TESTE DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÕES

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1 TESTE DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÕES Este resumo visa auxiliar aos cadidatos que farão a prova para Fiscal ISS-SP, cujo programa, o Edital, cotempla Teste de Hipóteses para Médias e Proporções. Vem, assim, complemetar a aula dispoibilizada em (Toque 14) sobre Teste de Hipóteses, a qual foram abordados os coceitos sobre o que seja um Teste de Hipóteses, tipos de erro, tipos de teste (bilateral ou uilateral), cálculo da estatística teste, etc. Estes coceitos valem também para o Teste de Hipóteses para Proporções. Tal aula objetivou muir de cohecimetos básicos sobre o assuto os cadidatos que, em agosto, prestariam o cocurso para Fiscal-RS e cujo programa, o Edital, previa apeas o Teste de Hipóteses para a Média e, coforme pode ser lido a págia 1 da referida aula: "Os mesmos pricípios descritos o iício deste resumo aplicam-se aos demais testes. O que muda é a forma de cálculo da estatística teste e as tabelas a serem utilizadas."... "Em outra oportuidade poderei vir a falar especificamete dos outros Testes de Hipóteses, mas com a tarefa facilitada por este resumo. Quem o eteder bem, ão terá dificuldade em eteder os demais Testes." Assim, é fudametal, para quem aida ão estudou o assuto "Teste de Hipóteses", ler primeiramete a aula do Toque 14. No presete resumo ão abordaremos ovamete os coceitos já vistos, apeas mostraremos as pricipais difereças do Teste de Hipóteses para Proporções em relação ao Teste de Hipóteses para a Média, que deverá estar perfeitamete assimilado pelo cadidato. Também, assim como a aula aterior, será demostrada a parte prática de resolução de questões através de exemplos. Defiição: Assim como o Teste de Hipóteses para a Média, é uma regra de decisão utilizada para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base em elemetos amostrais. A difereça é que, equato o Teste para Médias os dados amostrais se apresetam através de medidas, o Teste para Proporções os dados se apresetarão a forma de percetagem (ou proporção) de elemetos com uma determiada característica, que será testada em relação à percetagem alegada para a população. Por exemplo: proporção para uma determiada doeça, proporção de peças defeituosas, proporção de eleitores de um cadidato, proporção de pessoas que possuem DVD em uma cidade, etc. Teremos etão os Testes para Proporções as seguites Hipóteses: 1) Para o teste Bicaudal ou Bilateral: Hipótese Nula H : p p Hipótese Alterativa H 1 : p p Ode: p é o valor alegado para a proporção populacioal. TH-PROP.doc Pedro Bello Págia 1

2 2) Para o teste Uicaudal ou Uilateral à direita Hipótese Nula H : p p Hipótese Alterativa H 1 : p > p 3) Para o teste Uicaudal ou Uilateral à esquerda Hipótese Nula H : p p Hipótese Alterativa H 1 : p < p A pricipal difereça etre os dois testes é que o Teste de Hipóteses para a Média precisávamos os preocupar com o tamaho da amostra e se era cohecida ou ão a variâcia populacioal para decidir se usávamos a Tabela Normal ou a Tabela t-studet. Já o Teste de Hipóteses para Proporções ão precisamos os preocupar com isso, pois para ecotrar o valor tabulado a ser comparado com o valor calculado (estatística teste) usaremos sempre a TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO. Peso que este tipo de teste fica até mais fácil do que o ateriormete visto, pois é um detalhe a meos para se preocupar. Z CALC Cálculo da estatística teste (Z CALC ): Para quem assimilou bem o cálculo da estatística teste para a média, dado por: X μ, ficará fácil assimilar o cálculo da estatística teste para proporções. σ Basta eteder que substituiremos, o umerador da fração: X (média amostral) por f (proporção ou freqüêcia relativa a amostra); μ (média alegada para a população) por p (proporção alegada para a população); No deomiador da fração, tíhamos, a estatística teste para a média, σ. Mas, σ (sigma) é o desvio padrão populacioal. Relembremos etão que a variâcia, a Distribuição de Beroulli (sucesso ou fracasso), é dada pelo produto p q, ode p é a probabilidade de sucesso e q é a probabilidade de fracasso igual a (1 p), pois p e q são complemetares, ou seja, p + q 1. Logo, o desvio padrão será p q. Se p é a proporção favorável (sucesso) a população, (1 p ) será a proporção desfavorável (fracasso). Etão substituido σ por p ( 1 ) ( 1 p ) p e colocado ambos sob um radical úico fica: p, teremos, para o deomiador: ( 1 p ) p. Assim, o cálculo da estatística teste para proporções será: Z CALC p ( 1 p ) TH-PROP.doc Pedro Bello Págia 2

3 Relembrado, da aula aterior, os critérios de aceitação ou rejeição de H : 1) No teste bilateral Se Z TAB B < ZCALC < Z TABB, aceitaremos H. - Z TAB Z TAB Caso Z CALC < - Z TAB, ou Z TAB < Z CALC, rejeitaremos H. 2) No teste uilateral à direita Se Z CALC < Z TAB, aceitaremos H. Z TAB Se Z TAB B < ZCALC, rejeitaremos H. TH-PROP.doc Pedro Bello Págia 3

4 3) No teste uilateral à esquerda: Se Z TAB B < ZCALC, aceitaremos H. -Z TAB Se Z CALC < Z TAB, rejeitaremos H. Relembrado também o roteiro para resolução de questões de Teste de Hipóteses (que o de proporções é meor) para a seguir aplicá-lo em algus exemplos: Alterativa (H 1 ); 1º Passo: Pelo euciado do problema, estabelecer a Hipótese Nula (H ) e a Hipótese 2º Passo: Utilizado a Tabela Normal Padrão, ecotrar o valor de Z TAB ; B 3º Passo: Fazer o deseho da curva, plotado o eixo das abscissas o valor tabelado, o qual será a froteira etre a área de aceitação (RA) e a(s) área(s) de rejeição (RC-Região Crítica); 4º Passo: Calcular a estatística teste (Z CALC ), utilizado a fórmula dada ateriormete. 5º Passo: Comparar o valor calculado com o valor tabelado e cocluir pela aceitação ou rejeição da Hipótese Nula. Vamos aos exemplos: EXEMPLO 1: As codições de mortalidade de uma região são tais que a proporção de ascidos que sobrevivem até 6 aos é de,6. Testar essa hipótese ao ível de 5% se em 1. ascimetos amostrados aleatoriamete, verificou-se 53 sobrevivetes até 6 aos. Resolução: Seguido o roteiro, temos: 1º passo: Euciar as hipóteses. H : p,6; H 1 : p,6 (teste bilateral); TH-PROP.doc Pedro Bello Págia 4

5 2º passo: o teste é bilateral, com α,5. Logo, para uma área de,475 teremos, a Tabela da Distribuição Normal Padrão: Z TAB 1, 96 ; 3º passo: desehar a curva, plotado Z TAB ; α 2 α α 2 4º passo: Calcular a estatística teste. Ates, veremos qual a proporção a amostra. Têm-se 53 sobrevivetes em 1. ascimetos (tamaho da amostra), etão a proporção ou freqüêcia 53 relativa de sobrevivetes a amostra será de: f, Z CALC p ( 1 p),53,6 ( 1,6 ),6 1,7,24 1 4,52. 5º passo: Comparado, vemos que Z CALC < Z TAB. B Coclusão: ao ível de sigificâcia de 5%, REJEITAMOS H : p,6. Logo, p,6. EXEMPLO 2: Uma pesquisa coclui que 9% dos médicos recomedam aspiria a pacietes que têm filhos. Teste a afirmação, ao ível de sigificâcia de,5, cotra a alterativa de que a percetagem é iferior a 9%, se uma amostra aleatória de 1 médicos, 8% recomedam aspiria. Resolução: Novamete seguido o roteiro, temos: 1º passo: Euciar as hipóteses. H : p 9%; H 1 : p < 9% (teste uilateral à esquerda); 2º passo: Ecotrar o valor de Z TAB. O teste é uilateral à esquerda, com α,5. Logo, para uma área de,45 (,95,5), ecotraremos, a Tabela Normal Z TAB 1, 64. TH-PROP.doc Pedro Bello Págia 5

6 3º passo: desehar a curva, plotado Z TAB ; α,5 4º passo: Calcular a estatística teste. A proporção a amostra é 8%, etão f,8; Z CALC p ( 1 p),8,9,9 1 ( 1,9 ),1,9 3,33. 5º passo: Comparado, vemos que Z CALC < Z TAB. B Coclusão: ao ível de sigificâcia de 5%, REJEITAMOS H e cocluímos que a percetagem de médicos que recomedam aspiria é iferior a 9%. EXEMPLO 3: Um fabricate de doces afirma que a percetagem de sacos de pastilhas de chocolate mal cheios é, o máximo, igual a 3%. Uma pesquisa aleatória acusa 4 sacos mal cheios em 5. A amostra foi extraída de uma remessa de 4 sacos. Cosiderado uma sigificâcia de,5, a evidêcia amostral refuta a alegação do fabricate (isto é, mais de 3% mal cheios)? Resolução: Ates de seguirmos o roteiro, temos que atetar para um detalhe importate o euciado da questão. Ao cotrário das outras, que ão mecioavam o tamaho da população da qual foi extraída a amostra, esta temos: uma amostra de 5 (5) extraída de uma população de 4 (N4). Etão, temos que observar que (/N) > 5%, pois (5/4) 12,5%. Sempre que isto ocorrer, deveremos, o deomiador da estatística teste, utilizar o Fator de Correção para População Fiita, dado por: N N 1. Etão, o presete caso, o osso FCPF será: Este critério é válido também para o Teste de Hipóteses para a Média, observado que em ambos os testes, se ão for mecioado o tamaho da população, ão há ecessidade de usar o referido fator, pois cosideraremos a população como ifiita. TH-PROP.doc Pedro Bello Págia 6

7 B Agora sim, seguido o roteiro, temos: 1º passo: Euciar as hipóteses. H : p 3%; H 1 : p > 3% (teste uilateral à direita); 2º passo: Ecotrar o valor de Z TAB. O teste é uilateral à direita, com α,5. Logo, para uma área de,45 (,95,5), ecotraremos, a Tabela Normal 3º passo: desehar a curva, plotado Z TAB ; Z TAB 1,64. α 4º passo: Calcular a estatística teste aplicado, o presete caso, o Fator de Correção para População Fiita, pois a população é fiita, de tamaho cohecido e o tamaho da amostra é 4 superior a 5% da população. A proporção (ou freqüêcia relativa) a amostra é de: f, 8. 5 ZCALC p ( 1 p ) ,3 5,8,3 ( 1,3) 5º passo: Comparado, vemos que Z CALC > Z TAB B ,5,23 2,21. Coclusão: ao ível de sigificâcia de 5%, REJEITAMOS H. Logo, o fabricate está egaado, a proporção de sacos mal cheios é superior a 3%. EXEMPLO 4: O Serviço de Imigração e Naturalização Americao relatou que 79% dos viajates estrageiros que visitaram os Estados Uidos declararam que o objetivo pricipal de suas visitas foi desfrutar férias (América by the Numbers, 1995). Como um estudo de acompahameto realizado em 25, supoha que uma amostra de 5 visitates é selecioada e que 36 dizem que suas razões pricipais para visitar os Estados Uidos são desfrutar férias. A proporção de viajates estrageiros que tiraram férias os Estados Uidos em 25 é meor do que a proporção relatada em 1995? Cosidere um ível de sigificâcia de 5%. TH-PROP.doc Pedro Bello Págia 7

8 Resolução: Novamete seguido o roteiro, temos: 1º passo: Euciar as hipóteses. H : p 79%; H 1 : p < 79% (teste uilateral à esquerda); 2º passo: Ecotrar o valor de Z TAB. O teste é uilateral à esquerda, com α,5. Logo, para uma área de,45 (,95,5), ecotraremos, a Tabela Normal Z TAB 1, 64. 3º passo: desehar a curva, plotado Z TAB ; α,5 36 4º passo: Calcular a estatística teste. A proporção a amostra é de: f, 72 ; 5 Z CALC p ( 1 p),72,79,79 5 ( 1,79),7,3318 3,84. 5º passo: Comparado, vemos que Z CALC < Z TAB. B Coclusão: ao ível de sigificâcia de 5%, REJEITAMOS H e cocluímos que a proporção de visitates estrageiros que buscam desfrutar férias, dimiuiu etre 1995 e 25. EXEMPLO 5: (Questão da prova para Auditor Fiscal da Receita Estadual-MG em 25, elaborada pela ESAF) Um fabricate afirma que pelo meos 95% dos equipametos que forece à idústria ecotram-se detro de suas especificações. Uma amostra de 2 ites escolhidos ao acaso revelou 1 ites fora de especificação. Assiale a opção que correspode ao valor probabilístico (p-valor) do teste de H: θ,95 cotra A: θ <,95, sedo θ a proporção populacioal de ites detro de especificação. a),5 b),5 c),25 d),1 e),1 TH-PROP.doc Pedro Bello Págia 8

9 A questão trata do assuto Teste de Hipóteses para uma proporção. Para ecotrar o p-valor, precisaremos calcular a estatística teste dada por: z f é a proporção favorável ao eveto a amostra; CALC, p (1 p) ode: p é o valor da hipótese ula; é o úmero de elemetos amostrais. O euciado forece: 2, pois a amostra tem 2 ites; p,95, dado por θ; 19 f,95, pois se 1 ites estão fora da especificação, 19 estarão detro; 2 A estatística teste: z CALC,95,95,95,5. 2 Nem calcularemos, esta questão, o deomiador, pois como o umerador é igual a zero, etão z CALC. Sabemos que a ormal padrão de média e variâcia 1, a abscissa em z divide a área da curva em duas partes iguais (5% de cada lado), coforme a figura abaixo: Portato, o p-valor será de,5. Gabarito oficial: A EXEMPLO 6: (Questão da prova para Gestor Fazedário-MG em 25, elaborada pela ESAF) Laça-se uma moeda 2 vezes e observa-se a ocorrêcia de 7 caras. Seja θ a probabilidade de cara. Assiale a opção que dá o valor da estatística teste correspodete ao teste da hipótese H: θ,5 cotra a alterativa A: θ <,5. a),3 2 b),2 2 c),3 2 d),2 2 e),5 2 TH-PROP.doc Pedro Bello Págia 9

10 O valor da estatística teste é dada por: z f é a proporção favorável ao eveto a amostra; CALC, p (1 p) ode: p é o valor da hipótese ula; é o úmero de elemetos amostrais. O euciado forece: p,5 θ; 2 (úmero de laçametos da moeda); 7 f,35; 2 Calculado a estatística teste: z CALC,35,5,5,5 2,15,25 2,15 1 8,15 8, z CALC,3 2 Gabarito oficial: A OBSERVAÇÕES: 1) As questões dos exemplos 5 e 6 costarão da próxima edição (3ª Edição) do livro ESTATÍSTICA - Provas Cometadas da ESAF, que deverá ser laçado muito em breve pela Editora Ferreira, agora com 28 provas resolvidas e cometadas (mais 13 ovas provas em relação às edições ateriores). 2) Mesmo cosiderado que a prova para Fiscal ISS-SP terá poucas questões de Estatística, cosidero como pedida certa uma questão sobre o assuto Teste de Hipóteses. De qualquer forma, os resumos sobre o assuto servirão para futuros cocursos. Desejo bos estudos e excelete prova de estatística a todos! PROFESSOR PEDRO BELLO Na págia seguite está a TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO TH-PROP.doc Pedro Bello Págia 1

11 TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO Extraída do livro Curso de Estatística -Jairo Simo da Foseca & Gilberto de Adrade Martis-Editora Atlas TH-PROP.doc Pedro Bello Págia 11