ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA UFRN PROVA 2 DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA ECT 2207 Turma 1 18/10/2018 Prof. Ronaldo Nome Legível: Assintatura: Instruções: Q1 1. Leia todas as instruções antes de qualquer outra coisa. 2. A resolução das questões pode ser feita com grate. Q2 3. Faça uma prova organizada e detalhada, apresentando as respostas de forma coerente, de modo que todas as justicativas relevantes no conteto da disciplina devem estar presentes na solução. Indique bem o que você está fazendo pois resultados sem eplicação e/ou desorganizados não serão considerados. Q3 Q4 4. Resolva cada questão na frente e/ou verso da folha onde ela se encontra.. Folhas com idicadas como de rascunho não serão corrigidas. Questão 1. Considere a seguinte FMP ( 2 p ( = a + com 0 3 e a uma constante real. Determine: (a O valor de a para que p ( seja uma FMP legítima. (1,0 ponto (b A função de probabilidade acumulada desta FMP. (1,0 ponto (c A média e desvio padrão de. (1,0 ponto (a Para termos um f.m.p legítima, devemos ter p ( 0 e i p ( i = 1, então 4a + ( 1 2 + ( 2 2 + ( 3 2 = 1 4a + 1 (1 + 4 + 9 = 1 2 4a + 14 2 = 1 a = 11 100. Como o valor de a que normaliza p ( é positivo e ( 2 também, então temos p ( 0. 1
(b A FDA é dada por F ( = i p ( i, então temos 0, < 0 11 100, 0 < 1 F ( = 26 100, 1 < 2 3 100, 2 < 3 1, 3 (c A média de é dada por E ( = µ = i i p ( i ( 11 µ = 0 + 1 100 + 1 ( 11 + 2 2 100 + 4 ( 11 + 3 2 100 + 9 = 210 2 100 O desvio padrão σ = V (, µ = 210 100 = 2, 1 V ( = E ( 2 E 2 ( =, 46 4.41 σ = V ( 1, 0247 2
Questão 2. Sob certas condições, um estacionamento tem a entrada de 0, 4 carros por minuto com uma distribuição de Poisson. Considerando que o preço de entrada é único, de R$ 8, e o custo de funcionamento é o em R$ 0,20 por minuto, determine: (a O valor esperado do lucro por hora. (1, ponto (b A probabilidade de que ou mais carros entrem em 10 minutos. (1, ponto (a A função lucro por hora é dada por L ( = 8 12. A taa de entrada de carros é λ = 0, 4/min = 24/h, então a f.m.p de Poisson será: p ( = e λ λ com a qual calculamos o valor esperado do lucro = e 24 24, E (L ( = E (8 12 = 8E ( 12, onde o valor esperado do número de carros por hora é E ( = 24, então E (L ( = R$180/h. (b A taa de entrada em 10 minutos é λ = 0, 4/min = 4/10min. probabilidade P (X com λ = 4. A f.m.p de Poisson é Então queremos a e p ( = e λ λ = e 4 4 ( P (X = 1 P (X < = 1 e 4 1 + 4 1! + 42 2! + 43 0, 3712 3! 3
Questão 3. Considere a seguinte FDP normal ( f ( = 1 ep 2π ( 22. 2 Faça o seguinte: (a Identique sua média e desvio padrão. (1,0 ponto (b Determine a probabilidade acumulada entre a média menos um desvio padrão e a média mais dois desvios padrão (1,0 ponto (c Determine k tal que P (µ k < < µ + k = 0.9 (1,0 ponto (a A forma geral da distribuição normal é: ( f ( = 1 ( µ2 ep 2πσ 2σ 2, de onde identicamos que a média da FDP em questão é µ = 2 e o desvio padrão é σ = 1. (b Em termos de Z, Z = µ σ queremos calcular (c Em termos de Z, queremos P ( 1 < z < 2 = F (2 F ( 1 P ( 1 < z < 2 = 0.818 P ( k < z < k = 0.9 F (k F ( k = 0.9 F (k = 1 F ( k 2F (k 1 = 0.9 F (k = 0.97 k = 2 4
Questão 4. Considere o seguinte eperimento: de uma caia com o total de N bolinhas, com M bolinhas vermelhas e N M bolinhas azuis, são retiradas, sem reposição, bolinhas. Determine as seguintes probabilidades: (a A probabilidade de se retirar bolinhas vermelhas, com N = 10 e M =. (0, ponto (b A probabilidade de se retirar bolinhas vermelhas, com N = 20 e M = 10. (0, ponto (c A probabilidade do caso (b, mas agora com reposição das bolinhas. (0, ponto (a A distribuição em questão é hipergeométrica ( M ( N M p ( = n ( N = n a probabilidade de retirarmos vermelhas é ( ( ( ( ( 10 p ( = ( 10 0 =!!!0!!0!!! 10! =! 10 9 8 7 6 = 1 0, 00397 22 (b De forma análoga, temos p ( = ( 10 ( 10 ( 20 e queremos p ( = ( 10 ( 20 ( 10 0 = 10! 10!!! 10!0!!1! 20! = 10!1!!20! = 10 9 8 7 6 = 0, 0162 19 18 17 16 (c Com reposição, passamos a ter uma distribuição binomial, com p = M/N = 0. p ( = ( n ( p (1 p n = p ( = (0, = 0, 0312 (0,
RASCUNHO 6