao trapézio acima. Esses dois trapézios serão as peças do quebra cabeça 6. Figura 12 : Peças do quebra cabeça º Bloco : Calculando a área do trapézio. Monte um paralelogramo com os dois trapézios que você construiu e responda justificando as seguintes questões :

18 a) Se AB = 5 cm e CD = 15 cm, qual a medida da base do paralelogramo que você montou? b) Se a altura do trapézio, segmento pontilhado, mede 8 cm, qual a altura do paralelogramo que você montou? c) Usando as medidas dadas dos itens anteriores, qual a área do paralelogramo? d) Como você calcularia a área de cada trapézio? Vamos então, encontrar uma fórmula para calcular a área de um trapézio. Suponha que a base menor AB = b e a base maior CD = B e a altura do trapézio seja h, com b, B e h números positivos e não nulos, sendo assim responda : a) Qual a medida da base do paralelogramo que você montou? b) Qual a altura do paralelogramo que você montou? c) Usando as medidas dadas dos itens anteriores, qual a área do paralelogramo? d) Como você calcularia a área de cada trapézio usando os resultados anteriores? 4.7 ATIVIDADE 7 : DEMONSTRAÇÃO GEOMÉTRICA DO TEOREMA DE PITÁGORAS Com as peças abaixo monte a figura 14. Figura 13: Peças para a demonstração geométrica do teorema de Pitágoras.

19 Figura 14: O teorema de Pitágoras Temos um quadrado vermelho de lado a,hipotenusa do triângulo retângulo, uma quadrado azul de b e o quadrado verde de lado c, o que queremos mostrar é que a²=b²+c², ou seja, que a área do quadrado vermelho é igual a soma das áreas dos quadrados azul e verde. Sendo assim, utilizando as peças azuis e verdes monte um quadrado de mesma área que o quadrado vermelho. 5. OBJETIVOS DO MINI CURSO Os objetivos do mini curso são : Divulgar a pesquisa de mestrado, Da Resolução de Quebra Cabeças em sala de aula à aplicabilidade no cotidiano: Constituindo o conceito de área com estudantes do 9º ano do Ensino Fundamental, que vem sendo realizada, juntamente a UFSCAR, e financiada pela CAPES. Compartilhar, divulgar, reunir informações e opiniões, sobre as atividades de ensino, sobre a constituição das fórmulas para o cálculo de áreas de figuras planas, com professores, graduandos, mestres e mestrandos, doutores e doutorando, enfim todos que trabalham par um ensino significativo de matemática. Sugerir fortemente que as atividades deste trabalho se constitua em material que possa ser utilizado por outros professores de matemática.

20 BIBLIOGRAFIA INICIAL BORBA, M. C. A pesquisa qualitativa em educação matemática. In.: REUNIÃO ANUAL da Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação, 27.,2004. BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática/Secretaria de Educação Fundamental.-Brasília: MEC/SEF,1998. FAINGUELERT, E. K. Educação Matemática: representação e construção geométrica. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, KALEFF, A. M. M. R., REI, D.M., e GARCIA, S.S. (2003). Quebra-cabeças geométricos e formas planas. 3ª ed. Niterói: EdUFF. LORENZATTO, S. Porque ensinar geometria? Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, São Paulo, ano 3, n. 4, MARTINS, R. A. Ensino-Aprendizagem de Geometria: uma proposta fazendo uso de caleidoscópios, sólidos geométricos e softwares educacionais. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, MEC, PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, PAVAVELLO, R. N. O Abandono do ensino da geometria no Brasil: causas e consequências. Revista Zetetiké, Campinas, ano 1, n. 1, p UNICAMP, PEREZ, G. Pressupostos e reflexões teóricas e metodológicas de pesquisa participante no ensino de Geometria para as camadas populares. Tese (Doutorado em Educação)- Faculdade de Educação, Universidade de Campinas, Campinas, 1991.