ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO 12º A1. Grupo I

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO º A Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.. Sejam A e B dois acontecimentos independentes de um mesmo espaço amostral. Se P( A) = 0,4 e PB ( ) = 0,então a afirmação verdadeira é: (A) P( A B) = 0 P( A B) = 0,7 (B) ( ) ( ) (C) P( A B) = 0, P( A B) = 0,8 (D) ( ) ( ) P A B = 0, P A B = 0,4 P A B = 0, P A B = 0,58. N ( µσ ; ) identifica uma distribuição normal de valor médio µ e desvio padrão σ. Qual das seguintes distribuições diz respeito ao gráfico ao lado? (A) N56;8 ( ) (B) N74;8 ( ) (C) N56;74 ( ) (D) N8;74 ( ). Sabe-se que n C + n C + n C n C + n C = k e n é ímpar. 0 n n Em função de k, o valor de n C + n C + n C n C + 0 n (A) k + (B) k + (C) k (D) k 4. Qual das expressões seguintes é, para qualquer valor de a, real e positivo, igual a lna e? (A) a (B) + a (C) a (D) a PROFESSORA: Rosa Canelas º A 005/006

2 5. Considere a família de funções, definida em IR, por y = a b x + c com a > e b, c IR. Em cada função, o sinal de b determina: (A) o sinal da função (B) o tipo de monotonia da função (C) a ordenada do ponto de intersecção do gráfico da função como eixo Oy (D) o domínio da função. Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.. Considere o octógono regular da figura. A Teresa e a Vanessa pensam, cada uma delas, num vértice do octógono. a. Qual é a probabilidade de terem pensado no mesmo vértice? b. Admitindo que pensaram em vértices diferentes, qual é a H A B C probabilidade: b. do segmento que definem passar no centro do octógono? G D b. desses vértices definirem com o centro do octógono um F E triângulo rectângulo?. Numa experiência laboratorial para obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se numa tina uma certa quantidade de água do mar e expôs-se a uma fonte de calor. Após t horas do início da experiência, a quantidade de água, em ml, existente na tina é dada pela expressão: () Q t 0 log 0 t+ = 0 a. Que quantidade de água do mar foi utilizada nesta experiência? b. Comente a afirmação: Ao fim de duas horas, 50% da água com que se tinha iniciado a experiência tinha passado ao estado gasoso. c. Considere a função E definida por E( t) = 000 Q( t). No contexto da actividade, o que representa a função E? d. Por processos exclusivamente analíticos, determine durante quanto tempo decorreu a experiência, sabendo que esta termina quando a totalidade da água se evaporar. No fim apresente o resultado com aproximação às unidades, para o que pode fazer o cálculo utilizando a calculadora. PROFESSORA: Rosa Canelas º A 005/006

3 . Na figura estão representadas as funções f e f, a função inversa de f, sendo a função f definida por: ( ) = + ( + ) f x log x a. Escreva uma equação da assímptota do gráfico de f. b. Sem utilizar a função f, determine as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico de f com os eixos coordenados. c. Os pontos A e B pertencem à bissectriz dos quadrantes ímpares. Justifique. d. Determine com duas casas decimais, recorrendo à calculadora gráfica, as coordenadas dos pontos de intersecção dos gráficos de f e f. e. Por processos exclusivamente analíticos determine, na forma de intervalo, o conjunto +. solução da condição f( x) log ( x ) 4. Admite-se que a concentração do fármaco Saratex, em miligramas por litro de sangue, t horas após a administração a t um doente, é dada pela expressão C( t) = t,05. a. Passadas duas horas da administração do fármaco, qual é a concentração do mesmo por litro de sangue? Apresente o resultado arredondado às décimas. b. O conjunto solução da inequação C( t),5 é um intervalo fechado [ a,b ]. Recorrendo à calculadora, determine, graficamente, valores aproximados às décimas de a e de b. c. A conselho médico, um doente deve tomar um outro fármaco quando a concentração de Saratex for máxima. Para isso, o médico indicou, correctamente, ao doente o intervalo de tempo entre a administração dos dois fármacos. Sabe-se que o doente tomou Saratex às 8 horas e o º medicamento às 5 horas. Numa curta composição matemática, explique o cumprimento ou não, por parte do doente, das recomendações do médico. Ilustre com um ou mais gráficos. Na composição deve ficar claro: O momento em que a concentração é máxima; O intervalo de tempo entre a administração dos dois fármacos; A hora a que o doente devia ter tomado o segundo fármaco. PROFESSORA: Rosa Canelas º A 005/006

4 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa... 9 Cada questão não respondida ou anulada... 0 Grupo III a b. b b a b c d a b c d e a b c TOTAL PROFESSORA: Rosa Canelas 4 º A 005/006

5 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO º A proposta de resolução Grupo I. (D) Se P( A) = 0,4 e PB ( ) = 0, e A e B são dois acontecimentos independentes então P( A B) = P( A) P( B) = 0, e como P( A B) P( A) P( B) P( A B) P( A B) = 0,4+ 0, 0,= 0,58. (A) N56;8 ( ) identifica a distribuição normal a que diz respeito o gráfico ao lado porque: a. Uma curva de Gauss tem um máximo no ponto de abcissa igual à média. Então µ= 56. b. As abcissas dos pontos de inflexão da curva de Gauss têm abcissas µ σ e µ +σ. Então será µ+σ= 74 σ= σ= 8 = + será. (C) k. Se n C + n C + n C n C + n C = k e n é ímpar os elementos da linha n do Triângulo 0 n n de Pascal são (n+) e portanto em número par. Podemos então escrever que: C + C + C C + C C + C = k e será: n n n n n n n 0 n n+ n n n n n n n n n k C0 + C+ C Cn = C n Cn + Cn = por serem iguais os termos igualmente afastados dos extremos em qualquer linha do Triângulo de Pascal. 4. (D) a. Porque lna lna e = e = a 5. (B) Dada a família de funções, definida em IR, por y = a b x + c com a > e b, c IR. Em cada função, o sinal de b determina o tipo de monotonia da função. Grupo I. Considere o octógono regular da figura. A Teresa e a Vanessa pensam, cada uma delas, num vértice do octógono. a. A probabilidade de terem pensado no mesmo vértice é dada pala lei de Laplace pelo quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. H G A F B E C D PROFESSORA: Rosa Canelas 5 º A 005/006

6 Como interessa a ordem e se podem repetir os vértices o número de casos possíveis é 8 8= 64 por cada uma poder pensar num qualquer dos 8 vértices. O número de casos favoráveis vai ser 8 pois se a Teresa puder escolher um qualquer dos 8 vértices a Vanessa só A B C D E F G H pudera escolher que é o que a A AA AB AC AD AE AF AG AH Teresa escolheu. B BA BB BC BD BE BF BG BH C CA CB CC CD CE CF CG CH 8 A probabilidade é P = p=. D DA DB DC DD DE DF DG DH 64 8 E EA EB EC ED EE EF EG EH Nota: O número de casos possíveis e o número F FA FB FC FD FE FF FG FH G GA GB GC GD GE GF GG GH de casos favoráveis podia ter sido obtido por contagem directa na tabela de dupla entrada ao lado. H H AB HC HD HE HF HG HH b. Admitindo que pensaram em vértices diferentes, calculemos a probabilidade: b. de o segmento que definem passar no centro do octógono. Se pensaram em vértices diferentes o número de casos possíveis passa a ser 8 7 = 56. A B H Para o segmento que definem passar no centro do octógono, escolhido um vértice o outro só pode ser o que é simétrico C dele em relação ao centro. O número de casos favoráveis é G D 8 = 8 A probabilidade é 8 = 56 7 F E b. desses vértices definirem com o centro do octógono um triângulo rectângulo. Se pensaram em vértices diferentes o número de casos possíveis passa a ser 8 7= 56. Para os vértices definirem com o centro do octógono um triângulo rectângulo, se a Teresa escolher um vértice a Vanessa só poderá escolher um de dois como exemplifica a figura. O número de casos favoráveis é 8 = 6 A probabilidade é 6 = Numa experiência laboratorial para obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se numa tina uma certa quantidade de água do mar e expôs-se a uma fonte de calor. Após t horas do início da experiência, a quantidade de água, em ml, existente na tina é dada pela expressão: () Q t 0 log 0 t+ = 0 PROFESSORA: Rosa Canelas 6 º A 005/006

7 a. A quantidade de água do mar que foi utilizada nesta experiência é dada por 0 Q( 0) = 0 log0 Q( 0) = 0 log0 0 = 0 ml 0+. Logo foi utilizado litro de água do mar. b. A afirmação: Ao fim de duas horas, 50% da água com que se tinha iniciado a experiência tinha passado ao estado gasoso é falsa pois: 0 Q( ) = 0 log0 Q( 0) 5,88ml + O que significa que ainda não passou ao estado gasoso metade da quantidade inicialmente existente, apenas passaram ao estado gasoso 477, ml, correspondendo a 47,7%, menos do que os 500ml necessários para atingir os 50% da água com que se iniciou a experiência. c. Considere a função E definida por E( t) = 000 Q( t). No contexto da actividade, a função E representa a quantidade de água do mar, expressa em ml, que passou ao estado gasoso ao fim de t horas. d. Por processos exclusivamente analíticos, determinemos durante quanto tempo decorreu a experiência, sabendo que esta termina quando a totalidade da água se evaporar. Para isso precisamos de calcular os zeros da função dada: 0 0 Q t = 0 0 log0 = 0 log0 = 0 t+ t+ () 0 0 t 9 t = = 0 = 0 t = 9horas. t+ t+ t+ A experiência durou 9 horas.. Na figura estão representadas as funções f e ( ) = + ( + ) f x log x a. Uma equação da assímptota do gráfico de f é x = b. Sem utilizar a função f, a função inversa de f, sendo a função f definida por: f, vamos determinar as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico de com os eixos coordenados, calculando os pontos de intersecção de f com os eixos coordenados e obtendo em seguida os simétricos deles em relação à bissectriz dos quadrantes ímpares. f( 0) = + log ( 0+ ) f( 0) =. f intersecta o eixo Oy no ponto de coordenadas ( 0, ) pelo que f intersecta Ox no ponto de coordenadas (,0 ) f x = 0 + log x + = 0 log x + = x + = x > ( ) ( ) ( ) f x = + x > x = f intersecta o eixo Ox no ponto de coordenadas 4 4 pelo que f intersecta Oy no ponto de coordenadas 0, 4,0 4 PROFESSORA: Rosa Canelas 7 º A 005/006

8 c. Os pontos A e B pertencem à bissectriz dos quadrantes ímpares porque os gráficos de f e f de são simétricos em relação a essa bissectriz, o que significa que os pontos comuns aos dois gráficos têm de coincidir com os seus simétricos e portanto de pertencer ao eixo de simetria. d. Para determinarmos com duas casas decimais, recorrendo à calculadora gráfica, as coordenadas dos pontos de intersecção dos gráficos de f e vamos representar a função f e a bissectriz dos quadrantes ímpares e calcular as intersecções das duas linhas que serão os pontos pedidos. f As coordenadas dos pontos de intersecção das duas curvas são: A ( 4, 44; 4, 44 ) e B( 0,86; 0,86). e. Por processos exclusivamente analíticos determinemos, na forma de intervalo, o conjunto solução da condição f( x) log ( x+ ). Vamos resolver a condição: f ( x) log ( x ) log ( x ) log ( x ) Comecemos por determinar o domínio: D= { x IR:x+ > 0 x+ > 0} = { x IR:x> x> } = ], + [ Passemos então à resolução: x+ + log( x + ) log( x + ) log( x + ) log( x + ) log x > x+ x+ x+ x+ x+ 4x 4 log x > x > x > x+ x+ x+ x+ x 0 x > x+ x + x x x 0 x PROFESSORA: Rosa Canelas 8 º A 005/006

9 Finalmente podemos dizer que o conjunto solução da condição dada é 4. Admite-se que a concentração do fármaco Saratex, em miligramas por litro de sangue, t horas após a administração a um doente, é dada pela t expressão C( t) = t,05. a. Passadas duas horas da administração do fármaco, a concentração do mesmo por litro de sangue é dada por C( ) =,05. O resultado, arredondado às décimas, é,6 miligramas por litro de sangue., + b. O conjunto solução da inequação C( t),5 é um intervalo fechado [ a,b ]. Recorrendo à calculadora, determinemos, graficamente, valores aproximados às décimas de a e de b. De acordo com os resultados obtidos a =,5 e b =,5 c. A conselho médico, um doente deve tomar um outro fármaco quando a concentração de Saratex for máxima. Para isso, o médico indicou, correctamente, ao doente o intervalo de tempo entre a administração dos dois fármacos. Sabe-se que o doente tomou Saratex às 8 horas e o º medicamento às 5 horas. O doente não cumpriu com as indicações do médico porque: A concentração máxima do Saratex só é atingida 0 horas e 5 minutos depois de o doente o tomar com se pode ver na figura ao lado. O doente tomou o segundo medicamento 7 (5 8 = 7) horas depois de ter tomado o primeiro, ou seja sem o Saratex ter atingido a concentração máxima. O doente apenas deveria tomar o segundo medicamento às 8 horas e 5 minutos ou seja 0 horas e 5 minutos depois das 8 horas, hora a que tomou o Saratex. PROFESSORA: Rosa Canelas 9 º A 005/006