EA93 - Pro. Von Zuben Sisemas não-lineares de ª ordem Plano de Fase Inrodução o esudo de sisemas dinâmicos não-lineares de a ordem baseia-se principalmene na deerminação de rajeórias no plano de esados, que recebe a denominação de plano de ase para o caso paricular a ser esudado nese ópico do curso. é um méodo gráico, que admie inerpreações geoméricas dedução do comporameno qualiaivo da solução no empo, sem recorrer a expressões analíicas na orma echada. rerao de ase: amília de rajeórias para dierenes condições iniciais, ornecendo uma visualização do padrão de comporameno do sisema. Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase EA93 - Pro. Von Zuben desvanagem da análise no plano de ase: é aplicável apenas a sisemas que podem ser adequadamene descrios por dinâmicas aé a ordem. Obs: sisemas de a ordem ambém podem ser invesigados no plano de ase, com a paricularidade de ornecerem uma única rajeória e não uma amília delas. SLOTINE & LI, pg. Caso paricular: plano de ase considere o sisema dinâmico não-linear auônomo de a ordem: x x x, x, x, x, x x x x ese sisema apresena duas variáveis de esado. Porano, a evolução de seu esado no empo esá resria ao plano de esados espaço de esados de dimensão. Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase
EA93 - Pro. Von Zuben como já ormalizado aneriormene, uma rajeória no espaço de esados é uma curva ormada pelo conjuno de ponos { x, x, } permanece como uma variável implícia. x, em que x,x x,x x Figura : Exemplo de rajeória no plano de esados Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 3 EA93 - Pro. Von Zuben no caso paricular em que x x, o plano de esados ambém recebe a denominação de plano de ase. sempre que um sisema dinâmico não-linear puder ser descrio com base na seguine equação dierencial não-linear de a ordem: x x, x é possível deinir x x, x x e ober: x x x, x, x, x x x x 3 Análise do Plano de Fase aravés de Linearização Méodo Indireo de Liapunov objeivo: no plano de ase, analisar as rajeórias do sisema nas proximidades dos ponos de equilíbrio. Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 4
EA93 - Pro. Von Zuben seja F, com x x, a represenação linearizada de um sisema não-linear de a ordem em orno de um pono de equilíbrio x. Enão + +,, como a análise de esabilidade não é conclusiva quando pelo menos um auovalor em pare real nula, o esudo a ser apresenado a seguir se resringirá ao caso em que ambos os auovalores em pare real não-nula. assim, sejam,, os pares de auovalores e auoveores associados, à mariz F. Deina agora uma mariz de ransormação T [ v ], onde v e v v são veores linearmene independenes obidos a parir de e. Enão, rês casos devem ser analisados: Caso : T FT se e são auovalores reais e disinos de F; Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 5 Caso : T FT se é um auovalor real repeido de F; Caso 3: T α FT β β α se α ± jβ αre{}, βim{}; Exercício: Mosre que de I F de I T FT de T de T EA93 - Pro. Von Zuben, sabendo-se que, sendo T uma mariz não-singular. I F T. de I T FT de T IT T FT de T Solução: de T de I F de T de I F 3. Escolha de v e v para os rês casos considerados Caso : Tome v e v. T FT, com T [ v v ]. Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 6
EA93 - Pro. Von Zuben Teorema: Se, enão e são LI. Prova por conradição: Suponha que exisem α e α, não odos nulos, ais que α + α. Sem perda de generalidade, assuma que α. Enão: α α +. α α Pré-muliplicando por F, resula: α α F + F +. α α Subsiuindo calculado acima, emos α α α +. α α α Como, por hipóese,, resula α. Daí, conclui-se que α α, chegando-se a uma conradição. Logo, para produzir + α α, deve-se er necessariamene α α, demonsrando que e são LI. Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 7 Caso : Tome v e v I F v. T FT, com T [ v v ]. Caso 3: Tome v e v jv. {} {} Re Im T FT, com T [ v v ] Im{} Re{}. EA93 - Pro. Von Zuben 3. Aplicação da ransormação de similaridade Formas de Jordan o emprego das propriedades deinidas na seção anerior orna mais simples a análise das soluções do sisema linearizado. De ao, se deinirmos T enão F,, pode ser reescrio na orma: T FT T FT, T Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 8
EA93 - Pro. Von Zuben Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 9 3.. Caso,, com isso, é possível ober { },,, e porano { },,, de orma desacoplada: e ; e como é assumido que, é possível expressar como segue: ln e, o que permie ober. EA93 - Pro. Von Zuben Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase Obs: as rajeórias no plano sisema linearizado se relacionam com as rajeórias no plano aravés da expressão: T. como conseqüência, o aspeco geral dos gráicos é o mesmo, mas podem ocorrer roações e escalonamenos disinos em cada eixo. e e [ ] v v v v T e e + x x x v v < <
EA93 - Pro. Von Zuben Caso.: e possuem o mesmo sinal nó a siuação: < < ou < < nó esável Figura : < < e ixos, para dierenes condições iniciais Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase EA93 - Pro. Von Zuben Figura 3: < < e ixos, para dierenes condições iniciais ------------------------------------------------------------------------------------------------- a siuação: > > ou > > nó insável rajeórias equivalenes às da igura para o caso > > e igura 3 para o caso > >, com as seas inveridas e CI s próximas de,. Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase
EA93 - Pro. Von Zuben Caso.: e possuem sinais disinos sela a siuação: < < Figura 4: < < e ixos, para dierenes condições iniciais as rajeórias desa igura oram obidas para Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 3 EA93 - Pro. Von Zuben a siuação: < < Figura 5: < < e ixos, para dierenes condições iniciais as rajeórias desa igura oram obidas para Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 4
EA93 - Pro. Von Zuben 3.. Caso +,, assim, e, e + e, cuja solução é + e e como é assumido que, é possível expressar como segue: e ln, o que permie ober + Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 5 EA93 - Pro. Von Zuben a siuação: < nó esável Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 6
EA93 - Pro. Von Zuben a siuação: > nó insável Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 7 3..3 Caso 3 Re{ } Im{ } Re{ } Im{ } Im{ } Re{ } Im{ } Re{ } Re{ } Im{ }, Im{ } + Re{ }, ransormando para coordenadas polares, dadas por: resula cujas soluções são r + e φ g, r Re{ } r φ Im{ } Re{ } r e r φ Im{ } + φ EA93 - Pro. Von Zuben Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 8
EA93 - Pro. Von Zuben a siuação: Re{} < oco esável Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 9 a siuação: Re{} > oco insável EA93 - Pro. Von Zuben Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase
EA93 - Pro. Von Zuben 3 a siuação: Re{} cenro Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 4 Resumo EA93 - Pro. Von Zuben Auovalores de F Sisema Linearizado Sisema Não-Linear reais negaivos nó esável nó esável reais posiivos nó insável nó insável reais, com < sela sela complexos, com Re{}< oco esável oco esável complexos, com Re{}> oco insável oco insável complexos, com Re{} cenro? Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase
EA93 - Pro. Von Zuben 5 Plano de parâmeros x x x, x, x, x, x x x x x x x, x, x, x x x x x x x x x x x x, x x Em noação veorial: x x +, onde x é um pono de equilíbrio. x x + + F F x x x x F x x x x Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 3 de de I F + + Tr F + de F + p + p, com p Tr e p de p p, ± p Casos críicos de Lapunov: 4 F p e p, ± j p cenro F p p p e p, ± e p EA93 - Pro. Von Zuben Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 4
EA93 - Pro. Von Zuben neses casos, a linearização não inorma nada sobre a esabilidade, pois o ermo de a ordem é nulo na expansão de Talor, ou seja, o ermo que domina para qualquer perurbação em orno do pono de equilíbrio já é de ordem. p cenro oco insável oco esável nó insável nó esável p sela caso críico Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 5 6 Exemplo de uilização do plano de parâmeros EA93 - Pro. Von Zuben r + e k u s + s s + s + equação caracerísica: + k s + + k s + k s s + p + k k p p k p p 3 p p, com p p 3 p ± j 4 resulado: as curvas não se inercepam conclusão: k [, sela k, + nó esável Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 6
EA93 - Pro. Von Zuben Inerpreação geomérica no plano de parâmeros: p k +3 p k 3 Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 7 O lugar das raízes ica: EA93 - Pro. Von Zuben Im k + Re Criério de Rouh-Huriz: s + + k s + k k [, + + k k k + k >, k [, + k >, k > Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 8
EA93 - Pro. Von Zuben 7 Reerências para os ópicos 4, 5 e 6 FERREIRA, P.A.V. Noas de Aula EA93, FEEC/Unicamp, 997. KHALIL, H. Lesson 4 Nonlinear Ssems, in Masen, M.K. ed. Modern Conrol Ssems, IEEE Press, pp. 33-68, 995. NIJMEIJER, H. & VAN DER SCHAFT, P. Nonlinear Dnamical Conrol Ssems, Springer, 99. OTT, E. Chaos in Dnamical Ssems, Ne York: Cambridge Universi Press, 993. OTT, E., GREBOGI, C., YORKE, J.A. Conrolling Chaos, Phsical Revie Leers, vol. 64, no., pp. 96-99, March 99. SHINBROT, T., GREBOGI, C., OTT, E., YORKE, J.A. Using small perurbaions o conrol chaos, Naure, vol. 363, pp. 4-47, June 993. SLOTINE, J.-J. E. & LI, W. Applied Nonlinear Conrol, Prenice Hall, 99. Tópico 6 - Sisemas Não-Lineares de a ordem Plano de Fase 9