UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA MISTA PARA A PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO EM FLOWSHOP HÍBRIDO COM BUFFERS LIMITADOS.

UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA MISTA PARA A PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO EM FLOWSHOP HÍBRIDO COM BUFFERS LIMITADOS. Pedro Lus Mranda Lugo a,* Karm Pérez Martínez a Rodolfo Florence Texera Jr a a Unversdade Federal de São Carlos campus Sorocaba Departamento de Engenhara de Produção Rodova João Leme dos Santos (SP-264), Km 110 - Sorocaba - SP - Brasl - CEP 18052-780. pmranda@ufscar.br, karm@ufscar.com.br, rodolfo.florence@ufscar.br * Autor Correspondente. Tel.: +55 15 81353807 RESUMO Um modelo de programação ntera msta (MIP, Mxed Integer Programmng) é apresentado para resolver o problema de programação da produção em Flowshop Híbrdo (HFS, Hybrd Flowshop) com máqunas paralelas não relaconadas, tempos de preparação antecpatóros e não antecpatóros dependentes da sequênca, tempos de transporte, buffers lmtados, tempos de lberação e elegbldade de máqunas. O crtéro de otmzação do modelo é a mnmzação do makespan, sto é, a duração total do programa de produção. Um exemplo numérco é apresentado para lustrar a aplcabldade do modelo proposto, assm como algumas característcas relevantes. Os resultados da avalação global do modelo, sobre um conjunto de 1.728 nstâncas, ndcam que o modelo MIP é computaconalmente vável para a resolução de nstâncas menores. Palavras-chave: Programação ntera msta, Programação da produção, Flowshop Híbrdo, buffers lmtados. Área Prncpal: Admnstração e Gestão da Produção, Programação Matemátca, Otmzação Combnatóra. ABSTRACT A mxed nteger programmng model s presented n order to solve the Hybrd Flowshop (HFS) schedulng problem wth unrelated parallel machnes, antcpatory and nonantcpatory sequence-dependent setup tmes, transportaton tmes, lmted buffers, release tme for machnes and machne elgblty. The objectve crteron s the mnmzaton of the makespan. A numercal example s presented to llustrate the applcablty of the proposed model, as well as some relevant characterstcs. The results of the model evaluaton, on a set of 1.728 nstances, ndcate that the MIP model s computatonally vable just to solve small nstances. buffers. Keywords: Mxed Integer Programmng, schedulng, Hybrd Flowshop, Lmted Man area: Admnstraton & Producton Management, Mathematcal Programmng, Combnatoral Optmzaton. 154

1. Introdução Em um Flowshop, um conjunto de tarefas deve ser processado através de múltplas estações na mesma ordem, desde a prmera até a últma estação, e cada estação tem uncamente uma máquna. Porém, como salentado por Rbas, Lesten e Framñan (2010), em algumas ndústras a necessdade de ncrementar ou equlbrar a capacdade das estações tem levado à duplcação de máqunas. Em outras, a crescente demanda de produtos customzados tem desencadeado a necessdade de comprar máqunas adconas para algumas estações com o objetvo de dedca-las à produção destes produtos. Em qualquer caso, a aqusção das novas máqunas não mplca a remoção do equpamento exstente, o que leva à coexstênca de váras máqunas em váras estações. Esta nova confguração de produção é conhecda como flowshop híbrdo (HFS, pelas sglas em nglês) e é encontrada em dferentes ambentes de manufatura, nclundo produção de revestmentos cerâmcos (Ruz & Maroto, 2006), nserção de componentes eletrôncos em lnhas de montagem de televsão (Yaurma, Burtseva, & Tchernykh, 2009), fabrcação de produtos eletrôncos, ndústra de embalagens, setor farmacêutco, fabrcação de recpentes de vdro, montagem de automóves, montagem de placas de crcuto mpresso (PCB), conformação de metas, entre outros (Chen & Chen, 2009). O HFS pode ser consderado como a combnação de dos problemas partculares de programação da produção: O problema de máqunas paralelas e o problema do Flowshop. No problema de máqunas paralelas, a decsão-chave é a alocação de tarefas a máqunas, enquanto no problema do Flowshop a decsão chave é o sequencamento das tarefas através do chão de fábrca. Portanto, em HFS as decsões chaves são desgnar e programar as tarefas às máqunas em cada estação, sto é, determnar a ordem na qual as tarefas serão processadas nas dferentes máqunas de cada estação segundo um ou város crtéros de otmzação requerdos (Rbas et al., 2010). Urlngs, Ruz e Stützle (2010) ndcam que grande parte da lteratura consdera problemas de programação da produção báscos como uma únca máquna, máqunas paralelas ou flowshop, os quas representam uma versão smplfcada da maora dos ambentes de produção. Por tanto, nesta pesqusa é estudado um HFS que consdera dversas restrções comuns em sstemas reas de produção, mas que na lteratura não são frequentemente estudadas de forma conjunta. Máqunas paralelas não relaconadas: O tempo de processamento das tarefas vara para cada máquna em cada estação; Tempos de preparação dependentes da sequênca: Há uma preparação em cada máquna antes de processar a segunte tarefa, cuja duração depende tanto da tarefa atualmente sendo processada em tal máquna, quanto da tarefa a ser programada; Elegbldade de máqunas: Nem todas as máqunas em cada estação são capazes de processar todas as tarefas (Ruz & Maroto, 2006); Tempos de lberação das máqunas: Nenhuma tarefa pode ncar seu processamento em uma máquna até que tal máquna tenha sdo lberada pelo programa de produção anteror (Urlngs, 2010); Preparações antecpatóras e não antecpatóras: Na maora das vezes, a preparação da máquna pode ser realzada no mesmo momento no qual fca dsponível. No entanto, às vezes a preparação pode ser realzada somente quando tanto a tarefa quanto a máquna estão dsponíves. O prmero caso é denomnado preparação antecpatóra, enquanto o segundo é denomnado preparação não antecpatóra (Nader, Zandeh, & Shraz, 2009); 155

Buffers lmtados: Se não há espaço dsponível no buffer para uma tarefa fnalzada em uma máquna de uma estação dada, então a tarefa deverá permanecer nessa máquna até que um espaço no buffer, ou alguma máquna da segunte estação, encontre-se dsponível (Wang & Tang, 2009); Tempo de transporte entre estações: O tempo de carga e descarga está ncluído no tempo de transporte, o qual é assumdo ser ndependente da tarefa, sto é, somente depende da dstânca a ser percorrda entre duas estações consecutvas (Nader et al., 2009). O crtéro a ser otmzado é o makespan, o qual é de amplo nteresse prátco dado que sua mnmzação é equvalente à maxmzação taxa de utlzação das máqunas (Pnedo, 2008). 2. Descrção do problema Formalmente, um conjunto N de tarefas, N = {1,..., n}, deve ser processado em um conjunto M de estações, M = {1,..., m}. Em cada estação, M, há um conjunto M = {1,..., m} de processadores paralelos não relaconados. Os processadores podem ser máqunas ou buffers, sendo os últmos consderados máqunas especas com tempos de processamento e de preparação guas a zero. E denota o conjunto de processadores capazes de processar a tarefa j, j N, na estação. O parâmetro j rm l ndca o tempo de lberação do processador l, l M, na estação. Cada tarefa deve ser processada por exatamente um dos processadores paralelos em cada estação. O tempo de processamento da tarefa j, no processador l da estação é denotado como p lj. O parâmetro S ljk denota o tempo de preparação entre as tarefas j e k, k N, no processador l da estação. Adconalmente, o parâmetro bnáro A ljk ndca se a preparação entre as tarefas j e k, no processador l da estação é antecpatóra ou não antecpatóra. Operações de transporte entre estações devem ser fetas antes de ncar o processamento de qualquer tarefa, assm t q ndca o tempo de transporte entre as estações e q, q M. O crtéro de otmzação é o max o tempo de fnalzação da tarefa j na últma estação. C, tal que Cmax max{ C j} = e C j ndca A abordagem unfcada de consderar conjuntamente máqunas e buffers como processadores fo utlzada anterormente por Sawk (2000, 2002). Como resultado, o problema de programação da produção com buffers lmtados é transformado em um problema sem buffers, mas com bloqueo. Neste caso, se uma tarefa é fnalzada em um processador de uma estação dada e não há um processador dsponível na segunte estação, a tarefa deve permanecer na estação atual, evtando que o processador possa processar outra tarefa, até que algum processador da segunte estação esteja dsponível. O tempo de bloqueo de uma máquna com tempo de processamento zero denota o tempo de espera da correspondente tarefa no buffer representado por essa máquna. Se esse tempo for zero, a tarefa não precsa esperar no buffer. Um caso especal do HFS é o Flowshop com múltplos processadores (FSMP), no qual as máqunas dsponíves em cada estação são dêntcas. Gupta (1988) mostrou que o FSMP com somente duas estações é NP-Hard, ncluso quando uma das estações contém uma únca máquna. Por tanto, conclu-se que o problema aqu estudado é também NP-Hard. Em decorrênca do anteror, a maora das pesqusas relaconadas com programação da produção em HFS tem se focado no desenvolvmento de métodos heurístcos e meta-heurístcos para encontrar soluções de j N 156

boa qualdade em tempos computaconas acetáves. Mesmo assm, alguns estudos utlzando modelos de programação ntera podem ser menconados. Sawk (2000) apresenta dversos modelos de programação matemátca para o problema de programação da produção em Flowlne flexíves com bloqueo, consderando máqunas paralelas dêntcas e vsando a mnmzação do makespan. Exemplos numércos lustrando a vabldade dos dferentes modelos são resolvdos utlzando o CPLEX 6.5.2 com confguração padrão e tempo lmte de 3.600 segundos. Os resultados encontrados ndcam o solver nem sempre fo capaz de provar a otmaldade da solução encontrada dentro do lmte de tempo consderado. Sawk (2002) apresenta um modelo MIP para a mnmzação do makespan em Flowlnes flexíves com buffers ntermedáros fntos, máqunas paralelas dêntcas e produção em batelada, sto é, produtos dêntcos (do mesmo tpo ou famíla) são programados consecutvamente. O modelo fo mplementado no AMPL e resolvdo pelo CPLEX 7.1. Alguns testes com as confgurações do CPLEX, vsando acelerar o processo de solução, ndcaram que melhores resultados foram atngdos com a estratéga de seleção de nós de busca em profunddade. Fnalmente, o autor destaca que nstâncas de tamanho real precsam de muto tempo computaconal, fazendo nvável sua utlzação em problemas prátcos. Um Flowshop híbrdo e flexível com máqunas paralelas não relaconadas, tempos de preparação dependentes da sequênca, elegbldade de máqunas, restrções de precedênca, tempos de lberação de máqunas e tempos mínmos de transferênca fo estudado em (Ruz, Serfoglu, & Urlngs, 2008). O crtéro de otmzação é o makespan. Um modelo MIP é presentado e resolvdo para nstâncas de pequeno porte, utlzando o solver CPLEX 9.1. Para a resolução de nstâncas de grande porte, tradconas regras de lberação e a heurístca construtva NEH (Nawaz, Enscore, & Ham, 1983) são consderadas. Jungwattanakt, Reodecha, Chaovaltwongse e Werner (2009) estudam um Flowshop híbrdo com máqunas paralelas não relaconadas e tempos de preparação dependentes da sequênca, vsando mnmzar a soma convexa do makespan e o número de tarefas atrasadas. Um modelo MIP é proposto e algumas nstâncas de pequeno porte são consderadas. Para nstâncas de médo e grande porte, métodos heurístcos e meta-heurístcos são testados. O modelo MIP fo mplementado no AMPL e resolvdo com o solver CPLEX 8.0.0. Os resultados do MIP ndcam que somente nstâncas de até 7 tarefas e 4 estações podem ser resolvdas em tempos computaconas acetáves. Entre os métodos heurístcos, as heurístcas construtvas foram superores às smples regras de lberação. Fnalmente, entre as meta-heurístcas o Smulated Annealng apresenta os melhores resultados. 3. Modelo proposto de programação ntera msta Nesta seção apresentamos um modelo de programação ntera msta para o HFS estudado nesta pesqusa. Este modelo está baseado no modelo proposto por Ruz, Şerfoğlu e Urlngs (2008), o qual consdera máqunas paralelas não relaconadas, tempos de preparação dependentes da sequênca, elegbldade de máqunas, restrções de precedênca, tempos de lberação das máqunas e tempos de transferênca entre estações. O modelo apresentado nesta seção não consdera flexbldade, restrções de precedênca nem tempos de transferênca, mas nclu bloqueo devdo ao espaço lmtado de armazenagem ntermedára e tempo de transporte entre estações. Portanto, o modelo proposto não é uma extensão, mas uma varação do modelo orgnal. 157

O modelo é testado em um benchmark de 1.728 nstâncas e os resultados são utlzados para determnar a vabldade e desempenho do modelo proposto como ferramenta de solução. Índces e Conjuntos: j,k,h = tarefas;,q = estações; l = processadores; N = conjunto de tarefas; M = conjunto de estações; M E j = conjunto de processadores paralelos na estação ; = conjunto de processadores elegíves para a tarefa j na estação ; G = conjunto de tarefas que podem ser processadas no processador l da estação : l G = { j l E } Parâmetros: r = data de lberação do processador l da estação ; l p = tempo de processamento da tarefa j no processador l da estação ; lj S = tempo de preparação entre as tarefas j e k no processador l da estação ; ljk t = tempo de transporte entre as estações e q; q A ljk l 1, se a preparação entre as tarefas j e k no processador l da estação é antcpatóra = 0, caso contráro FS( LS ) = Prmera (últma) estação do sstema. Varáves de Decsão: X ljk 1, se a tarefa j precede a tarefa k no processador l da estação = 0, caso contráro C = tempo de fnalzação da tarefa j na estação ; j d = tempo de saída da tarefa j da estação ; j Cmax Sujeto a: = Makespan. h { Gl,0} h j, h k j { N,0} l Ej Ek j k j mn C max (3.1) X ljk = 1, k N, M (3.2) X lkj 1, k N, M (3.3) j N l Ej Ek j k X lhj X ljk, j, k N, j k, M, l Ej E (3.4) k ( Xljk + X lkj ) 1, j N, k = j + 1,..., n, M (3.5) l Ej Ek X l0k 1, M, l M (3.6) k Gl 158

C0 = 0, M (3.7) C + B(1 X ) rm + (1 A ) S + p, k N, M, l E, k ljk l ljk ljk lk k j { G,0}, j k C + B(1 X ) d + S + p, k N, M, l E, k ljk j ljk lk k k ljk 1, k 1, ljk ljk lk j { G,0}, j k C + B(1 X ) C + t + (1 A ) S + p, k N, { M \ FS}, l l l E, j { G,0}, j k d = C X p X (1 A ) S t, 1, k k ljk lk ljk ljk ljk 1, j { N,0} l Ej Ek j { N,0} l Ej Ek j k j k k k N, { M \ FS} l (3.8) (3.9) (3.10) (3.11) d C, k N, { M \ LS} (3.12) k k d = C, k N, = LS (3.13) k k Cmax Ck, k N, = LS (3.14) X {0,1}, j { N,0}, k N, j k, M, l E E (3.15) ljk j k C, d 0, j N, M (3.16) j j A função objetvo, representada por (3.1), vsa à mnmzação do makespan. O conjunto de restrções (3.2) assegura que cada tarefa deve ser precedda somente por uma tarefa em apenas um processador em cada estação. As restrções (3.3) ndcam que cada tarefa deve ter, no máxmo, um sucessor. O conjunto (3.4) ndca que se uma tarefa é processada em uma máquna dada em uma estação, então ela deve ter uma predecessora na mesma máquna. O conjunto de restrções (3.5) evta a ocorrênca de precedêncas cruzadas. O conjunto de restrções (3.6) mpõe que a tarefa fctíca zero pode ser predecessora de, no máxmo, uma tarefa em cada máquna em cada estação. O conjunto de restrções (3.7) smplesmente garante que a tarefa fctíca zero seja fnalzada no tempo zero em todas as estações. O conjunto de restrções (3.8) ndca que nenhuma tarefa pode ncar seu processamento na máquna onde seja desgnada antes que esta seja lberada do programa de produção anteror. O conjunto de restrções (3.9) calcula o tempo de fnalzação de cada tarefa em cada estação, consderando o tempo de saída da tarefa predecessora na mesma estação. O conjunto de restrções (3.10) garante que cada tarefa seja processada subsequentemente em todas as estações. O valor B, utlzado em (3.8)-(3.10), representa um numero muto grande de modo a tornar redundantes as restrções se a varável de desgnação for zero. O conjunto de restrções (3.11) calcula o tempo de saída de cada tarefa de cada estação. O conjunto de restrções (3.12) garante que nenhuma tarefa possa sar de uma estação até que seu processamento nesta estação seja fnalzado. O conjunto de restrções (3.13) ndca que cada tarefa sa do sstema assm que seu processamento na últma estação seja fnalzado. O conjunto de restrções (3.14) defne o makespan. Fnalmente, os conjuntos (3.15) e (3.16) smplesmente defnem as varáves de decsão. 159

3.1. Exemplo Ilustratvo De forma lustratva, apresentamos uma nstânca exemplo com cnco 5 tarefas e 3 estações. As estações 1 e 3 são estações de processamento, enquanto a estação 2 é uma estação de armazenagem ntermedára. O número de processadores paralelos não relaconados é 2, 1 e 2, para a prmera, segunda e tercera estação respectvamente. Os tempos de lberação dos processadores na estação 1 são 163 e 182, respectvamente; 26 para o processador na estação 2 e, fnalmente, 183 e 127 para os processadores na estação 3. O tempo de transporte entre as estações 1 e 2 é 7, enquanto o tempo entre as estações 2 e 3 é 8. Todas as preparações são consderadas não antecpatóras. As demas nformações da nstânca exemplo são apresentadas na Tabela 1 e Tabela 2. O símbolo - ndca que o processador não é capaz de processar a correspondente tarefa. Estação 1 2 3 Processador 1 2 3 4 5 Tarefa 1 10 16 0-76 2-97 0-74 3-95 0 85 39 4-49 0 93-5 96-0 68 - Tabela 1: Tempos de processamento de cada tarefa em cada máquna elegível. Processador 1 Processador 2 Tarefa 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 - - - - 39-48 51 62-2 - - - - - 51-33 47-3 - - - - - 63 41-29 - 4 - - - - - 71 33 38 - - 5 72 - - - - - - - - - 0 52 - - - 28 53 40 59 32 - Processador 4 Processador 5 1 - - - - - - 70 45 - - 2 - - - - - 70-29 - - 3 - - - 56 31 72 30 - - - 4 - - 68-34 - - - - - 5 - - 53 50 - - - - - - 0 - - 52 45 45 41 37 53 - - Tabela 2: Tempos de preparação entre pares de tarefas em cada processador. Para o processador 3 todos os tempos são zero, pos representa um buffer. O makespan ótmo desta nstânca é 620. A Fgura 1 mostra um dos programas de produção ótmo para esta nstânca. Note que depos de termnar seu processamento no processador 1, a tarefa cnco permanece na estação 1 bloqueando o processador, mesmo quando o buffer está dsponível. No entanto, transferr a tarefa cnco para o buffer assm que termnar seu processamento no processador 1 não terá efeto sobre o valor do makespan, dado que o buffer está ocoso desde o momento da sua lberação. O resultado desta mudança no programa de produção será a lberação mas cedo do processador 1 e o aumento do tempo de espera da tarefa 5 160

no buffer. Note também que as tarefas 1, 2 e 4 passaram dretamente desde a estação 1 até a estação 3, pos os processadores elegíves desta estação estavam dsponíves quando as tarefas fnalzaram seu processamento na estação 1, fazendo desnecessára a armazenagem ntermedára das tarefas. Fnalmente, note que a preparação em cada processador somente começa depos do transporte da tarefa desgnada desde a estação anteror. 10 u.t. 33 u.t. Processador 1 163 u.t. 52 u.t. 39 u.t. 96 u.t. Estação 1 Processador 2 182 u.t. 32 u.t. 49 u.t. 33 u.t. 97 u.t. 33 u.t. 95 u.t. 8 u.t. 16 u.t. Estação 2 Processador 3 (Buffer) 26 u.t. Processador 4 183 u.t. 45 u.t. 93 u.t. 34 u.t. 68 u.t. Estação 3 Processador 5 127 u.t. 41 u.t. 76 u.t. 70 u.t. 74 u.t. 29 u.t.39 u.t. Tempo de lberação Preparação Bloqueo Tarefa 1 Tarefa 2 Tarefa 3 Tarefa 4 Tarefa 5 Fgura 1: Gráfco de Gantt do exemplo lustratvo. Fatores Símbolo Valores Número de tarefas n 5, 7, 9, 11 Número de estações m 3, 5, 7 Número de processadores paralelos em estações de processamento m 2, 3 Número de processadores paralelos em estações buffers Probabldade de um processador ser elegível Dstrbução dos tempos de preparação Probabldade da preparação ser antecpatóra 4. Avalação Computaconal 0 31 62 93 124 155 186 217 248 279 310 341 372 403 434 465 496 527 558 589 620 m b 2, m Tabela 3: Fatores consderados no conjunto de nstâncas de pequeno porte PE j 0.5, 1 DS ljk U[25,74], U[75,125] PA ljk 0, 0.50, 1 O modelo de programação ntera msta fo mplementado na lnguagem GAMS e resolvdo utlzando o solver CPLEX 12 em um notebook com processador Intel Core 5 2.67 GHz com 4 Ggabytes de memóra RAM. O tempo máxmo de execução fo confgurado em 3.600 segundos para cada nstânca. Os fatores consderados para a geração das nstâncas de teste são mostrados na Tabela 3. 2 4 O número total de combnações é 4 3 2 = 576. Foram fetas 3 réplcas por combnação, por tanto há um total de 1.728 nstâncas. A dstrbução dos tempos de processamento é fxada em U[1,99], a dstrbução dos tempos de lberação dos processadores é fxada em U[1,200] e, fnalmente, a dstrbução dos tempos de transporte é fxada em U[1,10]. É mportante destacar que quando as nstâncas foram geradas, fo garantdo que em cada estação 161

de processamento cada tarefa tvesse, no mínmo, um processador elegível, sto é, E 1. Já no caso de estações buffer, consderou-se que todos eles são elegíves para todas as tarefas, assm E = b. j Na Tabela 4 são apresentados os resultados consoldados do modelo. Cada célula representa a méda para cada tamanho de nstânca. Adconalmente, é mostrada a percentagem de nstâncas para as quas uma solução ótma fo encontrada dentro do lmte de tempo (%Ótmo); a percentagem de nstâncas para as quas uma solução ntera factível fo encontrada (%IntSol); a percentagem de nstâncas para as quas nenhuma solução ntera factível fo encontrada dentro do tempo lmte (%NãoSol). m n 3 5 7 %Ótmo 100,00 100,00 100,00 5 %IntSol 0,00 0,00 0,00 %NãoSol 0,00 0,00 0,00 %Ótmo 100,00 97,92 86,81 7 %IntSol 0,00 2,08 9,72 %NãoSol 0,00 0,00 3,47 %Ótmo 94,44 52,08 22,92 9 %IntSol 5,56 46,53 70,83 %NãoSol 0,00 1,39 6,25 11 %Ótmo 40,97 13,19 1,39 %IntSol 59,03 81,94 79,17 %NãoSol 0,00 4,86 19,44 Tabela 4: Resultados consoldados Modelo MIP. Como observado, todas as nstâncas de cnco tarefas são resolvdas até otmaldade, ndependentemente do número de estações. Como esperado, a dfculdade na resolução das nstâncas aumenta na medda em que o número de tarefas e estações aumenta. Note também que, aumentar o número de tarefas reduz em maor proporção a percentagem de nstâncas resolvdas até otmaldade em comparação com a redução gerada quando aumentarmos o número de estações. Este comportamento é um ndíco da maor relevânca do número de tarefas na dfculdade das nstâncas e, por tanto, na dfculdade para encontrar uma solução ótma. A Fgura 2 lustra claramente esta stuação. j %Instâncas resolvdas até o ótmo 100 80 60 40 20 Tarefas 5 7 9 11 0 3 5 7 Estações Fgura 2: Percentagem de nstâncas resolvdas até o ótmo: Tarefas vs. Estações. 162

Em relação ao tempo computaconal, como esperado, aumentar o número de tarefas e estações aumenta consderavelmente o tempo requerdo para encontrar uma solução ótma. A análse do tempo médo permte dentfcar que a partr de certos valores para o número de tarefas e o número de estações, o tempo utlzado torna-se probtvo. Em partcular, para nstâncas além de nove tarefas e cnco estações, atngr uma solução ótma é nvável desde o ponto de vsta prátco, dado a quantdade de tempo requerda. A Fgura 3 lustra melhor o comportamento de tempo médo utlzado pelo solver como função do número de tarefas e estações. Nesta fgura, é possível observar como o solver requer menor tempo para resolver nstâncas com maor número de processadores paralelos, o qual ndca uma menor dfculdade para resolver tas nstâncas. Em resumo, o solver encontrou ao menos uma solução ótma em 1.166 nstâncas. Para 511 nstâncas, encontrou uma solução ntera factível dentro do lmte de tempo de execução de 3.600 segundos. Fnalmente, para as restantes 51 nstâncas nenhuma solução ntera factível fo encontrada depos de uma hora de execução. Estes resultados são apresentados grafcamente na Fgura 4. 1600 1400 Tempo Médo (Segundos) 1200 1000 800 600 400 200 m=2 m=3 0 3 5 7 3 5 7 3 5 7 3 5 7 5 7 9 11 Número de tarefas e estações Fgura 3: Tempo Médo utlzado pelo solver para encontrar uma solução ótma. 511 30% 51 3% 1166 67% Ótmo Solução Intera Factível Sem Solução Factível Fgura 4: Resumo geral do modelo MIP A Tabela 5 mostra claramente como o gap médo é relatvamente alto, osclando entre 22,25% e 56,67%. Em geral, o gap tende a ser maor com o aumento do número de tarefas e 163

estações. Este comportamento era esperado porque, como mostrado pela Tabela 4, quanto maor número de tarefas e estações, maor a dfculdade teve o CPLEX para resolver as nstâncas. Por outro lado, o gap para nstâncas de três processadores paralelos por estação é menor que o gap de nstâncas com dos processadores paralelos. Esta últma observação, junto com o menor tempo computaconal requerdo por nstâncas com três processadores paralelos (Fgura 3), permte conclur que a dfculdade das nstâncas ncrementa com o aumento do número de tarefas e estações, porém tende a reduzr quando há um maor número de processadores paralelos por estação de processamento. m 2 3 n m b 1 2 2 3 7 5 24,28 47,02 - - 7 7 31,85 27,43 31,56-9 3 24,34 52,11-22,25 9 5 39,13 26,49 26,49 22,67 9 7 41,87 35,48 34,08 29,38 11 3 33,99 39,45 33,57 27,60 11 5 52,10 46,29 43,17 42,61 11 7 56,67 50,27 44,66 42,72 Tabela 5: Gap Médo de nstâncas com solução ntera factível sem garanta de otmaldade. 5. Conclusões e perspectvas futuras Nesta pesqusa um modelo MIP fo apresentado para resolver o problema de programação da produção em Flowshop Híbrdo com máqunas paralelas não relaconadas, tempos de preparação antecpatóros e não antecpatóros dependentes da sequênca, tempos de transporte entre estações, buffers lmtados e elegbldade de máqunas, vsando mnmzar o makespan. O modelo fo testado em um conjunto de 1.728 nstâncas com tempo lmte de 3.600 segundos. Os resultados encontrados ndcam que o modelo é computaconalmente vável para nstânca de até nove tarefas e cnco estações. Em termos geras, o CPLEX encontrou ao menos uma solução ótma para 1.166 nstâncas. Para 511 nstâncas, encontrou ao menos uma solução ntera factível e, fnalmente, para as restantes 51 nstâncas nenhuma solução ntera factível fo encontrada depos de 3.600 segundos. Como trabalho futuro, pretende-se mplementar e utlzar métodos meta-heurístcos para resolver o problema estudado. Estes métodos precsam maor tempo computaconal que outros métodos mas smples, como as heurístcas, mas em contrapartda espera-se encontrar soluções de melhor qualdade para nstâncas de qualquer tamanho. 6. Agradecmentos Os autores agradecem ao programa de pós-graduação em Engenhara de Produção da Unversdade Federal de São Carlos campus Sorocaba e à CAPES pelo apoo fnancero. 7. Referêncas Chen, C., & Chen, C. (2009). A bottleneck-based heurstc for mnmzng makespan n a flexble flow lne wth unrelated parallel machnes. Computers & Operatons Research, 36(11), 3073 3081. do:10.1016/j.cor.2009.02.004 Gupta, J. N. D. (1988). Two-Stage, Hybrd Flowshop Schedulng Problem. The Journal of the Operatonal Research Socety, 39(4), 359 364. 164

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