O gênio é composto por % de talento e de 8% de perseverante aplicação (Ludwing Van Beethoven) Acadêmico: Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
SUMÁRIO NÚMEROS E OPERAÇÕES Introdução Conjunto dos números Naturais Conjunto dos números Inteiros Conjunto dos números Racionais Conjunto dos números Irracionais Conjunto dos números Reais Eercícios ÁLGEBRA Introdução Operações com os polinômios Produtos notáveis Fatoração 7 Frações Algébricas 8 Eercícios RADICAIS Introdução Propriedades dos radicais Simplificação de radicais 7 Operações com os radicais 7 Racionalização de denominadores 8 Eercícios EQUAÇÕES Introdução Equação Polinomial do º Grau Equação Polinomial do º Grau Eercícios 0 Inequações Inequação do º grau Inequação do º grau Eercícios TRIGONOMETRIA 7 Introdução 7 Ciclo trigonométrico 7 Funções circulares 8 Unidades de medidas Representação gráfica 0 Eercícios REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
NÚMEROS E OPERAÇÕES N = {0,,,,,, } Introdução A história dos números acompanha a história da civilização humana e a crescente necessidade de resolver os problemas de ordem prática surgidos na vida em comunidade Nos tempos primitivos, a contagem de animais deu origem aos números naturais Com o desenvolvimento do comércio entre os seres humanos, a necessidade de calcular créditos e débitos, deu origem aos números inteiros Já a divisão de terras pode ter originado os números fracionários Com o tempo, para facilitar o estudo, os números foram reunidos em diferentes conjuntos Para designar cada um dos conjuntos numéricos, usamos uma letra maiúscula convencionada como linguagem universal Conjunto dos números Inteiros São todos os números positivos e negativos inclusive o zero Z = {, -, -, -, 0,,,, } Operações Adição e Subtração: Sinais iguais: Somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior Eercícios resolvidos: a) + = Conjunto dos números Naturais b) = c) = + = São todos os números positivos inclusive o zero d) + = Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
e) + = = f) + + = = Potências Multiplicação e Divisão Eiste uma forma abreviada de escrever uma multiplicação de fatores iguais No caso Sinais iguais resposta positiva Sinais diferentes resposta negativa 7 7 7 = 7 Epoente Isto é: ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) Eercícios resolvidos: a) = e) : = b) (-) (-) = f) 0 : ( - ) = - c) (-) = - g) d) (-) = - h) 0 0 = + = = - Base fatores iguais a 7 Nessa operação, que é denominada potenciação, temos: a potência, indica um produto de fatores iguais; a base, o fator que se repete; o epoente, indica quantas vezes a base se repete como fator Assim: ³ = = 8 ³ = 8 (- ) = (- ) (- ) (- ) (- ) = (- ) = CASOS PARTICULARES: a) A potência de epoente (º grau) é igual à base: a = a = Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
b) Toda potência de base é igual a : ² = 7 = c) Toda potência de base 0 é igual a 0: 0² = 0 0 = 0 d) Toda potência de epoente par é positiva: (- ) = = (- )² = ² = e) Toda potência de epoente ímpar mantém o sinal da base: ³ = 7 (- )³ = - 7 ( +) = (- ) = - a 7 a 7 7 7 h) Toda potência de base 0, escrevemos à direita da unidade tantos zeros quantas forem às unidades do epoente 0² = 00 00 = 00 = 0² 00 000 = 00000 = 0 0 8 = 00 000 000 0 7 = 0 000 000 000 = 0³ f) Toda potência de base diferente de zero e epoente zero é igual a uma unidade a 0 =, com a 0 0 = ( - 7) 0 = - a : a a a 0 Realmente: a a : a 0 g) Toda potência de epoente negativo é igual ao inverso da base: Propriedades da Potenciação: a m a n = a m + n a m : a n = a m - n (com a 0) (a m ) n = a m n a n b n = (ab) n a b n n n a (com b 0) b Multiplicação de potências de mesma base: Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
Mantém-se a base comum e somam-se os epoentes vezes Realmente: ³ ² vezes vezes Divisão de potências de mesma base: Realmente: 7 7 7 7 7 Potenciação de potência: 7 Eleva-se a base ao produto dos epoentes Mantém-se a base comum e diminuem-se os epoentes Realmente: vezes vezes - Multiplicação de potências de mesmo grau: Multiplicam-se as bases e conserva-se o epoente comum Realmente: ² 7² = 7 7 = ( 7)² Divisão de potências de mesmo grau: Realmente: Radicais vezes Ao elevar um número ao quadrado significa obter um produto de dois fatores iguais a esse número Por eemplo: = = 8 A operação inversa de elevar ao quadrado é etrair uma raiz quadrada Dizemos que é uma raiz quadrada de 8 porque = 8 Representamos a raiz pelo símbolo Dividem-se as bases e conserva-se o epoente comum Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
Assim: porque ² = Índice 8 porque ³ = 8 Radicando Raiz quadrada Eercícios Resolvidos: a) + [ ( + ) ] = + [ ] = + [ ] = + [ - ] = = - b) + { [ + ( + ) ] + 8 } = + { [ + ( ) ] + 8 } = + { [ + ( + ) ] + 8 } = + { [ + ] + 8 } = + { [ + ] + 8 } = + { + 8 } = + { } = + = - 8 IR Epressões numéricas Para resolver epressões numéricas realizamos primeiro as operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações Em epressões que aparecem sinais de reunião: ( ), parênteses, [ ], colchetes e { }, chaves, efetuam-se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais interiores para os eteriores Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos c) { [ : ( ) ] } + = { [ : ] } + = { [ ] } + = { [ + ] } + = { } + = 0 + Valor absoluto ou Módulo Observe a reta numérica, onde estão representados alguns números inteiros: Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
À distância entre um número e o zero na reta chamamos de módulo ou valor absoluto do número Indicamos o módulo de um número pelo símbolo Por eemplo, a distância do até a origem é unidades, ou seja, o módulo do é Eercícios Resolvidos: a) b) c) 0 0 d) Conjunto dos números Racionais a, com b - São todos os números que podem ser escrito sob a forma de fração a e b Z e b 0 - - - - 0 + + + + onde a Q a, b Z, b 0 b a b numerador denominado r É mais comum encontrarmos números racionais escritos na forma de número decimal do que na forma de fração Observe alguns eemplos: Decimais eatos ) 7 0, 7 (lê-se: setenta e cinco centésimos) 00 ), (lê-se: quatro inteiros e cinco décimos) ), (lê-se: um inteiro e cento e vinte e cinco milésimos 8 negativos) Decimais infinitos com dízima periódica ) 7 0,7777 0, 7 Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
) 0, 0, Geratriz de uma dízima Dízima periódica, ou simplesmente dízima, é a representação decimal aproimada de um número fracionário no qual um ou mais algarismos se repetem indefinidamente a partir de certa ordem decimal geratriz A fração que dá a origem a uma dízima periódica é chamada Veja na atividade seguinte como proceder para encontrar a fração geratriz de uma dízima: ) Determinar a fração geratriz de 0,7777? Resolução Chamando a dízima de, escrevemos a equação: = 0,7777 Em seguida, multiplicamos ambos os membros da equação por 0, de modo que o período (7) fique à esquerda da vírgula: 0 = 7,777 Subtraindo membro a membro a equação da equação, obtemos: 0 = 7,777 - = 0,777 = 7 = 7 Assim, a fração geratriz da dízima 0,777 é 7 ) Determinar a fração geratriz de,? Resolução Chamando a dízima de, escrevemos a equação: =, Em seguida, multiplicamos ambos os membros da equação por 00, de modo que o período () fique à esquerda da vírgula: 00 =, Subtraindo membro a membro a equação da equação, obtemos: 00 =, - =, = = Assim, a fração geratriz da dízima, é Operações com frações Adição e Subtração: FRAÇÕES COM DENOMINADORES IGUAIS Para adicionar ou subtrair frações com mesmo denominador, devemos adicionar ou subtrair os numeradores e conservar o denominador Eercícios Resolvidos: Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 7
) 7 ) Joaquim gasta 7 do seu salário com aluguel e a) Que fração do salário ela gastou no total? com alimentação b) depois de pagas essas despesas, que fração do salário sobrou? ) 0 = 0 Fatoração multiplicação Resolução a) Adicionando os gastos, temos: ) = b) O salário de Joaquim corresponde a um inteiro OBS: Número primo é um número que possui apenas dois divisores: o próprio número e o número Veja os primeiros números primos: Portanto, Joaquim gastou Fatoração do salário e sobraram A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do dispositivo prático que será mostrado nos eemplos a seguir,,, 7,,, 7,,,, Mínimo múltiplo comum (mmc) O mínimo múltiplo comum de vários números é o menor número divisível por todos eles Eercícios resolvidos: Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 8
Eercício resolvido: ) Calcular o mmc (,, 8) = 8,, 8 8 8 ) Joaquim e Francisco estão pintando um muro Joaquim já pintou do muro, e Francisco 8 a) Que parte do muro eles já pintaram no total? b) Quanto que Joaquim pintou a mais que Francisco? Resolução FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES a) 8 8 7 8 Eercícios Resolvidos : b) 8 8 8 ) 7 mmc (, ) = Portanto, eles pintaram juntos 7 do muro e Joaquim pintou 8 8 a ) + + 0 = 0 = 7 0 mais que Francisco ) Multiplicação: ) - - - Para multiplicar as frações, devemos multiplicar numeradores com numeradores e denominadores com denominadores Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
Eercícios Resolvidos ) : 8 8 ) ) ) 7 ) 8-7 ) ) - - Divisão: Potenciação: Para dividir uma fração por outra fração, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração Para calcular a potência de um número fracionário, eleva-se o numerador e o denominador ao epoente da fração Eercícios Resolvidos Inverter a segunda fração Eercícios Resolvidos ) ) : : ) 7 ) 0 7 Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 0
Radiciação: Eercícios Resolvidos ) +,,, 8, 0 Observe que as parcelas são dispostas de modo que se tenha vírgula sobre vírgula ) Calcular o perímetro do retângulo abaio: ) 8,7 cm ) IR, cm ) 8 P =, +, +,7 +,7 =,0 cm Operações com os números decimais: Adição e Subtração: Multiplicação: Eercícios Resolvidos Eercícios Resolvidos ), +, +, = 8,0 ) 7,, =,00 =, Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
7,, 0 7, 00 ) : 8, - 8, - 0-8 0 Na divisão de números inteiros começa-se operar normalmente Quando o resto for diferente de zero, (como no eemplo ao lado), acrescenta-se zero ao resto e uma vírgula no quociente e começa a divisão novamente ) Calcular a área do retângulo abaio:,7 cm, cm A =,,7 =,077 cm,08 cm Divisão: ) : 0, =,0 : 0, = 0 0-0 - 8 0-0 0 Na divisão de números decimais, antes de operar devemos igualar as casas decimais, completando com zero, como no eemplo ao lado Eercícios Resolvidos Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
Conjunto dos números Irracionais IR É um número que não pode ser escrito sob a forma de fração Os números irracionais têm infinitos decimais não-periódicos Encontramos esses I Q Z N números nas raízes não eatas, e no número (pi) Por eemplo: =, =, Conjunto dos números Reais A união dos conjuntos dos números racionais com o conjunto dos números irracionais constitui o conjunto dos números reais, representado pela letra IR Assim, todo número natural é real, do mesmo modo que todo número inteiro ou racional ou irracional também são números reais, como mostra o diagrama Eercícios ) Simplifique as epressões numéricas: a) + = b) 8 7 8 = c) + 8 = d) = e) 8 0 + = f) 00 = g) 7 = h) 7 7 + = i) 0 8 : = Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
j) 8 : 7 = l) : : = m) 8 : + = n) 8 : 7 : = o) : = p) 7 : : : 0 = q) : = r) 00 0 : 0 = s) 0 : + = ) Calcule: a) (0 + ) = b) ( + ) 0( ) = c) : ( ) + = d) ( : 7 ) 0 : = e) ( 8 : ) : 8 + = f) : ( : : : ) : = g) [ + ( + )] = h) [ ( )] : 8 = i) [( : ) (8 : )] : = j) 8 + [8 : 8 : ( + )] = l) 8 [ : (8 : )] : = m) 00 {[ (7 : + 7)]} : = n) {8 : [ ( : + 8)]} = o) 00 : {[ 0 : 0] + ( )} = p) { + [7 : + (7 : )] + } : = ) Simplifique as epressões numéricas: a) 0 : [ ( : ) + - ] = b) [ : ( ) + 8 : ] = c) [ ( ) 00 ] + = d) : [( - ) : 00 ]7 = e) : 8 : - 8 = f) [0 : (7 ) : 00 ] : = ) Calcule o valor de cada epressão numérica: a) 8 b) 8 7 c) 00 d) 00 e) Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
f) g) h) 00 i) 8 j) l) m) 00 : 0 n) 8 o) p) q) ( ) ( ) r) ( 0 ) ( 8) s) ( ) t) ( ) ( 7 )( ) ) Simplifique as epressões numéricas: a) + = b) + 8 = c) 8 + = d) + ( - ) ( - 8) = e) 8 + ( - ) (+ ) = f) 0 8 = g) ( - 7) + ( - 8) = h) + ( + + ) ( - + ) = i) ( + 0 0) + ( - 0 + 0 0) = ) Calcule: a) 8 ( + ) = b) 0 ( ) = c) ( + ) ( - + 7) = d) ( - + ) ( - + ) + ( 7 0 + ) = e) (- 8 + ) ( - ) = f) ( - ) ( +7 - +8) = g) (- + 0) ( - + 8 - ) = 7) Calcule: a) o triplo de : b) o quádruplo de -: c) o dobro de adicionado a : d) o triplo de + adicionado a 0: Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
e) o dobro de adicionado ao triplo de : f) o quádruplo de - adicionado ao dobro de : 8) Efetue as multiplicações: a) 8 = b) (+ ) (- ) = c) (+,7) = d) (+ ) (- ) = e) 0 (- ) = f) (-,) (-,) = g) (- ) = h) -0 (+ 0) = i) (- 0,7) (+ 0,8) = j) 00 0 = l) (- ) ( + ) = m) (- 0,) (- 0,) = n) (- ) (- ) = o) (- ) (- ) (- ) = p) ( + ) (- 0) = q) (+ ) (- ) (+ ) (- ) = r) (- 0) (- ) (+ ) (+ 7) 0 = a) 0 : (- ) = b) 0 : (+ ) = c) 0 : (+ ) = d) : (- ) = e) 0 : (- 0) = f) 0 : (- ) = g) [(- ) : (- )] : (- ) = h) [(- ) : (- )] [(- 0) : (- )] = i) [(+ 8) : (- )] : [(- 0) : (- 0)] = (+ 7) (- ) j) (- ) : (+ 00 ) : ( ) : ( ) l) ( ) ( ) m) ( ) ( )( ) ( ) n) o) p) 8 0 = = = ) Calcule os quocientes: q) ( )( ) = Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
r) s) ( - ) ( - 7) ( - - ) 0) Calcule: a) a metade de 80: b) a terça parte de 0: = = c) a quarta parte de 0: d) a quinta parte de 00: e) a metade de -0 multiplicado por : f) o dobro de - 8 dividido por - : g) a terça parte de + 0 dividida por -0: h) a quarta parte de 00 adicionada à metade de 8: ) Calcule as potências: a) ³ = b) 0 = c) (- )³ = d) (- )³ = e) (- ) = f) (- ) = g) ³ = h) - = i) : = j) : ² = l) = m) ( ²) 0 = n) : = o) (- ) : = p) (³) = q) (- ) = r) (- ³) = s) = t) ( )³ = u) (² ) - = v) = ) = z) - = ) Calcule: a) o quadrado de : b) o cubo de : Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 7
c) a quarta potência de : d) a quinta potência de zero: e) o quadrado de adicionado ao cubo de -: f) a terça parte do cubo de : g) o cubo de multiplicado pelo quadrado de : h) a quarta parte do quadrado de : ) Use os símbolos de > (maior), < (menor) ou = (igual) e compare as potências: a) (- ) b) (- ) - c) (- ) d) ( - ) e) (- ) (- ) f) ( - ) (- ) 0 g) (- ) h) - - i) - Fique atento aos sinais e parênteses s ) O produto dos resultados das três epressões representa o número de anos que durou a construção de um castelo Se ele começou a ser construído no ano 0 ac, em que ano terminou a construção? ª ª {(- ) + (- )( - ) + (- ) [- (- )]}(- ) - [(- )(- ) + 00(- )](- ) + {- 00 + (- )(- ) (- )(- )(- )(- ) 7}(- ) ) Escreva como uma única potência de base Depois, efetue a potenciação a) [(- ) ] : (- ) 8 = b) [(- ) ] (-) : (- ) = c) (- ) 0 (- ) : [(- ) ] 8 = d) (- ) : (- ) : [(- ) ] 0 = 8 [( )] : [( ) ] e) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f) [( ) ] ) Determine o mínimo múltiplo comum de 8 e 7) Qual é o mmc do 0 e 8? 8) Calcule as operações com as frações: ª Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 8
Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 7 h) 7 g) f) e) 0 d) c) b) a) i) - - j) - 7 ) Determine cada produto e escreva na forma mais simples: ) 0 7 ) 8 ) ) 7 0 ) 8 ) f e d c b a g) - h) i) j) l) - 7 m) - -
Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 0 0) Efetue e simplifique se possível: : d) : 0, c) 8 : b) : a) ) ( : f) : 7 e) ) Calcule: a) : b) : - c) : d) e) f) g) 7 : ) Efetue as operações (Arme as operações): a), +,08 +, = b),0 + 00 +, = c),, = d) 8, = e),, = g) h) i)
f) 8, 0,0 = g),,00 = h) 8,708 :, = i) 8, : 0, = j) 80, : 0 = l) (FUVEST) 0, 0,,,0 m) 0,0, 0,0 n) 0,08 : 0, o) p), 0,0,8, 0,8, = ) Qual é a soma do dobro de,7 e o triplo de -,? ) Calcule: a) o quádruplo de,: b) o dobro de -,: ) Calcule o módulo do resultado de Respostas: ) a b8 c0 d e f8 g0 h i0 j l m n o p0 q r00 s7 ) a08 b c d e f g h i8 j l m n 0 o0 p 7 ) a0 b0 c d8 e f 8 ) a b c d e f g h00 i j l m n8 o- p q- r s- t ) a b c- d e- f g-7 h- i-0 ) a- b- c- 7 d e f- g 7) a- b- c- d- e- 7 f 8) a- b- c-0, d-0 e-0 f,8 g-0 h-00 i-0, j000 l- 0 m0, n 8 o - p 0 q r0 ) a- b- c d e- f0 g- h0 i- j l m n- o- p q- r- s- 0) a-0 b0 c- d0 e-0 f g- h- ) a b0 c-8 d- e+ f g h i j87 l0000 m n o p7 q-0 r7 s t u 0 ) Rafaela apostou que, (- 0,) é 0 Ele ganhou a aposta? v z Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
) a8 b- c d0 e f- g- h ) a= b> c= d< e> f< g< h< i> ) ª- ª- ª RaC ) a(-) = b(-) = c(-) 0 = d(-) = 8 e(-) = -7 f(-) = - ) mmc(8, ) = 7) mmc(0, 8) = 0 8) a b c d e 8 f 0 7 g 0 h i j - ÁLGEBRA Introdução A Álgebra é considerada a aritmética simbólica porque emprega letras para representar números Observe o retângulo: ) a- b 7 c0 d- e 7 f-8 g - h - i 0 8 j cm l m cm 0) a ) a b- c b- c 7 d-0 e d 7 e f f 0 g g h i - 7 ) a, b, c, d, e,7 f, g, h, i, j0, l0,0 m0,7 n0,0 o,8 p0, ) -, ) a, b-0, ) Sim ) 8 A área desse retângulo é A = = cm Agora, como representaríamos, algebricamente, a área do retângulo? De modo geral, representamos por b a base do retângulo qualquer e por h a sua altura, escrevemos por meio de uma fórmula o cálculo de área: A = b h ou A = bh onde as letras b e h são chamadas de variáveis Observe o eemplo: Qual é o número cujo dobro adicionado a dá como resultado? Solução Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
Representamos o número desconhecido por, então: + = = = 0 = 0 = 0 O valor desconhecido representado pela letra é chamado de incógnita da equação Portanto o número desconhecido é o número 0 Dois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal são chamados monômios ou termos semelhantes Por eemplo: a 8a e a b y e y 7 c a b, a b e a b Uma epressão algébrica formada por um monômio ou uma soma de monômios chama-se polinômio Epressões algébricas Valor Numérico Epressões matemáticas formadas por letras ou número e letras são chamadas de epressões algébricas Por eemplo: 7a b A epressão algébrica 7a b é formada por um termo, ou seja, um monômio - 7 a b Variável ou parte literal: a b Coeficiente numérico: - 7 Valor numérico de uma epressão é o número obtido quando se substituem as variáveis por números e se efetuam as operações indicadas Eercício resolvido: Qual é o valor numérico da epressão + para = -? (-) (-) + + + 0 Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
Operações com os polinômios Eercícios resolvidos: Adição e Subtração de polinômios Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes Quando estamos adicionando ou subtraindo os termos semelhantes de uma epressão, dissemos que estamos simplificando ou reduzindo os termos semelhantes Para isso, repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes a ( - a²y) ( + ay) = - a³y² b ( + ) = 0 + 8 c ( + )( - ) = 8 - + = 8 - Divisão de polinômios Usamos aqui a propriedade distributiva Eercício resolvido: a ²y y² + 7y² + ²y = 8²y + y² b + 7 0 = - c ( + ) ( + ) = + - - + = - + 7 Multiplicação de polinômios º Caso: Divisão de monômios Divide-se o coeficiente numérico e a parte literal correspondentes Para dividir as partes literais, usamos a propriedade da potência: a n : a m = a n m (com a 0) Eercícios resolvidos: Multiplicam-se os coeficientes e, a seguir, multiplicam-se as partes literais Para a multiplicação das partes literais, usamos a propriedade da potência: a n a m = a n + m a (+ ) : (- ) = - b ( - 8 a b c) : ( - a b c) = c (+ a³b ) : (+ 7a²) = a²b² 8 : a b = a b Ao dividirmos um monômio por outro, o quociente obtido nem sempre é um novo monômio Veja: Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
(- ) : = ay a m mp y p 7y a m p Esses resultados são epressões fracionárias chamadas de frações algébricas Eercícios resolvidos: a ( + 8) : ( ) = e resto: b ( ) : ( +) = a) + 8 b) + 0 - + - + - - - 8 0 - + 8 0-8 - - + + 8 + 0 + 0 º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada termo do polinômio pelo monômio Eercícios resolvidos: a ( + 8) : (- ) = - b (a b ab + a b ) : ab = a - b + a b Produtos notáveis Eistem produtos de polinômio muito importantes no cálculo algébrico, que são conhecidos como produtos notáveis Vele a pena reconhecê-los e resolve-los de forma imediata º Caso: Divisão de polinômio por polinômio: Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
Quadrado da soma de dois termos: º Termo º Termo Quadrado do primeiro termo (a + b) = (a + b)(a + b) = a + ab + ab + b = a + ab + b + o dobro do produto do º pelo º termo + quadrado do segundo termo Quadrado da diferença de dois termos: (a - b)² = a² - ab + b² Podemos dizer que: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo Eercícios resolvidos: Podemos dizer que: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo Eercícios resolvidos: a ( ) = ² + (- ) + (- )² = ² - + b (7 - y) = - 8y + y Produto da soma pela diferença de dois termos: (a + b) (a b) = a² - b² a ( + )² = ² + + ² = + + ² b (7 + y) = + 8y + y Podemos dizer que: O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
Eercícios resolvidos: a ( - ) ( + ) = ² - ( )² = = - b (7 + y) (7 - y) = - y Fatoração Na epressão fatorada, é a parte literal de menor grau, logo é o fator comum colocado em evidência Podemos ter as três situações em uma única epressão Veja: 8a b + a = a (a b + ) a² 8a²³ a³ a a² a² Fatorar um polinômio é escrevê-lo sob a forma de um produto Fator comum a a + b = = (a + b) b Na epressão fatorada, é o fator comum colocado em evidência Fatoração por agrupamento a + ay + b + by = a( + y) + b( + y) = ( + y)(a + b) c c 8 = = (c ) 8 Na epressão fatorada, é o máimo divisor comum dos coeficientes numéricos e 8, logo é o fator comum colocado em evidência 7a + 7 a = (7a + ) m ny n + my = -n(y + ) + m( + y) = (y + )(m n) Na epressão fatorada, os quatro termos não apresentam um fator comum Logo agrupamos os termos de dois em dois, onde a é o fator comum do primeiro grupo e b é o fator comum do segundo grupo E fatoramos novamente Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 7
Diferença entre dois quadrados a = (a )(a + ) Frações Algébricas Uma fração algébrica corresponde ao quociente de duas epressões algébricas Observe: a y y a 7 a m n = (m n )(m + n ) Trinômio Quadrado Perfeito + 0 + 00 = ( + 0) 00 0 = 0 perfeito Sinal do perfeito O conjunto dos números reais para os quais o denominador de uma fração algébrica é diferente de zero é denominado domínio ou campo de eistência da fração Assim, para a fração y, o campo de eistência é qualquer número real diferente de, já que a fração não tem nenhum significado quando =, pois anula o seu denominador Dada uma fração algébrica, vamos considerar que sempre estão ecluídos os números reais que, colocados no lugar das letras, anulam o seu denominador Logo: 8y + y = ( 8y) A fração A fração 7, devemos ter 0, devemos ter e - Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 8
Simplificação de frações Algébricas ) Escreva a epressão algébrica que representa a área da figura Eercícios resolvidos: a y z z 8 y y ( ) ( ) a + b ) Calcule o valor numérico de + para = a a b ab b (a b)(a b) (a b) a b a b ) Se a epressão algébrica a representa o volume de um cubo de aresta a = 8 cm, qual é o volume desse cubo? Eercícios ) Ache o valor numérico da epressão + y para = e y = - ) Encontre o valor numérico da epressão a b c, b = e c = - para a = ) A área do trapézio da figura é dada pela fórmula A ( b b ) h, em que b e b representam suas bases e h sua altura Determine a área do trapézio, sendo b = cm, b = 8 cm e h =, cm b b h 7) Ache a epressão algébrica que representa a área do retângulo - + 8) Que polinômio representa o volume do paralelepípedo? Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
+ + + ) calcule o valor numérico para 8 +, para: a) = b) = - 0) Reduza os termos semelhantes: a) (a 7) + (-a + ) = b) ( ) + ( ) = c) ( ) + ( + ) = d) (-y + y ) + (y + ) = e) (8y y + y ) + ( - 8y y + y ) = f) (y ) (y + ) + ( - y + ) = g) (b b + ) (- b + b ) (b b + ) = h) ( ) ( + 7 ) + ( - + ) = i) ( y ) + ( y + y ) ( 8) = ) Efetue as multiplicações: a) = b) -a a = c) pq ( - p³q² ) = d) ab ( - a b ) = e) ( + ) = f) -(a a + a ) = g) ( + ) = h) a(a a ) = i) y ( y + y ) = j) ( + )( + ) = l) ( + )( )( ) = m) ( + )( + ) = n) (y )(y + ) = ) Calcule as divisões: a) 7 : = e) b b b) y : y y = f) 7 0 y c) n n p : ( - n) = g) 7 n p d) - a : (- a 0 )= h) ) Efetue as divisões: a) ( + 8) : ( - ) = 0 8 b a a b Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 0
b) (m m + m ) : ( - m) = c) (a m a m + a m ) : (+ a m ) = d) (a b a b + ab) : ab = e) (0a a + 0a) : a = f) (7m 8 m + 8m ) : 7m = ( 8 )( ) Simplifique ) Efetue [(y y + )(y + ) + (y + y + )(y )] : y ) 8) Efetue: a) ( + y) = b) (a + ) = c) ( + ) = d) (- + ) = e) ( + y) = f) (a + b) = g) (a + b) = h) ( - ) = i) (a - 7) = j) ( y) = l) ( - y) = m) (a - ) = ) Calcule: a) ( 7 + 0) : ( ) = b) (y y ) : (y ) = c) (n n + 7) : (n ) = d) (0a a 7) : (a ) = e) ( 8) : ( + ) = f) (8 8y + y ) : (- y + ) = g) (k k + k ) : (k ) = h) (8b + b + b + ) : (b + ) = 7) Determine 8 ) Fatore as epressões algébricas: a) + y = b) ba bc = c) 7a + 7b 7c = d) 8 0y = e) 7m + n = f) y 8 g) b b Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
= h) y i) 8 = j) a m a m + a m = l) + a = m) a b b a = n) y z = o) 8a b + a = 0) Fatore a epressão a + b + ay + by ) Fatore os polinômios: a) + + 8 = b) 0 + = c) 0y + 00y = d) = e) y = a f) b g) + y + y = h) m n mn + = y i) ) Fatore: a) + 0 + 7 = b) -a + 8a 7a = c) y m m = d) 000 0 = e) 7 = ) Qual é a epressão fatorada de m + n m mn n? ) Simplifique as frações algébricas: a) = y b) y y c) m d) 7 m 8 mn 7 n n Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
y e) y 8 y y a f) a b) c) a a g) ab b h) b 8) Efetue: a a a a) y y y a a i) a a j) = y b) y a a c) y 8 d 8 dm l) d dm ) Qual é a forma mais simples de escrever a fração a a a a? d) a a ) Obtenha o valor da epressão ) ( ) ( 0) Efetue as operações e simplifique se possível: ) Simplifique a a a a) = y y 7) Qual é o domínio da fração: a) 8 y b) y y Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
c) : y d) y y y a b b a e) a b b a 0 f) : 8 7 0 a b a b a g) a a a a ab b a b a b ab h) : ab ( a b ) b a ) Efetue a epressão a ab possível ab a : ab y ) Encontre o valor numérico da epressão y para = 7 e y = e simplifique se y : y, RESPOSTAS: ) ) cm ) a(a + b) ) ) 7 ) cm 7) + 7 8) + + + ) a- b 8 0) a a + b c 8 d y e -y + y f - g -b + h - + i y + y y + 8 ) a b -0a c p q d a b e + f -a + a - 8a + g 8 + 0 h a + a + a i y y y j + 8 l 8 + m 8 + 0 + n y 8y 0 ) a b y c - n d a y e f b g h p ) a - + b -m + m m c a m + a m d a b a + e a a + f m m + m ) ) y ) a b y + c n +, resto: 0 d 0a + 7 e f y + g k k +, resto: - h b + b + 7) - 8) a + y + y b a + a + c + 0 + d + e + y + y f a + 0ab + b g a + ab + b h 0 + ) a ( + y) b b(a c) c 7(a + b c) d ( y) e ( m + n) Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
f y 8 g b h y i8 ( ) 8) a a y b a c y 0 y d 0 a ² a j a m(am m + ) l ( + a ) m a b (b a) n 7 (y z) o a (a b + ) ) 0 0) a y b y y c d y e a b a b f g h a 0) (a + b)( + y) ) a ( + ) b ( ) c ( 0y) d ( )( + ) a b a b a b a b e (8 y)(8 + y) f 7 7 g (7 + y) h (mn ) ) b ) y y i ) a ( + ) b -a( ) y y c m d 0(0 )(0 + ) e ( )( + ) ) (m + n)( m n) ) a b y y c d ( m n ) m n e f (a ) y g h a b i j ( ) l 8 ) a ) a a 7) a - [8] b - c - [- ou +] Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
RADICAIS Introdução n a b n n a b De modo geral podemos escrever: 8 n a b b n a n N * e n onde índice n a m n: p m : p a n a b raiz 8 8: : Propriedades dos radicais radicando n m a m n a 8 Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando n a n a = n m a a m n Epoente fracionário: Uma potência com epoente n n a b a n b 0 0 0 fracionário pode ser convertida numa raiz, cujo radicando é a base, 8 8 o índice é o denominador do epoente, sendo o numerador o 0, epoente do radicando Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
p n m n m p a a 7 7 7 7 Simplificação de radicais Potenciação de radicais: Eleva-se o radicando à potência indicada e conservase o índice Eercícios resolvidos: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) 80 8 c) Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se o epoente do fator pelo índice do radical Observe: Simplificar um radical significa obter uma epressão mais simples equivalente ao radical dado Para isso utilizamos as propriedades já citadas Observe: Fatoramos: = 80 Operações com os radicais Adição e subtração de radicais semelhantes Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes Na adição e subtração de radicais semelhantes, Aplicamos o produto de potências de mesma base para etrair fatores do radicando operam-se os coeficientes e conserva-se o radical Observe: Coeficientes 7 ( 7 ) Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 7
Eercícios resolvidos: Racionalização de denominadores a) - 0 8-0 - b) - - - Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice Multiplicam-se ou dividem-se os radicandos e os coeficientes entre si e dá-se ao produto ou quociente o índice comum Observe: ( y ) y y 0 A fração tem no seu denominador um número irracional A racionalização de denominadores consiste na obtenção de uma fração com denominador racional, equivalente A essa transformação, damos o nome de racionalização de denominadores Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos dessa fração por uma epressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical Eercícios resolvidos: a) b) 8 - - º Caso: O denominador é um radical de índice Neste caso, o fator racionalizante é o próprio radical do denominador Observe: Fator racionalizante c) ( a ) a (-a ) a d) 0 Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 8
Eercícios resolvidos: Na racionalização aparecerá no denominador um produto notável do tipo (a + b)(a b) = a² - b² Por eemplo: a) ( + )( ) = ² - ()² = b) 7-7 7 7 7 c) º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em 0 Eercício resolvido: - a) - - - - - - - que um deles, ou ambos, são radicais Neste caso, o fator racionalizante será a epressão conjugada do denominador, onde a epressão conjugada de a + b é a b Observe: O fator racionalizante é a epressão conjugada do denominador Eercícios ) Decomponha o radicando em fatores primos e simplifique os - - - - - - - radicais: 8 a) b) 88 c) 0 Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
d) 0 e) y y 7 f) a b c g) a b a b h) ) Calcule: a) - 0 b) - 8 c) d) 8 e) 7 7 f) 8 a a a 8 a ) Efetue: a) b) - - 8 c) d) y y 7 e) ab a b a b f) ( )( ) g) 7 8 7 8 h) i) j) l) m) n) 8 o) y y ) Dar a resposta sob forma de radical, das epressões seguintes: Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 0
a) = b) c) = = d) e) = ) Racionalizar o denominador das frações seguintes: a) b) c) d) e) 7 7 - = = - = f) = = g) ) Encontre o valo numérico da epressão, para = 7) Calcule o valor da epressão y, para y = 8) Calcule o valor da epressão 0 a, para a = ) Um encanador quer colocar um cano condutor de água ligando os pontos A e C do terreno quadrangular indicado na figura Sabendo que a área do terreno é de 8 m, quantos reais o encanador gastará na compra do cano, se o metro custa R$,00 0) Quanto mede a diagonal do quadrado de lado cm? (Sugestão: Use o teorema de Pitágoras) ) Qual é a altura de um triângulo eqüilátero de lado igual a cm? (Sugestão: Use o teorema de Pitágoras) ) Qual é a distância entre os pontos A(, ) e B(, )? A B D C Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
y B ) a b c d y e a b a f g - h - 0 b i j l m n o 8 0 A ) a b ) a 7 7 b 7 f ( ) g 7 c d e c ( ) d ( ) e ( ) ) ) O cubo é um prisma em que todas as faces são quadradas Determine a medida da diagonal do cubo da figura dada abaio 7) 8) ) R$, 0) d = 0 cm ) h = cm ) d = 0 unid ) d = 0 cm 0 m d 0 m 0 m Respostas: ) a b c d 0 e y y f abc ac g a b b ab h a ) a b c d e f a Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
EQUAÇÕES Introdução Um breve relato sobre a história das Equações As equações foram introduzidas pelo conselheiro do rei da França, Henrique IV, o francês François Viète, nascido em 0 Através da matemática Viète decifrava códigos secretos que era mensagens escritas com a substituição de letras por numerais Desta forma Viète teve uma idéia simples mas genial: fez o contrário, ou seja, usou letras para representar os números nas equações O sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde (matemático inglês) que escreveu em um de seus livros que para ele não eistiam duas coisas mais parecidas que duas retas paralelas Um outro matemático inglês, Thomas Harriot, gostou da idéia de seu colega e começou a desenhar duas retas para representar que duas quantidades são iguais Observe: Até o surgimento deste sistema de notação as equações eram epressas em palavras e eram resolvidas com muita dificuldade A notação de Viète significou o passo mais decisivo e fundamental para construção do verdadeiro idioma da Álgebra: as equações Por isso, Fraçois Viète é conhecido como o Pai da Álgebra Podemos dizer que equação é uma igualdade entre duas epressões algébricas Observe: = + Equação Polinomial do º Grau na incógnita a a + a = 0 Equação Polinomial do º Grau na incógnita a y y = 0 Equação Polinomial do º Grau na incógnita y Incógnita: Quantidade desconhecida de uma equação ou de um problema; aquilo que é desconhecido e se procura saber; enigma; mistério (Dicionário Silveira Bueno Editora LISA) 00 cm m Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a usá-lo nas equações de Viète Os termos localizados à esquerda do sinal de igualdade formam o º membro da equação, e os localizados à direita formam o º membro Observe: Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
- º membro º membro b) (- y) + = y + O valor atribuído à incógnita para esta equação que torna verdadeira a igualdade é = Logo o é a solução da equação, denominado raízes da equação Equação Polinomial do º Grau Denomina-se equação do º Grau na incógnita, toda equação da forma: - y + = y - y y = + - + - y = + 8 (- ) y = - 8 8 y S = 8 a + b = 0, com a e b IR e a 0 c) - - - Solução da equação polinomial do º Grau Resolver uma equação do º Grau significa determinar a suas raízes Observe: Eercícios resolvidos: a) - = + = + = S = { } mmc (,, ) = 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0( + ) = ( ) 0 0 0 = 0 = - + 0 + 0 - = (- ) Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
- S = VERIFICAÇÃO OU PROVA REAL Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação dada Os valores numéricos devem ser iguais Observe: - = + = + 8 = 7 7 = 7 Logo a solução para = é verdadeira d) Qual é o número cujo dobro aumentado de é igual ao seu quádruplo diminuído de? Representamos o número desconhecido por Então, + = = - - = - 0 (- ) = 0 0 = S = {} e) Um litro do vinho A custa R$,00, e o litro do tipo B, R$,80 Quantos litros de vinho A se deve misturar a 00 litros de vinho B para se obter um vinho C, que custe R$,0 o litro? A B C Preço por litro (R$),00,80,0 Volume (em Litros) 00 00 + +,8 00 =, (00 + ) + 80 = 0 +,, = 0 80 0, = 70 70 0, = 0 Logo, devem-se misturar 0 litros do vinho A Equação Polinomial do º Grau Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
Denomina-se equação do º Grau na incógnita, toda equação da forma: a + b + c = 0, com a, b e c IR e a 0 Nas equações escritas na forma a + b + c = 0, chamamos de a, b e c de coeficientes E a equação está na forma reduzida Observe: + = 0 a =, b = - e c = 7 = 0 a = 7, b = e c = 0 = 0 a =, b = 0 e c = - Solução de Equações de º Grau Resolver uma equação do º Grau significa determinar as suas raízes Observe os casos: º Caso Se b = 0 e c = 0, dizemos que a equação é incompleta Observe: ² = 0 = 0 S = {0} º caso: Se c = 0 e b 0, dizemos que a equação é incompleta Observe: a ² + b = 0 Eercício resolvido: ) ² - = 0 ( ) = 0 = 0 ou = 0 = = S = {0, } º caso: Se b = 0 e c 0, dizemos que a equação é incompleta Observe: a² + c = 0 a ² = 0 Eercício resolvido: ) ² = 0 Eercício resolvido: ) ² - = 0 Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
² = = = ou = - S = {-, } º caso: Se b 0 e c 0, dizemos que a equação é completa Observe: A resolução da equação completa de º grau é obtida através de uma fórmula que foi demonstrado por Bhaskara, matemático hindu nascido em Por meio dela sabemos que o valor da incógnita satisfaz a igualdade: a + b + c = 0 b b a ac Denominamos discriminante o radicando representado pela letra grega (delta) Assim, Podemos escrever a fórmula de Bhaskara como: b a c b a c b que é De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar: > 0 têm-se duas raízes reais e diferentes; a = 0 têm-se duas raízes reais e iguais; < 0 têm-se duas raízes imaginárias OBS: Nunca teremos a = 0, pois se houver, não eistirá a equação de segundo grau visto que o ² seria anulado Eercício resolvido: ) + 0 = 0 b ( ) 8 80 S = {, } b a ac ( ) 0 b c 0 ' 0 ' ' 8 Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 7 a Relação entre os Coeficientes e as Raízes
Essas relações permitem obter a soma e o produto das raízes sem resolver a equação Denominamos essas relações de Girard Soma das raízes (S) S = + Produto das raízes (P) P = Podemos epressar um trinômio do º Grau a + b + c, com a 0, como um produto de binômios Para fatorar, basta encontrar as raízes da equação a + b + c = a( )( ) Logo, a equação será a - S + P = 0 Importante: Esta relação só é verdadeira para a = Eercícios resolvidos: ) Se = e = a equação será: S = + = P = = 0 Logo a equação será + 0 = 0 ) Se 8 - = 0, as raízes da equação serão: S = = 8 P = (-) = - Logo as raízes serão = - e = Fatorando um trinômio do º Grau Eercícios resolvidos: Fatorar o trinômio do º Grau 7 + 0 As raízes da equação 7 + 0 = 0 pela relação SP são: S = + = 7 P = = 0 Logo = e = Como a =, temos a seguinte fatoração: ( )( ) = ( )( ) Fatorar o trinômio As raízes da equação = 0 pela fórmula de Bhaskara são: = e = e como a =, temos a seguinte fatoração: ( ) = ( ) Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 8
Equações Irracionais Uma equação é denominada irracional quando apresenta incógnita sob radical ou incógnita com epoente fracionário Resolução de uma equação irracional Durante o processo de solução de uma equação irracional com índice do radical igual a (ou outro qualquer) é necessário elevar ao quadrado (ou em caso de epoente diferente de, eleva-se ao que se fizer necessário) ambos os membros da equação Esta operação pode provocar o aparecimento de raízes estranhas, isto é, valores que realmente não verificam a equação original Este fato obriga que toda raiz obtida deve ser substituída na equação original verificando a igualdade ) Determinar as raízes da equação: 0 As raízes da equação do º grau são: 0 e 0 ' 0 " - Verificando as raízes na equação irracional: 0 0 Para = 0 0 0 0 Eercícios Resolvidos: ) Determinar as raízes da equação: 0 Verificação: Para = - 0 0 0 0 Logo, S = {} Observe que apenas = 0 verifica a igualdade, assim a raiz da equação original é S = {0} Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
Eercícios ) Resolver as seguintes equações do º Grau: a) 8 b) 0 c) 7 8 d) 7 e) f) 8 7 7 ) A área A de um retângulo é dada pela equação A = b h, em que b é a medida da base e h é a medida da altura Se o retângulo tem m de área, qual a medida, em metros, da base b? h = 7 m b = + ) Calcule de modo que g) ) Resolva as equações: h) 0 a) y y i) j) 7 0 l) m) 8 ) Resolva a equação literal a = + a na incógnita b) b c) 0 ) Determinar as raízes das seguintes equações quadráticas: a) 7 0 b) 8 0 Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 0
c) 0 d) 0 e) 0 f) 8 0 g) h) 8 0 i) j) 8 7) Use a relação do SP e determinar mentalmente as raízes das equações: a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 0 e) 0 0 8) Fatore os trinômios: a) + 8 = b) y y 8 = c) + 7 + = d) + = e) y y 0 = f) + = ) Resolva as equações: a) ( 0) = 0 b) -( y) = 0 c) ( 8)( + ) = 0 d) ( y)( + y) = 0 m e) m 0 f) y(y )(y 8) = 0 g) ( )( )( ) = 0 h) (m + )(m ) = 0 i) ( ) = 0) Resolva as equações incompletas: a) + = 0 b) y 7y = 0 Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
c) 8 + = 0 d) 0 e) y = 0 f) = 0 0 0 g) ) Resolva as equações irracionais: a) 0 b) 0 c) d) ) Simplifique as frações algébricas: a) 0 b) c) d) 8 8 e) 7 f) 8 ) Quais são as raízes da equação biquadrada - + = 0? e) f) 0 g) h) Respostas: ) a {} b {-} c {} d {} e {0} f {-} g ) j {} l {8} m {} a ) b = m ) ) a {- } b {} c {-} h 8 i {} Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
) a {, } b {-7, } c g, d,, 0 h {-, 0} i {-, 0} j, 7) a {, } b {-, } c {-, } d {, 7} e {-0, } e {-, } f {-, } 8) a ( )( ) b (y )(y + ) c ( + )( + ) d ( )( ) e (y ) ) a{0} b y f c {-, } d {-, } e g {,, } h {-, -, } i {0, } 0) a {-, 0} b {0, 7} c {0,, 0 0 f, 0,, 8 } d {-, 0} e {-, } f ) a S = {} b S = {} c S = {} d S = {} e S = {} f g S = {} h {} ) a ) S = b, c Inequações d e ( ) f ( ), g Introdução Uma inequação é uma sentença matemática aberta epressa por uma desigualdade Os símbolos de desigualdades são: a b ( a é diferente de b) a > b (a é maior do que b) a < b (a é menor do que b) a b (a é maior ou igual a b) a b (a é menor ou igual a b) Estes símbolos de desigualdade permitem uma comparação entre duas grandezas Inequação do º grau Inequação do º grau é uma desigualdade condicionada em que a incógnita é de º grau Podem ser escritas nas seguintes formas: a + b < 0 a + b > 0 a + b 0 a + b 0, com a e b IR e a 0 Resolver uma inequação do º Grau significa encontrar todos os números que tornem a inequação verdadeira Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
+ < 8 Por eemplo, vamos determinar o conjunto solução da inequação º membro + < 8 < 8 < < < 8 º membro logo, S = { IR < } Geometricamente, essa solução é representada na reta real da seguinte forma: Verificação: = + < 8 + < 8 < 8 ( V ) Verificação: = 0 + < 8 0 + < 8 < 8 ( V ) Observa-se que as soluções são satisfeitas para os números menores que Eercício resolvido: ) + ( ) + - + + - + + Sempre que multiplicar ou dividir a inequação por um número negativo, inverte-se - ( - ) o sinal da desigualdade - - S = { IR - } Geometricamente a solução será: - - - - - - - - 0 + + + + Observa-se que a bolinha está aberta sob o número, isto significa que este número não pertence a solução Observa-se que a bolinha está fechada sob o número -, isto significa que este número pertence a solução Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
Inequação do º grau iv) Como o sinal de desigualdade é, ou seja, maior ou igual, As inequações do º Grau na variável podem ser escritas nas seguintes formas: a + b + c 0, a + b + c > 0, a + b + c 0 e a + b + c < 0, com a, b, e c IR e a 0 queremos os sinais positivos; S = { IR ou } + + + + + + + + + + - - - - - - - ) Resolver a inequação + < 0 Para resolver uma inequação do º Grau devemos proceder do seguinte modo: Realizar um estudo do sinal da função y = a + b + c; Determinar os valores de que atendam a desigualdade da inequação Solução: i) As raízes da equação são = e = ; ii) Traçar um esboço do gráfico e fazer o estudo do sinal; iii) Como o sinal de desigualdade é <, temos bolinha aberta; iv) Como o sinal de desigualdade é <, ou seja, menor, queremos os sinais negativos; Eercício resolvido: ) Resolver a inequação + 0 Solução: i) As raízes da equação são = e = ; ii) Traçar um esboço do gráfico e fazer o estudo do sinal; iii) Como o sinal de desigualdade é, temos bolinha fechada; S = { IR < < } + + + + + - - - - - - + + + + + Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
Eercícios ) Resolver as seguintes inequações do º Grau: a) 7 b) c) 7 7 d) ( ) ( ) ( ) e) f) g) ( ) ( ) 8 8 ( ) ) Determine o conjunto solução das inequações: a) 0 b) - 0 0 c) + > 0 d) < 0 e) + > 0 f) + + 0 g) 0 h) ( )( ) 7 ( )( ) i) + ( + ) < ) Determine os valores inteiros de que satisfazem a inequação ( -)( ) Respostas: ) a { > > 0 } b { } c { } d { - } e { - } f { > g { < } ) a { 0 ou } b { - ou 0} c { - < < } d { < < } e { < ou > } f { - - } } g { } h { ou 7} i ) = - ou = Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
TRIGONOMETRIA Relações trigonométricas no triângulo retângulo Introdução Considere um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e os outros dois lados perpendiculares são os catetos Na figura : - é a hipotenusa - e são os catetos - α é o ângulo agudo B hipotenusa cateto oposto Ciclo trigonométrico C α cateto adjacente Figura Nomenclatura do triângulo retângulo O lado oposto ao ângulo agudo tomado como referencia é chamado de cateto oposto e cateto que está sobre um dos lados desse ângulo chama-se cateto adjacente, como mostra a figura A Circunferência orientada Em trigonometria, convencionou-se estabelecer sentido positivo o sentido antihorário e o sentido negativo o sentido horário A circunferência orientada de centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas de raio um (r = ) é denominada circunferência trigonométrica Ver figura Quadrantes y r = Figura Circunferência trigonométrica + - Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 7
As retas e y, eios do sistema de coordenadas cartesianas, dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes iguais, chamadas quadrantes, como mostra a figura y II Quadrante III Quadrante I Quadrante IV Quadrante Figura Nomenclatura dos quadrantes Funções circulares Consideramos o ciclo trigonométrico no qual marcamos o ponto M, que é imagem, no ciclo do número real, conforme indica a figura i) Definimos como seno do ângulo, a ordenada do ponto M, e indicamos: Figura Funções circulares no ciclo trigonométrico Algumas razões trigonométricas fundamentais 0 o o 0 o sen α ii) Definimos como cosseno do ângulo, a abscissa do ponto M, e indicamos: cos α tg α iii) Definimos como tangente do ângulo, a medida do segmento, e indicamos: Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 8
Unidades de medidas Graus Radianos Grau: Um grau é definido como a medida do ângulo central subtendido por um arco igual a da circunferência que contém o arco, como mostra a figura Símbolo: Grau ( o ) 0 0 0 o 80 o 70 o 0 o A figura mostra o ciclo trigonométrico relacionando as medidas dos arcos em graus e radianos com as medidas do seno e do cosseno Figura Alguns ângulos do ciclo trigonométrico Radianos: O radiano (símbolo: rad) é definido como a medida de um ângulo central subtendido por um arco igual ao raio da circunferência que contém o arco Relação entre as unidades: Figura Alguns ângulos em graus e radianos no ciclo trigonométrico Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
Representação gráfica Tangente Seno Cosseno Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica 0
Eercícios ) Calcule (a) α α (b) 0 0 ) Calcule o valor de e y no triangulo dado abaio 0 8 y (a) ) Considere o triângulo equilátero e calcule as medidas de 0 (b) ) Epresse em radianos: a) 0 o b) 0 o c) 0 o d) 0 o e) o f) o ) Epresse em graus: a) d) b) e) c) f) ) Quantas voltas completas dá o ângulo abaio e em que quadrante o ângulo se situa: a) 80 o b) c) -00 o 7) Construa o gráfico das seguintes funções, no intervalo Identifique o Domínio e a Imagem a) Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica
b) c) d) 8) Determine o valor das seguintes funções: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Respostas: ) ) ) Ver tabela das razões trigonométricas ) ) ) a voltas/ IQ b voltas/ IQ c voltas/ IIIQ 8) a 0 b c d e - f 0 g 0 h i REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BONJORNO, José Roberto, et al Matemática: fazendo a diferença ed São Paulo: FTD, v, v, v e v, 00 GUELLI, Oscar Matemática: uma aventura do pensamento 8 ed São Paulo: Àtica, v, v, v e v, DI PIERRO NETTO, Scipione Matemática: conceito e história ed São Paulo: Scipione, v, 8 SOUZA, Maria Helena & SPINELLI, Walter Matemática São Paulo: Ativa, v, GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José Roberto Matemática: Uma nova abordagem São Paulo: FTD, v, 000 Projeto de Ensino: Curso de Matemática Básica