Proposta de teste de avaliação Matemática A 10. AN DE ESCLARIDADE Duração: 90 minutos Data:
Grupo I Na resposta aos itens deste rupo, selecione a opção correta. Escreva, na olha de respostas, o número do item e a letra que identiica a opção escolhida. 1. Num reerencial ortonormado z, a condição: deine: (A) um ponto (B) um semento de reta (C) um círculo (D) o conjunto vazio z z + + 9 = 0 = 3. De uma unção, de domínio R e bijetiva, sabe-se que ( 5) = 7 e A solução da equação ( ) 6 = 4 é: (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 9 1 5 = 4. 3. Considere a unção, de domínio R, deinida por ( ) = a + b, em que a e b desinam números reais. Em qual das iuras seuintes pode estar representada parte do ráico da unção, sabendo que a < 0 b > 0? (A) (B) (C) (D) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina
4. Se o domínio de uma unção é [ a, b ], o domínio da unção deinida por 1 ( ) = + é: (A) [ a, b ] (B) [ a + 1, b + 1] a b (C), a b (D) + 1, + 1 5. Considere as unções e, de domínio R, deinidas por: ( ) = ( 3) = + k, + k R Em qual das seuintes opções pode estar representado o conjunto dos zeros da unção? (A) { 4, } (B) { 5, 0} (C) { 6, 0} (D) { 5,, 0} Grupo II Na resposta aos itens deste rupo apresente todos os cálculos que tiver de eetuar e todas as justiicações necessárias. 1. Fiado um reerencial ortonormado do espaço, os pontos A( 1, 6, ), B ( 3, 0, 5) e ( 3, 3, 3) C são três dos vértices E F G de uma das aces do cubo [ ABCDEFGH ], representado na iura (o vértice H não é visível). 1.1. Mostre que o ponto D tem coordenadas ( 5, 3, 0). A B D C 1.. Mostre que a oriem do reerencial pertence ao plano ACG. 1.3. Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta AC com o plano. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 3
. Considere as unções e deinidas por ( ) = 3 + 1 e ( ) 1 3.1. Determine o domínio e o contradomínio da unção. =... Sabendo que é bijetiva, caracterize 1, unção inversa de..3. Na iura estão parcialmente representados os ráicos das unções e. C B Sabe-se que: A é o ponto do ráico de cuja ordenada é o mínimo absoluto desta unção; B é o ponto de interseção dos ráicos de e de ; C é o ponto do ráico de com abcissa neativa e ordenada iual à do ponto B. Determine a medida da área do triânulo [ABC]. 3. Considere a unção deinida por ( ) = e a unção representada A raicamente na iura seuinte. 3 1 1 3 4 5 6 3.1. Indique o domínio de cada uma das unções. 3.. Determine o conjunto-solução da equação ( ) ( ) 3.3. Determine o domínio da unção 3.4. Determine o domínio da unção = 0. + e calcule ( )( 1) +. e calcule ( )( 1) e ( )( 5). Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 4
4. Considere a unção, de domínio R, deinida por ( ) = a ( h) + k, em que a, h e k desinam números reais. 4.1. Determine a, h e k sabendo que 0 a, ( 0) =, contradomínio da unção é o intervalo [ 1, + [. 4.. Demonstre por contrarrecíproco que: 0 ( 0 0) R : < a k < = 1 e que o FIM CTAÇÕES Grupo I 1 3 4 5 Total 10 10 10 10 10 50 Grupo II 1.1. 1.. 1.3..1....3. 3.1. 3.. 3.3. 3.4. 4.1. 4.. Total 10 15 15 10 15 15 10 10 10 15 10 15 150 Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 5
1. A condição Proposta de resolução Grupo I + + z 9 deine uma esera de centro na oriem e raio 3. A condição z = 0 = 3 deine uma reta paralela ao eio que passa no ponto ( 0,3,0 ). Assim, a interseção da reta com a esera é o ponto de coordenadas ( 0,3,0 ). Resposta: (A). ( ) 6 = 4 ( ) = 10 ( ) = 5 = 5 = 7 = 9 Resposta: (D) 3. ráico da unção é o transormado do ráico da unção deinida por ( ) = pela translação de vetor ( a, b ). Como a < 0 b > 0, o ráico pedido apresenta-se na opção (D). a b Resposta: (D) 4. Se D = [ a, b] e ( ) 1 ( ) = +, então: a b a b D = { R : a b} = R : =, ráico da unção é a imaem do ráico da unção por uma contração horizontal de coeiciente 1. Resposta: (C) 5. ( ) = e ( 3) = + k ( )( ) ( ) ( ) = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 + 3 k = 0 1 3 = 0 + 3 = k Um dos zeros de é 0. Loo, ica ecluída a opção (A). No eio, os pontos correspondentes aos zeros de são imaem um do outro numa releão de eio = 3. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 6
Loo: se 5 = 3 é um zero de, então 3 + = 1 também é zero de (icam ecluídas as opções (B) e (D)); se 6 = 3 3 é um zero de, então 3 + 3 = 0 também é zero de (opção (C)). Resposta: (C) 1. A( 1, 6, ), B ( 3, 0, 5) e C ( 3, 3, 3) Grupo II 1.1 D = A + AD = A + BC BC = C B = 3, 3, 3 3, 0, 5 = 3 3, 3 0, 3 5 = 6, 3, D = A + BC = + = ( 1, 6, ) ( 6, 3, ) ( 5, 3, 0) Loo, D tem coordenadas ( 5, 3, 0). 1.. ACG é o plano mediador de [ BD ]. Loo, a oriem do reerencial pertence ao E A B F D G C plano ACG se e somente se B = D. ( 0, 0, 0), B ( 3, 0, 5) e D ( 5, 3, 0) B = 3 0 + 0 0 + 5 0 = 9 + 5 = 34 D = 5 0 + 3 0 + 0 0 = 5 + 9 = 34 Como B 1.3. A( 1, 6, ) e C ( 3, 3, 3) = D, a oriem do reerencial pertence ao plano ACG. AC = C A = = ( 3, 3, 3) ( 1, 6, ) ( 4, 9,1) : AC,, z = 1, 6, + k 4, 9,1, k R = 1 4k AC : = 6 + 9 k, k R z = + k 1 4 k, 6 + 9 k, + k, k R. Todo o ponto da reta AC é da orma Portanto, o ponto da reta AC que pertence ao plano : z = 0 obtém-se para o valor de k R tal que: + k = 0 k = Para k = : ( 1 4 k, 6 + 9 k, + k ) = ( 1+ 8, 6 8, ) = ( 9, 4, 0) A reta AC interseta o plano no ponto de coordenadas ( 9, 4, 0). Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 7
. ( ) = 3 + 1 e ( ) = 3.1. D = { R : 3 0 } = { R : 3} = [ 3, + [ + contradomínio da unção deinida em R 0 por = é [ 0, + [. Como o ráico da unção é o transormado do ráico da unção deinida por u = pela translação de vetor ( 3, 1 ), o contradomínio da unção é [ 1, + [. D 3 3 0 3 0 3 + 1 1 Loo, = [ 1, + [ D... D = [ 3, + [ e D = [ 1, + [ ( ) = 3 + 1 = 3 = 1 Como 3 0 e 0 porque 1, temos: 3 = ( ) 3 = ( ) = 1 + 3 1 : [ 1, + [ [ 3, + [ com 1 ( ) ( ) = 1 + 3..3. ráico da unção deinida por ( ) 1 3 = é o transormado do ráico da unção deinida por = pela translação de vetor ( 1, 3). Portanto, o ponto A tem ordenada 3. Coordenadas do ponto B : ( ) = ( ) 3 + 1 = 3 3 3 + 1 = 3 3 Se 3, 1 = 3 = 3 3 3 = 5 3 3 = 5 3 3 = 10 + 5 3 11 + 8 = 0 3 = 4 = 7 3 = 4 = 7 Cálculo auiliar 11 + 8 = 0 11± 11 4 8 = 11± 111 = 11± 9 11± 3 = = = 4 = 7 Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 8
Veriicação: = 4 : 4 3 = 4 5 1 = 1 (Falso) = 7 : 7 3 = 7 5 = (Verdadeiro) ( ) = ( ) = 7 ( 7) = 7 3 + 1 = + 1 = 3 B ( 7, 3) Coordenadas do ponto C : ( ) = 3 < 0 3 = 3 < 0 1 = 6 < 0 1 = 6 1 = 6 < 0 = 7 = 5 < 0 = 5 C ( 5, 3) BC = 7 ( 5) = 1 C 3 B Medida da altura do triânulo relativa ao vértice A: h = ordenada de B ordenada de A = 3 3 = 6 5 3 A 7 Medida da área do triânulo [ ABC] BC h 1 6 = = = 36 3. ( ) = 3.1. D { R : 0} D = = = { R : } ], ] = = [ 0, 6] 3.. ( ) ( ) S = {, 3, 5} = 0 = 0 = 0 0 = = = 3 = 5 = 0 = = 3 = 5 3.3. D D D ], ] [ 0, 6] [ 0, ] + = = = ( )( 1) ( 1) ( 1) + = + = = 1 + ( ) = 1 = 1 3 1 1 3 4 5 6 Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 9
{ } 3.4. : D = D D = R = [ 0, 3] [ 5, 6] dado que: D D 0 6 0 6 0 3 5 6 0 3 5 6 ( ) 1 = 1 = = = 4 = ( ) 4. ( ) = a ( h) + k 5 = 5 = = = 0 = 0 4.1. Se o contradomínio da unção é o intervalo [ 1, + [ temos a > 0 e k = 1. ( ) = a ( h) + 1 1 a h 1 1 a ( h) 0 a> 0 = + = = 0 = a ( 0 h) + 1 = ah = 1 h h 0 h = = = 1 ah = 1 a = 1 a = 4 1 a =, h = e k = 1 4 4.. A contrarrecíproca de : ( ) < 0 ( a 0 k < 0) R é: ( a k ) R: ( ) 0 < 0 < 0 o que é equivalente a: ( a k ) R ( ) > 0 0, 0 Sabemos que a soma e o produto de números reais não neativos são um número real não neativo. R, h 0, podemos concluir que, se a > 0 k 0, Assim, como R, a h + k 0, ou seja, se a 0 k 0 >, então ( ) Portanto, icou provado que ( a k ) R ( ) concluir a contrarrecíproca: R, 0. > 0 0, 0. Loo, podemos : 0 ( 0 0) R < a k < Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 10