ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 5 Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 pontos, cada resposta errada vale - pontos, cada pergunta não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.. Um avião levanta voo fazendo com a horizontal um ângulo de 0º. A altura a que se encontra depois de ter percorrido Km é, em metros, com aproximação às unidades: A. 7 m B. 74 m C. 76 m D. 985 m. O ponto de intersecção do lado extremidade de um ângulo de amplitude α, com a circunferência que delimita o círculo trigonométrico é 5 P ;. A. senα cos α> 0 B. < cosα < 0 C. senα= 5 D. tgα > 0. Na figura está o gráfico de uma função f racional do tipo y f x a, a,c IR\ 0 x c ( ) = {} e as rectas de equação y = 4 e x = que são assímptotas do gráfico de f. Uma expressão analítica para representar f(x) será: x A. = f(x) x B. = f(x) x -6 - - 6 C. = + f(x) x D. = + f(x) x -4 PROFESSORA: Rosa Canelas º B 004/005
4. Qual das seguintes representações gráficas se refere a uma função com derivada no ponto de abcissa? A. B. C. D. 5. Na figura está representada uma função polinomial f. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função derivada de f? A. B. C. D. PROFESSORA: Rosa Canelas º B 004/005
Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.. No referencial da figura está representada uma pirâmide z V quadrangular regular, com a base assente no plano xoy. Sabe-se que B(0,6,0) e V(0,,8).. Mostre que as coordenadas de A são (,,0) C.. Calcule uma equação do plano ABV... Escreva a condição que define a recta BV. O B y A x. Na figura estão representados dois reservatórios A e B que comunicam entre si. O reservatório A, inicialmente, está cheio de água, enquanto o reservatório B está vazio. Num certo instante, t = 0, abrese uma válvula pela qual se faz passar a água do reservatório A para o reservatório B. Após t horas da abertura da válvula, a altura da água em cada um dos reservatórios é dada, em metros, por: 4t 8 Reservatório A: h() t = t 5. Reservatório B: ()= + t Ht t... Calcule a altura do reservatório A... Defina a função d que traduz a diferença entre as alturas da água nos dois reservatórios em função do tempo... Calcule o tempo de transvase da água de um reservatório para o outro e a altura final da água no reservatório B..4. Determine, analiticamente, o instante em que a água nos dois reservatórios atinge a mesma altura. Apresente o resultado em horas e minutos com os minutos arredondados às unidades. PROFESSORA: Rosa Canelas º B 004/005
. No dia 0 de Junho do ano passado, pelas 0 horas, a 7 km da povoação Serrania, teve início um incêndio que consumiu 7, km de floresta. A área consumida pelo fogo, após t horas do início do mesmo, é dada pelo seguinte modelo matemático: A ( t) = 0,00t + 0,t, A em km e t em horas... Calcule a variação da área de floresta consumida pelo fogo entre as e as 5 horas do dia 0 de Junho... Determine a velocidade de propagação do incêndio às horas do dia de Junho... Em que dia e a que horas foi extinto o incêndio?.4. Admita que a zona queimada evoluía de forma circular e que a Protecção Civil tinha estabelecido um plano para evacuar a população de Serrania quando o fogo estivesse a km da povoação. A povoação chegou a ser evacuada? Numa pequena composição, exponha de forma clara a fundamentação e a resposta a esta questão. COTAÇÕES Grupo I... 45 Cada resposta certa... + 9 Cada resposta errada... - Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II...55.... 50..... 0..... 0..... 0.... 50..... 0..... 0..... 5.4.... 5.... 55..... 0..... 0..... 5.4.... 0 TOTAL... 00 PROFESSORA: Rosa Canelas 4 º B 004/005
ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 5 proposta de resolução Grupo I. B. 74 m A figura ao lado mostra-nos que a distância percorrida pelo avião (km) é o comprimento da hipotenusa enquanto que a altura que queremos calcular é o cateto oposto ao ângulo de 0º. Vamos portanto usar o seno de 0º para obtermos a altura: altura sen( 0º ) = altura = sen(0º ) A altura será aproximadamente 0,76 km ou seja cerca de 74 metros.. C. α= 5 sen O ponto de intersecção do lado extremidade de um ângulo de amplitude α, com a circunferência 5 que delimita o círculo trigonométrico é P ;. A linha a vermelho na figura representa o seno do ângulo de amplitude α. - / - 5 P( ),- 5 5. D. = + f(x) x Na figura está o gráfico de uma 4 y função f racional do tipo f( x) = a, a,c IR\ {} 0 e as rectas de equação x c y = e x = que são assímptotas do gráfico de f. -6-6 x Para confirmar podia desenhar todas as funções na - sua calculadora, mas devia saber que numa função deste tipo a assímptota vertical tem equação x = c e a -4 horizontal tem equação y = a. PROFESSORA: Rosa Canelas 5 º B 004/005
4. B. Das seguintes representações gráficas a que se refere a uma função com derivada no ponto de abcissa é aquela em que as duas semitangentes estão na continuação uma da outra. Pelo que o único gráfico que verifica isso é o B. A. B. C. D. 5. B. Na figura está representada uma função polinomial f. x -4-0,6.5 4 + f(x) M m M m f '(x) + 0-0 + 0-0 + Dos gráficos dados o que pode ser o da função derivada de f é aquele em que o quadro de variação do sinal é de acordo com a monotonia da função e só o gráfico B tem essa variação de sinal. Grupo II. No referencial da figura está representada uma pirâmide quadrangular regular, com a base assente no plano xoy. Sabe-se que B(0,6,0) e V(0,,8).. As coordenadas de A são (,,0) porque: A base está no plano xoy permite concluir que a cota é zero. A A base é um quadrado com aresta 6 por ser 6 a x ordenada de B. O centro do quadrado é o ponto de coordenadas (0,,0) e as diagonais bissectam-se pelo que A dista unidades do eixo Ox e unidades do eixo Oy, tendo assim ordenada e abcissa. PROFESSORA: Rosa Canelas 6 º B 004/005 z O V C B y
.. Para calcularmos uma equação do plano ABV vamos considerar os vectores concorrentes = = n= x,y,z que será normal ao AB (,,0 ) e AV (,0,8 ), e determinar o vector ( ) plano por ser perpendicular aos dois vectores concorrentes do plano. ( ) ( ) =,,0. x,y,z = 0 y x x + y = 0 (,0,8 ).( x,y,z) = 0 x + 8z = 0 z = x 8 A equação do plano pode ser: para x = 8 teremos n= ( 8,8, ) ( x, y, z ).( 8,8,) = 0 8x 4 + 8y 4 + z = 0 8x + 8y + z = 48 Ou obter-se por: 8x + 8y + z = D x = y = z = 0 4 + 4 = D D = 48 e a equação do plano seria 8x + 8y + z = 48 BV = 0,,8 e passa pelo ponto B (0,6,0). Podemos.. A recta BV tem a direcção do vector ( ) escrever uma equação vectorial ( x,y,z ) = ( 0,6,0 ) + k ( 0,,8 ), k IR equação que equivale a ter y 6 z x = 0 = 8. Na figura estão representados dois reservatórios A e B que comunicam entre si. O reservatório A, inicialmente, está cheio de água, enquanto o reservatório B está vazio. Num certo instante, t = 0, abre-se uma válvula pela qual se faz passar a água do reservatório A para o reservatório B. Após t horas da abertura da válvula, a altura da água em cada um dos reservatórios é dada, em metros, por: 4t 8 Reservatório A: h() t = t 5. Reservatório B: ()= + t Ht t... Como o reservatório A está cheio no início, a altura do reservatório A é dada por 4 0 8 h0 ( ) = =,6m. 0 5.. A função d que traduz a diferença entre as alturas da água nos dois reservatórios em função do tempo é traduzida pela expressão: () dt () dt ( 4t 8)( t + ) t ( t 5) ( )( ) 4t 8 t = = t 5 t+ t 5 t+ () dt 4t + t 8t 54 t + 0t t + 4t 54 = dt () = t 5 t+ t t 5 ( )( ) intervalo de tempo durante o qual decorreu o transvase. sendo o seu domínio o PROFESSORA: Rosa Canelas 7 º B 004/005
.. O tempo de transvase da água de um reservatório para o outro é 4,5 horas, tempo dado pela solução da equação h( t) = 0 por o tempo necessário a despejar o reservatório A ser o tempo do transvase. 4t 8 h() t = 0 = 0 4t 8= 0 t 5 0 t 0 t = 4,5h t 5 4,5 A altura final da água no reservatório B será, metros, dada por H(4,5) = =,m 4,5 +.4. O instante em que a água nos dois reservatórios atinge a mesma altura é dado pela solução da equação: 4t 8 t 4t 8 t t + 4t 54 = = 0 = 0 t 5 t+ t 5 t+ (t 5)(t+ ) ± t + 4t 54 = 0 ( t 5)( t + ) 0 0 t 4,5 t = 0 t 4,5 donde concluímos ter de ser d 4h7m (horas e minutos com os minutos arredondados às unidades). A água atinge a mesma altura nos dois reservatórios ao fim de cerca de 4 h e 7 m.. No dia 0 de Junho do ano passado, pelas 0 horas, a 7 km da povoação Serrania, teve início um incêndio que consumiu 7, km de floresta. A área consumida pelo fogo, após t horas do início do mesmo, é dada pelo seguinte modelo matemático: A ( t) = 0,00t + 0,t, A em km e t em horas... A variação da área de floresta consumida pelo fogo, isto é, a área ardida entre as e as 5 horas do dia 0 de Junho é dada por ( ) ( ) A 5 A =,05 0,404 = 0,6 km.. A velocidade de propagação do incêndio às horas do dia de Junho é dada por A ( 4 0 + ) = A ( 6 ). Comecemos então por calcular ( ) seguida calcularmos A ( 6) = 0,00 6 + 0, = 0,km / h A t = 0,00t + 0, para em.. O incêndio foi extinto quando a área ardida foi 7, km. O tempo de duração do incêndio é por isso a solução da equação A ( t) = 7, t 0. Esta equação pode ser resolvida analítica ou graficamente: Analiticamente: 0,00t + 0,t = 7, t 0 0,00t + 0,t 7, = 0 t 0 t + 00t 700 = 0 t 0 00 ± 40000 + 8800 t = t 0 t = 00 + 0 4 Será então t h9m e como -4+0 = 7 podemos dizer que o fogo foi extinto às 7 horas 9 minutos do dia de Junho. PROFESSORA: Rosa Canelas 8 º B 004/005
Graficamente: O que nos permite concluir que o incêndio estava extinto às 7h e 9m do dia de Junho..4. Admitamos que a zona queimada evoluía de forma circular e que a Protecção Civil tinha estabelecido um plano para evacuar a população de Serrania quando o fogo estivesse a km da povoação. A Protecção Civil vai evacuar a povoação quando a área ardida ocupar um círculo com 6km de raio por a povoação distar 7km do centro do incêndio. Assim essa área seria dada por: A =π 6 que equivale a cerca de km. Ora, como só arderam 7,km, a povoação não chegou a ser evacuada. O problema podia ser resolvido calculando o raio da área ardida. 7, 7, =π r r = π Esse raio é aproximadamente,5km o que nos permite concluir que o incêndio estava a mais de 5km da povoação. PROFESSORA: Rosa Canelas 9 º B 004/005