e Variáveis Aleatórias Charles Casimiro Cavalcante charles@gtel.ufc.br Grupo de Pesquisa em Telecomunicações Sem Fio GTEL Universidade Federal do Ceará UFC http://www.gtel.ufc.br
Parte I Revisão de
A palavra probabilidade deriva do latim probare (provar ou testar). Informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como sorte, risco, azar, incerteza, duvidoso, dependendo do contexto. Wikipedia
Conceitos básicos Incerteza Probabiĺıstico/Estatístico Incertezas objetivas são mensuráveis Lógica nebulosa (fuzzy) difíceis de quantizar S = espaço amostral Conjunto dos resultados possíveis de um determinado experimento Exs: moeda: S = {cara, coroa} (espaço discreto) dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (espaço discreto) S = {x R 0 x 1} (espaço contínuo)
Campo de Borel F = campo (classe) de Borel Deve satisfazer 1 Fechado em relação à complemento A F A F (1) 2 Fechado quanto à adição A F B F } (A + B) F (2) Ex: moeda: F = {{cara}, {coroa}, S, } dado: F = {{par}, {ímpar}, S, }
Campo de Borel - cont. Propriedades de F 1 S F pois A F A F S = (A + A) F 2 Se A F e B F A,B F Teorema de De Morgan A B = A + B A F,B F (A + B) F A + B F A B F 3 F A F A F A,A F F
Eventos probabiĺısticos Evento Definição: Qualquer subconjunto de S que constitui F Eventos mutuamente independentes Quando a ocorrência de um impossibilita a ocorrência do outro Exemplo: Dado A = {par} A B = (eventos mutuamente exclusivos) B = {impar}
Definição de probabilidade (Definição Axiomática) É qualquer função real definida na classe F tal que 1 Pr(A) 0 2 Pr(S) = 1 3 Se A B = Pr(A + B) = Pr(A) + Pr(B) (eventos mutuamente exclusivos) Assim, Pr( ) : F R
Definições alternativas de probabilidade Outras definições de probabilidade Clássica ( preditiva ): Pr(A) = n A N em que n A é o número de possibilidades de ocorrências de A e N é o número total de ocorrências Freqüencial n A Pr(A) = lim N N (aplicação maior em eventos discretos)
Propriedades de probabilidade Propriedades da probabilidade 1 Pr( ) = 0 Pr(A) = Pr(A + ) = Pr(A) + Pr( ) Pr( ) = 0 2 Pr(A) = 1 Pr(A) Pr(S) = Pr(A + A) = 1 Pr(A) + Pr(A) = 1 Pr(A) = 1 Pr(A) 3 Pr(A + B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) A + B = A + AB + AB = A + AB mas A e AB são mutuamente exclusivos 4 Se A B Pr(A) Pr(B) B = A + AB, A (AB) = Pr(B) = Pr(A) + Pr(AB) {z } 0
condicional condicional de ocorrência de A dado que ocorreu B Pr(A B) é probabilidade, pois Pr(A B) Pr(AB), Pr(B) > 0 (3) Pr(B) Pr(A B) = Pr(AB) Pr(B) 0 Pr(S B) = 1 Para A C = Pr [(A + C) B] = Pr(A B) + Pr(C B)
Regra da probabilidade total Teorema da probabilidade total Sejam A 1,A 2,A 3,...,A n eventos mutuamente exclusivos Pr(A i ) > 0, i = 1,2,...,n B {A 1 + A 2 + + A n } A A A A B A A...
Regra da probabilidade total - cont. Teorema da probabilidade total - cont. Pr(B) = Pr(BA 1 ) + Pr(BA 2 ) + + Pr(BA n ) pois B = BA 1 + BA 2 + + BA n }{{} mutuamente exclusivos Pr(B) = Pr(B A 1 )Pr(A 1 ) + + Pr(B A n )Pr(A n ) total Pr(B) = n Pr(B A i )Pr(A i ) (4) i=1
Regra de Bayes Regra de Bayes Inverso do conceito da probabilidade total Pr(A j B) = Pr(B A j) Pr(A j ) n Pr(B A i ) Pr(A i ) i=1 (5) Também chamada de probabilidade a posteriori
Independência probabiĺıstica Eventos independentes Dois eventos A e B são independentes se Pr(A B) = Pr(A) Pr(B) Generalizando (para três eventos): A, B e C Pr(AB) = Pr(A) Pr(B) Pr(AC) = Pr(A) Pr(C) Pr(ABC) = Pr(A)Pr(B)Pr(C) Pr(BC) = Pr(B) Pr(C)
Independência probabiĺıstica - cont. Propriedades de eventos independentes 1 Pr(A B) = Pr(A) 2 Pr(AB) = Pr(A) Pr(B) 3 Pr(AB) = Pr(A) Pr(B) e Pr(AB) = Pr(A) Pr(B) Ou seja Se A e B são independentes, A e B são independentes e A e B também o são
Eventos conjuntos Eventos conjuntos Dado S (espaço amostral), podemos atribuir diferentes atributos aos eventos pertencentes a diferentes classes de Borel S = {x 1,x 2,...,x n } { A1,A 2,,A n F 1 B 1,B 2,,B n F 2 Exemplo: S = {João, José, Maria } (idade,altura) Rescrevendo: S = {(10,1.50),(30,1.80), (32, 1.65)}
marginal marginal A 1 + A 2 + + A n = S B 1 + B 2 + + B n = S Pr(A i ) = n Pr(A i,b j ) n n j=1 Pr(B j ) = n Pr(A i,b j ) = 1 Pr(A i,b j ) i=1 j=1 i=1 (6)