Instituto uperior écnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires eorema da Mudança de Coordenadas 1 Mudança de Coordenadas Definição 1 eja n um aberto. Diz-se que uma função g : n é uma Mudança de Coordenadas em se verificar as seguintes condições: i) g é de classe C 1. ii) g é injectiva. iii) A derivada de g é injectiva, ou seja, det Dg(t) ; t. Eemplo 1.1 Coordenadas Polares (r, ) em : As coordenadas polares (r, ) são definidas por = r cos = r sen De acordo com a figura 1, r = + designa a distância de cada ponto de coordenadas (, ) à origem e é o ângulo formado entre o semi-eio positivo e o vector (, ). (, ) r Figura 1: Coordenadas Polares (r, ) em eja g(r, ) = (r cos, r sen ) = (, ). Então, g é de classe C 1 em e a derivada é injectiva em \ {(, )}. De facto temos [ ] cos r sen det Dg(r, ) = = r(cos sen r cos + sen ) = r. Dado que as funções trigonométricas são periódicas, a função g não é injectiva em \{(, )}. Mas, se definirmos = {(r, ) : r > ; < < π} então, a função g : é uma mudança de coordenadas. A função g transforma no conjunto g( ) = \ {(, ) : = ; } Dado que + = r, para cada r fio em obtemos, em (, ), uma circunferência de raio r e centro na origem tal como se representa na figura. 1
π r r r Figura : Por outro lado, para cada fio em obtemos, em (, ) um segmento de recta tal como se mostra na figura. Portanto, ao círculo centrado na origem e de raio e do qual se retire o semi-eio positivo corresponde, nas coordenadas polares (r, ), o rectângulo ], [ ], π[ tal como se apresenta na figura. Eemplo 1. Coordenadas Cilíndricas (ρ,, z) em : As coordenadas cilíndricas (ρ,, z) são definidas por = ρ cos = ρ sen z = z De acordo com a figura, ρ = + designa a distância de cada ponto de coordenadas (,, z) ao eio z, é o ângulo formado entre o semi-eio positivo e o vector (,, ). z (,, z) ρ (,, ) Figura : Coordenadas Cilíndricas (ρ,, z) em eja = {(ρ,, z) : ρ > ; < < π ; z }
então a função g : definida por g(ρ,, z) = (ρ cos, ρ sen, z) é de classe C 1, injectiva e a respectiva derivada é injectiva porque cos ρ sen det Dg(ρ,, z) = det sen ρ cos = ρ > 1 Portanto a função g : é uma mudança de coordenadas. z z X ρ π Figura 4: Facilmente se verifica que ao cilindro com eio z, de raio e altura e do qual se retire o plano { ; = } corresponde, em coordenadas cilíndricas, o paralelipípedo ], [ ], π[ ], [ tal como se mostra na figura 4. Eemplo 1. Coordenadas Esféricas (r,, φ) em : As coordenadas esféricas (r,, φ) são definidas por = r sen φ cos = r sen φ sen z = r cos φ De acordo com a figura 5, r = + + z designa a distância de cada ponto de coordenadas (,, z) à origem, é o ângulo formado entre o semi-eio positivo e o vector (,, ) e φ designa o ângulo entre o semieio positivo z o vector (,, z). eja = {(r,, φ) : r > ; < < π ; < φ < π} então a função g : definida por g(r,, φ) = (r sen φ cos, r sen φ sen, r cos φ) é de classe C 1, injectiva e a respectiva derivada é injectiva porque sen φ cos r sen φ sen r cos φ cos det Dg(r,, φ) = det sen φ sen r sen φ cos r cos φ sen = r sen φ cos φ r sen φ Portanto, a função g : é uma mudança de coordenadas. Assim, à bola centrada na origem, de raio e da qual se retire o plano { ; = } corresponde o paralelipípedo [, [ ], π[ ], π[ tal como se representa na figura 6.
z (,, z) φ r (,, ) Figura 5: Coordenadas Esféricas (r,, φ) em z X φ π π r Figura 6: 4
Eemplo 1.4 ransformação Linear de Coordenadas em n : eja g : n n uma transformação linear e seja A a matriz que a representa, ou seja g(v) = Av ; v n. endo em conta que uma transformação linear é de classe C 1 e que a respectiva derivada é representada pela matriz A, então g é uma mudança de coordenadas em n desde que se verifique a condição det A eorema da Mudança de Coordenadas Nesta secção apresenta-se uma versão do teorema da mudança de coordenadas. O caso geral e respectiva demonstração podem ser vistos em [1, ]. eorema.1 eja X n um conjunto aberto, f : X uma função integrável em X e g : n uma mudança de coordenadas tal que X = g( ). Então f()d = f(g(t)) det Dg(t) dt X Eemplo.1 Área de um círculo em : eja o círculo centrado na origem de e de raio = {(, ) : + < } eja X o conjunto que se obtém de retirando-le o semi-eio positivo X = \ {(, ) : } Considerando a transformação de coordenadas polares em sabemos que em que g(r, ) = (r cos, r sen ) = (, ) X = g( ) = {(r, ) : < r < ; < < π} Notando que o semi-eio positivo tem medida nula em e, aplicando o teorema da mudança de coordenadas e o teorema de Fubini, obtemos π ) vol () = vol (X) = rdrd = rdr d = π. É de salientar que o conjunto é um intervalo e, portanto, a aplicação do teorema de Fubini no cálculo do integral duplo é muito simples. 5
Eemplo. Volume de um cilindro em : eja o cilindro vertical de raio e altura dado por = {(,, z) : + < ; < z < } eja X o conjunto que se obtém de retirando-le o semi-plano { = ; }, ou seja, X = \ {(,, z) : ; = } e consideremos a transformação de coordenadas cilíndricas em Então, em que g(ρ,, z) = (ρ cos, ρ sen, z) = (,, z) X = g( ) = {(ρ,, z) : < ρ < ; < < π ; < z < } abendo que o semi-plano { = ; } tem medida nula em e, aplicando o teorema da mudança de coordenadas e o teorema de Fubini, obtemos π ) ) vol () = vol (X) = ρ dρddz = ρdr dz d = π Note-se que é um intervalo e, portanto, a aplicação do teorema de Fubini ao cálculo do integral é simples. Eemplo. Volume de uma bola em : eja B a bola centrada na origem de e de raio B = {(,, z) : + + z < } eja X o conjunto que se obtém de B retirando-le o semi-plano { = ; } X = \ {(,, z) : = ; } e consideremos a transformação de coordenadas esféricas em sendo Então, g(r,, φ) = (r sen φ cos, r sen φ sen, r cos φ) = (,, z) X = g( ) = {(r,, φ) : < r < ; < < π ; < φ < π} endo em conta que o semi-plano { = ; } tem medida nula em e, aplicando o teorema da mudança de coordenadas e o teorema de Fubini, obtemos π π ) ) vol (B) = vol (X) = r sen φdrddφ = r sen φdr dφ d = 4 π. al como nos eemplos anteriores, o conjunto é um intervalo e a aplicação do teorema de Fubini ao cálculo do integral triplo é bastante simples. 6
z Figura 7: Calote esférica Eemplo.4 Volume de uma calote esférica em : eja a calote esférica, representada na figura 7 e definida por = {(,, z) : + + z < ; z > } e seja X o conjunto que se obtém de retirando-le o semi-plano { = ; } X = \ {(,, z) : = ; } endo uma porção de uma bola em, consideremos a tranformação de coordenadas esféricas Da condição z >, obtemos r > em que g(r,, φ) = (r sen φ cos, r sen φ sen, r cos φ) = (,, z) cos φ e, portanto, X = g( ) = {(r,, φ) : < < π ; < φ < arccos( ) ; Assim, o volume de é dado por e, tendo em conta que cos φ < r < } vol () = vol (X) π arccos( ) ) ) = r sen φ dr dφ d cos φ = π arccos( ) ) sen φ ( cos dφ φ ( ) d 1 d cos = sen cos obtemos vol () = π ( + ) Por outro lado, a calote esférica também apresenta simetria cilíndrica em torno do eio z e, portanto, consideremos a transformação de coordenadas cilíndricas g(ρ,, z) = (ρ cos, ρ sen, z) = (,, z) 7
Da inequação + < z obtemos ρ < z e então X = g( ) em que = {(ρ,, z) : < z < ; < < π ; < ρ < z } Assim, o volume de é dado por vol () = vol (X) = ρ dρddz π z ) ) = ρ dρ dz d = π ( z )dz = π ( + ) Eemplo.5 Volume de um cone em : eja o cone representado na figura 8 e definido por em que >. = {(,, z) : + < z < } z X Figura 8: Cone em Para cada valor de z temos um círculo de raio z, ou seja, apresenta simetria cilíndrica com eio em z e, portanto, consideremos a transformação de coordenadas cilíndricas g(ρ,, z) = (ρ cos, ρ sen, z) = (,, z) eja X o conjunto que se obtém de retirando-le o plano { = ; }. Das condições + < z < obtemos ρ < z < e, portanto, X = g( ) 8
em que = {(ρ,, z) : < < π ; < ρ < ; ρ < z < } O volume de é, então, dado por vol () = vol (X) π ) ) = ρ dz dρ d = π = π ρ ρ( ρ)dρ Eemplo.6 Consideremos o sólido V representado na figura 9 e descrito por V = {(,, z) : + < 1 + z ; + + z < 5 ; z > } z 5 1 Figura 9: Das inequações + + z < 5 e z >, obtemos < z < 5. Por outro lado, as superfícies dadas, respectivamente, por + = 1 + z e + + z = 5 intersectam-se segundo a lina dada pelas equações z = ; + = É claro que V apresenta simetria cilíndrica relativa ao eio z. Assim, em coordenadas cilíndricas (ρ,, z), V é descrito por i) Para < z <, temos < < π ; < ρ < 1 + z ii) Para < z < 5, temos < < π ; < ρ < 5 z Portanto, pelo teorema da mudança de coordenadas, o volume de V pode ser calculado da seguinte maneira π ( ) ) 1+z π ( 5 ) ) 5 z vol (V ) = ρdρ dz d + ρdρ dz d = π (1 + z )dz + π = π 1 5 8 5 (5 z )dz 9
Eemplo.7 eja a região representada na figura 1 e definida por = {(, ) : π, e consideremos função f : definida por f(, ) = sen( + ) cos( ) π 4 } = v π π u = Figura 1: Para calcular o integral f consideremos a transformação linear (u, v) = g(, ) definida por u = + v = Note-se que através desta transformação a função f passa a ser o produto de duas funções de uma variável cada. Este facto irá certamente simplificar o cálculo do integral. endo linear, para que g seja uma mudança de coordenadas basta que a matriz que a representa seja não singular. (ecorde-se que para uma transformação linear a matriz que a representa e a sua derivada coincidem). Assim, g é uma mudança de coordenadas porque [ ] 1 1 det Dg(, ) = = 1 É de salientar que a transformação g permite mudar das coordenadas (u, v) para as coordenadas (, ) e o que se pretende é a mudança inversa. No entanto, a transformação inversa g 1 é também uma mudança de coordenadas e det Dg 1 (u, v) = 1 Assim, seja tal que = g 1 ( ). Da definição de, obtemos = {(u, v) : u π ; v π } 1
Usando o teorema da mudança de coordenadas, obtemos, f(, )dd = f(g 1 (u, v)) det Dg 1 (u, v) dudv = 1 π π ) sen(u) cos(v)dv du = 1 ( π ) ( ) π sen(u)du cos(v)dv = Eemplo.8 eja a região representada na figura 11 e definida por = {(, ) : 1 < < ; > ; < < }. e consideremos o integral em da função definida por f(, ) = (1 + ) v = = 1 = = 1 1 u Figura 11: Note-se que é um conjunto limitado e que a função f é limitada e contínua em e, portanto, o respectivo integral eiste. endo em conta que pode ser dado por = {(, ) : 1 < < ; > ; 1 < < }. e a função f depende do produto e da razão, consideremos a transformação (u, v) = g(, ) definida por u = v = Então, = g() = {(u, v) : 1 < u < ; 1 < v < } 11
ou seja, a função g transforma no rectângulo = g(). Vejamos que g é uma mudança de coordenadas em. É claro que g é de classe C 1. Da definição de g, obtemos = u v = uv e, portanto, g é invertível, ou seja, injectiva. A derivada de g é dada pela matriz [ Dg(, ) = e, tendo em conta que, > >, temos 1 ] det Dg(, ) = > Portanto, g é uma transformação de coordenadas. Aplicando o teorema da mudança de coordenadas e, tendo o cuidado de notar que a transformação de coordenadas a usar é a função g 1 e que obtemos f(, )dd = det Dg 1 (u, v) = 1 v f(g 1 (u, v)) det Dg 1 (u, v) dudv ( ) 1 1 + u du dv = 1 1 1 = arctan() arctan(1) Eemplo.9 eja o círculo centrado na origem de e de raio e consideremos a função definida por f(, ) = e ( + ) Para calcular o integral de f em consideremos a mudança de coordenadas polares Do eemplo 1.1 sabemos que em que Assim, temos g(r, ) = (r cos, r sen ) g( ) = = {(r, ) : < r < ; < < π} f(, )dd = = π = π f(g(r, )) det Dg(r, ) drd ( ) re r dr d re r dr = π(1 e ) 1
Note-se que se aplicarmos o teorema de Fubini ao cálculo do integral em coordenadas (, ), obtemos ) f(, )dd = e d d e e este integral não é facilmente calculável por não termos á disposição uma primitiva para a função e. Em coordendas polares este problema não eiste porque a função a integrar é dada por re r cuja primitivação é imediata. eferências [1] Luís. Magalães. Integrais Múltiplos. eto Editora, 1996. [] W. udin. Principles of Matematical Analsis. McGraw Hill, 1996. 1