MB-210 Probabilidade e Estatística

Transcrição

1 Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MB-210 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari denise denise@ita.br 2o. semestre/2013

2 Apresentação

3 Idéias Básicas Probabilidade Latim probare = provar, testar Estatística Grego stokhastikós = conjectura, adivinhação, sujeito às leis do acaso Uso coloquial: provável, incerteza, desconhecimento, risco, dúvida.

4 Chance e Incerteza... são conceitos originados com a civilização Garantia de sobrevivência: Clima (chuvas, secas), suprimentos de alimentos (colheitas, pragas), etc. Esforço em minimizar as incertezas do meio que nos cerca bem como seus efeitos a fim de garantir a sobrevivência

5 Um pouco de História Antigüidade I 3500 A.C.: jogos de azar que utilizavam objetos criados a partir de pedaços de ossos ou madeira (precursores dos dados modernos). I 2000 A.C.: dados cúbicos, com marcas quase idênticas aos dados atuais Os jogos de azar sempre foram muito populares desde essa época e tiveram um papel importante para o desenvolvimento da Teoria das Probabilidades.

6 Um pouco de História Era Moderna Século XVI: Primeiros Estudos Cardano ( ) e Galileu ( ) calcularam valores de probabilidades para várias combinações de dados. Século XVII: Fermat ( ) e Pascal ( ) * Métodos de análise combinatória * fundadores da teoria matemática das probabilidades Huyghens ( ) * primeiro tratado científico sobre o assunto De Ratiociniis in Ludo Aleae Bernoulli ( ) e Moivre ( ) * trataram esta teoria como um ramo da Matemática Ars Conjectandi

7 Um pouco de História Era Moderna Século XVIII: Laplace ( ) * Definição Clássica * Aplicações práticas e científicas Théorie Analytique des Probabilités Gauss ( ) * Aplicação científica * Método dos mínimos quadrados * Leis fundamentais da distribuição de probabilidades

8 Um pouco de História Atualidades Século XX: Cheyshev, Markov von Mises, Kolmogorov Definição Axiomática (1933) A Teoria das Probabilidades, como disciplina matemática, pode e deve ser desenvolvida a partir de axiomas, exatamente como a Geometria ou a Álgebra A. Kolmogorov ( )

9 Probabilidade e Estatística em Engenharia Uma parte essencial em projetos de Engenharia consiste na tomada de decisões na presença de incertezas: Informação incompleta: acesso a recursos limitados Variabilidade de processos Exemplos: Qual o comportamento de um determinado avião quando submetido a rajadas de vento? Qual o tamanho ideal de um terminal de passageiros em um determinado aeroporto? A utilização de um determinado veículo híbrido é viável?

10 Probabilidade e Estatística em Engenharia O conhecimento de elementos de probabilidade e técnicas estatísticas auxilia a coleta de informação e transformação da informação a uma forma que possa ser utilizada para apoiar o processo de tomada de decisões. O engenheiro emprega conhecimentos de Probabilidade e Estatística das seguintes maneiras: Descrevendo e analisando a aleatoriedade no fenômeno em estudo Planejando cursos de ação em situações de incerteza

11 Teoria de Probabilidades Consiste no estudo matemático das probabilidades Busca quantificar a noção de provável, ou seja, define uma medida da incerteza para um determinado fenômeno em estudo. Investigação e descoberta de padrões regulares (ou leis) em eventos aleatórios, bem como construção de modelos satisfatórios.

12 Inferência Estatística Consiste no campo científico que se dedica à coleta, organização, análise e interpretação de dados Busca realizar inferência sobre as características de uma determinada população a partir das observações em uma amostra. Desenvolvimento de métodos capazes de auxiliar o processo de tomada de decisões na presença de incertezas e variabilidade.

13 Probabilidade Estatística Teoria de Probabilidade Processo Dedutivo: Conclusões a respeito de características de uma amostra da população são alcançadas com base em atributos conhecidos da população. Inferência Estatística Processo Indutivo: Conclusões a respeito de características da população são alcançadas com base em atributos observados em uma amostra da população.

14 Probabilidade Estatística Probabilidade POPULAÇÃO AMOSTRA Estatística

15 Plano da Disciplina

16 Ementa do Curso Probabilidade: Semana 1 Conteúdo Introdução à probabilidade. Conceitos de probabilidade clássico e de frequência relativa. Probabilidade condicional e independência. Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. 2 Exame Diagnóstico Variáveis aleatórias. Distribuições de probabilidade: discretas, contínuas, acumuladas, conjuntas, marginais. Valor esperado e variância. Desigualdades de Markov e de Chebyshev. Principais distribuições de probabilidade discretas: Bernoulli, Binomial, Geométrica e Poisson. Principais distribuições de probabilidade contínuas: Exponencial Negativa, Normal e Weibull. Momentos e função geratriz de momentos. Funções de Variáveis Aleatórias. 7 Prova bimestral. 8 Independência estatística, covariância e coeficiente de correlação.

17 Ementa do Curso Estatística: Semana Conteúdo Princípios de estatística. Amostras aleatórias. Distribuições amostrais. Teorema do limite central. Estimador, estimativa e propriedades dos estimadores. Estimação pontual de parâmetros para uma e duas amostras: Métodos dos momentos e da máxima verossimilhança. Intervalos de confiança (estimação por intervalo). Tamanho da amostra. Princípios de testes de hipóteses. 12 Testes de hipóteses para uma e duas amostras. 13 Testes não-paramétricos (associação, independência e de aderência). 14 Prova bimestral. 15 Regressão linear simples e correlação. 16 Aplicações de modelos de regressão linear.

18 Material de Estudo Notas de aula Listas de exercícios Bibliografia Principal: 1. Devore, JL (1999). Probability and Statistics for Engineering and the Sciences, 5th Ed, Duxbury Press. Bibliografia Complementar: 2. Rheinfurth, MH and Howell, LH (1998). Probability and Statistics in Aerospace Engineering, Marshall Space Flight Center, Alabama. 3. Ross, MS (1999), Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists, 2nd Ed, Harcourt/Academic Press. Atenção: As notas de aula não substituem a leitura de um livro texto ou a presença em sala de aula.

19 Avaliação Provas bimestrais Datas: B1: S07 (12/set/2013) B2: S14 (7/nov/2013) Exame final

20 Introdução à Probabilidade

21 Roteiro Definições Iniciais Interpretações de Probabilidade Definição Axiomática Propriedades

22 Probabilidade medida de incerteza

23 Objetivos Queremos: investigar e descobrir padrões regulares em eventos aleatórios descrever incerteza em termos de modelos probabilísticos Para isso, precisamos descrever a estrutura geral de tais modelos e suas propriedades

24 Definições Iniciais Um modelo probabilístico consiste em uma descrição matemática de uma situação de incerteza. Principais ingredientes: Lei de Probabilidade Evento B Experimento Aleatório (E) Evento A P (A) P (B) Espaço Amostral (Ω) A B Eventos

25 Definições Iniciais Experimento Aleatório (E) Processo que pode (pelo menos conceitualmente) ser repetido indefinidamente sob condições idênticas. Sempre é possível obter um resultado que pertence a um conjunto fixo e conhecido de possibilidades. É chamado aleatório pois o resultado a ser obtido é desconhecido e imprevisível. Espaço Amostral (Ω) É o conjunto de todos os resultados possíveis em um experimento aleatório. Exemplos

26 Definições Iniciais Evento (A Ω) É qualquer subconjunto (conjunto de resultados) do Espaço Amostral. Um evento (A) é especificado por um conjunto de resultados de um experimento aleatório (E) que satisfaz determinadas condições. Evento impossível Evento intersecção Evento união Evento complementar Eventos mutuamente exclusivos Partição do espaço amostral Lei de probabilidade (P[A]) Atribui a um determinado evento A um número não negativo que codifica nossa crença na propensão para a ocorrência de A.

27 Conceito Clássico Premissas: P N (A) = n A N Número finito de possíveis resultados Hipótese de equiprobabilidade de resultados Princípio da indiferença Deficiências: Não faz sentido para N infinito Conceito de equiprobabilidade de resultados baseado no conceito de probabilidade que queremos definir Não é capaz de definir a probabilidade de eventos supostamente não equiprovavéis

28 Conceito de Freqüência Relativa Premissas: n(a) P N (A) = lim N N Número suficientemente grande de repetições do experimento aleatório Condições uniformes para realização do experimento Princípio da Regularidade Estatística Deficiências: Definição de um número suficientemente grande Não é capaz de definir a probabilidade de eventos que não podem ser repetidos

29 Conceito Subjetivo Premissas: Não necessita da hipótese de repetição do experimento Probabilidade assinalada a um determinado evento é baseada nas experiências pessoais e informação individual sobre o processo Não há aferição do resultado Pode ser matematicamente formalizado sob determinadas condições de consistência Deficiências: Humanos são seres inconsistentes e contraditórios Não permite chegar a resultados únicos A natureza pessoal limita a utilização desse conceito em aplicações científicas e de Engenharia

30 Definição Axiomática Função Probabilidade Álgebra de Eventos (A): Uma coleção de eventos é A quando são satisfeitas as seguintes condições: 1. Ω A 2. Se A A = A C A 3. Se A A e B A = A B A Função Probabilidade: (Kolmogorov) P : A R 1. Se A A = P[A] 0 2. P[Ω] = 1 3. A 1, A 2,..., eventos tais que A i i j A j = = P [ i=1a i ] = P[A i ] i=1

31 Definição Axiomática Função Probabilidade Definição matemática Estabelece conjunto de funções de probabilidade Não determina valor de P para um determinado evento conhecido A

32 Propriedades da Função Probabilidade (Conseqüências da definição axiomática) 1. P[ ] = 0 2. P [ n i=1 A i] = n i=1 P[A i] (se A 1, A 2,..., A n forem mutuamente exclusivos) 3. P[A] + P[A C ] = P[A] 1 5. P[A B] = P[A] + P[B] P[A B] outras propriedades demonstração através dos axiomas