Aula 6 Transformada de Laplace

Aula 6 Transformada de Laplace

Introdução Propriedades da Transformada de Laplace Tabela Transformada ade Laplace Transformada Inversa de Laplace Função de transferência

Definição: X s = L x t = s é uma variável complexa: s = σ + jω x(t)e st dt O resultado do cálculo da integral é função de s; O sinal x(t) e a sua Transformada de Laplace X(s) (e uma região de convergência) formam um par, expresso por: x(t) L X(s)

Seja X(s) uma função racional de s: X s = N(s) D(s) = b 0s m + b 1 s m 1 + + b m a 0 s n + a 1 s n 1 = b 0 s z 1 (s z m ) + + a n a 0 s p 1 (s p n ) Pólos são raízes do polinômio do denominador, D(s): p 1 pn Zeros são raízes do polinômio do numerador, N(s): z 1 z n A função racional X(s) é dita ser própria se n > m A RDC não contém pólos, pois X(s) não converge nos pólos X(s) pode ser especificada completamente por seus zeros e pólos Graficamente, os pólos são representados por x e zeros por o

Exemplo 1: y t = e 2t u(t) + e 3t u(t) e 2t u(t) L 1 s+2, Re s > 2 e 3t u(t) L 1, Re s > 3 s+3 Y s = L e 2t u(t) + L e 3t u(t) Y s = 1 s + 2 + 1, RDC: [Re s > 2] [Re s > 3] s + 3 Y s = 2s + 5, Re s > 2 (s + 2)(s + 3)

Exemplo 2: y t = e 2t u( t) + e 3t u(t) e 2t u( t) L 1 s 2, Re s < 2 e 3t u(t) L 1, Re s > 3 s+3 Y s = L e 2t u( t) + L e 3t u(t) Y s = 1 s 2 + 1, RDC: [Re s < 2] [Re s > 3] s + 3 Y s = 5, 3 < Re s < 2 (s 2)(s + 3)

Exemplo 3: y t = e 2t [u t u t 5 ] e 2t u(t) L 1 s+2, Re s > 2 e 2 t 5 u(t 5) L e 5s 1, Re s > 2 s+2 Y s = L e 2t u(t) L e 2t u t 5 = L e 2t u(t) L e 10 e 10 e 2t u t 5 Y s = 1 s + 2 e 10 e 5s, todo plano s s + 2 Y s = 1 e 5(s+2) (s + 2), todo plano s

Transformada Inversa de Laplace X(s) e RDC x(t) única Metódos Inversão pela Definição Inversão pela Expansão em Frações Parciais Polos de Primeira Ordem polos distintos Polos de n-ésima Ordem polos repetidos

Fórmula Geral da Transformada Inversa de Laplace : x t = 1 2πj s X(s)e st ds que é uma integral de contorno no plano complexo s A solução desta integral pode ser obtida pelo Teorema de Resíduo de Cauchy Embora esta fórmula calcule a Transformada Inversa de Laplace, na prática usa-se procedimentos mais simples de busca em tabelas, para transformadas na forma racional

Uma transformada de Laplace é dita racional se ela é uma razão de polinômios em s: X s = N(s) D(s) = k s z 1 (s z m ) s p 1 (s p n ) Se X(s) for função racional própria (m < n), então ela pode ser invertida usando a expansão em frações parciais. Pólos simples (distintos): Os coeficientes são dados por: X s = k s z 1 (s z m ) s p 1 (s p n ) = c 1 s p 1 + + c n s p n c i = s p i X(s) s=pi

Uma transformada de Laplace é dita racional se ela é uma razão de polinômios em s: X s = N(s) D(s) = k s z 1 (s z m ) s p 1 (s p n ) Se X(s) for função racional própria (m < n), então ela pode ser invertida usando a expansão em frações parciais. Pólos múltiplos (repetidos): X s = k s z 1 (s z m ) s p 1 (s p 1 ) = k s z 1 (s z m ) s p r 1 Os coeficientes são dados por: k i = 1 i! d i ds i [ s p i r X(s)] s=pi = k r 1 k 0 + + s p 1 (s p n ) r

Exemplo 1: Resolução: X s = 2s + 4 s 2, Re s > 1 + 4s + 3 X s = 2s + 4 s 2 + 4s + 3 = c 1 s + 1 + c 2 s + 3 c 1 = s + 1 X(s) s= 1 = 2s + 4 s + 3 s= 1 = 1 Como a RDC é Re(s) > 1, então a x(t) é unilateral direito: 2s + 4 c 2 = s + 3 X(s) = = 1 s= 3 s + 1 s= 3 X(s) = 1 s + 1 + 1 s + 3 x t = e t u t + e 3t u(t)

Exemplo 2: Resolução: X s = 2s + 4 s 2, Re s < 3 + 4s + 3 X s = 2s + 4 s 2 + 4s + 3 = c 1 s + 1 + c 2 s + 3 c 1 = s + 1 X(s) s= 1 = 2s + 4 s + 3 s= 1 = 1 2s + 4 c 2 = s + 3 X(s) = = 1 s= 3 s + 1 s= 3 X(s) = 1 s + 1 + 1 s + 3 Como a RDC é Re s < 3, então a x(t) é unilateral esquerdo: x t = e t u t e 3t u( t)

Exemplo 3: Resolução: X s = 2s + 4 s 2, 3 < Re s < 1 + 4s + 3 X s = 2s + 4 s 2 + 4s + 3 = c 1 s + 1 + c 2 s + 3 c 1 = s + 1 X(s) s= 1 = 2s + 4 s + 3 s= 1 = 1 Como a RDC é Re s < 3, então a x(t) é bilateral: 2s + 4 c 2 = s + 3 X(s) = = 1 s= 3 s + 1 s= 3 X(s) = 1 s + 1 + 1 s + 3 x t = e t u t + e 3t u(t)

Exemplo 4: Resolução: X s = s2 + 2s + 5 (s + 3)(s + 5) 2, Re s > 3 X s = c 1 s + 3 + k 1 s + 5 + k 0 (s + 5) 2 = 2 s + 3 1 s + 5 10 c 1 = s + 3 X(s) s= 3 = s 2 + 2s + 5 (s + 5) 2 k 0 = s + 5 2 X(s) = 10 s= 5 s= 3 (s + 5) 2 k 1 = d ds [ s + 5 2 X(s)] = d + 2s + 5 s= 5 ds [s2 ] = 1 s + 3 s= 5 Como a RDC é Re(s)>-3, x(t) é unilateral direito: = 2 x t = 2e 3t t e 5t u t 10te 5t u(t)

Função de transferência, ou Função Sistema, é definida como a Transformada de Laplace da Resposta Impulsiva de um SLIT; y t = x t h t L Y s = X S H(s) H s = Y s X(s) x(t) h(t) y(t) X(s) H(s) Y(s)

Algumas propriedades dos SLIT s podem ser associadas às características de H(s) no plano s: Causalidade: a RDC deve ser a região à direita de todos os pólos Estabilidade: a RDC deve conter o eixo vertical s = jω Sistemas causais e estáveis: Todos os pólos da função de transferência destes sitemas devem estar no semi-plano esquerdo do plano s (todos com partes reais negativas) e a RDC deve conter o eixo vertical Re s > σ máx σ máx < 0

Relembrando: Equação diferencial geral que descreve um sistema: d N y(t) dt N + a d N 1 y(t) dy t 1 dt N 1 + + a N 1 dt = b N M d M x t dt M + b N M+1 d M 1 x t dt M 1 + a N y(t) + + b N 1 dx t dt + b N x(t) Aplicando a Transformada de Laplace e considerando as condições iniciais nulas: s N Y s + a 1 s N 1 Y s + + a N Y s = b N M s N X s + b N M 1 s M 1 X s + + b N X s H s = Y(s) X(s) = b N Ms N + b N M 1 s M 1 + + b N s N + a 1 s N 1 + + a N

i(t) Circuito RC: Entrada: x t = v s t Saída: y t = v c t Aplicando Laplace: dy(t) dt + 1 1 y t = x t RC RC sy s + 1 1 Y s = X s RC RC AC + v s (t) - R + v c (t) - C Aplicando inversa: H s = Y(s) X(s) = 1/RC s + 1/RC h t = 1 RC e t/rc u(t)

Circuito RLC: Usando L = 1 H, R = 3 Ω e C = 0,5 F, determine a função de transferência do circuito considerando v s (t) como sinal de entrada e v c (t) como sinal de saída. Pode-se realizar a análise do circuito no domínio da frequêcia fazendo as considerações: v(t) i(t) R L C V(s) I(s) R sl 1/sC AC i(t) + v s (t) - R L + v c (t) - C

Circuito RLC: Usando L = 1 H, R = 3 Ω e C = 0,5 F, determine a função de transferência do circuito considerando v s (t) como sinal de entrada e v c (t) como sinal de saída. H s = Y S = H S = Y(s) X(s) = 1 src + s 2 LC + 1 = 1 sc R + sl + 1 X(s) sc 1 sc R + sl + 1 sc 1/LC s 2 + sr L + 1/LC = AC i(t) + v s (t) - 2 s 2 + 3s + 2 R L + v c (t) - C

LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. Ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 856 p. ISBN 9788560031139 HAYKIN, Simon S. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p.