Departamento de Engenhara Mecânca Área Centífca de Mecânca Aplcada e Aeroespacal Mecânca Aplcada II MEMEC+LEAN e MEAER 2 a Época 2 o semestre 2011/12 Duração: 3h00m 28/06/2012 Instruções: Justfque todas as respostas e ndque todos os cálculos ntermédos. Indque as undades nas soluções. Grupo I 5 valores A fgura abaxo representa o regulador de velocdade desenvolvdo em 1788 por James Watt. Admta que o regulador se encontra a grar com uma velocdade angular constante N = 90 rpm e que o comprmento das hastes é L = 15 cm. Desprezando a massa de todos os elementos em rotação excepto das esferas B e D, calcule o valor do ângulo α e determne para que gama de valores não nulos da velocdade angular o equlíbro da haste é possível. Fgura 1: Grupo I 1 de 9
Resolução: N=cte: Fazendo o balanço de forças segundo x, tem-se que: P sn α + F x cos α = 0. (1) Mas, P = mg, F x = ma x = m(lω 2 sn α). Portanto, a equação (1) vem: donde, se α 0, mg sn α + m(lω 2 sn α) cos α = 0, cos α = Para L = 0,15 m, ω = 90 rpm = 3π rad/s, obtém-se: cos α = 9,81 = 0,74 α = 42,6o 0,15(3π) 2 Para α 0, temos cos α < 1, e assm, de (2): g Lω 2. (2) ω 2 > g L Logo: ω > 9,81m/s 0,15m = 8rad/s = 76,4rpm. 2 de 9
Grupo II 5 valores Uma força de 22 N é aplcada num plano horzontal e perpendcularmente à pega da manvela. A engrenagem dentro da caxa do aparelho, com a respectva manvela, têm uma massa de 1,8 kg e um rao de gração em torno do seu exo de 72 mm. A pedra de esmerl, nclundo o exo e a respectva lgação, tem uma massa de 5,5 kg e um rao de gração de 54 mm em torno do seu exo. Se a engrenagem tver uma razão de velocdades de 4:1, calcular a velocdade N da pedra de esmerl após 6 revoluções completas, sabendo que o mecansmo parte do repouso. Fgura 2: Grupo II Resolução: 3 de 9
Grupo III 6 valores A fgura que se encontra na págna segunte representa esquematcamente um ndcador de curva de uma aeronave. O dsco gra com uma velocdade angular constante ω z e encontra-se lgado ao mostrador do ângulo θ através de uma mola de torção com constante k, montada num exo horzontal. A mola encontra-se ndeformada para θ = 0, ou seja, quando o plano xy que contém o dsco se encontra na vertcal, correspondendo esta stuação a voo rectlíneo. Quando a aeronave nca uma curva com velocdade de rotação constante Ω, o dsco abandona a posção vertcal e fxa-se numa posção de equlíbro caracterzada pelo ângulo θ. Fgura 3: Grupo III Assuma que a aeronave permanece na horzontal durante a curva. homogéneo, de massa m e rao R. Consdere o dsco Desenhe o dagrama de corpo lvre correspondente para, desprezando termos envolvendo Ω 2, determnar a expressão que permte calcular a taxa de vragem Ω em função do ângulo θ, e faça uma aplcação numérca para os seguntes valores: m = 200 g, R = 50 mm, ω z = 10000 rpm, k = 6,55 10 3 Nm e θ = 60 o. 4 de 9
Resolução: 5 de 9
Grupo IV 4 valores Consdere a transformação de coordenadas (x, y) (r, s) defnda por { x = cosh r cos s y = snh r sn s a) Mostre que as lnhas coordenadas r são hpérboles e as lnhas coordenadas s são elpses; b) Mostre que ambos os factores de escala são dados por: h r = h s = snh 2 r cos 2 s + cosh 2 r sn 2 s ( ) = snh 2 r + sn 2 s = cosh 2 r cos 2 s c) Uma partícula desloca-se numa trajectóra elíptca com velocdade v = 10 e s. Determne as componentes físcas em (r, s) da aceleração da partícula num ponto genérco da trajectóra. Nota: recorde que (snh z) = cosh z, (cosh z) = snh z, cosh 2 z snh 2 z = 1. 6 de 9
Resolução: 7 de 9
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Formuláro Dsco fno: Ī z = 1 2 MR2 Ī x = Īy = 1 4 MR2 T 1... p j = 1...j (sgnx)α X k X 1 q 1... X p p X j 1 j... X jq 1 j T 1... p p j 1...j q e () = e h h = e v () = v () = h v = 1 h v k a = a x k + Γ jka j k a = a x k Γj k a j Em coordenadas ortogonas (e com j k): Γ jk = 0 Γ j = 1 h h x j Γ jj = h j 2 h h j x Γ = 1 h h x. grad φ = k φ k e dva 1 ( ) = g g A lap φ = 1 ( g g k φ ) x g x x k (rot V ) () = 1 h (hv (k)) k g x j (hv (j) ) j x k (, j, k) em permutações cíclcas Velocdade: v = ẋ Aceleração: a k = Dvk dt = dx dt v k = dvk dt + v v j Γ k j = ẍ k + ẋ ẋ j Γ k j 9 de 9