TEORIA ELEMENTAR DA PROBABILIDADE

TEORIA ELEMENTAR DA PROBABILIDADE Da Origem às Aplicações: As origes do cálculo de probabilidade remotam ao século XVI e suas aplicações referiam-se sempre a jogos de azar. Os jogadores ricos aplicavam o cohecimeto da teoria das probabilidades para plaejar estratégias de apostas. Aida hoje há muitas aplicações evolvedo tais jogos, como as loterias, os cassios, as corridas de cavalos e os esportes orgaizados. Com o decorrer do tempo, a utilização das probabilidades ultrapassou o âmbito desses jogos e, atualmete, os goveros as empresas e as orgaizações profissioais icorporam esta teoria em seus processos diários de deliberações. Idepedete de sua aplicação, a utilização de probabilidade idica que eiste um elemeto de acaso (ou de icerteza), quato à ocorrêcia ou ão de um eveto futuro. Em muitas situações pode ser impossível afirmar, por atecipação, o que ocorrerá, mas é possível dizer o que pode ocorrer. O estudo das probabilidades é útil porque auilia a desevolver estratégias e a tomada de decisões. Coceitos: O poto cetral da teoria das probabilidades é quatificar quão provável é a ocorrêcia de determiado eveto. Em geral, é possível determiar ou eprimir a probabilidade de um eveto, mediate uma combiação de eperiêcia, julgameto e dados históricos. Eemplos: a) previsão da procura de um ovo produto; b) previsão de safras agrícolas; c) previsão de tempo em várias regiões; d) compra de apólices de seguro; e) avaliação do impacto de um projeto do govero; f) aplicação de ivestidores que depede das chaces de lucro. Eperimeto Aleatório: (E) É todo feômeo ou ação que geralmete pode ser repetido e cujo resultado é casual ou aleatório. Espaço Amostral: (S) É o cojuto de todos os resultados possíveis de um eperimeto aleatório. Eveto: (A, B, C, D, F,..., R, T,...) É um subcojuto do espaço amostral, ou seja, são algus resultados do eperimeto claramete especificados. Eemplos: a) E: Laçar um dado e observar o º da face voltada para cima. S: {; ; 3; 4; 5; 6} Eveto A: ocorrer um úmero par. A {; 4; 6} Eveto B: ocorrer um úmero maior que 4. B {5; 6} Eveto C: ocorrer um úmero primo e par. C {} b) E: Laçar duas moedas e observar o resultado: c (cara) e k (coroa). S: {( cc );( ck) ; ( kc) ; ( kk) } Eveto A: ocorrer mais de uma coroa. A {(kk)} Eveto B: ocorrer pelo meos uma cara. B {(cc); (ck); (kc)} Eveto C: ocorrer apeas uma coroa. C {(ck); (kc)}

Tipos de Evetos: A determiação de probabilidade leva em cota a maeira como os vários evetos podem relacioar-se etre si. Essas relações são descritas pelos os seguites evetos:. Mutuamete ecludetes (eclusivos) ou disjutos;. Não mutuamete ecludetes ou cojutos; 3. Coletivamete eaustivos; 4. Complemetares; 5. Idepedetes; 6. Depedetes Mutuamete Ecludetes ou Disjutos São aqueles em que a ocorrêcia de um eveto impede ou eclui a ocorrêcia do outro. Eemplo: a) Laces de uma moeda (cara ou coroa) b) Laces de um dado c) Seo de um aimal (masc. ou femi.) d) Artigos produzidos (bos ou defeit.) Não mutuamete ecludetes ou Cojutos São os evetos que podem ocorrer ao mesmo tempo. A ocorrêcia de um eveto ão eclui a ocorrêcia do outro. Eemplo: a) Sistema Ecoômico Eveto A: iflação. Eveto B: recessão b) Tempo chuvoso Eveto A: relâmpago Eveto B: chuva Evetos Coletivamete Eaustivos É quado ao meos um dos evetos tem de ocorrer durate um dado eperimeto. Nehum outro resultado é possível, porque se esgotam todas as possibilidades. Eemplo: a) Jogo de futebol Eveto A: gahar; Eveto B: perder; Eveto C: empatar b) Loteria esportiva Eveto A: colua ; Eveto B: colua do meio; Eveto C: colua _ Evetos Complemetares ( A ) O complemeto de um eveto A cosiste de todos os resultados possíveis que ão fazem parte de A. _ Eemplo: a) Lace de moedas: A cara ; A coroa _ b) Ispeção de um lote de peças produzidas: A peças perfeitas; A peças defeituosas. Evetos Idepedetes São aqueles em que a ocorrêcia de um deles ão afeta de maeira alguma a probabilidade de ocorrêcia do outro eveto. Eemplo: a) Dois laces sucessivos de um dado ou de uma moeda. b) Etração de bolas de uma ura, com reposição. Evetos Depedetes São aqueles em que a ocorrêcia de um eveto afeta a probabilidade de ocorrêcia do outro. Eemplo: a) Etração de bolas de uma ura, sem reposição. Obs: Evetos mutuamete eclusivos são altamete depedetes. Probabilidade a Priori ou Clássica Dada uma eperiêcia aleatória defiida um espaço amostral S, a probabilidade de ocorrer em eveto E, cotido em S, é o quociete etre o úmero de elemetos do eveto E e o úmero de elemetos do espaço amostral S. Em outras palavras, é o valor calculado com base em cosiderações teóricas, dispesado uma eperimetação sobre o objeto estudado. É de grade importâcia como referecial ou termo de comparação. Para um espaço S, a probabilidade de um eveto E é dado por: ( ) ( E) P E S ( )

Eemplo: Supoha-se que desejamos determiar a probabilidade do aparecimeto de coroa em uma jogada de uma moeda. Como eiste dois resultados igualmete prováveis, a saber, cara e coroa, e como só há uma maeira de aparecer coroa, dizemos que a probabilidade do eveto coroa a jogada de uma moeda é. Cosiderado que tal moeda seja hoesta, ou ão-viciada. Probabilidade a Posteriori ou Frequecialista Trata-se da probabilidade avaliada, empírica. Ela tem por objetivo estabelecer um modelo adequado à iterpretação de certa classe de feômeo observados (ão todos). Portato, ela depede da amostra cosiderada: quado maior a amostra (e de melhor qualidade), mais cofiável é o valor da probabilidade a posteriori. Com base o coceito de freqüêcia relativa podemos etão defiir a probabilidade a posteriori para dado eveto E: Número de ocorrêcias de E P(E) ----------------------------------------------------------- Número total de provas ou ocorrêcias Eemplo: Se jogarmos uma moeda.000 vezes e aparecer cara 653 vezes, estimamos a probabilidade de cara em 653 0,653 65,3%.000 Aiomas da Probabilidade - Para todo eveto E do espaço amostral S temos 0 P(E), ou seja, a probabilidade está sempre o itervalo fechado 0 e. - Para todo eveto certo S temos P(S) - Para um úmero qualquer de evetos mutuamete ecludetes E, E,..., E pertecetes ao espaço amostral S, temos: P(E E E 3... E ) P(E ) + P(E ) +... + P(E ) Pricipais Teoremas sobre Probabilidade - O eveto impossível possui probabilidade 0 (zero), P( ) 0 - Se E c é o eveto complemetar de E, etão P(E c ) P(E) - Para quaisquer evetos A e B, P(A) P(A B) + P(A B c ) - Se A B etão P(A) P(B) - Se A e B são dois evetos quaisquer associados a um espaço amostral S, etão: P( A B ) P(A) + P(B) P( A B ) - Se os evetos A e B forem mutuamete eclusivos, isto é, A B, o teorema supra é simplificado: P( A B ) P(A) + P(B) Probabilidade Codicioal Sejam dois evetos A e B associados a um espaço amostral S. A probabilidade de A ocorrer dado que o eveto B ocorreu é defiida por: P ( ) ( AI B) P A B ode P(B) > 0 P( B) Portato, quado calculamos P(A/B), tudo se passa como se o eveto B fosse um ovo espaço amostral reduzido detro do qual queremos calcular a probabilidade do eveto A.

Eemplo: Duas bolas são retiradas de uma ura que cotém bolas bracas, 3 bolas pretas e 4 bolas verdes. Qual a probabilidade de que ambas: a) sejam Verdes? b) sejam de mesma cor? P V V P V. P V 4. 3 Resolução: a) ( ) ( ) ( ) V 9 8 6 b) P ( MC ) P( B B) + P( P P) + P( V V ). + 3. + 4. 3 0 9 8 9 8 9 8 7 5 8 Teorema do Produto Sejam dois evetos A e B associados a um espaço amostral S. Etão a probabilidade de ocorrer o eveto P ( A B) P( B ) P( A) ou P ( A B) P( A ) P( B). Que pode ser geeralizada para vários evetos segudo A B uma regra baseada a associatividade de evetos: ( A B C D) P( D ) P( C ) P( B ) P( A) P. A B C A B A Eemplo: Uma ura cotém as letras A, A, A, R, R, S. Retira-se letra por letra. Qual a probabilidade de sair a palavra ARARAS? Resolução: P P ( A R A R A S) ( A). P( R A). P( A A R). P( R A R A). P( A A R A R). P( S A R A R A) 3..... 6 5 4 3 Evetos Idepedetes 60 Sejam dois evetos A e B associados a um espaço amostral S. Se A e B são evetos idepedetes etão P ( A ) P( A) e P( B ) P( B) logo pelo teorema do produto temos: B A P ( A B) P( B) P( A) ou P ( A B C D) P( D) P( C) P( B) P( A). Eemplo: Sedo S {,,3,4} um espaço-amostral equiprovável e A {,}; B {,3} ; C {,4} três evetos de S. Verificar se os evetos A, B, C são idepedetes. Resolução: Para A e B. P(A) /; P(B) / e P(A B) /4 pelo Teorema do produto P(A B) P(A).P(B) /4. Para A e C. P(A) / ; P(C) / e P(A C) /4 pelo Teorema do produto P(A C) P(A).P(C) /4. Para B e C. P(B) / ; P(C) / e P(B C) /4 pelo Teorema do produto P(B C) P(B).P(C) /4. Para A, B e C. P(A) /; P(B) /; P(C) / e P(A B C) /4; mas P(A B C) P(A).P(B).P(C) portato os evetos A, B e C ão são idepedetes. Teorema da Probabilidade Total Sejam A, A, A 3,..., A evetos que formam uma partição do espaço amostral S. Seja B um eveto desse espaço. Etão P ( B) P( A B) P B i P( A i ) i Teorema de Bayes i A i. Sejam A, A, A 3,..., A evetos que formam uma partição do espaço amostral S. Seja B S. Sejam cohecidas P ( A ) i e P B, i,, 3,...,. Etão Ai

i ( A ) P j P B A A j j P, j,, 3,...,. B P B ( ) P A A i i Eemplo : Observado a seguite tabela: Escolheu-se uma ura ao acaso e dela etraiu-se uma bola ao acaso, verificado-se que a bola é vermelha. Qual a probabilidade de a bola ter vido da ura 3. Resolução: Probabilidade a priori: P(u ) /3; P(u ) /3; P(u 3 ) /3 Probabilidades Codicioais: P(vr/u ) 6/ /; P(vr/u ) 3/ /4; P(vr/u 3 ) 4/ 9 Desejamos calcular P(u 3 /vr). Logo : P ( ) ( u3 ). P( vr u3 ) P u3 vr P( u ). P( vr u ) + P( u ). P( vr u ) + P( u3 ). P( vr u3 ) P uras cores u u u 3 Pretas 4 5 3 Bracas 4 Vermelhas 6 3 4 3.4 9 3 3. + 3. 4 + 3.4 9 ( u vr) 6 43 0,37093 37,%

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Variáveis Aleatórias Discretas É a variável que pode assumir, com probabilidade diferete de zero, um úmero fiito de valores detro de um itervalo fiito (caso típico é quado efetuamos cotagem) Eemplo: E: laçameto de duas moedas; (c coroa; k cara) X: úmero de caras obtidos as duas moedas; S: {(c, c); (c, k); (k, c); (k, k)} X 0 correspode ao eveto (c, c) com probabilidade /4 X correspode ao eveto (k, c); (c, k) com probabilidade /4 X correspode ao eveto (k, k) com probabilidade /4 Esperaça Matemática ou Valor Esperado Se X represeta uma variável aleatória discreta assumido valores X, X, X 3,..., X com probabilidades p, p, p3,..., p, respectivamete, sedo p i, a esperaça matemática de X, represetada por E(X) é dada i por: E (X) X i p i i O valor esperado, a eemplo da média aritmética para distribuição de freqüêcias, é uma medida de tedêcia cetral ou posição, só que utiliza a freqüêcia relativa ou probabilidade. Eemplo: º- A Empresa Eletrotel Ltda vede três produtos, cujos lucros e probabilidades de veda estão aotado a seguite tabela: Produto A B C Lucro Uitário R$ 7 45 3 Probabilidade de veda (%) 0 30 50 Qual o lucro médio por uidade vedida. Resolução: Seja a variável aleatória X lucro uitário e P(X) sua probabilidade respectiva de 3 veda como mostra a tabela logo: E (X) Xi P(Xi ) (70,0) + (450,30) + (30,50) 34,9 i Teoremas sobre a Esperaça Matemática - Se k é uma costate, E(k) k - Se X é uma variável aleatória e k uma costate, E (kx) ke(x) - Se X e Y são variáveis aleatórias o mesmo espaço amostral, etão E (X ± Y) E(X) ± E(Y) - Se X e Y são variáveis aleatórias idepedetes, etão E (XY) E(X) E(Y) Eemplo: º- Cosidere X a importâcia em diheiro que podemos receber de prêmio em um certo jogo De azar. Se para participar do jogo temos de pagar a quatia de R$ 4, 00, pede-se determiar o gaho esperado, supodo E(X) R$ 3,00. Resolução: Se pagarmos R$ 4,00 para participar do jogo, o gaho líquido é represetado pela variável aleatória L X 4, cujo valor esperado de gaho será: E(L) E (X 4) E(X) 4 E(L) 3 4,00, com este resultado chegamos à coclusão que há uma perda esperada de R$,00.

Variâcia A variâcia de uma variável aleatória discreta é um úmero ão egativo defiido como: σ E[ ( X µ ) ] ou aida, σ E( X ) [ E( X )] lembramos que E ( X ) Xi P( Xi ) i A variâcia é uma medida de dispersão dos valores da variável aleatória em toro da média µ. Quado os valores tedem a cocetrar-se próimos da média, a variâcia é pequea, caso cotrário a variâcia é grade. Teoremas sobre a Variâcia - Se k é uma costate, σ (k) 0 ou Var(k) 0 - Se X é uma variável aleatória e k uma costate, σ (kx) k σ ou Var(kX) k Var(X) - Se X e Y são variáveis aleatórias idepedetes, etão Var(X ± Y) Var(X) +Var(Y) - Se X é uma variável aleatória e a e b costates, Var(aX ± b) a Var(X) Eemplo: 3º- Um de processo fabricação produz peças com peso médio de 0g e desvio-padrão de 0,5g. Essas Peças são acodicioadas em pacotes de uma dúzia cada. As embalages pesam em média 30g com desvio-padrão de,g. Determiar a média e o desvio-padrão do peso total do pacote. Resolução: Supoha que o peso das peças (X) e o peso da embalagem (Y) sejam duas variáveis idepedetes, isto é, o peso do material empacotado ão é iflueciado pelo peso do pacote. Chamado o peso total do pacote por T, temos: T X + Y Logo E(T) E(X) + E(Y) e Var(T) Var(X) + Var(Y) como E(X) 0, E(Y) 30, Var(X) 0,5, Var(Y),44 teremos Cálculo do peso médio: E(T) ( 0) + 30 70g Cálculo do desvio-padrão: Var(T) 0,5 +,44 37,44 logo Dp(T) 37,44 6,g Distribuição Biomial É a distribuição que evolve um úmero fiito de tetativas; os resultados das diversas tetativas são idepedetes de tal modo que a probabilidade de que certo resultado seja a mesma em cada tetativa; cada tetativa admite somete dois resultados, mutuamete eclusivos, tecicamete chamados sucesso e fracasso. A distribuição biomial é caracterizada por dois parâmetros, p e. Ode p é o parâmetro cotíuo é o parâmetro discreto. Quado p - q a distribuição é chamada simétrica, caso cotrário assimétrica. A variável X, correspodete ao úmero de sucessos um eperimeto Biomial, tem Distribuição Biomial B(, p), cuja fução de probabilidade é dada por: B(K:, p) P( X K ) p q C p q ode: úmero de tetativas; X úmero de sucessos etre tetativas; Parâmetros Característicos da Distribuição Biomial Cada par de valores p Probabilidade de sucessos e º de provas ou observações, caracteriza uma úica Distribuição Biomial ou um úico espaço amostral: Valor esperado: µ E(X).p Variâcia: Var().p.q, com (q p) Desvio Padrão: D p (X). p. q Eemplo: 4º-Um caça Americao dispara quatro torpedos, em cadêcia rápida, cotra o povoado do afegaistão. Cada torpedo tem probabilidade igual a 90% de atigir o alvo. Qual a probabilidade de o povoado receber pelo meos um torpedo?

Resolução: Cosideremos a variável aleatória X º de torpedos que atigem o alvo, com parâmetros 4, p 0,90 e q 0,0. Sabemos que P(X 0) + P(X ), ou seja, P(X ) P(X 0) mas 4 0 40 P ( X 0) C ( 0,9) ( 0,) 0, 000 logo P(X ) 0,000 0,999 99,9% 0 Distribuição de Poisso Trata-se do caso limite da distribuição biomial quado o úmero de provas tede para o ifiito e a probabilidade p do eveto em cada prova é viziha de zero. Em essêcia, a Distribuição de Poisso é a distribuição biomial adequada para evetos idepedetes e raros, ocorredo em um itervalo de tempo, superfície ou volume. Cumpre destacar que a uidade de medida é cotíua (em geral tempo, superfície ou volume), mas a variável aleatória (úmero de ocorrêcias) é discreta. É também chamada Distribuição de evetos raros, como por eemplo: Número de chamadas telefôicas recebidas por um PABX durate um pequeo itervalo de tempo; Número de falhas de um computador por dia de operação; Número de clietes por hora que chegam a um guichê de caia; Número de defeitos/m de tecidos produzidos por uma idústria; Número de acidetes de trâsito/dia uma rodovia. O processo de Poisso é similar ao de Biomial, eceto que os evetos ocorrem um itervalo cotíuo de tempo, superfície ou volume, ao ivés de ocorrerem em tetativas ou observações fiadas. Somete um valor é ecessário para determiar a probabilidade de determiado úmero de sucessos, pelo processo de Poisso: o úmero médio de sucessos para especifica dimesão de tempo, superfície ou volume, represetado por λ. Dizemos que a variável aleatória X tem Distribuição de Poisso, dado λ, cuja fução de probabilidade é: λ λ e P( X K) lim C p q ode: X º de ocorrêcias ou sucessos; base eperiaa; λ valor esperado; Parâmetros característicos da Distribuição Poisso Valor esperado: E(X) λ.p Variâcia: Var(X) λ Desvio Padrão: D p (X) λ Eemplo: 5º- Calcular a probabilidade de passarem eatamete dois carros por miuto em um posto de pedágio em que passam, em média, quatro carros por miuto. Resolução: Sabemos que a variável aleatória X º de carros por miuto com média λ 4. Teremos etão:! P(X ) 4 4 l! 0,47 4,7% Distribuição de Poisso utilizada como aproimação das Probabilidades Biomiais Quado o úmero de observações ou eperimetos um processo de Biomial for muito grade, os cálculos de probabilidade se toram etremamete eaustivos, além de ão serem dispoíveis probabilidades tabeladas para pequeos valores de p. A Distribuição de Poisso é apropriada como aproimação das probabilidades Biomiais quado for grade e p ou q -p for pequeo. Tal aproimação pode ser feita quado: 30.p < 5 ou (-p) < 5, esse caso, µ.p

Variáveis Aleatórias Cotíuas Vamos ampliar a idéia de variável aleatória para o caso em que os possíveis resultados do eperimeto são represetados pelos ifiitos valores de um itervalo cotíuo. Para que os métodos estatísticos possam ser aplicados a uma grade variedade de problemas é ecessário trabalhar com distribuições teóricas, que represetem satisfatoriamete as distribuições obtidas com dados de observação. Para as variáveis cotíuas isto sigifica substituir o histograma/polígoo de freqüêcia obtido com os dados amostrais vão crescedo idefiidamete, tededo, portato, para a população. As probabilidades assumidas pela variável cotíua poderão ser determiadas com o cohecimeto da distribuição de probabilidade cotíua correspodete. A distribuição cotíua será caracterizada por uma Fução desidade de Probabilidade, desigada por f(), a qual deverá obedecer às seguites Propriedades: f() 0 b f ( ) d p( a < b), b > a a + f ( ) d A primeira propriedade decorre do fato de ão haver probabilidade egativa. A seguda idica que a probabilidade da variável aleatória assumir valor um itervalo será dada pela itegral da fução esse itervalo. Iterpretada geometricamete, será dada pela área delimitada por esse itervalo sob o gráfico da fução. A terceira propriedade, uma decorrêcia da seguda, diz que a área total sob o gráfico da fução é uitária. Eemplo: 6º- Seja a variável aleatória cotíua, defiida pela seguite fução desidade de probabilidade: f() K, para 0 f() 0, caso cotrário. Vamos determiar o valor da costate K, de modo que f() seja uma fução desidade de probabilidade e a probabilidade P(0 ) Para que f() K seja uma fução desidade de probabilidade a terceira propriedade deverá ser satisfeita. Etão k. d k. 0 0 cuja solução temos K logo: f()., para 0. Para determiarmos a probabilidade P(0 ) precisamos itegrar a fução desidade f() Logo: P(0 ).. d. 0 4 Observações Importates. esse itervalo, Note-se que f(), a fução desidade, ão é probabilidade. Somete quado fução for itegrada etre dois limites, ela produzirá uma probabilidade, que será a área sob a curva da fução o itervalo cosiderado. A fução desidade é um idicador da cocetração de massa (probabilidade) os possíveis valores de. Sedo uma variável aleatória cotíua as probabilidades abaio são equivaletes: P(a < b) P(a b) P(a < b) P(a < < b).

Parâmetros da Variável Aleatória Cotíua Média ou Esperaça Matemática + É defiida por: µ E(X) + Variâcia É defiida por: σ (k) Var(X) Var(X) E ( ) [E()] Desvio Padrão É defiido por: D p (X) Var (). f ( ). d + +. f ( ). d. ( ). f d ou Eemplo: 7º- Vamos determiar a média, a variâcia e o desvio padrão da fução desidade f() o itervalo 0 e f() 0, para outros valores de., Cálculo da média E(X) +. f ( ). d 0.. d 4 3 Cálculo da Variâcia Var(X) E( ) [E()] 0,... 9 Cálculo do Desvio Padrão D p (X) Var () 0,47 Distribuição Uiforme de Probabilidade Se uma variável aleatória assume valores o itervalo [a, b] com Fução Desidade de Probabilidade dada por, f ( ) b a Diremos que admite distribuição uiforme de probabilidade. Eemplo: Um poto é escolhido ao acaso o itervalo [, 6], como sedo uma variável aleatória com distribuição uiforme. Qual a probabilidade de que um poto escolhido esteja etre 3,5 e 5,5? Determie E(); Var(); cuja F.D.P é dada por f ( ) se 6 b a 0 se < ou > 6

f f b a 6 4 ( ) se 6 ( ) 0 se < ou > 6 5,5 5,5 4 a) P ( 3,5 5,5) f ( ). d d d [ ] 3,5 ( 5,5 3,5) 50% b) E ( ). f ( ) 3,5 3,5 b + a 6 + d 4 6 4 5,5 3,5 4 5,5 4 σ Var ( ) ( b a) ( 6 ) 6 4 3 Distribuição Normal A curva ormal é a distribuição cotíua mais importate tato do poto de vista teórico quato as aplicações práticas da estatística. Ela foi estudada por Laplace o tratameto aalítico de probabilidade e por Gauss os erros acidetais. Por isso, é também cohecida por curva de Laplace-Gauss, curva ormal de probabilidades, curva ormal de erros ou distribuição gaussiaa. Vale salietar que em uma distribuição ormal: - a probabilidade de um valor sigular é zero; - só há setido em determiar probabilidade de itervalos. A probabilidade de a variável assumir valores o itervalo [, ] correspode à área sob a curva limitada por e. f() p( ) µ Os valores dessas áreas podem ser obtidos por itegração, mas a prática são facilmete calculados por meio de uma tabela que forece diretamete a área etre a média e determiado valor da variável. Em essêcia, trabalha-se com X µ uma curva ormalmete padroizada, ode a variável X é substituída pelo escore reduzido Z. ode: Z Dp(X) em que µ é a média e Dp(X) o desvio padrão. Pode ser verificado que a variável reduzida Z possui média zero e desvio padrão um. A fução de desidade para esta distribuição é dada por:

µ 0,5 Dp(X) f(x) l Dp(X) π possuido as características que se seguem: - f(x) é simétrica em relação à origem X µ; - f(x) possui máimo para X µ; - f(x) tede para zero quado X tede para + ou - ; - f(x) possui dois potos de ifleão cujas abscissas valem µ + Dp(X) e µ - Dp(X). Eemplo: 8º-A distribuição de freqüêcia do período de iteração o Hospital regioal de Pau dos Ferros é em média µ 4,6 dias com um desvio-padrão de,7 dias (medido-se frações de dias). Qual a probabilidade de que um paciete escolhido aleatoriamete esteja iterado: a) a mais de 3 dias? b) meos de 4 dias? Resolução: Sabemos que µ 4,6 e DP(),7. Fazedo X a variável Normal, tempo de iterameto, Etão: 3 4,6 a) Z - 0,59 a tabela ecotramos para Z 0,59 o valor 0, 4 logo,7 P (X > 3) P (Z > 0, 59) 0, 5 + 0, 4 7, 4% 4 4,6 b) Z - 0, a tabela ecotramos para Z 0, o valor 0, 087 logo,7 P (X< 4) P (Z < - 0,) 0,5 0,087 0,49 4,9%

TEORIA DA AMOSTRAGEM NOÇÕES SOBRE AMOSTRAGEM POPULAÇÃO E AMOSTRAS: População ou Uiverso: É o grupo ode podemos etrair a amostra cujos elemetos que compõem a população podem ser: Idivíduos, Firmas, Escolas, Preços, ou qualquer coisa que possa ser mesurada (medida), cotada ou ordeada. Amostragem: É o cojuto de técicas utilizadas par a seleção de uma amostra. Este cojuto de técicas pode ser subdividida em dois grupos básicos: Amostragem aleatória e a Amostragem ão aleatória. Amostragem Aleatória iclui técicas como: Amostragem Aleatória simples: É aquela em que se atribui aos grupos de mesma quatidade de elemetos a mesma probabilidade de participar da amostra. Em particular cada elemeto da população tem a mesma probabilidade de participar da amostra. Amostragem Sistemática: Quado se cohece uma listagem dos elemetos da população pode-se obter uma amostra aleatória de elemetos dividido-se o úmero de elemetos da população pelo tamaho da amostra. 3- Amostragem Estratificada: É aquela ode pode ocorrer que a população seja formada por subgrupos diferetes, mas cada um deles homogêeos. Neste caso, vamos selecioar aleatoriamete uma quatidade de cada grupo para formar a amostra, proporcioal ao tamaho desse grupo. 4 Amostragem por Coglomerados: É quado podemos idetificar um grupo de elemetos que teham aproimadamete a mesma composição de população. Neste caso, pode ser iteressate realizar a amostragem usado somete os elemetos desse grupo. Amostragem ão Aleatória iclui técicas como: Amostragem Itecioal: É aquela que ocorre quado o pesquisador selecioa itecioalmete (proposital) os compoetes da amostra. Amostragem Volutária: É quado o compoete da população se oferece volutariamete para participar da amostra idepedetemete do julgameto do pesquisador. Estas amostras ão permitem o cotrole da variabilidade amostral, o que ivibializa o cotrole da qualidade da estimação. DISTRIBUIÇÃO DE MÉDIAS AMOSTRAIS É uma distribuição de probabilidade que idica quão prováveis são diversas médias amostrais. A distribuição é fução da média e do desvio padrão da população e do tamaho da amostra. Para cada combiação de média, desvio padrão e tamaho da amostra, haverá uma úica distribuição de médias amostrais. MÉDIA AMOSTRAL: Sejam,,..., variáveis aleatórias para uma amostra de tamaho tal como descrita ateriormete. Etão, a média da amostra, ou a média amostral, é uma variável aleatória defiida por: X + +... + Se,,..., deotam valores obtidos uma determiada amostra é dada por + + +... Eemplo: Se uma amostra de tamaho 8 tem para valores 5; 8; 7; 9; 3; 6; 0;, etão a média amostral é: 5 + 8 + 7 + 9 + 3 + 6 + 0 + 8 50 6,5 8

São importates os seguites teoremas: DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS Teorema I A média da distribuição amostral de médias, represetada por µ é dada por ( E ) µ µ, ode µ é a média da população. Podemos cocluir que o valor esperado da média amostral é a média da população. Teorema II Se a população é ifiita, ou se a amostragem é com reposição, etão a variâcia da distribuição σ amostral de médias, represetada por σ é dada por σ ; ode σ é a variâcia da população. Teorema III Se a população é fiita e tem tamaho N, se a amostragem é sem reposição, e se o tamaho da amostra é > 0, 05N, etão o desvio-padrão do Teorema II será σ N σ, ode N DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE PROPORÇÃO N N é chamado fator de correção fiita Seja uma população ifiita biomialmete distribuída, com p e q p represetado respectivamete as probabilidades de determiado elemeto acusa, ou ão, certa propriedade P. Obtemos etão uma distribuição amostral de proporções cuja média µ p e desvio-padrão σ p são dados por µ p P σ p pq p( p)