Lista 06 Cálculo 1 Professor Daniel Henrique Silva Departamento de matemática UFSCar Turmas F e G Esta lista trata das primeiras aplicações de derivadas. Lembre-se que modelar o problema é tão importante (ou até mesmo mais, em alguns tópicos) do que resolver o problema propriamente dito. Não perca tempo com contas bobas e simplificações (por eemplo, frações como 8. mais simples. 5 4 4. 15 são respostas aceitáveis, mesmo não estando em sua forma 1) Eplique geometricamente porque uma derivada de uma função em um ponto indica a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto. ) Dadas as funções descritas, e os pontos dados, determinar a reta tangente ao gráfico da função pelo ponto pedido. a) f() =, 0 = b) f() = + 4, 0 = 5 c) f() = cos(), 0 = π d) f() = +, 6 0 = 0 e) f() =. e, 0 = 1 f) f() = + 1, 0 = 0 g) f() = log ( + ), 0 = h) f() = arcsen(), 0 = 1 i) f() = cosh(), 0 = 0 j) f() = (. sen() ), cos() 0 = 0 ) Considere a função f() = 5 + 7. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f() que seja paralela à reta y = 5 7 4) Seja a parábola de equação dada por f() = 5 +. Determine se essa parábola possui algum ponto no qual a reta tangente à função passa pela origem. No caso de esse ponto eistir, determine a reta tangente com essa propriedade. Esboce o ocorrido. 5) Seja a parábola de equação dada por f() = + +. Determine se essa parábola possui algum ponto no qual a reta tangente à função passa pela origem. No caso de esse ponto eistir, determine a reta tangente com essa propriedade. Esboce o ocorrido. 6) Seja a parábola de equação dada por f() = a + b + c. Determine condições sobre as constantes a; b; c que determinem se essa parábola possui alguma reta tangente que passa pela origem. 7) Demonstre que, dada uma reta r qualquer, e uma função de segundo grau, então sempre eistirá uma reta paralela a r que é tangente um (e somente a um) ponto do gráfico dessa função. 8) Considere a função f() = + 6 + 15. Determine (caso eistam) pontos onde a reta tangente ao gráfico da função é horizontal. Determine também essas retas. 9) Defina reta normal. 10) Dê a equação que descreve a reta normal ao gráfico de uma função por um ponto dado. 11) Para as funções e pontos do eercício, determinar a equação da reta normal ao gráfico da função pelo ponto dado. 1) Seja a parábola de equação dada por f() = 5 +. Determine se essa parábola possui algum ponto no qual a reta normal à função passa pela origem. No caso de esse ponto eistir, determine a reta normal com essa propriedade. Esboce o ocorrido. 1) Determinar o ponto onde as retas normais às duas raízes da função f() = 4 + se cruzam. 14) Se uma função é diferenciável em um intervalo [a; b], então a reta normal ao gráfico dessa função nunca é horizontal. Justifique esse fato geometricamente. 15) Defina função implícita.
16) Em todas os itens abaio, temos a representação de uma função implícita, onde a variável y depende da variável. Determinar em casa caso, a derivada implícita ( dy d ). a) + y = 4 b) 4y + y = 0 c) y + y = 1 d) y + y + y = 1 y e) + y = 1 f) = 1 g) y = y h) y y = 0 i) y + y = 0 +y y j) sen( y ) cos( y ) = k) log (y + ) = 1 17) Considere a elipse de equação + y = 1. Determine a reta tangente e a reta normal a essa elipse nos pontos: 9 16 a) (0; 4) b) (0; 4) c) (; 4 5 ) d) ( 7 ; ) e) ( ; 0) 4 18) Para cada um dos itens do eercício anterior, faça uma análise sobre a inclinação da reta, e o que isso significa geometricamente, e veja se há coerência com os resultados obtidos. 19) Ainda sobre a elipse da questão 17, sabe-se que os focos da elipse encontram-se nos pontos (± 7; 0). Determine quais retas normais ao gráfico da função passam pelo foco. Utilizando um software, faça um desenho do encontrado. OBS: Não é necessário encontrar os focos, nem sequer saber o que é o foco de uma elipse ainda. Você verá (ou viu e esqueceu) isso em geometria analítica. Foque na parte de cálculo. 0) Demonstre que qualquer reta normal à circunferência + y = 1 passa pelo centro. 1) Demonstre que qualquer reta normal à qualquer circunferência passa pelo centro da mesma. ) A equação y + y = 1 representa uma elipse. Determine o ponto mais alto, mais baio, mais à esquerda e mais à direita dessa elipse. Utilize isso para fazer um esboço dessa elipse. ) Considere a função dada implicitamente pela epressão y + y = 1 +. a) Calcule a derivada implícita dessa função. b) Demonstre que essa função pode ser eplicitada como y = + + + ou y = + + c) Utilizando a função eplícita, confirme a validade da derivada implícita da função. Ou seja, derive eplicitamente, e verifique se os resultados obtidos são compatíveis com a derivada implícita. 4) Descreva a regra de L Hôspital. 5) Pelo teorema, a regra de L Hôspital pode ser utilizada apenas em limites que recaiam sobre as formas 0 0 Descreva quais mudanças podem ser aplicadas para que possamos calcular limites da forma: a) 0 b) 0 0 c) 1 6) Calcule os limites a seguir: a) lim 5+4 +4 sen() f) lim 0 k) lim 1 + + 4 1 p) lim 1 ln() b) lim +1 7 g) lim 0 sen() +7 l) lim 7 q) lim. ln () 0 + c) lim. ln () 0 + tg( ) π (tg()) d) lim 1 h) lim cos() i) lim 0 4 m) lim 5 + 7 4 6+8 r) lim e. 1 (1 tg()) 0 s) lim n) lim e) lim +e e ln( ) 0 + (ln()) u) lim ( 1+ ) v) lim 0 +(1 ) ln() w) lim (cos ( 1 )) y) lim 0 (1 ) z) lim @) lim ln() (ln()) ( + 1) 7) Interprete fisicamente o significado de uma derivada. 1 ç) lim ( + 1 ) ( sqrt( +1) ) 0 j) lim cotgh() o) lim sen(4) 0 + tg() t) lim. e ) lim (1 + 1 tg(4) ) $) lim 0 ( 1 sen() 1 tg() ) ou ± ±. OBS: Para as questões de interpretação física, nem todos os significados físicos tem nome, embora todos tenham uma interpretação, mesmo que como taa. 8) Seja S(t) uma função que determina o espaço S em função do tempo t. O que significa fisicamente ds dt?
9) Seja V(t) uma função que determina a velocidade V em função do tempo t. O que significa fisicamente dv dt? 0) Seja a(t) uma função que determina a aceleração a em função do tempo t. O que significa fisicamente da dt? 1) Seja Q(t) uma função que determina a quantidade de movimento de um corpo em função do tempo t. O que significa fisicamente dq dt? ) Seja V(P) uma função que determina o volume V de um gás perfeito em função da pressão P aplicada sobre ele. O que significa fisicamente dv dp? ) Seja B(I) uma função que descreva o campo magnético B gerado por uma corrente induzida I. O que significa fisicamente db di? 4) Seja V(R) uma função que determina o volume de uma esfera V em função do raio R. O que significa fisicamente dv dr? 5) Dê um eemplo de grandeza física que pode ser epressa como taa de variação, e que não seja um dos eercícios anteriores. 6) Quando um objeto realiza um movimento com velocidade positiva, dizemos que esse movimento é progressivo, e quando a sua velocidade é negativa, dizemos que o movimento é retrógrado. Quando a aceleração tem o mesmo sinal que a velocidade, dizemos que o movimento é acelerado, e quando a aceleração e a velocidade possuem sinais opostos, dizemos que o movimento é retardado. Para cada um dos itens a seguir, classifique o movimento dos corpos no tempo pedido. a) S(t) = 5t t + 8, t1 = s; t = 5s b) S(t) = t + 8t, t1 = 0s; t = 0s c) S(t) = e t, t = 1s d) S(t) = cos ( πt ), t1 = 0s; t = 1s 4 e) S(t) = t t + t 4; t1 = 0s; t = s; t = 4s 7) Interprete a fórmula de incrementos e diferenciais Δf f (). Δ através de retas tangentes, e interprete geometricamente o ocorrido. 8) Eplique geometricamente porque a aproimação por incrementos é melhor quando utilizamos valores menores para Δ. 9) Utilizando incrementos, estime o valor de 15 a) utilizando como ponto inicial 0 = 16 b) utilizando como ponto inicial 0 = 100 c) Qual deles obteve a melhor aproimação? Mostre geometricamente o que acontece. 40) Em cada item deste eercício, sem calculadoras, estime um valor aproimado para o valor pedido, utilizando incrementos e diferenciais. Depois, com uma calculadora, verifique qual o valor eato, e calcule o erro cometido. 6 a) 8 b) 67 c) 14,5 d) 10 e) 500 f) 1, g) sen(1º) h) cos(4º) i) tg(47º) j) sec(8º) k) sen(1º) l) arcos(0,45) m) arcsen(0,7) n) arctg() o) log9 1 p) log45 r) s) (,07) t) (0,98) u) ( 5 5,1 1 ) v) w) (0.9) 7,5 (1.1) OBS: As funções trigonométricas devem ser calculadas em radianos. Para o item w), utilize a função f() = (1 ) 41) Imagine um triângulo equilátero, de aresta igual a 8cm. Estime através de incrementos, qual será a variação em seu perímetro, e em sua área, quando as suas arestas são diminuídas de 0,4cm. 4) Seja dado um heágono regular, de aresta igual a 5cm. Estime através de incrementos, qual será a variação em seu perímetro e em sua área, quando as suas arestas são aumentadas de 0,5cm. 4) Seja um quadrado de aresta igual a 10cm. Estime através de incrementos, em quanto devemos variar a sua aresta, de modo que a sua área aumente em cm. (1+)
44) É dado um círculo de 4cm de raio. Deseja-se diminuir a sua área em π 8 cm. Estime, utilizando incrementos, de quanto deverá ser a variação em seu raio, de modo que isso seja possível. 45) Imagine um quadrado de aresta. Estime através de incrementos, em quanto devemos aumentar o tamanho de sua aresta, de modo que a sua área seja aumentada em 5%. 46) Seja um heágono regular de aresta. Estime através de incrementos, em quanto devemos diminuir o tamanho de sua aresta, de modo que a sua área seja diminuida em %. 47) Imagine um cubo de aresta 5cm. Estime através de incrementos, qual a variação em sua área e em seu volume, quando as arestas são aumentadas em 0,5cm. 48) Imagine uma esfera, de raio 4cm. Estime através de incrementos, qual a variação em sua área e em seu volume, quando o raio é diminuído de 0,1cm. 49) Um cilindro equilátero de altura 1cm tem o raio de sua base diminuída em 0,1cm, mas mantendo a sua forma. Determine através de incrementos, a variação na área e no volume desse cilindro (OBS: Um cilindro equilátero possui a altura igual ao diâmetro da base). 50) É dado um cone, de altura igual a 0cm, e raio da base igual a 6cm. Através de incrementos, determine qual será a variação do no volume desse cone se: a) A sua altura for aumentada em cm. b) O raio de sua base for aumentado em 1cm. 51) Uma esfera teve seu volume medido eperimentalmente, e foi obtido que o seu volume é igual a 5m³, com uma margem de erro de ΔV = ±0.m. Utilizando diferenciais, estime: a) O erro cometido no cálculo do raio da esfera. b) O erro cometido no cálculo da área da esfera. 5) Deseja-se construir uma antena de altura prevista para 0m. Além disso, ao final da construção da torre, serão colocados quatro cabos (de lados diferentes da antena) de aço ligados ao topo da antena, e esticados até o chão, presos a uma distância de 15m da base da antena cada um. Devido a imprevisibilidades, a antena pode ter uma variação de altura de até 10cm, para mais, ou para menos. Utilizando diferenciais, estime qual a variação de cabo de aço que é acarretada por essa imprevisibilidade na altura da torre. 5) Uma escada de 10m de comprimento está escorada em uma parede vertical, a uma distância horizontal de 6m dessa parede, como ilustra a figura, assim sendo, determine: a) Qual será o incremento na distância vertical da escada até o chão, caso ela escorregue 0cm para trás. b) Qual será o incremento na distância vertical da escada até o chão, caso ela seja empurrada 15cm para a frente. c) Qual o incremento no ângulo entre a escada e o chão, nos itens anteriores. 54) Seja R + um número real positivo, e seja y Z + o número inteiro mais próimo de tal que admita raiz quadrada eata. Mostre, através de incrementos, que uma boa aproimação para o valor de é dada por: y ± y. y, onde o sinal ± varia, se > y ou y >. 55) Seja R um número real, e seja y Z o número inteiro mais próimo de tal que y admita raiz cúbica eata. Mostre, através de incrementos, que uma boa aproimação para o valor de é dada por: y ± y, onde o sinal ± varia, se > y ou y >.. y 56) Seja R + um número real positivo, e seja n N um número natural, n, e seja ainda y Z + o número inteiro positivo mais próimo de tal que y possua raiz n-ésima eata. Mostre, através de incrementos, que uma boa n aproimação para o valor de é dada por: n n y ± y n, onde o sinal ± varia, se > y ou y >. n y 57) Considere a função f: R R, f() = sen(). a) Mostre que f( + ) = sen().cos( ) + cos().sen( )
b) Argumente matematicamente por que sen( ), quando é um valor pequeno. c) Utilizando as respostas dos itens a) e b), interprete algebricamente a fórmula de incremento da função seno, dada por sen( + ) sen() + cos(). 58) Considere a função f: R R, f() = cos(). a) Mostre que f( + ) = cos().cos( ) sen().sen( ) b) Utilizando o argumento de que, se é pequeno, então a aproimação sen( ) é válido, interprete algebricamente a fórmula de incremento da função cosseno, dada por cos( + ) cos() sen(). 59) Eplique o conceito de taas relacionadas, através da regra da cadeia. 60) Imagine uma circunferência de raio R, raio este que está variando a uma taa constante igual a α. Determine, em função dos parâmetros R e α: a) A taa de variação do perimetro da circunferência. b) A taa de variação da área dessa circunferência. 61) Uma esfera de raio 75cm tem o seu raio aumentado à velocidade de 1cm/s. a) Determine a taa de variação da área dessa esfera nesse momento. b) Determine a taa de variação do volume da esfera nesse momento. 6) Uma grande bola de sorvete de raio 8cm está derretendo à taa de ml/s. a) Determine a taa de variação do raio dessa bola de sorvete no início do problema. b) Determine a taa de variação do raio dessa bola de sorvete quando o raio dessa bola for de 6cm, 4cm e cm. c) Os resultados encontrados fazem sentido com o problema real? Justifique. 6) Um funil cônico de raio da base igual a 0cm e altura igual a 0cm está cheio de um líquido, que escoa à razão de 1ml/s. a) Determine a velocidade com que a altura do líquido diminui no início do problema. b) Determine a velocidade com que a altura do líquido diminui quando a altura se reduz à um terço da altura inicial. c) Determine a velocidade com que o raio da base varia no início do problema. 64) Imagine um cubo de aresta a cujo volume aumente à razão constante α. Determine, em função de a e α: a) A taa de variação do volume desse cubo. b) A taa de variação da área desse cubo. c) A taa de variação da medida da diagonal desse cubo. 65) Imagine um cone equilátero de raio da base R, cujo volume aumente à razão α, constante. Determine, em função de R e α: a) A taa de variação do raio da base desse cone. b) A taa de variação da altura desse cone. c) A taa de variação da área da base desse cone. 66) Ar é injetado com razão constante de 60ml/s em um balão esférico, inicialmente vazio. Depois de um minuto, determine: a) O volume desse balão. b) O raio desse balão. c) A velocidade na qual o raio do balão aumenta (em cm/s) d) A área do balão. e) A velocidade na qual a área do balão aumenta (em cm /s) 67) Um cubo de aresta igual a 1m aumenta de tamanho devido à epansão térmica. Imagine que a sua aresta aumente na razão de 5mm/ C. a) Determine a taa na qual a área de uma de suas faces varia. b) Determine a taa na qual o seu volume varia. c) Isso condiz com o que você aprendeu no ensino médio sobre dilatação térmica? 68) Uma escada de 15m de comprimento está apoiada em uma parede vertical, a uma distância de 9m do chão. O ponto no qual a escada está apoiada no chão começa a escorregar, afastando-se da parede, com velocidade de cm/s. a) Determine a epressão que calcule a velocidade com a qual o ponto de apoio da escada na parede desce, em função da distância horizontal entre a escada e a parede. b) Determine a epressão que calcule o ângulo formado entre a escada e o chão em função da distância horizontal entre a escada e o chão. c) Determine a epressão que calcule a velocidade com que esse ângulo varia em função da distância horizontal entre a escada e o chão.
d) Como seriam as respostas dos itens anteriores, caso o eercício pedisse que os cálculos fossem feitos em função do tempo, ao invés da distância? 69) Um cubo tem arestas de tamanho que varia com o tempo, de acordo com a epressão a(t) = 40 + 10sen ( 7πt 6 ). a) Determine a velocidade com a qual a aresta varia, em função do tempo t. b) Determine a velocidade na qual o volume varia, quando t = s. 70) Um barril cilíndrico de diâmetro da base igual a 80cm contém 40l de chopp, que é servido através de uma válvula, cuja vazão é de 45ml/s. a) Argumente fisicamente porque o raio não varia. b) Mostre que a velocidade na qual a altura do chopp dentro do barril diminui é constante, e calcule o seu valor. 71) Um garoto feito no Paint empina uma pipa, também desenhada no Paint, sempre com altura constante de 0m, como ilustra a figura. (Que está nitidamente fora de escala) O garoto dá linha com velocidade de 5m/min, de modo que a pipa mantenha a sua altura em relação ao chão, embora sua distância horizontal em relação ao garoto varie com o tempo. Determine, para esse problema: a) A velocidade na qual a pipa se afasta do garoto, em relação ao eio horizontal, no momento relatado. b) A velocidade na qual o ângulo da linha em relação à horizontal varia, também nesse eato momento. 7) Para cada uma das funções a seguir, determine os seus pontos críticos (caso eistam), e verifique se esses pontos serão máimos locais, mínimos locais, ou nenhum deles. a) f() = 5 + 8 b) f() = + 7 1 c) f() = 1 7 + 1 d) f() = +4 e) f() = 1 j) f() = + 1 f) f() = e 5+6 g) f() = 6 6 h) f() = arctg( ) i) f() = ln( 4 4 + 4) k) f() =. ln( + 1) l) f() = 7) Considere uma função de primeiro grau genérica, f: R R, f() = a + b, a 0. Demonstre que essa função não possui nenhum ponto crítico. 74) Considere uma função de segundo grau genérica, f: R R, f() = a + b + c, com a 0. a) Demonstre que essa função possuirá sempre um único ponto crítico, e determine que ponto será esse. b) Defina, em função dos coeficientes a, b e c, se o ponto crítico será um ponto de máimo, um ponto de mínimo, ou nenhum deles. c) Determine o valor máimo (ou mínimo) para f(). Compare esse resultado com a conhecida fórmula de vértice de parábola, do ensino médio. 75) Mostre que as funções f() = sen() e g() = cos() possuem um número infinito de pontos críticos cada uma. 76) Mostre que uma função eponencial da forma f() = α, com α > 0 e α 1 não possui nenhum ponto crítico. 77) Considere uma função de terceiro grau genérica f: R R, f() = a + b + c + d, a 0. Para essa função: a) Determine, em função dos parâmetros (a, b, c, d), a quantidade de pontos críticos que essa função possui. b) Determine, ainda em função dos parâmetros, qual a condição para que essa função possua eatamente dois pontos críticos distintos. c) Mostre que, caso a função possua dois pontos críticos distintos, então obrigatoriamente um deles será ponto de máimo, e o outro será ponto de mínimo. 78) Dentre todos os retângulos de perímetro igual a 100, determine qual tem a área máima. 79) Decomponha o número 6 como o produto de dois números, cuja soma é mínima. 80) Decomponha o número 6 como soma de dois números, cujo produto é mínimo. 81) Dê as medidas dos lados do triângulo retângulo de perímetro igual a 50m, tal que a sua área é a maior possível. 8) Seja um número real positivo. Qual o valor de, de modo que a soma de com o seu inverso seja a menor possível?
8) O senhor Silva deseja fazer um cercado com formato retangular para o seu querido cachorro de estimação, ao lado de sua casa. Ele dispõe de 60m de tela para fazer o cercado, e, como o cercado está ao lado de sua casa, ele irá utilizar o muro de sua própria casa como um dos lados da área para o cachorro, ou seja, ele precisará cercar apenas os três lados com a tela. Determine as dimensões do cercado de modo que o cachorro tenha a maior área possível para ficar confortável. 84) Um arame de 1,m de comprimento será dividido em dois pedaços não necessariamente iguais. Um deles será dobrado de modo a formar um triângulo equilátero, ao passo que o outro será dobrado para formar um heágono regular. a) Determine como deverá ser feita essa divisão de modo que a soma das áreas dos dois polígonos seja a menor possível. b) Determine como deverá ser feita a divisão de modo que a soma das áreas dos dois polígonos seja a maior possível. 85) Considere a figura a seguir: Na figura a seguir está representado um grande quadrado de papel, de lado a. Deste quadrado são recordados, das quatro bordas, quatro quadradinhos de lado. A folha restante (deiada em branco) é dobrada, de forma a se tornar uma caia com formato de paralelepípedo reto-retângulo sem tampa, de altura. Determine, em função de a, o valor de de modo que o volume da caia formada seja o maior possível. 86) Na situação do eercício anterior, qual seria o valor de se o recorte fosse feito numa folha retangular, cujos lados consecutivos medem a e a(1+ 5) (OBS: Estas são as proporções de uma folha sulfite, A4 ) 87) Qual dos pontos do gráfico da função f:r R, f() = 5 14 é o mais próimo da origem? 88) Considere os gráficos das funções dadas: f: R R, f() = 5 5 e g:r R, g() = +. a) Determine uma função que calcule a distância vertical entre as duas funções sobre um ponto dado. b) Determine a distância vertical mínima entre essas duas funções. 89) Dentre todos os pontos da circunferência de equação ( ) + (y + ) = 5, qual o ponto mais próimo do ponto (; )? 90) Determine as dimensões do cone de volume igual a 0l que possui área total mínima. 91) Determine as dimensões do cilindro de volume igual a 0πl que possui área total mínima. 9) Determine as dimensões da pirâmide regular de base quadrada e volume igual a 100m que possui área total mínima. 9) Na figura a seguir, está representado um rio, de margens paralelas, e largura constante de 5Km. De um dos lados da margem do rio está uma cidade produtora de petróleo, P, e do outro lado do rio, a uma distância horizontal de 0Km, está uma cidade receptora, R. Para transportar petróleo entre as duas cidades, será construído um oleoduto, que terá uma parte por terra, seguindo uma das margens do rio, do ponto P ao ponto C. E uma segunda parte por baio d água, entre o ponto C e o ponto R. A construção de cada quilômetro de oleoduto por terra é duas vezes mais barata do que a construção de um quilômetro de oleoduto por baio d água. Determine a distância entre P e C que minimize o custo total de produção do oleoduto entre as cidades P e R. 94) Faça um resumo/roteiro sobre como esboçar gráficos de funções reais.
95) Demonstre que, se f() é tal que seu gráfico apresenta uma assíntota horizontal à esquerda, então o gráfico de f() não pode apresentar assíntota oblíqua à esquerda. 96) Interprete geometricamente as fórmulas para a obtenção de assíntotas (horizontais, verticais e oblíquas) 97) Eplique porque só podemos ter assíntotas verticais quando a função apresentar pontos fora do domínio. 98) Interprete geometricamente o significado da derivada segunda de uma função. 99) Dê um eemplo de função tal que f (p) = 0, mas p não é ponto de máimo local, nem de mínimo local. 100) Dê um eemplo de função tal que f (p) = 0, mas p não é um ponto de infleão. 101) Para cada uma das funções dadas abaio, siga o roteiro, com a intenção de fazer o esboço gráfico no final da questão. Se você julgar mais fácil inverter a ordem dos passos, fique a vontade. O roteiro é sugerido, mas não obrigatório. - Determine o domínio da função - Calcule a derivada primeira da função - Determine os pontos críticos da função - Avalie a função quanto a crescimento e decrescimento, obtendo assim os pontos de máimo e mínimo locais - Calcule a derivada segunda da função - Determine os candidatos a ponto de infleão - Avalie a função quanto a concavidade, obtendo assim os pontos de infleão da função - Determine as assíntotas - Esboce o gráfico a) f() = + b) f() = + 1 c) f() = 4 d) f() = e) f() = 1 j) f() = +1 o) f() = 1 t) f() = tgh() f) f() = e g) f() = e h) f() = 4 + + 1 i) f() = 4 k) f() = l) f() = +1 1 p) f() = +1 q) f() = 4+ 1+ +1 m) f() = +1 n) f() = e e r) f() = senh() s) f() = cosh ()