Analise sistemas LCIT usando a Transformada de Laplace

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO COORDENAÇÃO ACADÊMICA EletroEletronica Analise sistemas LCIT usando a Transformada de Laplace Prof. Luis S. B. Marques

A frequência complexa A variável complexa s é dada por: A Parte real ou frequência neperiana fornece informação a respeito da taxa de crescimento ou decrecimento da amplitude da função exponencial: Resposta para função exponencial com sigma maior e menor que zero 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t

A frequência complexa A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial: 1 0.8 0.6 Resposta para sigma a zero 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 -1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t

A frequência complexa A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial: 3 2 Resposta para sigma maior que zero 1 0-1 -2-3 -1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t

-3-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t A frequência complexa A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial: 3 2 Resposta para sigma menor que zero 1 0-1 -2

A transformada de Laplace A Transformada de Laplace é bastante utilizada para a análise de transitórios no domínio do tempo, pois permite que se leve em conta as condições iniciais do sistema A Transformada de Laplace de um sinal x(t) do domínio do tempo para o domínio da frequência é definida por:

A transformada de Laplace Exercício: Para um sinal x(t) dado determine a sua transformada de laplace.

A transformada de Laplace

Propriedades da transformada de Laplace

Exercício E4.1: Através da integração, determine a transformada de Laplace X(s) e a região de convergência para os sinais mostrados abaixo.

A transformada Inversa de Laplace

Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace de:

Solução de equação diferencial usando Laplace Exercício: Resolva a equação diferencial abaixo:

Solução de equação diferencial usando Laplace Exercício E4.6 PÁGINA 337

Resposta do Sistema A transformada de Laplace fornece a resposta total, componente da resposta devido à entrada nula e componente da resposta devido estado nulo. Por exemplo, a equação diferencial abaixo ao ser resolvida utilizando a transformada de Laplace possui ambos os termos na resposta. A componente de entrada nula corresponde às condições iniciais.

Resposta do Sistema termo devido as condições iniciais termo devido À entrada Resposta entrada nula Resposta de estado nulo

Função de transferência A função de transferência de um sistema é definida como a relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída e a transformada de Laplace do sinal de entrada Diagrama de blocos

Estabilidade Considerando que P(s) e Q(s) não possuem fatores em comum implica em dizer que o denominador de H(s) é idêntico a Q(s). Assim sendo, pode-se determinar a estabilidade assintótica: 1.Um sistema LCIT é assintoticamente estável se e somente se todos os polos da função de transferência H(s) estiverem no SPE. Os polos podem ser simples ou repetidos.

Estabilidade 2. Um sistema LCIT é instável se e somente se uma das condições existirem: (i)ao menos um polo da função de H(s) estiver no SPD; (ii) existirem polos repetidos de H(s) no eixo imaginário. 3.Um sistema LCIT é marginalmente estável se e somente se não existirem polos de H(s) no SPD e alguns polos não repetidos estiverem no eixo imaginário. A localização dos zeros de H(s) não são importantes na determinação da estabilidade do sistema.

Exercício: Determine a corrente i(t) no circuito abaixo, transformando o circuito para o domínio da frequência, se todas as condições iniciais forem nulas. Use Laplace e transformada inversa de Laplace.

Sistema massa-mola adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático 2 a lei de newton:

Sistema massa-mola adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

Sistema massa-mola-amortecedor adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático 2 a lei de newton: C X(t)

Sistema massa-mola-amortecedor adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

Geradores de condições iniciais A corrente no capacitor é dada pela equação abaixo: A transformada de Laplace desta equação é:

Geradores de condições iniciais A tensão no indutor é dada pela equação abaixo: A transformada de Laplace desta equação é:

Geradores de condições iniciais A corrente inicial no indutor e a tensão inicial no capacitor antes da abertura da chave é igual a:

Geradores de condições iniciais

Diagrama de blocos Diagrama de blocos de um Sistema simples com uma entrada e uma saída

Diagrama de Blocos Sistema composto de subsistemas conectados em série ou paralelo

Sistemas com realimentação

Sistemas com realimentação A função de transferência em malha Fechada é modificada em relação à função de transferência em malha aberta. Diz-se, portanto, que tem-se agora os pólos em malha fechada.

Sistemas com realimentação Considere o sistema abaixo. Os pólos de malha aberta são 0 e -20. Pode-se verificar que os pólos de malha fechada depende da constante K a.

Análise de sistemas de controle A figura acima representa um sistema de controle automático de posição

Análise de sistemas de controle

Análise utilizando simulink

Análise de sistemas de controle

Análise de sistemas de controle O Ganho do amplificador igual a 7 fornece uma resposta lenta, característica de um sistema superamortecido.

Análise de sistemas de controle O Ganho do amplificador igual a 16 fornece a resposta mais rápida sem oscilações, sistema com amortecimento crítico.

Análise de sistemas de controle O Ganho do amplificador igual a 80 fornece a resposta rápida e oscilatória, sistema subamortecimento.