Cálculo Diferencial e Integral I

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1 Cálcul Diferencial e Integral I Curs de Agreclgia Prfª Paula Reis de Miranda 0/º semestre

2 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO SUDESTE DE MINAS GERAIS CAMPUS: Ri Pmba CURSO: PROGRAMA ANALÍTICO DE DISCIPLINA Bacharel em Agreclgia PERÍODO: º SEMESTRE/ANO: º/0 DISCIPLINA: PROFESSOR RESPONSÁVEL PELA DISCIPLINA: PROFESSOR (ES) COLABORADOR (ES): Cálcul Diferencial e Integral I Paula Reis de Miranda CÓDIGO: MAT 9 CARGA HORÁRIA TOTAL: 66 Nº TOTAL DE AULAS: 7 Nº TOTAL DE AULAS PRÁTICAS: Nº TOTAL DE AULAS TEÓRICAS: 50 PRÉ-REQUISITO (S):MAT 59 OU MAT 5 VIAGEM CO-REQUISITO (S): EMENTA Funções de uma variável real e seus gráfics (Revisã) Limites e Cntinuidade de Funções Reais Derivadas Aplicações da derivada Máims e Mínims Integral indefinida Integral definida Terema Fundamental d Cálcul OBJETIVOS Desenvlver a intuiçã, a capacidade de racicíni lógic, a bservaçã, a investigaçã, a análise e delineament de cnclusões d alun, testand-s na resluçã de prblemas n decrrer d curs e na vida prfissinal

3 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO N AULAS T P Funções de uma variável real e seus gráfics (Revisã) 8 4 Limites e Cntinuidade de Funções Reais 8 Derivadas 8 4 Aplicações da derivada 4 4 Máims e Mínims Integral indefinida 8 Integral definida 4 4 Terema Fundamental d Cálcul 8 0 METODOLOGIA DE ENSINO O cnteúd será ministrad pr mei de aula epsitiva dialgada, demnstrativa, trabalhs individuais e em equipes, listas de eercícis estimuland pensament crític, levand alun a cnstruir seu própri cnheciment RECURSOS DIDÁTICOS - Quadr branc, pincel e apagadr; - Apresentaçã de slides, cmputadr e TV - Sftwares educativs: Winplt e Graphmat - Apstilas e listas de eercícis - Livrs da Bibliteca AVALIAÇÃO A avaliaçã será realizada de frma dinâmica, cntínua e prcessual através de atividades em grup e individual e a partir da bservaçã e análise d desempenh ds aluns durante a aula seguind s seguintes critéris: Iniciativa, interesse e autnmia; Participaçã nas atividades prpstas; Capacidade de assimilaçã e cnstruçã ds cnceits estudads Prvas individuais: 50 pnts Prvas em dupla e cm cnsulta: 5 pnts Trabalhs e semináris: 5 pnts

4 BIBLIOGRAFIA BÁSICA BÁSICA: ANTON, Hward; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen Cálcul 8ª ed Sã Paul: Editra Bkman, 006 V FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss Cálcul A: Funções, Limite, STEWART, James Cálcul 5 ed Sã Paul: Pineira, 00 v BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR (MÍNIMO CINCO) ÁVILA, G Cálcul: Funções de uma variável Ri de Janeir: Editra LTC, 994 GUIDORIZZI, H L Um curs de cálcul Ri de Janeir: LTC, 00 HOFFMANN, L D; BRADLEY, G L Cálcul: um curs mdern e suas aplicações Traduçã Rnald Sérgi de Biasi 7 ed Ri de Janeir, RJ: LTC, c00 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO (MEC) Secretaria de Educaçã à distância Matemática: cnversa de prfessr: matemática [sl]: TV Escla, 995 Vl DVD; (h 55min) (DVD Escla, ) SWOKOWSKY, E W Cálcul cm gemetria analítica V Sã Paul: Makrn Bks, 994

5 0 Revisã 0 Prduts ntáveis As igualdades a seguir sã alguns ds prduts ntáveis que crrem freqüentemente na Matemática e cm s quais alun deverá familiarizar mais rápid pssível a) ac d ac ad b) a b a b a b c) a b a b a b a ab b d) a b a b a b a ab b e) a b a b ab f) a b a b a b a b a a b ab b g) a b a b a b a b a a b ab b Eercícis: Determinar cada um ds seguintes prduts: y a) b) y y 4 c) y y 5 y d) y y e) 5 5 f) 5 y 5 y g) 5y h) i) a by j) 4 6 k) y l) 5 m) 8 n) 8 ) t 0 t p) y q) r) y 5 s) y t) y y 0 Fatraçã Os métds mais usuais sã s seguintes: a) Fatr mnôni cmum ac ad ac d Eempls: 6 y y y y y y y b) Diferença de dis quadrads a b a ba b Eempls: y y y c) Trinômi quadrad perfeit a ab b a b a ab b a b 9 y 4y y Eempls: 6 9 d) Outrs trinômis a b ab a b ac ad bc bd a bc d Eempls: y y y 4y

6 Eercícis Fatre s seguintes plinômis a) y b) 4 8y z c) 0a b c 5a b c 0a b c d) e) 9 5 4y 4 f) m n g) y 6y 4 8 h) i) y y j) 8 6 k) 4y 4y l) m) 6y 64y 6m 40mn 5n 4 4 n) 6a 7a b 8b ) p) q) r) s) 8 4 t) y 7y u) v) 0 w) 7 ) y y 6 y) 6 y y Respstas: y ; c) 5a b c bc ac 6a b ; f) a) h) 4 mn mn ; g) y 6y 6y ; i) y y y ; j) 4 ; l) 8y ; n) a b a b ; ) 4 ; s) ; u) ; v) ; w) )y y ; y) 4y y ; ; 0 Lgaritms Definiçã: Se b a, send a um númer psitiv qualquer e b psitiv e diferente de, epente é lgaritm de a na base b, escrevend-se lg a Eempls: 9, lg é lgaritm de 9 na base, ist é, lg 9 lg 8 é númer, a que se deve elevar a base para bter 8, ist é, 8, Assim, lg 8 Prpriedades ds lgaritms: i) O lgaritm d prdut de dis númers psitivs a e b é igual à sma ds lgaritms ds númers, ist é: lgc ab lgc a lgc b ii) O lgaritm d quciente de dis númers psitivs a e b é igual à diferença ds lgaritms ds númers, ist é: a lgc lgc a lgc b b iii) O lgaritm da ptência p de um númer psitiv a é igual a prdut p pel lgaritm d númer, ist é: p lg a plg a Eempls: a) lg 5 lg 5 lg lg 5 7 b) lg lg7 lg4 4 c c b 5

7 c) 7 7 lg 5 lg 5 lg lg lg iv) lgb b De fat, fazend v) lgb 0 De fat, fazend vi) lg b b lgb b b tem-se: lg tem-se: b b 0 b b 0 De fat, pelas prpriedades (iii) e (vi) tems: lg b lg b vii) Mudança de base lgk a * lgb a, k, cm k IR, k lg b k b Eercícis b ) Passar da frma epnencial para a lgarítmica: q i) mdel: p r q lg r ii) 8 iii) 4 6 iv) p 9 v) 8 4 ) Passar da frma lgarítmica para a epnencial: i) mdel: lg ii) lg 64 6 iii) lg 6 4 iv) lg a v) lg 0 a r ) Calcular valr ds lgaritms seguintes: i) lg4 64 ii) lg 8 iii) lg 8 iv) lg 0 v) lg5 5 5 Respstas: i) ; ii) 4; iii) ; iv) ; v) 7 4) Reslver as seguintes equações: i) lg ii) lg4 y Respstas: i) 9; ii) 8 ; iii) 5; iv) 8 7 ; v), 5 5) Reslver (use lgaritms e calculadra): 5 i) 5 ii) 4 5 iii) Respstas: i),898; ii),958; iii) 0, iii) lg 5 iv) 45 lg v) 4 lg 4 0 6) Sabend que lg65 0,898 e lg6 0,86 calcular (smente use a calculadra nas perações de multiplicaçã e divisã): 5 a) lg60 b) lg6,5 c) lg 5 d) lg6 0 e) lg6 f) lg6 5 Respstas: a),84; b) 0,5; c),6; d),67; e) 0,488 ; f) 0,449 6

8 Principais Funções Elementares Funçã Cnstante Dad um númer real c, denminams funçã cnstante à funçã f c Gráfic Prpriedades: a) Df IR ; b) Imf c ; f : IR IR definida pr c) f é funçã par, pis f f c, IR ; d) f é limitada, pis c f c, IR Funçã Identidade Denminams funçã identidade à funçã Gráfic f : IR IR definida pr f Prpriedades: a) Df IR ; b) Imf IR ; c) f é funçã ímpar, pis f f, IR ; d) f nã é limitada Funçã Afim Dads s reais a e b, f a b Gráfic a 0, denminams funçã afim à funçã f : IR IR definida pr Prpriedades: a) Df IR ; b) Imf IR ; c) Se b 0, f é funçã ímpar, pis f a a f, IR Se b 0, f nã é funçã par, nem ímpar; d) f nã é limitada; e) O gráfic intercepta ei n pnt cuja abscissa b é a raiz da equaçã a b 0 ; prtant em ;0 a A interseçã cm ei y é 0; b 7

9 4 Funçã Quadrática Dads s reais a, b e c, pr f a b c Gráfic Se a 0 e b 4ac 0 a 0, denminams funçã quadrática à funçã f : IR IR definida Se a 0 e 0 Se a 0 e 0 Se a 0 e 0 Se a 0 e 0 Se a 0 e 0 Prpriedades: a) Df IR ; O vértice da parábla é pnt V de crdenadas: b) v v Im f y IR y y y ;, se a 0; u Im f y IR y y v ; y v, se a 0; b c) Se a 0, f tem um valr mínim para v ; a b Se a 0, f tem um valr máim para v ; a O valr mínim (u máim) de f é yv ; 4a d) Se b 0, f é funçã par, pis e) f nã é limitada; f) Quand 0 v b e y a f a c a c f, IR ;, gráfic intercepta ei ns pnts equaçã a b c 0 Quand 0, gráfic intercepta ei ns pnts a b c 0 Quand 0, gráfic nã intercepta ei Em qualquer cas, a interseçã cm ei y é pnt 0; c Eercícis v b 4ac 4a 4a ; 0 e ; 0 nde e sã raízes da ; 0 nde é raiz da equaçã 8

10 ) Se f, achar: (i) f 0, (ii) f 4, (iii) f a, (iv) f z, (v) f f a h f a ) Se f, achar h ) Traçar gráfic, dar dmíni e imagem das funções: f f i) ii) f iii) f 5 iv) f 4) Seja f : IR IR tal que v) vi) f 6 vii) f 6 8 viii) f 6 9 i) f 4 f para td real Pede-se: a) Calcular f b) Epressar f cm um plinômi inteir de ptências decrescentes na variável real 5) Seja a funçã f a b, IR, nde a e b sã cnstantes reais Pede-se determinar a e b nã nuls e tais que f f b f b para td real 6) Os prduts farmacêutics devem especificar as dsagens recmendadas para adults e crianças Duas fórmulas para mdificações da dsagem de adult para us pr crianças sã: Regra de Cwling: y t a 4 Regra de Friend: y ta 5 Onde a denta a dse de adult (em miligramas) e t a idade da criança (em ans) a) se a = 00, faça gráfic das duas equações lineares n mesm sistema de eis para 0 t b) para que idade as duas fórmulas especificam a mesma quantidade? 7) Cnsidere a funçã f a b c, f 0 5; f e f 5 5 Calcular f : IR IR, tal que as cnstantes a, b e c 8) A resistência elétrica R (em hms) para um fi de metal pur está relacinada cm sua temperatura T (em C) pela fórmula R R at, para cnstantes psitivas a e R a) Para que temperatura se tem R R? b) Supnd que a resistência seja 0 (zer) se T 7 C (zer abslut), determine a c) Um fi de prata tem uma resistência de,5 hms a 0 C A que temperatura a resistência é igual a hms? 9) Sejam a e h reais e dadas as funções: i) f 5 e ii) f 4, determine para cada uma delas: a) f a h b) 0) Cnsidere a funçã as cnstantes a, b e c f b c f a h f a f a f h c) h f a b c, f 0 5; f e f 5 5 Calcular f : IR IR, tal que ) O gráfic de, nde b e c sã cnstantes, passa pels pnts Calcule f ) Seja f Encntre ( f( ) ) f e faça gráfic ) N gráfic a lad representadas as funções (I) e (II), definidas pr y e y k t, respectivamente Os valres de k e t sã, respectivamente, 4) Obter valr das cnstantes m e n, dad que gráfic da funçã f m n 0, e,0 é uma curva quem passa pels pnts 0,0 e, 9

11 5) Um mur será usad cm um ds lads de um galinheir retangular Para s utrs lads será usad um rl de 5 metrs de tela de arame Determinar quais devem ser as dimensões d galinheir para que sua área seja máima 6) A parábla de equaçã y b c,v Qual valr de v? 7) A parábla de equaçã tangente à reta de equaçã y 4 passa pel pnt, 0 e seu vértice é pnt y a b c cntém a rigem d sistema de crdenadas e é n pnt,4 Obter a b c Respstas: 4a z 6 6 ) (i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) ; (v) a z z ) a h 4) a) ; b) f 5) a e b ) e 0 4) m e n 5),5 pr 6,5 6) 8 7) 5 Funçã Recíprca Dad um númer real nã nul, recíprc (u invers multiplicativ u, apenas invers) de é real Denminams funçã recíprc à funçã * * f :IR IR definida pr f Gráfic Prpriedades: * a) Df IR ; b) * Im f IR ; c) f é funçã ímpar, pis f IR * ; d) f nã é limitada, 6 Funçã Mdular Denminams funçã mdular à funçã Gráfic Pela definiçã de módul, f se 0 - se 0 f : IR IR, definida pr f Prpriedades: a) Df IR ; b) Imf IR ; c) f é funçã par, pis f f, IR ; d) f nã é limitada 0

12 Eercícis ) Traçar gráfic, dar dmíni e imagem das funções: i) f ii) f iv) f v) f vii) y iii) viii) f f 5 6 vi) f i) f 4 ) Numa determinada cmunidade ecnmicamente ativa, númer de pessas cuja renda anual 0 ecede valr (em real) é igual a Quantas pessas nessa cmunidade têm uma renda anual entre R$0000,00 e R$50000,00? ) À medida que a altitude de uma nave espacial aumenta, pes d astrnauta diminui até atingir um estad de impnderabilidade O pes de um astrnauta de 60kg, a uma altitude de quilômetrs 6400 acima d mar, é dad pr W 60 A que altitude pes d astrnauta será inferir a 6400 kg? 4) Prvar que se f, entã f f 5) A reta e a parábla, representadas n plan cartesian a lad, sã gráfics de uma funçã d º grau f e de uma funçã d º grau g, respectivamente Observe s gráfics e respnda: f g? a) Para quais valres de b) Qual é dmíni e a imagem de f e g? Respstas: ) 00 ) 8654,468 km 7 Funçã Epnencial Dad um númer real a psitiv, a 0, denminams funçã epnencial de base a à funçã f : IR IR definida pr f a Gráfic Se a Se 0 a Prpriedades: a) Df IR ; * b) Im f IR ; c) f nã é funçã par, nem ímpar; d) f nã é limitada Eercícis 5 ) Se f, mstrar que f f f ) Traçar gráfic, dar dmíni e imagem das funções: i) f ii) f e iii) f e iv) f

13 v) f vi) f vii) f viii) ) Na figura a lad está representad gráfic de f ka, send k e a cnstantes reais psitivas, cm a Calcule, baseand-se n gráfic, valr de f 4) Após ans um capital de R$000,00 aplicad à taa de % a an dará um mntante (capital + rendiment) M 000, Calcule: a) O mntante após mei an; b) O rendiment em mei an f 5) Supnha que daqui a t ans valr de um cert carr seja dad pr t V t V0 0,9, nde V 0 é valr atual d carr Qual a prcentagem de desvalrizaçã desse carr em um an (relativamente a valr inicial) 6) Numa cultura de bactérias eistem inicialmente 000 bactérias presentes e a quantidade após t 0,7t minuts é Nt 000 Verifique que em 0 minuts a quantidade de bactérias presentes na cultura será superir a ) O radium é uma substância que se desintegra a lng d temp Partind de uma quantidade inicial Q 0, supnha que a quantidade de radium eistente após t ans seja dada pr t 000 Q t Q,5 0 a) Calcule a prcentagem da quantidade de radium eistente após 000 ans, relativamente à quantidade inicial b) Que prcentagem da quantidade inicial se desintegra entre 000 e 000 an? Respstas: 4) a) R$00,00; b) R$00,00 5) 0% 7) a) 66%; b) % 8 Funçã Lgarítmica Denminams funçã lgarítmica à funçã Gráfic f : IR IR definida pr a * Cas a Cas 0 a Prpriedades: * D f IR ; f a) b) Imf IR ; lg c) f nã é funçã par, nem ímpar; d) f nã é limitada ) Se f Eercícis: lg, mstrar que f f f ) Se f lga f a z f a z ) Traçar gráfic, dar dmíni e imagem das funções: f lg f lg f ln, mstrar que e i) ii) iii) iv) f lg 4) Determine, em IR, cnjunt sluçã de cada uma das equações:

14 7 a) b) 5 5 c) lg d) lg 5 8 5) Supnha que uma substância radiativa se desintegre, de md que partind de uma quantidade 0,05t Q, a quantidade eistente após t ans seja dada pr Qt Q e Dad ln 0,69, calcule t 0 Q0 de md que se tenha Qt (Este valr de t é denminad meia-vida da substância) 6) Partind de uma quantidade inicial de Q 0 bactérias de uma dada espécie, após t hras a kt quantidade eistente é Qt Q e nde k é uma cnstante Se a quantia inicial dbrar em hra, 0 quant temp levará para se ter bactérias partind de uma quantidade inicial de 000 bactérias? Dad lg 0, k 7) Sabend que 0 kt 7, lg7 0,845 e lg5 0,699, calcule t para que se tenha 0 5 8) O álcl n sangue de um mtrista alcançu nível de gramas pr litr lg depis dele ter bebid uma cnsiderável quantidade de cachaça Cnsidere que esse nível decresce de acrd cm a fórmula t N t 0,5, nde t é temp medid em hras a partir d mment em que nível é cnstatad Quant temp deverá mtrista esperar antes de dirigir seu veícul cm segurança se limite permitid de álcl n sangue é de 0,8 gramas pr litr? Use lg 0,0 9) Partind de uma quantidade inicial de Q 0 bactérias de uma dada espécie, após t hras a kt quantidade eistente é Q t Q e nde k é uma cnstante Se a quantia inicial triplicar em hra, 0 quant temp levará para se ter bactérias partind de uma quantidade inicial de bactérias? Dads: ln,099 e ln0,86 0) O períd T de um pêndul simples de cmpriment c é dad pela fórmula T c / g, nde g é a aceleraçã da gravidade Achar T(em segunds), sabend que c Tmar 6,8 ) Reslver a seguinte equaçã de hidráulica: 0,0 0,06 4,7 ) Dada a fórmula T c / g, achar c se T,75,,4 e g,6 ) Dads A 0,0807, G 0,0056 e P 50 encntre D na fórmula Respstas: 5) 4 ans 6) 0 hras 7),884 8) 4 hra 9),57 hras 0) T,65 segunds ) 0,0486 ) 6,6 ),7 0, 8,cm e D g P 056 A G 98,0cm/ s

15 9 Funçã definida pr várias sentenças Uma funçã f pde ser definida pr várias sentenças abertas, cada uma ligada a um D diferente cntid n dmíni definid Gráfics (Eempls), se 0, se 0 a) f, se 0 b) f, se 0, se Gráfics: y y Df IR e Imf, Df IR e Imf IR Eercícis ) Traçar gráfic e dar dmíni e imagem: se + se 0, se i) f se ii) f se iii) f 4 se, se se, se 0 lg, se, se iv) f v) f, se 0 vi) f, se, se, se lg, se ) De acrd cm Wrld Wildlife Fund, um grup que lidera a luta cntra cmérci ilegal de marfim, preç d marfim (em eurs pr quil) cmpilad de várias fntes é aprimad pela funçã: 8,7 7,44 se 0 8 f,84 5,68 se 8 0 Onde é medid em ans, cnsidera t 0 crrespnde a iníci de 970, t crrespnde a iníci de 97 e assim pr diante a) Esbce gráfic da funçã f; b) Qual era preç d marfim n iníci de 970? E n iníci de 990? ) O cálcul d impst de renda devid pr um cntribuinte é feit da seguinte frma: depis de algumas deduções sbre ttal de rendiments anuais, chega-se a um valr denminad base de cálcul Sbre a base de cálcul aplica-se uma alíquta e, d resultad btid, deduz-se uma parcela A alíquta e a parcela dependem da base de cálcul cnfrme quadr: Base de cálcul Alíqutas Parcela a deduzir Até $696, De $696,0 a $580,00 5% $904,40 Acima de $580,00 7,5% $5075,90 f valr d impst devid quand a base de cálcul fr reais Dê uma epressã para Seja f e esbce seu gráfic Respstas: ) b) 7,44 eurs e 08,48 eurs 4

16 0, 0 696,00 ) f 0,5 696,00 580,00 0,75 7,50 580,00 0 Funções plinmiais Dads s númers reais a 0,a,a,a,,a n,an, denminams funçã plinmial à funçã n n n f : IR IR definida pr f a0 a a an an Os númers a 0,a,a,a,,a n,an sã s ceficientes As funções cnstante, afim e quadrática sã cass particulares da funçã plinmial Demais cmentáris sbre as funções plinmiais serã vists nas aplicações de derivadas, u n decrrer d curs 5

17 Cntinuidade Limites Nçã de Cntinuidade Tda funçã cuj gráfic é uma linha gemétrica cntínua é chamada funçã cntínua Sã eempls de funçã cntínua: a) uma funçã quadrática, cm f, cuj gráfic é uma parábla, prtant uma linha gemétrica cntínua; f, cuj gráfic é frmad pr duas semi-retas de rigem em (0,0); b) a funçã módul, c) a funçã sen, f sen, cuj gráfic é a senóide; d) uma funçã epnencial, cm f, cuj gráfic é também uma curva cntínua sem interrupções Intrduçã a Cnceit de Limite Cnsiderems a funçã f, definida em IR A estudar seu cmprtament quand a variável assume valres cada vez mais próims de, ist é, quand tende a, bservam-se as duas situações: ) Atribuind valres menres que, cada vez mais próims de, u seja, fazend tender a pela esquerda, bserva-se: 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 0,9999 f,,4,6,8,9,98,998,9998 f Quand tende a pela esquerda a funçã, u seja, valr de y, tende a ) Atribuind valres maires que, cada vez mais próims de, u seja, fazend tender a pela direita, bserva-se:,4,,,,05,0,00,000 f,8,6,4,,,0,00,000 f Quand tende a pela direita a funçã, u seja, valr de y, tende a Em ambs s cass nta-se que, quand tende a, f() tende a Pdem-se bter valres de f() tã próims de f() quant se quer, bastand para iss esclher suficientemente próim de Diz-se, entã, que limite de f() quand tende a é igual a f() limf f Simblicamente, escreve-se: Assim, lim As duas figuras a seguir esquematizam cálcul ds limites laterais Eercícis ) Calcular as cnstantes a e b sabend que lima b 5 e ) Calcule s limites indicads das funções: lim a b 7 6

18 a) lim sen 4t t c) lim t0 t t 6 e) limlg 6 g) lim i) lim k) lim lim m) b) lim 8 d) lim f) lime h) 0 9 lim j) lim4t t t0 l) lim 5 n) lim Respstas: ) a ; b 4 ) a) ; b) ; c) Limites Laterais Quand cnsidera ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) 8 ; i) ; j) ; k) ; l) 5; m) 7 ; n) 5 a lim f, está-se interessad em valres de n interval abert cntend a, mas nã própri a, ist é, em valres de próims a a, maires u menres d que a Mas, f nã eiste para, supnha que tem uma funçã f cm pr eempl, f Cm f nã está definida em nenhum interval abert cntend Lg lim nã tem significad Entretant, se estiver restrit a valres maires d que, valr de pderá trna-se zer quant deseja-se, tmand-se suficientemente próim de, mas mair d que Em tal cas, deia-se aprimar de pela direita e cnsidera-se limite lateral direit Daí, segue que, lim 0 Se, entretant, a variável independente estiver restrita a valres menres d que um númer a, diz-se que tende a a pela esquerda; neste cas limite é chamad de limite lateral esquerd Pr eempl, seja a lim 0 f Lg faz sentid calcular lim Prtant, 4 Limites de funções algébricas epressã lim Vims que para calcular este limite lim bastu substituir valr de pr A desaparece prque assume valres tã próims a (tant pela direita cm pela esquerda) que pdems cnsiderar ser própri Assim, lim Este prcess é válid para funções especiais chamadas de funções cntínuas Entretant, a técnica utilizada nã é aplicável a algumas funções algébricas, aquelas que sã descntínuas em um determinad Cnsidere a f td é permitid simplificar fatr cmum n numeradr e denminadr, pis f e f, nte que dmíni desta funçã é D IR Para, lg f Graficamente as funções 7

19 f e f sã idênticas, diferem smente em, especificamente, pnt (, ) está n gráfic de f, mas nã está n gráfic de f Abai sã cnsideradas três funções cm gráfics idêntics, que diferem em Embra as funções assumam valres diferentes para f g, h, em f, ; em, bserva-se que lim f lim g lim h a é mesm para lim f assume para um determinad g ; em h, Nem sempre valr que a funçã f Valr da funçã Gráfic Limite quand a f limf g limg, se h, se limh Manipulações algébricas pdem e devem ser usadas para determinar certs limites Eempl: 5 i) f 5 7 6, encntre lim f Sluçã: Observe que númer nã pertence a dmíni da funçã Se substituir na funçã tem-se, 5 0 f denminadr, btém-se f nã eiste divisã pr zer que é uma indeterminaçã Nte que se fatrar numeradr e 5 Nã pde cancelar fatr neste mment, pis 8

20 Tdavia se tmar limite de f quand, tal simplificaçã é permitida Assim, 5 5 lim f lim lim lim ii) f 9, encntre lim f 9 lim Sluçã: Nte que númer 9 nã está n dmíni de f Para achar limite, racinalize denminadr: lim f lim lim lim Cm está calculand limite lim f, sabend que 9 é diferente de 9, pde-se simplificar lim lim lim Eercícis Calcule s limites indicads das funções: a) lim b) lim 4 6 d) lim e) lim g) lim h) lim a 8 8 j) lim k) lim a a c) lim 0 f) lim i) lim 4 5 l) 5 lim 5 Respstas: a) 4 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) 0; h) ; i) 56 ; j) 4a a ; k) 0; l) 7 5 Ineistência d Limite Cnsidere a funçã f, cuj Df IR/ 0 e cuj gráfic é: se se 0 0 Observe que s valres de f, quand tende a zer, nã tendem a um mesm númer L:, tem-se que f (u seja, lim f );, tem-se que f (u seja, 0 0 lim f ) 9

21 Cm s limites laterais sã diferentes, diz-se, entã que nã eiste limites laterais eistem 0 lim f Nte que s válida: Para a eistência d limite em a relaçã entre limites laterais e limites tem que ser lim f L se e smente se a lim f lim f L a a Outr eempl: Cnsidere gráfic abai: Os limites laterais sã: lim f lim lim f lim Cm s limites laterais esquerd e direit sã iguais, decrre que limf Nte que valr da funçã f 4 para a determinaçã d limite é irrelevante Eercícis ) Esbce gráfic e ache limite indicad:, se i) f, se, se a) lim f ; b) lim f ; c) limf 4, se f 4, se 4 -, se a lim f ; b lim f ; c limf iii), se 0, se 0 a lim f ; b lim f ; c limf ii) f 0 0 0, se f 4, se, se iv) alimf ; b lim f ; climf ) Dada f se 4 5 k se 4 Ache valr de k para qual lim f 4 eiste se ) Dada f a b se 6 se eistam Ache s valres de a e b, tais que lim f e lim f ambs 4) As taas para despachar cargas pr navi sã freqüentemente baseadas em fórmulas que ferecem um preç menr que pr quil quand tamanh da carga é mair Supnha que quils seja pes de uma carga, C() seja seu cust ttal e 0,80 se 0 50 C 0,70 se ,65 se 00 a) Faça um esbç d gráfic de C 0

22 Ache cada um ds seguintes limites: b) lim C 50 ; c) lim C ; d) lim C ; e) lim C ) Use gráfic para determinar cada limite, quand eiste: lim f a) b) lim f c) limf d) lim f e) lim f 0 f) lim f 0 6) Faça gráfic da funçã f 4, se 0 e encntre limite indicad:, se 0 lim f limf a) lim f b) c) 0 7) Cnsidere gráfic de 0, se f, se Assinale V (verdadeira) u F (falsa) Justifique a, se sentença quand ela fr falsa lim f lim a) ( ) b) ( ) 0 lim f lim c) ( ) d) ( ) f limf e) ( ) f f) ( ) lim f lim f g) ( ) A funçã é descntínua em Respstas: ) i) a) - b) c) ; ii) a) b) - c) ; iii) a) 0 b) 0 c) 0; iv) a) b) 5 c) ) k 6 ) a ; b 4) b) 40; c) 5; d) 40; e) 0 6 Definiçã de Cntinuidade Diz-se que f é cntínua em A funçã a quand lim f f a a f é chamada de funçã cntínua quand é cntínua em tds s pnts ns quais está definida Em resum, terá que satisfazer as três cndições a seguir: i) fa, ist é, f é definida para a ii) limf a iii) f a lim f a

23 Eempls: a) Descntinuidade n pnt b) Cntinuidade n pnt c) Descntinuidade n pnt d) Descntínua n interval de a 4, 4 Eempl: Verificar se as funções a seguir sã cntínuas ns pnts indicads: a) f, n pnt Sluçã: Para determinar se a funçã é cntínua n pnt indicad é necessári que as três cndições sejam satisfeitas: i) fa, ist é, f é definida para a ii) limf a iii) f a lim f a Verificarems cada uma delas n pnt - Cndiçã (i): f 0 Lg, f, ist é, f é definida para - Cndiçã (ii): lim 0 Prtant, limf e é igual a 0 - Cndiçã (iii): f lim fram satisfeitas, entã a funçã é cntínua n pnt, pis as três cndições b) f, Sluçã: Para determinar se a funçã é cntínua n pnt indicad é necessári que as três cndições sejam satisfeitas: i) fa, ist é, f é definida para a ii) limf a iii) f a lim f a Verificarems cada uma delas n pnt - Cndiçã (i): f f A funçã nã é definida em Nã satisfazend a cndiçã (i) u qualquer utra já pde-se cncluir que a funçã é descntínua n pnt dad

24 , se c) h,, se Sluçã: Para determinar se a funçã é cntínua n pnt indicad é necessári que as três cndições sejam satisfeitas: i) fa, ist é, f é definida para a ii) limf a iii) f a lim f a Verificarems cada uma delas n pnt - Cndiçã (i): f Lg, f, ist é, f é definida para - Cndiçã (ii): limf e é igual a lim lim lim lim Prtant, - Cndiçã (iii): f lim, pis f e lim, entã a funçã é descntínua n pnt, pis uma das três cndições nã fi satisfeita Eercícis ) Faça a análise matemática das funções abai, se sã cntínuas u descntínuas ns pnts dads: 4 i) f para e ii) f para e 5 iii) f para ; e iv) f, para e 9 ) Verifique quais das funções cujs gráfics estã representads sã cntínuas em Justifique 7 Limites que Envlvem Infinit Observe s valres da funçã f, quand tende a zer 0 0,5 0, 0,0 0,00 0,000 f ,5-0, -0,0-0,00-0,000 f Quant mais próim de zer é valr de, mair é valr de f Quand acntece uma situaçã dessas, diz-se que f cresce ilimitadamente quand tende a zer

25 Generalizand, quand tende a um númer a e s valres de f ficam maires que qualquer númer psitiv cnsiderad, diz-se entã que f cresce ilimitadamente u que eiste limite infinit: limf a Semelhantemente, se quand tende a a s valres de f ficam menres que qualquer númer negativ cnsiderad, diz-se entã que f decresce ilimitadamente u que eiste limite infinit: limf a Pr eempl, a cnsiderar f, tem-se: Observe gráfic: lim f lim 0 0 Nte que para a funçã, quand tende a zer pela direita f ilimitadamente, e quand tende a zer pela esquerda f decresce ilimitadamente: lim 0 lim 0 Neste cas, diz-se que lim 0 f cresce Eercícis ) Encntre s limites: a) lim b) lim 0 c) lim 0 d) lim 0 e) lim 0 8 Limites n Infinit Há funções que, quand u, crescem u decrescem ilimitadamente Em resum, pdems ter: lim f ; lim f ; lim f ; lim f Eempls: f cresce ilimitadamente quand e também quand f cresce ilimitadamente quand e decresce quand 4

26 lim e lim lim e lim f 4 f lim 4 e lim 4 lim e lim Há funções que, quand u, apresentam tendência para um númer real determinad É cas, pr eempl, da funçã f Nesta funçã bserva-se que quant mair fr valr de, tende a zer e, entã, f tende a Prtant, lim Nte também que lim Deve-se ter cnheciment que há funções que, quand u, nã apresentam tendência para nenhum númer especificamente É cas, pr eempl, das f sen f cs f tg periódicas, e Calcule s limites: lim 5 i) ii) lim 5 iii) lim 4 Eercícis 8 i) lim iv) lim 4 5 ) v) lim lim 6n n n i) lim n n vi) lim n 6 Respstas: i) ; ii) ; iii) ; iv) ; v) 0; vi) ; vii) ; viii) ; i) ; ) 9; i) 0 vii) viii) lim 6 7 lim 5

27 Derivadas Retas Ceficiente angular m y y m Frma Pnt-Ceficiente angular Frma Ceficiente angular- Intercept y y m y m b Retas especiais: Vertical: m nã definid Hrizntal: m 0 Paralelas: m m Perpendiculares: m m Intrduçã à Derivada O cnceit de derivada é fundamental n cálcul diferencial e integral Além de inúmeras aplicações práticas, tais cm: determinaçã de máims e mínims e pnts de infleã de uma funçã As derivadas também trnam estud da física simples e lógic Acréscims Definiçã: Seja uma variável independente qualquer e e dis valres particulares desta variável Chama-se acréscim de, a diferença que representarems pr 4 Acréscim de uma funçã Seja y f uma funçã qualquer Dand a um acréscim arbitrári, bterems, para y, um acréscim que representarems pr y Algebricamente btems: y f y y f Subtraind () de () vem y f f 6

28 Nta-se que y é acréscim da funçã e é acréscim da variável Eempl: Calcular acréscim sfrid pr cada uma das funções seguintes: f a b a) Sluçã: b) f Sluçã: y f f y a b a b y a a b a b y a y f f y y y Nte que acréscim sfrid pela funçã é prprcinal a acréscim da variável c) f Sluçã: y f f y y y 5 Razã Incremental É a razã entre acréscim sfrid pela funçã, y : razã incremental Cm: y f f y, e pel acréscim dad à variável, A relaçã () que é a razã incremental representa um valr numéric que ns indica a velcidade de variaçã de uma funçã num pnt Eempl: Calcular a razã incremental das seguintes funções: i) y, IR Sluçã: y f f Interpretaçã: a velcidade da funçã é a mesma da variável em qualquer pnt ii) y, para e Sluçã: y f f y Assim para e, tems: 7 Interpretaçã: a velcidade de variaçã da funçã n pnt é 7 vezes à da variável para um acréscim de, u seja, para 7

29 6 Derivada u funçã derivada (definiçã) Chama-se derivada u funçã derivada da funçã incremental quand 0 Em símbls: dy y f f lim lim 0 0 d y f em relaçã a limite da razã dy df Pdems encntrar na literatura:, y, f,, d y, D f, entre utras d d Eempl: Achar a funçã derivada das seguintes funções: i) y Sluçã: dy f f lim lim lim lim d f f Lg, ii) f 5 6 Sluçã: dy lim lim 0 0 d 5 lim lim Eercícis Determinar a derivada das funções usand a definiçã a) f Respsta dy 6 d b) f Respsta dy d c) f Respsta dy d d) f 5 6 Respsta dy 5 d e) f Respsta dy 5 d Lg, f 5 6 f 5 f) f Respsta dy 0 d g) f Respsta dy d h) f Respsta dy d i) f Respsta dy d 7 Derivada de uma funçã num pnt (definiçã) Definiçã: Seja f uma funçã cntínua n pnt pnt valr numéric (finit) da funçã derivada para Ntações: dy f, y, d Sluçã: Eempl: Calcular a derivada de f n pnt Para calcular a derivada de uma funçã f n pnt f f f lim Chama-se derivada da funçã n faz: 8

30 Sluçã: Eempl: Send, calcular y y y lim lim lim Observaçã: ) Se limite da razã incremental eistir penas para 0 pela esquerda, direms que a derivada é lateral ) Se f f direms que a funçã derivável n pnt Ntaçã: f f f lim f (à esquerda) e Eempl: Calcular a derivada de f f f lim f n pnt 0, pela direita u (à direita) f é f f 0 Sluçã: f lim lim lim Cm chegams em um limite sem resluçã, tems que, neste cas, estudar as derivadas laterais Assim, lim e lim 0 0 Lg, nã é derivável n pnt 0 Achar a derivada da funçã n pnt indicad: i) y, para y 4 Respsta ii) f 5 6, para Respsta iii) f, para Respsta dy 6 d Eercícis f iv) f, 0 Respsta dy d v) f, n pnt Respsta vi) f 5 6, n pnt vii) f 7 Respsta f, n pnt Respsta f f Interpretaçã gemétrica da Derivada Seja f uma funçã cuj gráfic representarems a lad: Cnsidere pnt P,y fi Dand a um acréscim btems para y um acréscim y e cnseqüentemente um pnt Q qualquer na curva Traçand uma secante s em PQ frmará entã um triângul retângul ns QR y pnts PQR de nde tirams: tg PR Veja em detalhes n triângul abai: 9

31 Imaginems que: 0, lg Q P Deste md a secante s n pnt PQ à tangente gemétrica n pnt P Nta-se que E também s t Em símbls representarems assim: y lim limtg tg 0 dy Dnde: tg d Cnclusã: a derivada de uma funçã f num pnt representa a tangente trignmétrica d ângul que a tangente gemétrica à curva n pnt P frma cm ei psitiv O Observe desenh a seguir: Cada pnt da curva gera uma reta tangente Recrdams: y a b é a equaçã geral da reta A vgal a na equaçã representa ceficiente angular, u seja, tg O ângul frmad pela reta tangente e ei é 9 Fórmulas para Cálcul das Derivadas Verems agra as prpriedades das derivadas, que pdem ser cmprvadas usand a definiçã de derivada Funçã Representaçã Derivada * * Ptência (epente real) IR e IR y y Cnstante y c y 0 Afim y a b y a Sma algébrica y u v y u v Prdut y u v y u v vu Quciente u u v vu y y v v Epnencial a 0 e a u y a u y ua lna u Lgarítmica a 0, a e 0 y lg u a y lg e a u Sen y sen y cs C-sen y cs y sen Tangente y tg y sec Ctangente y ct g y cssec Secante y sec y sec tg C-secante y cssec y cssec ctg Cmpsta Eempls: Achar a derivada das funções f f 0 i) ii) iii) f sen a f 0 f ln a b f 0 y f g y f g g u dy dy du fug d du d 0

32 iv) v) vi) vii) f f f f f 5 f 5 f 5 f 0 viii) 6 5 f f f sen f cs i) ) f sen f sen cs i) f f ii) iii) f f ln f e f e lne e iv) v) vi) f ln f lne f lg f lg e dy du f sen Primeir façams: u y senu y csu cs cs du d dy du f sen Primeir façams: sen u y u y u cs sen cs du d vii) Eercícis ) Achar a derivada da funçã n pnt indicad (calcule a derivada e depis substitua valr de na derivada): i) y sen para Respsta y 4 4 ii) y, para y 4 iii) f Respsta cs, para Respsta iv) f 5 6, para f f Respsta ) Calcule a derivada das seguintes funções: sen i) f Respsta f sec cs ii) f Respsta f f cs Respsta f 6cs sen iii) f 4 iv) f 7 Respsta 4 f 4 v) f Respsta vi) f cs Respsta vii) f t t t Respsta f sen f t t t viii) f s s s Respsta f s i) f s s sen Respsta f cs

33 ) f cs6 Respsta f 6sen6 cs i) f lnsen Respsta f sen ii) f lg Respsta f lge 8 iii) f lg 4 8 Respsta f lg e iv) f lg n pnt Respsta f lg e v) f ln 6 8 ns pnts e Respstas f e f 5 ) Calcule as derivadas das funções: 5 5 / a) f b) f c) f d) f e) f f) f t 4t 5t t 4 g) f s s s s h) f t t t i) f s s s j) f 4 k) f cs ) f l) f 7 m) f n) f sen p) f 5 4 Repstas: t) f u) f sencs q) f cs 4 v) f r) f 4 w) f sen sen s) f a) f 5 b) f c) f d) f e) f 4 4 f) ft t 0t g) fs s 4s h) ft t i) f s j) f k) f sen n) f ) f sen cs q) f cs sen r) f u) f 4 4 v) f 5 t t s s s s l) f m) f p) w) f 4) Calcule a derivadas epnenciais e lgarítmicas: a) f b) f ln s) f cs sen f cs sen 5 4 t) f c) f d) f 5 e) f 0 f) f 0e g) f h) f lg i) f ln j) f lg k) f l) f lg 5 m) f lncs n) f lntg ) Respstas: a) f ln b) f ln f e lg c) f ln d) f 5 ln e) f 0 ln0 f) f 0e g) f h) f lg e i) f lglge cs sen j) f k) f lg e l) n) f ) f 4 e f 6 5 lge 5 ln m) f tg

34 0 Derivadas Sucessivas f uma funçã f f f f Send - representa a derivada primeira da funçã f - representa a derivada segunda da funçã f - representa a derivada terceira da funçã f 4 - representa a derivada quarta da funçã f n f - representa a derivada enésima da funçã f Eempls: i) Calcular a derivada segunda da funçã f 4 f 4 6 f f ii) Calcular a derivada terceira da funçã f f cs f sen f cs f cs : sen n pnt Eercícis 4 ) Dada a funçã f 4 calcular 4 4 f Respsta f 4 4 ) Dada a funçã f 4, reslver a equaçã f 0 Respsta 4 ) Calcule a derivada segunda de f 4 5, para 0 Respsta 4) Se f sen cs, determine f para Respsta 6 f 6 f 0 5) Determine a derivada segunda de f 4 5, para e Respsta f 8 e f 58 6) Seja a funçã f 4 5 f0 f 0 f 0 7) Achar tdas as derivadas da funçã 8) Achar a derivada de rdem n da funçã calcule f0 f 0 f 0 y 6 Respsta y Respsta n n n! y Respsta 4 y 0 n Aplicações Reta Tangente Achar a equaçã da tangente gemétrica à curva Sluçã: f f f 6tg a 6 A reta tangente passa em: f 9 Prtant Tems: P,9 y n pnt y y a y 9 6 y Lg, y é a equaçã da tangente n pnt

35 O gráfic para esta situaçã é: Eercícis ) Determine a equaçã da reta tangente à curva crrespndente a cada equaçã: a) f, n pnt 4 Respsta y b) f 5, n pnt Respsta y 0 0 c) f, n pnt Respsta y 9 0 d) f 9 0, n pnt Respsta y e) f 6 5, n pnt 0 Respsta y ) Equações das retas tangentes à curva y 6 4 e y 6 8 ) A tangente à curva Q, 8 y, n pnt y 6 paralela à reta y 6 Respsta: P, crta a curva em algum pnt? Qual é esse pnt? R: 4) Escrever a equaçã da tangente à curva f 5 6 que satisfaça as cndições: (a) passar pel (vértice) e (b) ser paralela a ei- y 4 5) Escrever a tangente à curva anterir passand pel pnt t 4, R: y 0 0 6) Encntre uma equaçã da reta tangente à curva y 6 em cada pnt: a) T,0 R: b) P7, R: 6y 5 0 Aplicaçã na Física Seja S f t a equaçã d espaç percrrid pr um móvel qualquer aumentará de Definições: N temp t móvel percrreu espaç S S Se aumentarms temp de i) A velcidade média Vm entre s instantes t e t é a razã incremental S, Ist é: t t espaç f t t f t f t f t S S s Vm t t t t t t A velcidade instantânea Vi que a velcidade n instante t, será limite da velcidade média quand t t Ou seja, Vi limvm lim tt t 0 t dt tt S ds 4

36 Lg, dada a equaçã hrária d pnt d móvel S f t, a sua derivada ds dt t t indica em cada instante a velcidade ii) A aceleraçã média a m entre s instantes t e t é a razã incremental ds v v t e tems: dt vt t v t v t v t v v v am t t t t t t v Ist é: seja t A aceleraçã instantânea que a é aceleraçã n instante t, será limite da aceleraçã média quand t t Assim, v a lima lim i tt m t0 t dt tt dv dv Cnclusã: a derivada da funçã dt tt pnt material Observaçã: a derivada segunda da funçã S dv d ds d S a dt dt dt dt v v t indica em cada instante t a aceleraçã d f t ns dá a aceleraçã n instante t : Eempl: um pnt material se deslca numa reta e sua equaçã hrária é S t t Determinar ns instantes t 0 e t : a) a psiçã d móvel; b) a velcidade Vi ; c) a aceleraçã a i Sluçã: t 0 S S 0 0m a) para para t S S m ds t 0 Vi t t Vi 0m/ s dt t0 b) para ds t Vi t t 6 Vi 6m/ s dt t para c) para para ds t 0 a 6t 60 a m/ s i i dt t0 ds i i t a 6t 6 4 a 4m/ s dt t Eercícis ) Lança-se uma bla verticalmente para cima cm a velcidade de dm/seg; sua altura após t segunds é dada pr s t 9,8 t Em que instante a bla atingirá a altura máima? Qual será essa altura? R: t,6 seg; s 0,5 m ) Um pnt material descreve uma trajetória retilínea bedecend a funçã hrária s 6t t SI a) Determine as funções hrárias da velcidade e da aceleraçã vt s t 6 ; at s m/ s b) Calcule a velcidade d material n instante 0 s v0 4m/ s c) O espaç percrrid pós 0 s s 4m 5

37 ) Um crp se deslca sbre uma trajetória retilínea de acrd cm a funçã hrária 5 s t t SI 5 a) Determinar as funções hrárias da velcidade e da aceleraçã vt s t ; at s 5t b) Calcule a velcidade e a aceleraçã d pnt material n instante 6 s a6 90m/ s c) Em que instante a velcidade d crp é de 66,5m/ s? t s d) Qual a aceleraçã d crp n instante s? a 0m/ s 4) Qual é a aceleraçã de um móvel que descreve uma curva segunda a funçã metrs e t em segunds) n instante t,5s? a,5 40m/ s 5) Um móvel tem a velcidade variável segund a funçã instante 5 s a5 0m/ s Derivadas Implícitas s t 4t (s em v 6 t Calcule sua aceleraçã n Uma funçã é implícita quand ela é definida pela equaçã: é uma funçã implícita nde y Q y y 0 dis prcesss: f,y 0 Pr eempl Para derivar uma funçã implícita usams º prcess) Se as variáveis sã de fácil separaçã, para a frma eplícita que é y Q nrmalmente Eempl: a derivada de y Qy 6 derivams y 0 f,y 0 é encntrada eplicitand a variável y Assim, º prcess) Se as variáveis sã de difícil separaçã derivams a funçã na frma implícita e em seguida tirams valr de y Eempl: achar a derivada da funçã y Q Derivand cm relaçã a, vem: y y 5y y 0 f,y 0 Sabems que y y y y 5y 0yy y 0 y y 0y 5y y y 5y y y 0y Eercícis ) Calcule as derivadas: y 5 0 f,y 0 Respsta y 5 i) ii) cs y sen 0 f,y 0 Respsta iii), cnsidere y Q 4 y y y 0 y sec Respsta y y 4 y 4 y y ) Determine as retas tangente e nrmal às seguintes curvas, ns pnts P indicads: y y, P, Respsta: tangente: 7 4y 0 e nrmal: 4 7y 9 0 a) b) y 5, P, 4 Respsta: tangente: 4y 5 0 e nrmal: 4 y 0 ) Determine s pnts da curva R:, e, reta y y y em que a tangente à mesma é perpendicular à 6

38 4 Taa de Variaçã Supnha que duas variáveis e y sejam funções de utra variável t, f t e y f t Assim pdems interpretar as derivadas d e dy cm as taas de variaçã de e y em relaçã a t Em dt dt certas aplicações, e y pdem estar relacinadas pr uma equaçã cm y 7y 0 Diferenciand implicitamente em relaçã a t, btems: d d d d d d y 7y 0 dt dt dt dt dt dt Aplicand a regra da ptência cm t cm variável independente, tems: d dy d dy y 4y 0 dt dt dt dt d dy 4y y 0 dt dt Eempls: ) Um tanque tem a frma de um cne circular ret invertid, cm 4 m de altura e m de rai da base Se a água entra n tanque à razã de 0,00 m /min, calcule aprimadamente a razã na qual nível de água está subind quand a prfundidade é de m Sluçã: Cmeçams fazend um esbç da situaçã (figura a lad), cm r dentand rai da superfície de água quand a prfundidade é h Nte que tant r cm h sã funções d temp t dv Em seguida: Dad: 0,00m /min Determinar: dh quand h m dt dt O vlume V de água n tanque crrespndente à prfundidade h é V r h Esta fórmula relacina V, r e h Antes de diferenciar implicitamente em relaçã a t, epressems V em terms de uma única variável Observand a figura r h a lad e utilizand semelhança de triânguls, btems u r Cnseqüentemente, à h 4 h prfundidade h, V h h Diferenciand em relaçã a t btems a seguinte relaçã geral entre as taas de variaçã de V e de h n instante t: dv dh h dt 4 dt dh 4 dv dv Se h 0 entã: Finalmente, fazend h e 0,00m /min, btems dt h dt dt dh 4,7 0 m/min dt ) Imaginems um petrleir avariad cuj vazament de óle cubra uma área circular A de rai r (figura a seguir) Cm passar d temp, estas grandezas crescem a taas que estã relacinadas da dr dr da / dt De fat, cm A r, tems r u Ist dt dt dt r mstra que rai r cresce a uma taa inversamente prprcinal a si mesm Pr eempl, se a área cresce, digams, à taa de 0000 m pr hra, entã dr 0000 Assim, quand r fr igual a km, esse rai estará se dt 6,8r epandind à metade: dr 5 80cm/h Quand r atingir valr de 4 dt 6,8 km, a taa de cresciment d rai estará reduzida à metade: dr,5 40cm/h dt 6,8 7

39 Eercícis ) O gás de um balã escapa na razã de dm /minut Qual a razã de diminuiçã da superfície d 4 balã, quand rai fr de dm? Dads: V r ; S 4 r ) De um funil, cônic, esca água na razã de centímetr cúbic pr segund Sabend que rai da base d funil é de 4 cm e a altura é de 8 cm, achar a razã segund a qual nível da água está descend, quand estiver a cm d tp ) Um pes W está pres a uma crda de 50 m de cmpriment, que passa pr uma plia situada em P, 0 m acima d sl A utra etremidade da crda está presa a um caminhã, situad em A, m acima d sl Sabend que caminhã se afasta na razã de 9 m/seg, qual a taa de variaçã da altura d pes quand ele estiver a 6 m acima d sl? Ver figura a lad 4) A areia que esca de uma calha frma um mnte de frma cônica, cuja altura é sempre igual a 4 d rai da base a) Qual a razã de cresciment d vlume quand rai da base fr 0,9 m e estiver aumentand na razã de 0,75 dm/seg? b) Qual a taa de cresciment d rai quand mesm fr de,8 m se vlume estiver aumentand na razã de 0,6 m /min? Nta: vlume d cne: V r h 5) Uma escada de m está apiada em uma parede A base da escada está send empurrada n sentid cntrári a da parede a uma taa cnstante de 6 m/min Qual a velcidade cm a qual tp da escada se mve para bai, encstad à parede, quand a base da escada está a 5 m da parede? Cnsidere as figuras abai e use terema de Pitágras, a b c, para reslver Respstas: ds ) dm / seg ; ) dh cm/ seg ; ) d 9 m/ seg dt dt 9 dt Máims, Mínims e Pnts Crítics Teste da derivada primeira Usand sinal da derivada primeira classificarems s etrems lcais Além diss, indicará nde uma funçã é crescente u decrescente em um interval Para determinarms s etrems de uma funçã f devems: f i) encntrar ii) encntrar s númers crítics de f, ist é, s valres de para s quais f nã eista iii) aplicar teste da derivada primeira Cncluir Observe esquema abai f 0 u s valres que 8

40 Eempl: Dada f 6 9 faça um estud cmplet desta curva Sluçã: i) f 9 ii) fazer iii) f 0 Ist é, f 9 0, cujas raízes sã: e f Cnclusã + f é crescente 5 0 f tem um valr máim f é decrescente 0 f tem um valr mínim + f é crescente Eercícis ) Aplicar teste da derivada primeira nas funções a seguir e esbce gráfic: f 6 9 M,5 e m, a) Respsta b) f 8, se 4, se Respsta M,5 e m0, 4 c) f Respsta: Nã fram encntrads máims e mínims 5 d) f 5 0 Respsta M,46 e m, 50 e) f 4 Respsta M4, 4 f) f 4 5 Respsta m,4 e I0,5 g) 4 y Respsta m,0 ; M, e m,0 4 h) f Respsta m, ) A funçã f a b apresenta um máim n pnt,6 Respsta: b 6 Calcule valr de b 9

41 ) Um estud de eficiência realizad n turn da manhã (de 8h a mei dia) revela que um perári t que chega para trabalhar às 8h prduziu Qt t 6t unidades t hras mais tarde 4 a) Em que instante d turn da manhã a prdutividade d perári é máima? t,5 (9h0min) b) Em que instante d turn da manhã a prdutividade d perári é mínima? t 4 (h) Teste da derivada segunda Sejam f, f e f funções cntínuas deriváveis n interval J e seja J Se f 0 e f 0, entã é pnt máim relativ de f Se é pnt de mínim relativ de f Determinaçã ds pnts de infleã: f uma funçã definida em um interval J e Seja i) Se f 0 ii) Se f 0 ei- f 0 e f 0, entã J Se f 0 e f 0, entã:, é abscissa de um pnt de infleã cm reta tangente paralela a ei-;, é a abscissa de um pnt de infleã cm reta tangente blíqua em relaçã a Critéri geral que ns dá a cnclusã Seja sucessivas tdas cntínuas num interval J n i) Se n f f f f 0 e f 0 entã: a) f é máim relativ de f se n é par e n f 0 ; f se n é par e n f 0 ; b) f é mínim relativ de c) é abscissa de pnt de infleã de ii) Se f 0 e f 0, desde que, depis de f 0 f uma funçã cntínua cm derivadas f cm reta tangente paralela a ei- se n é ímpar é abscissa de pnt de infleã cm tangente blíqua a ei-,, a primeira derivada que nã se anula é de rdem ímpar 5 Eempl: se f 5, determine s etrems lcais de f Analise a cncavidade, determine s pnts de infleã e esbce gráfic de f Sluçã: f duas vezes: Cmeçams pr derivar 4 f f Reslvend a equaçã f 0 btems s númers crítics 0,, Para achar s pssíveis 6 6 pnts de infleã, cnsiderems a equaçã f 0, daí btems as abscissas,0, Façams, agra, s quadrs para tirarms cnclusões sbre s pnts e sbre as cncavidades da curva Númer Sinal de f c crític f c Cnclusã 0 Má Lcal: f 0 0 Nenhum Nenhuma 0 Mín Lcal: f

42 Interval Sinal de f Cncavidade, 6 / Para bai 6 /,0 + Para cima 0, 6 / Para bai 6 /, + Para cima Eercícis 4 ) Dada a funçã real f de variável real, definida pr f 4 6, pede-se: 4 7 a) interseçã d gráfic de f cm ei ds Respsta: 0 e b) interseçã d gráfic de f cm ei ds y Respsta: y 0 c) interseçã em que f é crescente Respsta:,0 u, d) interseçã em que f é decrescente Respsta:, u 0, e) pnts crítics de f Respsta:,0, (máim e mínims) e 9 (infleã) f) gráfic cartesian Respsta: ) Calcule as crdenadas d pnt de infleã da curva ) Faça um estud cmplet sbre as seguintes curvas: Respsta: I, 0 y 4 4

43 / 5/ a) f 5 Cálcul I Respsta: decresc,0 u, ; cresc 0, ; m0,0 ; M, 4 / b) f Respsta: decresc, u, ; cresc, ; m, ; M, ; I0,0, determine a e b, tal que gráfic de f tenha um pnt de infleã em 4) Se f a b Respsta: a e b 5) Se f a b c, determine a,b c, tal que gráfic de f tenha um pnt de infleã em, e tal que a inclinaçã da tangente n pnt de infleã seja Respsta: a 4; b e c 0 6) Se f a b c d, determine a, b, c, d tal que f tenha um etrem relativ em que gráfic de f tenha um pnt de infleã em, Respsta: a ; b 6; c 0 e d 7) Calcule y e y, determine, em cada cas, cnjunt de valres de para s quais: a) y cresce; b) y decresce; c) abscissas d pnt de infleã / i) y 5 a),0 ; b) 0, ; c) na tem pnt ii) iii) iv) Respsta: Respsta: y 4 a), ; b), 0 ; c) 4 4 y Respsta: a) sempre crescente; b) nunca; c) na tem pnt y Respsta: a) 0,4 ; b),0 ; c) 6, 0, e tal Aplicaçã na Ecnmia As derivadas C, c, R e P na Ecnmia sã chamadas de cust marginal, cust médi marginal, receita marginal e lucr marginal, respectivamente O valr C é chamad cust marginal assciad à prduçã de unidades Interpretand a derivada cm taa de variaçã, entã C é a taa na qual cust varia em relaçã a númer de unidades prduzidas O mesm pde-se dizer de c, R e P Eempl: um fabricante de móveis estima que cust semanal da fabricaçã de reprduções (manuais) de uma mesa clnial é dad pr C Cada mesa é vendida pr R$ 800,00 Que prduçã semanal maimizará lucr? Qual máim lucr semanal pssível? Sluçã: Cm a receita btida cm a venda de mesas é 800, a funçã receita R é dada pr R 800 A funçã lucr P é a diferença entre a funçã receita R e a funçã cust C, ist é, P R C Para achar lucr máim, derivams, btend P Obtêm-se s númers crítics de P reslvend 960 0, u 0 0, que dá u 0 Cm a sluçã negativa é estranha, basta verificar A derivada segunda da funçã lucr P é P 6 6 Cnseqüentemente P Lg, se frem vendidas mesas semanalmente btém-se lucr máim Cuja quantidade é P Eercícis ) O cust para prduzir unidades de certa mercadria pr semana é C 0, a) Determine cust marginal CM C Plte as funções C e CM n mesm gráfic b) Determine (s) valr(es) de para s quais C 0 Qual a relaçã entre esse(s) pnt(s) e as curvas de CM e C? 4

44 Respsta: a) CM C 0,9 0 8 ; b) pnt crrespnde a um mínim na curva de infleã na curva de C C,8 0 0; 5,56 Esse CM e a um pnt de ) A receita ttal em reais prveniente da venda de q unidades de cert prdut é R q q 68q 8 ; a) para que nível de vendas a receita média pr unidade é igual à receita marginal? b) Verifique que a receita média é uma fraçã crescente se nível de vendas fr menr R q A q para q 8; b) Aq 8/ q ; A é uma que nível calculad n item (a) R: a) funçã crescente para 0 q 8 ; A é uma funçã decrescente para q 8 4 Prblemas de Otimizaçã Nas aplicações, de uma quantidade física u gemétrica cstuma ser descrita pr mei de fórmula Q f, na qual f é uma funçã Assim Q pde ser a temperatura de uma substância n instante, a crrente em um circuit elétric quand a resistência é, u vlume de gás em um balã esféric de rai Esses valres etrems sã às vezes chamads de valres ótims, prque sã, em cert sentid, s melhres valres u s mais favráveis valres da quantidade Q Eempl: De uma lnga flha de papel retangular de 0 cm de largura deve-se fazer uma calha dbrand as brdas perpendicularmente à flha Quants centímetrs devem ser dbrads de cada lad de md que a calha tenha capacidade máima? Sluçã: A figura a lad representa desenh da calha, denta númer de centímetrs a ser dbrad de cada lad A largura da base da calha é 0 cm A capacidade da calha será máima quand a área d retângul de lads 0 cm e fr máima Dentand esta área pr f, tems f 0 0 Cm 0 0, dmíni de f é 0 5 Se 0 u 5, nã se frma nenhuma calha Assim, derivand f de nde únic númer crític é 7,5 Cm f 4 0 é máim lcal para f Segue-se que devem ser dbrads 7,5 cm de cada lad para bterms a capacidade máima Eercícis ) Deve-se cnstruir uma caia de base retangular, cm uma flha de cartlina de 40 cm de largura e 5 cm de cmpriment, retirand-se um quadrad de cada cant da cartlina e dbrand-se perpendicularmente s lads resultantes Determine tamanh d lad d quadrad que permite cnstruir uma caia de vlume máim Respsta 7,47 cm ) Um recipiente cilíndric, abert em cima, deve-se ter a capacidade de 75 cm O cust d material usad para a base d recipiente é de 5 centavs pr cm e cust d material usad para 4

45 a parte curva é de 5 centavs pr cm Se nã há perda de material, determine as dimensões que minimizem cust d material Respsta: rai: 5 cm e altura: 5 cm ) Um carpinteir recebeu a missã de cnstruir uma caia aberta de fund quadrad O material usad para fazer s lads da caia custa R$,00 metr quadrad e material usad para fazer fund custa R$ 4,00 metr quadrad Quais sã as dimensões da caia de mair vlume que pde ser cnstruída pr R$ 48,00? Respsta: m pr m pr 4/ m 4) Use fat de que litr equivale a decímetr cúbic para determinar as dimensões de uma lata de refrigerante de 0 ml cnstruída cm a menr quantidade pssível de metal Cmpare as dimensões calculadas cm as de uma lata de refrigerante cmercial A que vcê atribui a diferença? Respsta: r,74 cm; h 7,5cm; a fat de que a lata nã é perfeitamente cilíndrica 5) Um reservatóri cilíndric, de base circular, tem a capacidade de 640 m Achar suas dimensões de md que a quantidade (área) d material necessári seja mínima a) Cnsiderand reservatóri sem cbertura; b) Cbert Ntas: vlume e áreas de um cilindr, respectivamente: Respsta: a) r 5,88 e h 5,89 e b) r 4,67 e h 9,4 V r h e A rh r 44

46 4 Integrais 4 Intrduçã Se Se Pr eempl, nde F é uma funçã cuja derivada F f, F é denminada uma integral de F fr uma integral de f, F c, 5 e 4 f também será, send c uma cnstante qualquer d d d 5 4 d d d sã integrais de, prque A integral indefinida de f é a integral mais geral da funçã, ist é, F é uma funçã tal que F f e c é uma cnstante qualquer f d F c 4 Fórmulas Fundamentais de Integraçã ) u vd ud vd ) aud a ud, nde a é uma cnstante qualquer n n u ) u du c, se n n u du 4) lnu c, se u 0 u u a 5) a du c, se a 0 6) lna 7) senudu csu c 8) csudu senu c u u e du e c Eempls: a) 6 5 d 6 c d b) d c c 4 / / z 4 / c) zdz z dz c z c 4 / 4 d) e) f) g) d d c c / m/ n m m/ n n n nm d d c c m/n n m 5 d c 6 / / / n 5 5 n kd n k d k c n n 5 5 d d 5 d d c / / / / / 5 / d d d d c 5 s 4 ds 9s 4s 6 ds 9 s 4 s 6s c s s 6s c d 5 4 d 5 c 5 c h) i) j) k) l) d ln c e n) e d c e c lne p) csd sen c m) d c ln ) send cs c 45

47 Reslva as integrais usand a fórmula a) d C 8 b) d C e) 4 d e) Eercícis n n u u du c n c) d d) d f) 7 d g) d d 4 O Métd da Substituiçã Este métd cnsiste em substituir uma epressã cmplicada pr u Assim, a integral ficará mais fácil de ser calculada, bastand, smente, aplicar as fórmulas já estudadas È necessári bservar qual epressã deverá ser substituída a fim de facilitar s cálculs Veja s eempls: a) d, fazend u ; entã du d Assim, u du u c c / du b) d, fazend u ; entã du d d Assim, substituind / u / u du c c / 9 / devidamente, tems: c) 8 d d u du u c c Calcule as integrais: a) d ln C c) ( k) d ( k) C d) 6 e) Eercícis b) 4 d 5 9 C 5 f) 9 5 g) d e e d e C 5 4 7d ( 7) 7 ( 7) 7 C d ( ) C 6 46