Guilherme Luiz Moritz 1 1 DAELT - Universidade Tecnológica Federal do Paraná 28 de outubro de 2013
Permanência 5 as e 6 as pela manhã Agendar com antecedência moritz@utfpr.edu.br http://paginapessoal.utfpr.edu.br/moritz
Avaliação As avaliações consistirão de 2 provas escritas (P1, P2), sendo a P2 uma prova substitutiva (todo o conteúdo), nota de laboratório (ML) e nota da implementação da planta de temperatura (T 1). A fórmula para cálculo da nota parcial é: MP = 0.3P1 + 0.3ML + 0.3PM + 0.1MA (1) P2 é uma prova de recuperação de nota. Desta maneira, PM pode ser de acordo com a vontade do aluno: PM = P1 ou PM = (P1 + P2)/2. P2 também pode substituir T 1 A nota de laboratório equivale a 30% da nota total e será constituída de 60% referentes aos relatórios, e 40% atribuídos à frequência e desenvolvimento das tarefas realizadas em laboratório.
Cópia de listas e atrasos na entrega Caso seja detectada cópia na lista de exercícios, toda a lista será invalidada, tanto do(a) aluno(a) que forneceu o material quanto do(a) aluno(a) que copiou. O prazo de entrega das listas será de 1 semana. Listas atrasadas serão aceitas caso o atraso não exceda uma semana, mas haverá desconto de 50% na nota. Listas com atrasos superiores a uma semana não serão aceitas.
Plano de aula Plano de Aula
Introdução Resposta em frequência Resposta em regime estacionário de um sistema submetido a um sinal senoidal. (Nyquist, 1932. Bode, 1945. Evans, 1953) Figura : Harry Nyquist Figura : Hendrik Wade Bode
Metodologia Varia-se a frequência de um sinal senoidal de entrada e estuda-se os efeitos resultantes. O sinal variará em amplitude e fase. Vantagens: Análise de estabilidade através do critério de Nyquist Determinação experimental de funções de transferência via análise da resposta em frequência Projetos de sistemas de controle robusto a presença de ruído
Resposta em regime permanente Considere o seguinte sistema: A função de transferência é: G(s) = Y (s) X(s) (2)
Resposta em regime permanente Num sistema estável, se a entrada for: x(t) = Xsen(ωt) (3) a saída será: com y(t) = Ysen(ωt + φ) (4) Y = X G(jω) (5)
Resposta em regime permanente Neste caso, o ângulo da função de transferência é: [ ] Imag(G(jω)) φ = G(jω) = arctg Real(G(jω)) (6)
Resumindo e G(jω) = Y (jω) X(jω) G(jω) = Y (jω) X(jω) Desta maneira, para determinar-se a resposta em frequência, deve-se calcular: G(jω) = Y (jω) (9) X(jω) (fazer s = jω na função de transferência) (7) (8)
Representação gráfica da resposta em frequência Podemos representar a resposta em frequência graficamente. Controle 1: Bode Controle 2: Adiciona-se Nyquist
Porque estudar a resposta em frequência do sistema Apesar das especificações transitórias aparecerem indiretamente, é fácil obter a resposta experimentalmente. A resposta em frequência de um sistema LTI é uma descrição completa do sistema Os sistemas desenvolvidos tem dependência fraca do o modelo, ao contrário da técnica do lugar das raízes.
Sistema de Fase Mínima e Não Mínima Funções de transferência que não possuam pólos ou zeros no semiplano direito do plano complexo s são funções de transferência de fase mínima. Funções de transferência que possuam pólos e/ou zeros no semiplano direito do plano complexo s são funções de transferência de fase não-mínima
Diagrama de Nyquist Gráficos Polares O gráfico polar, ou diagrama de Nyquist, é um gráfico do módulo de G(jω) versus o ângulo de fase de G(jω) em coordenadas polares, quando ω varia de zero a infinito. Ângulos de fase positivo Sentido horário
Características do Diagrama de Nyquist Cada ponto do diagrama de Nyquist de G(jω) representa o ponto terminal de um vetor, para um valor particular de ω. No diagrama de Nyquist é importante indicar a graduação da frequência do lugar geométrico. As projeções de G(jω) no eixo real e imaginário corresponde as suas componentes reais e imaginária. Uma vantagem do gráfico polar é que o mesmo ilustra as características da resposta em frequência em um único gráfico. Uma desvantagem é que o gráfico polar não indica claramente as contribuições de cada um dos fatores individuais da função de transferência de malha aberta.
Diagrama de Nyquist via Matlab nyquist(num, den) nyquist(num, den, w) [re, imag] = nyquist(num, den) [re, imag] = nyquist(num, den, w) nyquist(a, B, C, D) num e den é o numerador e denominador da função G(s) respectivamente. A, B, C, D são as matrizes de um dado sistema descrito na forma de espaço de estado.
Critério de estabilidade de Nyquist Peliminares: O critério de Nyquist analisa a estabilidade de um sistema em malha fechada analisando a função de transferência de malha aberta.
Critério de estabilidade de Nyquist Seja: e então e e G(s) = N G D G H(s) = N H D H G(s)H(s) = N GN H D G D H 1 + G(s)H(s) = 1 + N GN H D G D H = D GD H + N G N H D G D H T (s) = G(s) 1 + G(s)H(s) = N G D H D G D H + N G N H
Mapeamento de planos Mapeamento Se pegarmos um numero complexo no plano S e substituirmos seu valor numa função F(s), teremos outro número complexo. Este processo é chamado mapeamento. Exemplo) Se substituirmos s = 4 + j3 na função F(s) = (s 2 + 2s + 1) temos 16 + j30. Então dizemos que 4 + j3 se mapeia em 16 + j30 através de F (s) = s 2 + 2s + 1
Mapeamento de Pontos
Mapeamento de contornos
Efeitos da posição dos pólos e zeros no contorno Exemplo...
Efeitos da posição dos pólos e zeros no contorno
Efeitos da posição dos pólos e zeros no contorno
Efeitos da posição dos pólos e zeros no contorno
Desenvolvimento do critério de Nyquist Suponha que o contorno escolhido para o mapeamento seja todo o plano S direito Qual será o formato do mapeamento? Porque este método é considerado um método de resposta em frequência? N = P Z (10) Onde N é o número de voltas anti horárias do mapeamento em torno da origem, P são os pólos de 1 + G(s)H(s) e Z são os zeros de 1 + G(s)H(s)
Recapitulando Seja: e então e e G(s) = N G D G H(s) = N H D H G(s)H(s) = N GN H D G D H 1 + G(s)H(s) = 1 + N GN H D G D H = D GD H + N G N H D G D H T (s) = G(s) 1 + G(s)H(s) = N G D H D G D H + N G N H
Critério de Nyquist
Exemplo 60 Nyquist Diagram 40 Imaginary Axis 20 0 20 40 60 20 0 20 40 60 80 100 Real Axis
Margem de fase e ganho 3 2 Nyquist Diagram Imaginary Axis 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 Real Axis
Margem de fase e ganho 3 Nyquist Diagram 2 Imaginary Axis 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 Real Axis
Margem de fase e ganho 3 Nyquist Diagram 2 Imaginary Axis 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 Real Axis