ATENÇÃO: Escreva a resluçã COM- PLETA de cada questã n espaç reservad para a mesma. Nã basta escrever apenas resultad final: é necessári mstrar s cálculs racicíni utilizad. Questã Caminhand sempre cm a mesma velcidade, a partir d marc zer, em uma pista circular, um pedestre chega à marca ds.500 metrs às 8 hras, e as 4.000 metrs às 8h5min. a) A que hras e minuts referid pedestre cmeç a caminhar? b) Quants metrs tem a pista se pedestre deu duas vltas cmpletas em hra e 40 minuts? a) Das 8 hras às 8h5min, pedestre caminh 4 000 m 500 m = 500 m. Assim sua velcidade cnstante é de 500 m = 00 m. 5 min min Para caminhar d marc zer até 500 m pedestre gasta 500m min = 5 min. Prtant cmeç a caminhar às 8 h 5 min = 7h5min. 00 m b) Em h40min, que equivale a 00 min, pedestre caminh 00 m 00 min = 0 000 m, cmpletand duas vltas. Assim, a pista tem 5 000 min m. Questã Em uma empresa, / ds funcináris tem idade menr que 0 ans, /4 tem idade entre 0 e 40 ans e 40 funcináris têm mais de 40 ans. a) Quants funcináris tem a referida empresa? b) Quants deles têm pel mens 0 ans? a) Seja n númer de funcináris da empresa. Tems que: n n + + 40 = n n = 96 4 Lg a empresa tem 96 funcináris. b) Tems que = ds funcináris têm pel mens 0 ans, seja, 96 = 64 funcináris. Questã Uma sala retangular medind m pr 4,5m deve ser ladrilhada cm ladrilhs quadrads iguais. Supnd que nã haja espaç entre ladrilhs vizinhs, pergunta-se: a) Qual deve ser a dimensã máima, em centímetrs, de cada um desses ladrilhs para que a sala pssa ser ladrilhada sem crtar nenhum ladrilh? b) Quants desses mesms ladrilhs sã necessáris? Supnd que s lads ds ladrilhs sejam paralels as lads da sala, para que tenhams um númer inteir de ladrilhs, a medida L d lad ds ladrilhs deve ser um divisr cmum de 00 cm e 45 cm. Cnseqüentemente: a) Os ladrilhs terã dimensã máima quand L, em cm, fr igual a máim divisr cmum de 00 = 5 e 45 = 5 7, seja, igual a 5 = 5 cm. 00 cm 45 cm b) Sã necessáris = 04 ladrilhs. 5 cm 5 cm Questã 4 Uma transprtadra entrega, cm caminhões, 60 tneladas de açúcar pr dia. Devid a prblemas peracinais, em um cert dia cada caminhã fi carregad cm 500kg a mens que usual, tend sid necessári, naquele dia, alugar mais 4 caminhões.
matemática a) Quants caminhões fram necessáris naquele dia? b) Quants quils transprt cada caminhã naquele dia? a) Seja n númer de caminhões utilizads n dia em que hve prblemas peracinais. Entã, naquele dia, cada caminhã fi carregad cm kg. n Nrmalmente sã utilizads n 4 caminhões e, prtant, cada um carrega kg. n 4 Assim, = 500 n n 4 n 4n 480 = 0 n = 0 n = 4 n = 4. b) Cada caminhã transprt Questã 5 4 = 500 kg. Um hmem, de,80m de altura, sbe uma ladeira cm inclinaçã de 0, cnfrme mstra a figura. N pnt A está um pste vertical de 5 metrs de altura, cm uma lâmpada n pnt B. Pede-se para: a) Calcular cmpriment da smbra d hmem depis que ele subiu 4 metrs ladeira acima. b) Calcular a área d triângul ABC. a) Seja cmpriment da smbra, cm indica a figura a seguir. Supnd que hmem está na psiçã vertical, tems que DE // AB e, prtant, ABC ~ DEC. Lg DE AB = DC,80 = =,5 m. AC 5 + 4 b) A área d triângul ABC é AB AC sen BAC = = 5 (4 +,5) sen(90 0 ) = = 5 6 m. Questã 6 Em Matemática, um númer natural a é chamad palíndrm se seus algarisms, escrits em rdem inversa, prduzem mesm númer. Pr eempl, 8, e 7 sã palíndrms. Pergunta-se: a) Quants númers naturais palíndrms eistem entre e 9.999? b) Esclhend-se a acas um númer natural entre e 9.999, qual é a prbabilidade de que esse númer seja palíndrm? Tal prbabilidade é mair menr que %? Justifique sua respsta. a) Para determinar um palíndrm de k k algarisms, k inteir psitiv, basta terms s seus k primeirs algarisms. Lg há 9 palíndrms de dígit e9dedígits (basta determinar primeir algarism); 9 0 = 90 palíndrms de dígits e 90 de 4 dígits (basta determinar s dis primeirs algarisms). Desta frma, há 9 + 9 + 90 + 90 = 98 palíndrms entre e9999. b) A prbabilidade desejada é 98 9999 =. 0 Cm < = %, tal prbabilidade é menr que 0 00 %. Questã 7 Seis círculs, tds de rai cm, sã dispsts n plan cnfrme mstram as figuras a seguir:
matemática m(ma C) = m(ma B) = 60, m(am B) = m(am C) = = 0 e m(qm N) = 60. Lg, n MBA, tg 60 = MB MB = MC = cm. Cm m(en F) = m(mn P) = 80 m(qm N) = 0, n DEN tems m(en D) = 0 = 60. Prtant a) Calcule a área d triângul ABC. b) Calcule a área d paralelgram MNPQ e cmpare-a cm a área d triângul ABC. a) tg 60 = EN EN = cm. Os triânguls GXQ e EDN sã cngruentes e, prtant, GQ = EN. Finalmente, a área d paralelgram MNPQ é A = MN MQ sen(qm N) A = 4 + + A = 4 0 = + cm. + + 4 + 4 + = sen 60 Vist que 0 < 7 0 + < 7 +,a área d paralelgram MNPQ é menr que a área d triângul ABC. Questã 8 Cm triângul ABC é eqüiláter (pr simetria) e AFD AED, tems m(fa D) = m(ea D) = 0. Lg tg 0 = DE = AE = cm. Assim, a área d triângul ABC é (4 + ) 4 = (7 + ) cm. b) Observand a figura, cm XAY é eqüiláter, tems 60 + 90 + 90 + m(ba C) = 60 m(ba C) = 0. Já que MBA MCA, tems Uma piscina, cuja capacidade é de 0m, leva 0 hras para ser esvaziada. O vlume de água na piscina, t hras após iníci d prcess de esvaziament, é dad pela funçã V(t) = a (b t) para 0 t 0 e V(t) = 0 para t 0. a) Calcule as cnstantes a e b. b) Faça gráfic da funçã V(t) para t [0,0]. a) Assumind que n instante inicial t = 0 a piscina está cheia, tems V(0) = 0 e V(0) = 0. Lg a (b 0) = 0 a = 0 a (b 0) = 0 b = 0 b) Para t [0; 0], gráfic da funçã V(t) = (0 t) = t t + 0 é um 0 0 arc de parábla cm cncavidade para cima, 0 vértice ; = (0; 0), e que crta 4 0 0
matemática 4 ei das rdenadas n pnt (0; 0). Para t 0 tems V(t) = 0. Prtant gráfic de V(t), para t [0; 0], tem seguinte aspect: Questã 0 Cnsidere sistema linear abai, n qual a é um parâmetr real: a + y + z = + ay + z = + y + az = a) Mstre que para a = sistema é impssível. b) Encntre s valres d parâmetr a para s quais sistema tem sluçã única. Questã 9 O sólid da figura a seguir é um cub cuja aresta mede cm. a) Para a =, tems: + y + z = + y + z = + y + z = + y + z = 0 + 0y + 0z = 0 + 0y + 0z = 4 Lg sistema é impssível. b) O sistema tem sluçã única se, e smente se, determinante da matriz incmpleta é nã nul, seja, L + L + L a 0 a a) Calcule vlume da pirâmide ABCD. b) Calcule a distância d vértice A a plan que passa pels pnts B, C e D. a) Na pirâmide ABCD tems que DD é a altura relativa à base ABC, pis DD é perpendicular a plan ABCD. Lg vlume prcurad é AB BC 4 DD cm = =. b) O plan definid pr B, C, D passa pr A. Tems que a diagnal AB é perpendicular a A B e rtgnal a BC, já que é perpendicular a BC e BC é paralel a BC. Lg a diagnal AB é perpendicular a plan definid pr B, C, D e, prtant, a distância de A a este plan é AB = = cm. L + L + L (a + ) a a + a + a + a 0 L + L L + L L + L a 0 0 L + L (a + ) 0 a 0 0 0 (a + )(a ) 0 a e a. Questã Cnsidere a equaçã + m m = 0, nde m é um númer real. a) Reslva essa equaçã para m =. b) Encntre tds s valres de m para s quais a equaçã tem uma única raiz real.
matemática 5 + m m = 0 4m + m = 0 ( ) (m + ) + 4m = 0 ( m) ( ) = 0 = m ( ) = Cnseqüentemente: a) Para m =, tems ( ) = = = V = {} = m = b) A equaçã tem uma única raiz real se, e smente se: as equações = m e= sã equivalentes; a equaçã = m nã pssui raízes reais. Prtant m = m 0 m = m 0. Questã Sejam α, β e γ s ânguls interns de um triângul. a) Mstre que as tangentes desses três ânguls nã pdem ser, tdas elas, maires iguais a. b) Supnd que as tangentes ds três ânguls sejam númers inteirs psitivs, calcule essas tangentes. a) Supnd que as tangentes ds três ânguls sã tdas maires iguais a, tems tgα tgα > α > 60 tgβ tgβ > β > 60 tgγ tgγ > γ > 60 α + β + γ > 80, que é absurd, já que α, β, γ sã s ânguls interns de um triângul. Se triângul fr retângul, nã está definida a tangente d ângul ret. b) D item a, tems que a tangente de pel mens um ds ânguls, digams α, é menr d que. Cm as tangentes devem ser inteirs psitivs, tems que tgα =. Assim, nas cndições dadas: α+β+γ =80 tg(β+γ) = tg(80 α) tg β + tg γ = tg α = tg βtg γ tgβ+tgγ =tgβ tgγ (tgβ )(tgγ ) = = e tgγ = ) = e tgγ = ) = e tgγ = ) = e tgγ = ) Lg s valres das tangentes sã, e.