Interações Eletromagnéticas 1

Inteações Eletomagnéticas 1 I.H.Hutchinson 1 I.H.Hutchinson 1999

Capítulo 1 Equações de Maxwell e Campos Eletomagnéticos 1.1 Intodução 1.1.1 Equações de Maxwell (1865) As equações que govenam o eletomagnetismo ρ E = B = ε (Lei de Coulomb) B 1 E E = B = µ j+ t c t (Lei de Faaday) (Lei de Ampèe) E: campo elético que desceve a foça que atua sobe a caga q (estacionáia): F = qe B epesenta o campo magnético que desceve a foça que atua sobe coente, isto é, uma caga em movimento (velocidade v): F = qv B. Assim a foça de Loentz (sobe a caga q) é dada po: (1.1) F = q ( E+ v B ) (1.) ρ : Densidade volumética de caga (Coulomb/m ). Caga total: Q = ρd x j : Densidade supeficial de coente elética (Coulombs/m ) jida: Coente que atavessa um elemento de áea da, Coulomb/s = Ampèe. V 5

1.1. Notas Históicas Na segunda metade do século XIX, houve muita contovésia científica sobe se E e B eam quantidades físicas eais da ciência ou se tatavam de meas conveniências matemáticas paa expessa as foças que cagas eléticas execiam umas sobe as outas. A ciência inglesa (Faaday, Maxwell), dava ênfase aos campos; Os alemães, na sua gande maioia, Figua 1.1: Densidade de Caga é a caga local po unidade de volume. Densidade de Coente é a coente po unidade de áea. aceitavam a idéia de ação a distância. Desde 19 esta questão foi consideada como esolvida a favo dos campos. E da física modena, se é que estamos aptos a considea o campo mais fundamental que a patícula. 1.1. Campos Auxiliaes e Meios Eletomagnéticos. Textos eletomagnéticos discutem feqüentemente dois campos "auxiliaes" adicionais, o "deslocamento elético" D e a "intensidade magnética" H que contam paa dieléticos e popiedades magnéticas dos mateiais. Estes campos não são fundamentais e intoduzem complicações desnecessáias e possíveis confusões paa a maioia dos tópicos que iemos tata. Então nós os evitaemos tanto quanto fo possível. Paa o vácuo, ε E= D, e B= µ H. 1.1.4 Unidades Histoicamente havia dois (ou mais!) sistemas difeentes de unidades, um que define a quantidade de caga em temos da foça ente duas cagas estacionáias (as unidades "Eletostáticas") e um outo que define a quantidade de caga em temos de foças ente coentes (sem caga), o sistema "Eletomagnético". As unidades Eletostáticas são baseadas na lei de Coulomb E = ρ / ε e as unidades eletomagnéticas (vesão do estado estacionáio) na lei de Ampèe B =µ j. Potanto, as quantidades 1/ε e µ são fundamentalmente fatoes de calibação que deteminam o tamanho da unidade de caga. Escolhendo uma ou outa quantidade como sendo igual a 4π, temos as unidades eletostáticas ou eletomagnéticas. Poém, com a unificação de eletomagnetismo, e a subseqüente compeensão de que a velocidade de luz é uma constante fundamental, ficou clao que as unidades do eletomagnetismo deveiam se definidas somente em temos de uma destas leis e da velocidade de luz. Então o Sistema Intenacional SI (ou às vezes MKSA) de unidades adota a definição eletomagnética, poque pode se medida mais 6

facilmente, mas com um µ difeente, como segue. "Um Ampèe é a coente que, ao flui po dois fios paalelos e infinitesimais, distantes 1m um do outo, poduz uma foça de 1 7 Newtons po meto de seu compimento. Um Ampèe é um Coulomb po segundo. Assim, isto define a unidade de caga. Mostaemos depois que esta definição chega a defini µ = π (1.) 7 4 1 (Heny/meto) e isto poque a azão ente as unidades eletomagnéticas e eletostáticas é c. 1 1 ε = = 8,85 1 (Faad/meto) (1.4) c µ µ é chamado de pemeabilidade do vácuo. ε é chamado de pemissividade do vácuo. [Veja J.D. Jackson a edição, Apêndice paa uma discussão detalhada.] 1. Cálculo Vetoial e Notação. Quantidades eletomagnéticas incluem campos vetoiais E, B etc. e assim o eletomagnetismo utiliza vastamente o campo vetoial. é a taquigafia paa o opeado vetoial (gadiente) φ φ φ φ φ =,, = (notação indexial) x y z x i (1.5) que fonece o veto gadiente a pati do campo escala φ. pode também opea sobe campos vetoiais atavés dos podutos escala ( ) e vetoial ( ). 1..1 Divegente. 1.. Rotacional. E E x y Ez Ei E = + + = (1.6) x y z x i E E z y Ex E E z y E x Ek E =,, = εijk y z z x x y xj (1.7) 7

1.. Integação Volumética. dx é a taquigafia paa dx (1.8) V dxdydz = dv, o elemento difeencial de volume. Figua 1.: Elementos paa integais de supefície e de linha. 1..4 Integação de Supefície. v d A (1.9) S O elemento difeencial de supefície da ou fequentemente ds é um veto nomal ao pópio elemento. 1..5 Integação de Linha (Contono) v d l (1.1) C Elemento difeencial de linha dl. 1..6 O Significado da Divegência: Figua 1.: Elemento difeencial de volume em coodenadas catesianas. 8

Considee o elemento difeencial de volume. Calcule o fluxo total do campo vetoial v atavés da supefície do elemento. O fluxo é dado pela soma de v da sobe todas as faces do cubóide ( ) ( ) v x x + dx vx x dydz + ( ) ( ) vy y + dy vy y dzdx + ( ) ( ) v z z + dz vz z dxdy = dv dv dv + + = = dx dy dz v v x y z dxdydz d x dv (1.11) Então paa este volume elementa: ds v da= v d x (1.1) dv Figua 1.4: As faces adjacentes se cancelam na soma da divegência paa muitos elementos. Mas qualque volume finito e abitáio pode se consideado como sendo a soma de muitos elementos cuboidais pequenos. As contibuições das faces adjacentes intenas se cancelam mutuamente e conseqüentemente só as contibuições da supefície extena pemanece, assim v da= vd x (1.1) S V paa qualque volume V com supefície S, e campo vetoial abitáio v. Este é o Teoema de Gauss. 9

1..7 O Significado do Rotacional:. Figua 1.5: Elemento de supefície etangula com eixos escolhidos de foma que a nomal à supefície esteja na dieção z. Considee um elemento de supefície etangula abitáio e escolha os eixos coodenados de foma que a nomal esteja na dieção z e os eixos sobe x e y. Considee também um campo vetoial abitáio. Calcule a integal de contono de v x, no sentido hoáio v( x ) ( ) do contono dc, ao edo da fonteia do elemento. dc ( ) (, ) (, ) ( ) ( ) ( ) v d l = v x d x + vx+ dxy d y + vxy+ dy d x + v x d y dv dx dv dy dxdy ( v) da ( v) da y x = = = z (1.14) Assim a integal v dl ao edo do elemento é igual ao poduto escala ente o otacional do campo e o elemento de áea. Aplicando o esultado paa uma supefície abitáia; divida a supefície em muitos elementos de áea da. Todas as integais de contono intenas se cancelam. Po esta azão Este é o Teoema de Stokes. C S ( ) v d l = v d A (1.15) 1. Eletostática e o Teoema de Gauss O teoema de Gauss é a chave paa o entendimento da eletostática em temos da lei de Coulomb E = ρ / ε. 1

Figua 1.6: A supefície abitáia pode se dividida em uma soma de muitos elementos etangulaes. As contibuições das integais de contono adjacentes se cancelam. 1..1 Caga Pontual q Aplicando o teoema de Gauss em uma esfea que engloba a caga q Figua 1.7: Volume esféico V, sobe o qual efetuamos a integal de supefície da lei de Coulomb paa deduzi o campo elético E. S ρ q E A= E = = (1.16) d d x d x V V ε ε Mas po simetia esféica E deve esta na dieção adial e te módulo constante po sobe a esfea E. Po esta azão E da = E da= E da= E 4π. Assim S S S E q = (1.17) 4 π ou ε 11

E q q = = (1.18) 4πε 4 isto é, E πε Como conseqüência do campo obtido, a foça sobe uma segunda caga à distância é dada po qq F = 4πε (1.19) 1 lei do inveso quadado da foça eletostática. 1.. Caga Simeticamente Esféica ρ ( ) Note que a obtenção do campo paa uma caga pontual só dependeu da simetia. Assim paa uma densidade de cagas simeticamente distibuída, o agumento funciona da mesma maneia, isto é q E = ˆ E E = 4πε ( ) onde agoa q = ρd x= ρ 4π d (1.1) V (1.) O campo elético devido a uma densidade de cagas que apesenta simetia esféica, é igual ao campo de uma caga pontual, de caga igual a caga total da distibuição, posta no cento da esfea. 1.. Distibuição Abitáia de Caga O Teoema de Gauss ainda se aplica mesmo quando não há nenhuma simetia específica: Figua 1.8: Volume abitáio paa o Teoema de Gauss. 1

ρ q E A E (1.) d = d x= d x= S V V ε ε q é a caga total (integal da densidade de caga) sobe o volume. A integal E d A S fonece o fluxo total do campo elético, atavés da supefície S. 1..4 Quado Intuitivo Cada caga ( + ve) é um ponto de oigem de uma linha de campo elético. [Cada caga ( ve), ao contáio, é um ponto de destino das linhas de campo]. A caga total no volume V detemina o númeo de linhas de campo que se iniciam no volume. As linhas de campo somente começam/teminam sobe as cagas (lei de Coulomb) de maneia que todas as linhas devem escapa do volume, cuzando a supefície S (em algum luga). [linhas de campo que começam e teminam em V não contibuem paa E da e nem paa q, po S causa do cancelamento]. O fluxo E da pode se encaado como um contado do S númeo de linhas de campo que cuzam a supefície. [Clao que é uma escolha abitáia sabe qual deve se o valo da caga que dá oigem a uma linha de campo]. Visão intuitiva da intensidade do campo elético: intensidade de E é popocional ao númeo de linhas de campo po unidade de áea. Todas estas visões intuitivas são conceitualmente úteis mas não são fomalmente necessáias. O eletomagnetismo é consideado completamente descito pelas equações de Maxwell sem a necessidade dessas descições. Figua 1.9: Descição intuitiva de cagas e das linhas de campo. 1

Figua 1.1: O espaçamento das linhas de campo é invesamente popocional a intensidade do campo. 1..5 Potencial Elético (paa poblemas estáticos ) t Na situação estática não há indução e a lei de Faaday se tona E =. A popósito, esta equação també podeia se obtida atavés da lei do inveso quadado notando que = (1.) assim pela lineaidade do opeado, a soma (integal) de todas as contibuições do campo elético de qualque distibuição de caga é de otacional zeo iotacional : ( ') ' ρ d' = 4 πε ' (1.4) [Isto mosta que o agumento de simetia esféico somente funciona na ausência de i indução, B definiia uma dieção pefeida; assimética!] Paa qualque campo vetoial E, E = é uma condição necessáia e suficiente paa que E possa se escito como o gadiente de uma função escala E = φ. Necessáia φ φ z x y y x ( φ ) = = (assim como x,y) (1.5) 14

Figua 1.11: Cada elemento contibui com uma componente iotacional paa E. Potanto o campo total E é iotacional. Rotacional do gadiente é zeo. Suficiente (pove po constução) Figua 1.1: Dois caminhos difeentes que vão de a x constoem um contono fechado quando um deles é invetido. Aplicando o teoema de Stokes paa um contono fechado que consiste de dois caminhos quaisque ente os pontos e x. x E d l = d d d C E l E l = E S = S (1.6) po hipótese Caminho Caminho 1 x 15

x Então E = E dl é independente do caminho escolhido, isto é, ele define uma quantidade única. Chamemos esta quantidade de φ ( x ). Considee φ limite de δφ ente pontos adjacentes. definido como o x φ = E dl = E (1.7) Muitos poblemas eletostáticos são mais facilmente esolvidos em temos do potencial elético φ, devido ao fato de se uma função escala (tão mais fácil). Equação que govena o potencial: ρ E (1.8) ε = φ = φ = = + + x y z è o opeado Laplaciano (1.9) ρ ε φ = Equação de Poisson (1.) 1..6 Potencial de uma Caga Pontual [Solução Geal do Potencial] Podemos mosta atavés de difeenciação dieta que 1 = (1.1) q Assim atavés de nossa expessão pévia paa E = podemos identifica 4πε q 1 φ = (1.) 4πε Como o potencial da caga q (situada na oigem x = ). O potencial pode sempe se alteado somando uma constante a ele, sem altea com isso E. Esta libedade pode se consideada equivalente à escolha da oigem no qual φ =. 16

1..7 Função de Geen paa o Laplaciano Paa um opeado difeencial linea L, os matemáticos definem a chamada função de Geen simbolicamente atavés da equação (, ') = δ ( ') L G x x x x (1.) Se pudemos esolve esta equação em geal, então podemos constui soluções paa um ρ abitáio como L φ = ρ( x) (1.4) ( ) G( ) ρ( ) Devido à popiedade da função δ (definição) φ x = x, x' x ' d x' (1.5) f ( ') δ ( ') d x' = f ( ) x x x x (1.6) Quando L é o Laplaciano,, a função de Geen é dada po G ( xx, ') 1 = 4 π x x' (1.7) Este fato pode se obtido dietamente da solução paa o potencial de uma caga pontual. Realmente, uma caga pontual se enquada exatamente na situação da função delta cuja solução é a função de Geen. Em outas palavas, a densidade de caga paa uma caga pontual de magnitude q na posição x ' é ( ) = qδ ( ') Assim o potencial de uma caga pontual, a sabe, ρ x x x (18) 1 1 φ = 4 πε x x' (1.9) é a solução da equação q ε φ = δ ( x x ') (1.4) 17

Conseqüentemente, a solução da equação de Poisson pode se escita como a integal da função de Geen: φ ( x) ( x' ) ρ( x' ) ρ 1 dx' = dx' = ε 4 π ' x x 4πε x x' (1.41) Uma distibuição egula de cagas ρ pode se apoximada infomalmente como sendo a soma de muitas cagas pontuais ρ x ' ( ) ( ) contibuições. dx', e o potencial é a soma de suas 1..8 Condições de Contono Estitamente falando, a solução da equação de Poisson não é única. Podemos sempe adiciona a φ uma solução da equação homogênea (Laplace) φ =. A solução somente se tona única quando especificamos as condições de contono. A solução φ ( x) = ( x ') ρ dx' 4 πε x x' (1.4) é coeta quando as condições de contono são tais que campo exteno não aplicado. φ paa x (1.4) Na pática os cálculos eletostáticos mais inteessantes envolvem contonos específicos. A maio pate do tabalho consiste em esolve a equação de Laplace com condições de contono apopiadas. Essas são feqüentemente as especificações de φ sobe as supefícies (condutoas). A densidade de caga nos condutoes aamente é especificada no início. 1..9 Capacito de Placas Paalelas Idealize o poblema como sendo unidimensional, ignoando os efeitos de boda. A equação de Laplace unidimensional no vácuo (onde ρ = ) é d φ = (1.44) d z 18

Figua 1.1: Capacito de placas paalelas Solução φ = a Ez, onde a e E são constantes. Conseqüentemente o campo elético é E = Ez ˆ Note como a foma do campo suge exclusivamente da invaiância tanslacional de d d φ = =. dx dy Escolha como z = a posição de uma das placas do capacito. A outa então estaá em z = d. Faça φ z = =: potencial de efeência, fazendo a =. ( ) ( ) Potencial da outa placa: V = φ d = Ed. Questão: Qual seá a caga po unidade de áea sobe as placas quando o campo elético é E? Responda consideando um elemento de volume plano, de áea A envolvendo a placa + ve. Figua 1.14: Volume elementa paa o calcula a elação caga/campo. Aplicando a lei de Gauss Conseqüentemente S ( ) E ds = + E ds = EA A ρ Q = = = 1 dx σ A (1.45) V ε ε ε V σ = εe = ε (1.46) d 19

Se a áea total é A, a caga total Q e a voltagem ente as placas V, então essas gandezas estão elacionadas po: ε A Q= d V (1.47) ) e o coeficiente ( ε A / d é chamado capacitância, C. Note a nossa abodagem: Resolva a equação de Laplace escolhendo as coodenadas de foma consistente com a simetia do poblema. Obtenha a caga atavés da lei de Gauss empegando paa tanto um volume apopiado. 1..1 Caga sobe um Conduto Abitáio Considee um conduto caegado em equilíbio eletostático. A coente elética é nula. Figua 1.15: Conduto de foma abitáia possui somente cagas supeficiais elacionadas ao campo local, nomal à supefície. Devido a condutividade, o campo no inteio do conduto é zeo. Escolha um volume inteno abitáio: E = E = ρ =. Não há cagas intenas. Todas elas esidem na supefície. Na supefície existe apenas um campo E exteno ao conduto. O campo E é nomal à supefície ds poque a supefície é uma equipotencial (e E = φ ). Assim, aplicando a lei de Gauss a uma caixa de pílulas V E = E S = dx d Eds S ρ σ σ = = ε = ε ε dx ds ds (1.48) onde σ = densidade supeficial de caga. Potanto σ = ε. É evidente que paa este caso geal E ( = E nomal ) não é unifome sobe a supefície do conduto mas vaia de ponto a E

ponto. Novamente o pocedimento seia: esolva φ atavés de φ = ; então deduza σ ; em vez do contáio. 1..11 Visualizando o Potencial Elético e o Campo Considee um gáfico bidimensional de φ. O valo de φ pode se encaado como sendo o valo da enegia potencial de uma caga de 1 Coulomb. Assim há uma analogia pefeita com a enegia potencial gavitacional e com as cuvas de nível. A foça em qualque ponto da cuva de nível é descendente (sobe uma caga + ve ) que é pependicula ao gáfico de φ = constante. A intensidade da foça (E) é popocional à declividade da cuva: isto é, quão póximos os contonos são (de φ ). Quando mapeamos as linhas de campo, isto é linhas que seguem a dieção do campo elético, consideamos gealmente também a intensidade do campo elético como sendo o númeo de linhas de campo po unidade de áea. Também indicamos a intensidade do campo atavés da poximidade ente as linhas de campo. Em egiões lives de cagas E = implica que as linhas de campo não possuem nenhum começo ou fim. Poém se ρ, então as linhas de campo elético podem possivelmente te fim (nas cagas). Os contonos dos potenciais nunca têm fim. Figua 1.16: Contonos do potencial e as coespondentes linhas de campo (macadas com flechas). Somente são desenhadas as linhas de campo que emanam do conduto elíptico maio. 1..1 Repesentação em D do Potencial Complexo Em uma egião live de cagas, E = φ =. Este é o motivo paa que haja uma íntima elação ente linhas de campo e os contonos de φ. Esta elação nos pemite usa o 1

cálculo de vaiáveis complexas paa faze uma análise podeosa dos poblemas de f z = φ z + iψ z, potenciais em duas dimensões. Considee uma função complexa ( ) ( ) ( ) onde z = x+ iy é o agumento complexo com pates eal e imagináia x e y ; f(z) tem pate eal e imagináia φ e ψ. A função f é analítica se existi e fo bem definida a deivada complexa df / dz (que é também analítica), definida da maneia usual como lim z' z f ( z' ) f ( z) z' z. Paa que este limite seja o mesmo não impotando a dieção ( x, y ) que ela é levada, f (z) deveá satisfaze as elações de Cauchy-Riemann φ ψ ; φ ψ = = (1.5) x y y x A qual, po substituição, implica φ =, ψ =, e também elativamente às coodenadas bidimensionais x,y. Isto mosta que φ ψ = (1.51) 1. A pate eal da função analítica soluciona φ =.. Os contonos da pate imagináia coespondente, ψ, coincidem então com as linhas do campo elético. Enconta a epesentação complexa paa os poblemas de potencial consiste em empega uma das técnicas mais podeosas de solução analítica. Poém, paa cálculos páticos, as técnicas de solução numéica são agoa pedominantes. 1.4 Coente Elética Distibuída em um Meio A lei de Ohm, V = RI, elaciona tensão, coente e esistência paa um cicuito ou paa um elemento disceto. Poém, com feqüência, não nos peocupamos apenas com a coente total mas também com a densidade de coente em condutoes finitos (po exemplo eletoímãs). Isto eque a lei de Ohm local que é dada po E =η j (1.5) onde η é a esistividade elética do meio. Feqüentemente a condutividade σ = 1/ η é usada. j = σ E, (mas eu tentaei evita confusão com a densidade de caga σ ). Tal elação linea se aplica paa a maioia dos metais.

1.4.1 Condução em Estado Estacionáio A consevação de caga pode se escita como então, no estado estacionáio, j =, isto é Se a condutividade é unifome ( η ) ρ j = (1.5) t 1 1 1 ( ) η = + = E E η η E (1.54) 1/ = ou invaiante ao longo de E, temos potanto E = ρ =. Condutoes de condutividade unifome adquiem densidade volumética de caga nula no estado estacionáio. 1.4. Condições de Contono paa Condutoes (Coentes Estacionáias) Figua 1.17: Um conduto de condutividade finita, e que caega uma coente distibuída. Se a coente está fluindo, de maneia que E no conduto, então o conduto não é mais uma supefície equipotencial paa as soluções da equação de Laplace extenas. Cagas de supefície (só) estão pesentes sobe o conduto (η unifome). Nenhuma coente flui atavés da supefície do conduto (exceto no contato) assim dento do conduto, enquanto que no lado exteno temos j n= E n = (1.55)

E n = εσ (1.56) densidade supeficial de cagas. As componentes nomais Figua 1.18: Condições de contono atavés de uma inteface conduto/vácuo (ou isolante). Componentes Tangenciais. n dento [ ] foa E = E = σ / ε (1.57) [ ] foa t n dento E = (1.58) dento Em paticula, paa esolve do conduto: φ = no inteio de um conduto unifome η, na fonteia φ = n (C. C. de Newman) (1.59) ao contáio da condição de contono usual da eletostática (φ = dado). Nos contatos eléticos, podeia se apopiado conhece o valo de φ. Um método geal paa esolve o poblema de distibuição de coente estacionáia em um meio com η unifome: 1. Resolva a equação de Laplace φ = no inteio do conduto usando a condição de contono de Diichlet (φ dado) ou possivelmente a de Neumann não homogênea ( φ = dado) e φ n = na fonteia do isolante. n. Resolva a equação de Laplace φ = no exteio do conduto usando a condição de contono de Diichlet (φ dado) com φ tomado da solução intena. 4

1.5 Potencial Magnético O campo magnético possui divegência zeo B =. Paa um campo vetoial qualque B, B = epesenta uma condição necessáia e suficiente paa que B possa se escito como o otacional de um potencial veto B = A. 1.5.1 B = Necessáia A ( ) z A y A = (1.6) x y z ( z) ( y) x + ( x) ( z) A Az y z x y + ( y) ( x) A Ax z x y = (1.61) (1.6) somente campos de divegente nulo podem se epesentados. 1.5. B = Suficiente (pova po constução) Considee a quantidade ( ) K x = ( ') B x 4 π x x' dx' (1.6) um veto constuído atavés da integal de cada componente catesiana de B. Aplicando o conhecimento que temos sobe o método da função de Geen paa obtenção das soluções da equação de Poisson, Sabemos que: Identidade do opeado vetoial (paa qualque v): K = B (1.64) ( v) = ( v) v (1.65) Satisfazendo B confome x ápido o suficiente. 5

Conseqüentemente ( ) ( ) B = K = K K (1.66) Povamos o teoema de Helmholtz que qualque campo vetoial pode se epesentado como a soma de um [gadiente + otacional]. Quando B = e B (ápido o suficiente) confome x, pode-se mosta que K = e assim constuímos o potencial veto equeido. A= K ( ') dx' = B x 4 π x x ' (1.67) Note que constuímos A tal que A =. Poém A é indeteminado a pati de B poque podemos acescenta ao veto A o gadiente de um escala abitáio sem com isso altea o valo de B, desde que χ =. Assim, como efeito, podemos faze A igual a qualque quantidade desejada ψ ( x ) somando ao veto A um χ tal que χ = ψ. Escolhe o A é conhecido como escolha de Gauge. A = é conhecido como o Gauge de Coulomb. 1.5. Solução Geal paa o Potencial Veto (Magnetostática) Lei de Ampèe Estática B = µ j. Agoa ( A ) µ j = ( ) = A A= A (gauge de Coulomb) (1.68) Conseqüentemente as componentes catesianas de A são soluções da equação de Poisson i = µ A j (1.69) Usando a nossa solução geal da equação de Poisson (veja 1.7): ( ) A x j ' ( x ) µ = dx' 4 π x x' (1.7) Resultando B: 6

j ' ( x ) µ B = A= d 4 π x x' x ' ( x' ) ( x x' ) µ 1 µ j = j ( ') dx' dx' 4 π x = x x' 4 π x x' (1.71) Esta é a vesão da lei de Biot e Savat paa a densidade de coente (datando de 18). Paa um fio pecoido po coente, a integal sobe o volume de j é substituído pela integal de Idl, isto é: ( ') ( ') µ µ B= j ( ') dx' Id' 4π x x x = ' 4π x x l (1.7) x x x x' A lei de Biot-Savat nos ofeece um meio dieto paa calcula B atavés da integal po j x ', que pode também, se necessáio, se calculada atavés de sobe o volume de ( ) métodos numéicos. Poém esta integação epesenta um método de foça buta, pois é excessivamente tabalhosa e de difícil obtenção, se o poblema não apesenta simetia. Caso haja simetia, o pocedimento se tona bem simples. 1.5.4 Simetia Tanslacional Catesiana. (-d x, y) Figua 1.19: (a) As coodenadas efeentes a um fio eto e infinito pecoido pela coente I, e (b) O contono e a supefície adequados paa o uso da lei de Ampèe. Se consideamos uma situação onde / z =, coespondendo a coentes etas, paalelas e infinitas na dieção z, teemos j = j( x, y) z ˆ. Nossa solução geal paa o potencial veto nos mosta imediatamente que A= Az ˆ, A = A =. (Asumindo que AB, no, isto é, não há fontes extenas ). Este fato nos diz que B = ( A ) x y z z. Podemos considea que o filamento infinitesimal de coente é o bloco elementa de constução do nosso poblema. 7

Fomalmente j = Iδ ( x) δ ( y). Podeíamos calcula B( x ) integando este filamento de coente. Poém é muito mais simples usa a Lei de Ampèe dietamente ( ) B ds = B dl = µ j ds = µ I (1.7) S C S Po simetia B d l = π B θ C Então B µ I π θ = (1.74) Também B =, como se veifica atavés do Teoema de Gauss, aplicado a um volume (de compimento unitáio na dieção z) po simetia. = dx= d = π B V S B B S (1.75) Assim as equações de Maxwell nos mostam imediatamente que a função de Geen que esolve a equação B = µ Izˆ δ ( x x' ) é ˆ µ I 1 π ' ' B = θ (1.76) ( x x ) + ( y y ) Qualque função geal j( x, y ) pode se tatada po integação dupla usando esta função. 1.5.5 Simetia Cilíndica (Espia Cicula com eixo comum) Se existiem coodenadas cilíndicas (,, z) θ tais que / θ =, j = j ˆ θ. Então po simetia A = A ˆ θ θ, B θ =. Esta situação se mosta solúvel apenas em temos das funções especiais conhecidas como Integais Elípticas. Se 8

Figua 1.: Coodenadas Cilíndicas nas poximidades de um filamento cicula pecoido po coente. ( ) ( ) jθ = Iδ a δ z (1.77) Então A θ µ = 4π a ( k ) K( k) E( k) k (1.78) onde k 4a ( ) + a + z (1.79) e K, E são as integais elípticas completas de pimeia e segunda odens. Esta foma geal é muito incômoda pois não faz cálculos analíticos geais tatáveis, mas ao invés disso, faz uma avaliação numéica fácil, usando otinas tabeladas paa K( k ) e E ( k ). Sobe o eixo ( = ) o campo é muito mais simples µ I π a 4π B = Bzˆ= / ẑ (1.8) ( z + a ) 1.5.6 Popiedade Geal de Situações de Simetia: Função de Fluxo Quando há uma dieção de simetia, a componente de B que é pependicula àquela dieção, pode se expessada em temos de uma função de fluxo. O fluxo magnético ente duas posições é definido como o fluxo do campo B que cuza uma supefície que atavessa a abetua (po compimento de unidade se tanslational). Desde que B = não impota como a supefície obtém do ponto de ef a P (contanto que pemaneça simética) 9

Figua 1.1: Caminho que vai de um ponto de efeência paa um ponto de campo define uma supefície paa qual se aplica o teoema de Stokes, em uma situação de simetia tanslacional. Assim a função ψ B d S (1.81) é bem definida. Paa simetia tanslacional ( ẑ ), uma conseqüência é Isto suge poque S S B = z ˆ ψ (1.8) z ( ) ( ) ψ = B ds = A ds = A P A (1.8) De fato ψ é idêntico à componente z do potencial veto e z ( ) ( A ) ˆ B = A= B zˆ+ A zˆ = B zˆ+ B B = A zˆ+ z z = zˆ A = zˆ ψ z z z z z (1.84) B é a pate do campo pependicula a ẑ. Também podeia se B z Do sistema de coodenadas cuvilíneas sugem outas tantas vaiações de simetia cilíndica. Há ainda outas simetias até mesmo, po exemplo, a helicoidal.

1.6 Eletomagnetismo e Imãs 1.6.1 Solenóide Simples Figua 1.: Solenóide longo ideal bobina magnética Um solenóide longo possui simetia tanslacional de foma que B é independente de z, como também de θ (exceto nas extemidades). Então então 1 = B = B + Bθ + Bz θ z (1.85) = = B = const. e conseqüentemente B = (1.86) Também 1 B = B zˆ B ˆ θ + z θ = µ j (estacionáia) (1.87) No inteio do solenóide, j = então B θ = const. e conseqüentemente B θ =. (1.88) (de fato se j z = em toda a pate então B θ = em toda pate também, como pode se visto imediatamente da lei de Biot-Savat). Também B z = e conseqüentemente B z = const..89) Use a supefície e a cuva mostada e esceva 1

µ j ds = B ds = B dl (1.9) S S C Então µ coente po unidade de compimento (denotada po J θ ) fonece µ J = B B (1.91) θ z dento z foa Mas (pelo mesmo pocedimento) se B = no infinito B foa =. Então, no inteio z Bz = µ (1.9) J θ Pefil do campo na bobina: É deteminado pela densidade de coente na bobina: Figua 1.: O pefil do campo no inteio da egião condutoa da bobina depende do pefil da densidade de coente. db z d = µ j (1.9) θ zb za b µ θ µ θ (1.94) a B B = j d = J (como antes). Note que tudo isso é independente da espessua da bobina bobinas gealmente possuem muitas espias, logo (b a). As Bz = µ ni (1.95) onde n é o númeo de espias po unidade de compimento, I é a coente em cada espia. J θ = ni (1.96)

1.6. Solenóide de Seção Tansvesal Abitáia = z (1.97) Considee a lei de Biot-Savat, expessa como potencial veto: ( ) A ( ) µ ' = ' 4 π j ' d (1.98) Se todas as coentes fluiem na dieção azimutal, isto é, j z =, então A z =. Então a foma integal da lei de Ampèe é ainda B = B = (po toda pate) (1.99) x y B (dento) = µ J (1.1) z p onde é a coente total na dieção azimutal po unidade de compimento. J p Figua 1.4: Solenóide de seção tansvesal abitáia.

1.6. Tipos de Bobinas (a) Fio (Filamento): Figua 1.5: Seção de cote tansvesal de uma bobina magnética. Camadas múltiplas sobepostas sobe um molde cilíndico. Nomalmente são utilizadas só paa coentes e campos baixos. (b) Fita: Cada bobina consiste de uma fita espial, solenóide. Digamos voltas. Váias bobinas empilhadas fomam um n t nc bobinas po unidade de compimento n nn t c =. (c) Placa: Simila ao de fita mas usa como base um conduto de seção quadada ou etangula. (menos voltas/bobina). (d) Bobina de Folhas: Cada volta é feita de uma folha. A bobina completa é uma espial (topologicamente). As folhas podem se espaçadas po a ou algum isolante sólido. n= n. c 4

Figua 1.6: Bobinas de Fita são empilhadas paa foma um solenóide. Figua 1.7: Uma amação quadada tipo folha e a configuação de um solenóide Há muitas outas configuações de eletoímã, pojetadas paa uma vaiedade enome de aplicações. A maioia delas exige computação numéica paa deteminação do campo e sua vaiação de espaço. 1.6.4 Dipolo Magnético Figua 1.8: Coentes localizadas em uma pequena egião, póxima da oigem, com o campo medido num ponto bem distante da oigem. 5

O campo magnético de uma distibuição localizada de coentes. Suponha que nós queiamos detemina o campo magnético em um ponto x que está localizado numa egião j x ' não é distante das coentes, no sentido que paa todos os pontos x onde ( ) despezível, x ' << paa A x, (elativo a uma oigem póxima das coentes). A fómula geal ( ) A x ( ) µ ' = 4 π j x x x' dx' (1.11) pode se apoximada escevendo então 1 1 1 x x' 1 ' = + + (1.1) x x ' + ' x x ( x x x x ) 1/ µ 1 1 4π x x ( ') dx' + ' ( ') A j x x x j x dx' (1.1) Agoa conveteemos estas integais em expessões mais convenientes usando fato a pimeia é zeo. Isto segue imediatamente da identidade j =. De ( jx) = x( j) + ( j ) x = j (1.14) (a qual usa x = I, isto é, xi / xj = δij, e j = ). Então ( ) j = jx = x j S = (1.15) dx' ' ' dx' ' d S Paa qualque supefície S que encea todas as coentes de foma que j = em S. O segundo temo, que usa a mesma identidade, é simplificado mas seja cuidadoso em distingui ente x e x ', e usando anotação ' paa denota o opeado de gadiente que opea sobe ' j x ', não em x. x, ( ) ( ') ( ') dx' = ( ') ( ') x x j x x x ' jx dx ' ( ( )) ( ) = ' ' ' ' ' ' jx x x x j x x dx' ( ) = x ' j ' x ' x dx' 6

( ) x j I xdx x j x dx' (1.16) = ' ' = ' Mas ( ' ) ( ) ' ( ) x x j = j x x x x' j (1.17) Assim ( ) x x' j dx' = x x' jdx' (1.18) pela elação integal há pouco povada. [Esta identidade é vedadeia paa qualque x]. Então nossa apoximação paa A é Ou µ x 1 A x 4π x j x x ( ) = ' ( ') dx' (1.19) µ m x A = 4π x (1.11) onde o momento de dipolo magnético da distibuição localizada de coente é 1 m ' dx x j ' (1.111) Nós deivamos esta expessão paa uma distibuição j abitáia; mas se a coente localizada é um cicuito filamenta de coente, Figua 1.9: Cicuito de integação pecoido po coente que dá oigem a um momento de dipolo. 7

m 1 1 = ' dx' = Id x j x l (1.11) Se o cicuito é plano, 1 x dl = ds (1.11) onde ds é o elemento de supefície. Assim m é (coente áea) paa um filamento plano. O campo magnético é obtido de B = A B µ x x 1 4π m (1.114) x x x = m 1.6.5 Históia Revisionista da Indução Eletomagnética Michael Faaday foi o pimeio a mosta o efeito de indução: uma coente tansitóia pode se induzida em um cicuito atavés das mudanças em outo cicuito. Isto foi 18. [Faaday não conhecia nenhuma matemática além da idéia de popocionalidade FEM taxa de vaiação do fluxo de B]. Suponha que a históia tivesse sido difeente e soubéssemos somente a lei que ege a foça de Loentz: F = q ( E+ v B ) (1.114) podeíamos te povado a necessidade da indução atavés de puo pensamento. Assuma a invaiância Galileana: As leis físicas devem se invaiantes com espeito a mudança do sistema de coodenadas x ' = x vt, t' = t. [Univesalmente assumidas no tempo de Faaday. Einstein não vem até 195!]. Considee um cicuito ígido (fio de aame) movendo-se paa além de um ímã: Cada eléton no cicuito (evisionista!) sofe a ação da foça de Loentz F = q ( v B ) (1.116) confome ele é aastado pelo campo magnético. O campo elético no efeencial de epouso do imã é zeo. E a foça eletomotiz (integal da foça po unidade de caga) em tono de todo o cicuito é 1 q C F dl = v B dl (1.117) C 8

Figua 1.: Uma espia ígida que move passado um ímã fixo. Figua 1.1: Elementos de supefície na aplicação da lei de Gauss paa instantes sucessivos de tempo. Esta é uma quantidade gealmente não nula. Na ealidade, ela pode se tansfomada basicamente em consideações puamente geométicas. Vamos calcula a taxa de vaiação do fluxo magnético total devido a movimento do cicuito, em um campo estático B. Aplicando a lei de Gauss ao volume = B = B S = B S dx d d V S s' S Faixa total S' (geometia pua quando B / t = ). S ( d ) = B ds B ds B vdt l ( ) = dφ dt v B dl (1.119) C 9

Esta equação pode, de modo altenativo, se obtida algebicamente escevendo e usando Assim d Φ db = d = ( ) dt S dt v B ds (1.1) ( B v) = ( v ) B+ ( v) B ( B ) v ( B) v = ( v ) B (1.11) De qualque maneia FEM é d Φ = ( ) d ( ) dt B v S = B v ds (1.1) C 1 q C dφ F dl = ( v B) ds = (1.1) C dt Iemos agoa considea a situação completa. Quando mudamos o efeencial paa aquele em que o cicuito é estacionáio e o ímã se move. Atavés da invaiância Galileana a FEM total é a mesma, e 1 q dφ F d l = C dt (1.14) Mas agoa v =, e ao invés, B está mudando Neste caso a foça de Loentz sobe a caga é também = q( + ) =q dφ = d dt B S (1.15) t F E v B E, (desde que v = ) (1.16) Deve have um campo elético neste sistema de efeência. E também Aplicando o Teoema de Stokes paa a integal 1 dφ B d d d q F l = E l = = dt S (1.17) t E dl : 4

S B E+ d = t S (1.18) Mas esta integal deve se nula paa todo S (e C), que só se veifica se o integando fo zeo em toda a pate: B E = (1.19) t Que é a Lei de "Faaday" (expessa na foma difeencial), (a qual Faaday entendeu intuitivamente mas não podeia te-la fomulado matematicamente). 1.6.6 Indutância Suponha que temos um jogo de cicuitos com coentes ( 1, ) I i = N. Esses cicuitos estão indutivamente acoplados, se a coente em um deles acaeta o sugimento de um fluxo B j, o fluxo que une concatenado com os demais. Devido a lei de Ampèe se linea ( ) cicuito j da coente I i é popocional a I i. Consequentemente, o fluxo total que une cicuito j pode se escito j i ji i i Φ = M I (1.1) (somatóio sobe I i ) coentes difeentes. M é uma matiz. O elemento ente as coentes i e j. Suas unidades são M ij é a indutância fluxo Wb Henys (1.11) coente A A foça eletomotiz, ou voltagem, V j induzida na j-ézimo cicuito é então: V = d dt φ = M I i i (1.1) j j ji i Paa o caso mais simples N = 1 cicuito. M ii L a auto-indutância Podemos demonsta a pati das equações de Maxwell que V = LI i (1.1) M ij é simético. 41