EQUIVALENTES DINÂMICOS PARA ESTUDOS DE HARMÔNICOS USANDO ANÁLISE MODAL. Franklin Clement Véliz Sergio Luis Varricchio Sergio Gomes Jr.

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1 SP-2 X SEPOPE 2 a 25 de maio de 2006 a 2 s o 25 h 2006 X SIPÓSIO DE ESPECIAISTAS E PANEJAENTO DA OPERAÇÃO E EXPANSÃO EÉTRICA X SYPOSIU OF SPECIAISTS IN EECTRIC OPERATIONA AND EXPANSION PANNING FORIANÓPOIS (SC BRASI EQUIVAENTES DINÂICOS PARA ESTUDOS DE HARÔNICOS USANDO ANÁISE ODA Franlin Clemen Véliz Sergio uis Varricchio Sergio Gomes Jr Cepel Rio de Janeiro, Brasil RESUO Ese rabalho descreve uma meodologia para a obenção de equivalenes dinâmicos de pares de redes eléricas de grande pore A represenação de pares de redes eléricas por equivalenes reduz as dimensões das marizes do sisema com conseqüene redução do esforço compuacional e do empo requerido para a obenção dos resulados Além diso, maném o foco do engenheiro de esudos na pare de ineresse do sisema (área de esudos que é modelada em dealhe O méodo proposo considera os comporamenos passivo e aivo de redes eléricas Para o comporameno passivo, o méodo produz um equivalene modal analíico no domínio da freqüência complexa s, baseado no cálculo dos pólos dominanes e dos resíduos associados das funções de ransferências relacionadas às barras de conexão enre a pare do sisema a ser subsiuída pelo equivalene (área exerna e a área de esudos Para o comporameno aivo, o méodo proposo produz fones de correnes equivalenes a parir do cálculo das correnes harmônicas de curo circuio nas barras de conexão Resulados de simulações uilizando o equivalene para represenar a área exerna de uma rede elérica são comparados com os obidos quando oda a rede é represenada em dealhe, mosrando excelenes concordâncias, validando, desa forma, a meodologia proposa PAAVRAS CHAVE Análise modal, análise linear, domínio s, equivalenes dinâmicos, correnes de Noron, redes eléricas, harmônicos

2 Inrodução Em muios esudos de sisemas de poência, a rede elérica pode ser dividida em duas pares ou em dois subsisemas Um dos subsisemas é o de ineresse (área de esudos, onde se deseja esudar em dealhe algum ipo de fenômeno elérico O ouro subsisema (área exerna, formado pelo resane do sisema, pode ser subsiuído por um equivalene Em geral a subsiuição (modelagem da área exerna por um equivalene objeiva a redução do esforço compuacional e, conseqüenemene, do empo necessário para a obenção dos resulados Além diso, facilia maner o foco da aenção do engenheiro na área de esudos Um procedimeno basane uilizado quando se deseja consruir um equivalene da área exerna, é represená-la por suas impedâncias de curo circuio nas barras de conexão com a área de esudos Um pouco mais de exaidão pode ser obida quando se considera, além das impedâncias das barras de conexão para a erra, as impedâncias de ransferência enre elas (equivalene de Ward [], odas calculadas para a freqüência fundamenal do sisema Desa forma, em-se uma mariz de impedâncias equivalene de freqüência fundamenal do sisema No enano, as caracerísicas da área exerna serão perdidas para ouras freqüências, o que poderá implicar em sérios erros em análises poseriores Ese problema pode ser conornado se a mariz de impedâncias equivalene for calculada para diversos valores discreos de freqüência denro da faixa de ineresse e não apenas para a freqüência fundamenal O fao dese méodo não produzir as expressões analíicas dos elemenos da mariz equivalene, como funções da freqüência complexa s, sem que haja a necessidade de se recalcular e inverer oda a mariz admiância nodal da área exerna, impossibilia sua uilização práica quando se deseja realizar a análise modal do sisema reduzido (área de esudos incorporando o equivalene da área exerna Tal análise envolve o cálculo de pólos e resíduos associados [2]-[6], sensibilidades [5], [6], ec e suas aplicações nas áreas de harmônicos [5], [6] e de ransiórios eleromagnéicos [4], sendo esa a principal desvanagem dese méodo Nese rabalho é proposa uma meodologia para a deerminação desas expressões analíicas, uilizando a análise modal Esas expressões podem ser escrias como um somaório de frações parciais a parir do cálculo de pólos e resíduos associados das funções de ransferência relaivas às barras de conexão Na meodologia proposa, uilizam-se apenas os pólos associados aos resíduos com os maiores módulos denro da faixa de freqüências de ineresse (pólos dominanes Quano maior o número de pólos dominanes e resíduos associados uilizados, maior a exaidão das expressões analíicas dos elemenos Uma vez que eses pólos dominanes e resíduos associados definem os principais modos naurais de oscilação da dinâmica da rede exerna, os equivalenes consruídos uilizando-os foram denominados de equivalenes dinâmicos Eses equivalenes são ambém chamados de modelos reduzidos ou de equivalenes modais O primeiro nome deve-se ao fao de que apenas um número reduzido de pólos (pólos dominanes e de resíduos associados são uilizados na deerminação das expressões analíicas dos elemenos da mariz equivalene que modela a área exerna O segundo devido à uilização da análise modal para o cálculo deses pólos e resíduos associados Denre as modelagens de redes eléricas que permiem a realização da análise modal de redes eléricas, pode-se ciar espaço de esados, sisemas descriores e mariz de admiâncias nodais escria no domínio da freqüência complexa s, mariz Y(s As duas primeiras modelagens apresenam dificuldades em considerar a naureza disribuída e variável com a freqüência dos parâmeros das linhas de ransmissão Por ouro lado, iso é facilmene considerado na modelagem por mariz Y(s Como ouras vanagens da uilização da mariz de admiâncias nodais, pode-se ciar a facilidade na sua monagem e suas dimensões reduzidas Esa facilidade de monagem faz ambém com que a incorporação do equivalene modal da área exerna à rede da área de esudos (sisema reduzido seja feio com grande facilidade Na referência [6], é apresenada uma comparação enre as modelagens de redes eléricas acima ciadas Diversos algorimos para o cálculo de pólos e resíduos associados esão descrios em [2] Eses algorimos uilizam, além da mariz Y(s, sua derivada em relação a s Ressala-se que eses algorimos 2

3 podem ser aplicados a qualquer sisema maricial no domínio s, não se resringindo, porano, à mariz de admiâncias nodais A pare aiva do equivalene é obida uilizando o eorema de Noron Primeiramene, a área exerna é separada da área de esudos nas barras de conexão (como será viso, ese procedimeno ambém é uilizado para a obenção do equivalene passivo A seguir as barras de conexão da área exerna são curo-circuiadas para a erra e as correnes harmônicas de curo-circuio calculadas Finalmene, fones de correne injeando as correnes harmônicas de curo-circuio são ligadas às barras de conexão do sisema reduzido, onde a área de esudos esa dealhadamene represenada e a área exerna represenada pelo equivalene proposo As simulações compuacionais apresenadas nese rabalho são realizadas considerando uma rede elérica onde a área de esudos esá conecada à área exerna por meio de uma barra (conexão monobarra Os resulados obidos com o sisema reduzido são comparados com os obidos considerando odo o sisema modelado dealhadamene, verificando-se excelene concordância enre eles 2 odelos no Domínio-s As relações dinâmicas enre as diversas enradas de correne e saídas de ensão de uma rede elérica podem ser descrias como uma mariz admiância nodal no domínio s, Y(s [2]-[6] Avaliada para s = jω s, orna-se a mariz admiância nodal na freqüência fundamenal ω s comumene uilizada em ferramenas de esudos de sisemas eléricos de poência (fluxo de poência, curo circuio, esabilidade eleromecânica, ec A seguine equação maricial descreve uma rede elérica genérica: ( v i Y s = ( onde v e i são os veores de ensões (variáveis de saída e de correnes (variáveis de enrada nodais, respecivamene, ambém funções da freqüência complexa s A equação ( pode ser aumenada para modelar funções de ransferência com apenas uma enrada e uma saída (single-inpu-single-oupu ssems SISO ssems como apresenado em (2, onde a variável de enrada i é a correne injeada na barra, enquano a variável de saída v j é a ensão da barra j Os veores b e c são composos de elemenos nulos exceo o -ésimo elemeno do veor b e o j- ésimo elemeno do veor c, cujos valores são iguais a um ( s v b i Y = v = v (2 Nesa meodologia fones de ensão são modeladas aumenando-se o sisema de equações dado por ( Considere, por exemplo, uma fone de ensão com impedância inerna conecada à barra do sisema A modelagem da rede elérica, considerando a influência desa fone de ensão, é dada por: n 0 O O n O O n n nn 0 j c 0 v i v 0 = 0 v n in z f i f v f onde e denoam a ensão e a correne da fone de ensão conecada à barra As duas equações v f i f do sisema (3, relacionadas à fone de ensão conecada à barra, são: n j= z f (3 v i = 0 (4 j j f 3

4 v + z i = v (5 f Observe que as equações (4 e (5 são as leis de correnes e ensões de Kirchhoff aplicada a barra No caso de redes eléricas com diversas fones de ensão, (3 pode ser generalizada como: ( s Y K K Z f f f v i = if v onde a mariz K é composa por n f linhas (n f denoa o número de fones de ensão e n colunas (n denoa o número de barras do sisema As linhas da mariz K são composas por elemenos nulos exceo nas posições correspondenes às barras com fones de ensão, onde os elemenos possuem valores uniários A mariz K é a ransposa da mariz K A mariz Z f é quadrada e diagonal de dimensão igual a n f Seus elemenos são iguais as impedâncias inernas das fones Os veores v f e i f possuem dimensão igual a n f e são composos pelas ensões inernas e correnes das fones, respecivamene O número de variáveis de esado do sisema é usualmene maior do que a dimensão da mariz Y(s Iso é devido ao fao de cada elemeno do sisema possuir uma admiância que é em geral uma função analíica não linear de s (ex funções racionais para ramos RC, funções hiperbólicas para linhas de ransmissão, ec Os méodos de solução para auovalores proposos em [2] requerem o cálculo da derivada da mariz Y(s em relação a s Para a consrução da derivada da mariz Y(s uiliza-se as mesmas regras uilizadas para a consrução da mariz Y(s Esas regras devem ser aplicadas as derivadas das admiâncias dos elemenos do sisema em relação a s Expressões para as admiâncias de ramos RC, de ransformadores de rês enrolamenos e de linhas de ransmissão e suas derivadas em relação a s são apresenadas em [2], [3] e [5] Por exemplo, o modelo monofásico de uma linha longa de ransmissão em as seguines admiâncias [7]: s m ( γ l f (6 = coh (7 c ( γ l = csch (8 c onde s e m são as admiâncias a serem adicionadas aos elemenos da diagonal e fora da diagonal da mariz Y(s, respecivamene, associados as barras nas quais os erminais da linha são ligados Esas admiâncias são funções do comprimeno da linha l, da consane de propagação γ e da admiância caracerísica c As consanes γ e c são definidas em (9 como funções dos parâmeros da linha por unidade de comprimeno: impedância longiudinal por unidade de comprimeno Z u e admiância ransversal por unidade de comprimeno Y u (sendo ambas funções de s γ = Z ( s Y ( s Y ( s Z ( s u u = (9 c u / O cálculo dos parâmeros de linhas de ransmissão e a modelagem de sua dependência com a freqüência são descrios em numerosas publicações [7] As derivadas das admiâncias das linhas de ransmissão em relação a s e a aplicação da análise modal a modelos de linhas de ransmissão dependenes da freqüência no domínio s são apresenados em [3] 3 úliplos pólos dominanes O algorimo de pólos dominanes aplicado a sisemas modelados no domínio s foi publicado em [2] enquano o algorimo de múliplos pólos dominanes esá sendo submeido para publicação em [8] Uma vez que ese algorimo é essencial para a consrução de equivalenes modais, sua descrição é sucinamene apresenada nese iem Ese algorimo é baseado no cálculo seqüencial de múliplos pólos dominanes de uma dada função de ransferência As esimaivas iniciais, necessárias no processo ieraivo do méodo, são, em geral, escolhidas como endo pares reais nulas e imaginárias iguais as freqüências correspondenes aos máximos locais da curva de resposa em freqüência da função de ransferência A caracerísica principal dese algorimo consise na exclusão de pólos já u 4

5 deerminados da função de ransferência (deflação, eviando-se desa maneira repeidas convergências para eses pólos O algorimo de múliplos pólos dominanes esá apresenado nas equações numeradas de (0 a (2 O seu desenvolvimeno dealhado será, em breve, publicado em [8] ( ( ( Y λ b v 0 ( = c d u g ( λ ( = R j λ ( λ j ( λ = j ( ( 2 u g λ u ( ( ( ( dy λ ( dg λ w v ds ds ( ( ( Y λ c w 0 ( = (0 b d u ( dg( λ R j = ds λ ( 2 ( λ j ( j ( ( ( ( ( ( u 2 Nesas equações, b e c são os veores correspondenes à enrada e a saída da função de ransferência, como previamene definidos em (2, d é o ermo direo da função de ransferência, g(s é a função de ransferência do modelo reduzido cujos pólos λ j e resíduos R j foram previamene deerminados e ( λ é o pólo calculado na ieração O ermo direo d é calculado por: (2 d = limc s s Y( b (3 Uma lisa de esimaivas pode ser dada e para cada esimaiva λ ( a mariz Y(λ ( e sua derivada em relação a s são obidas Com os pólos e resíduos previamene calculados, g(s e sua derivada são deerminadas uilizando ( Resolvendo os sisemas lineares dados em (0, obém-se os veores v, w e o escalar u para a nova ieração Subsiuindo os valores de u, v, w, dy(s/ds, g(s e dg(s/ds em (2 o valor da variação λ pode ser obido Assim, o valor do pólo para a próxima ieração é dado por: ( ( ( λ + = λ + λ (4 Ese procedimeno é repeido aé que o módulo do incremeno λ ( seja menor que uma olerância especificada A aproximação do resíduo associado ao pólo da função de ransferência considerada, na ieração (+, é dado por: R ( + = ( [ w ] ( ( ( [ 2 u g λ ] d ( Y λ ( v u ds ( ( ( 2 ( dg( λ ds Depois da convergência do pólo, a expressão (5 fornece o valor correo do resíduo associado O algorimo de múliplos pólos dominanes apresena caracerísicas de rapidez e de robusez de convergência e que serão em breve descrias em dealhes em [8] Ao final o algorimo irá fornecer os pólos dominanes (e resíduos associados mais próximos das esimaivas iniciais Com ese conjuno de pólos e resíduos associados, é possível se aproximar a função de ransferência considerada pelo modelo de ordem reduzida, ou seja: (5 5

6 G n p R s λ i= i ( s + d onde n p é o número de pólos dominanes uilizados Se odos os pólos dominanes da função de ransferência forem uilizados, o somaório do lado direio de (6 será uma excelene aproximação de G(s 4 Equivalenes odais Na Figura esá mosrada uma rede elérica consiuída pelas áreas de esudos e exerna Esas áreas esão conecadas por m barras O primeiro passo para a obenção do equivalene modal é separar as duas áreas nas barras de conexão, isolando a área exerna, conforme mosrado na Figura 2 i (6 Área de Esudos m Área Exerna m Área Exerna Figura : Rede elérica consiuída pelas áreas de esudos e exerna Figura 2: Área exerna isolada As impedâncias próprias das barras de conexão e as de ransferência enre elas devem ser calculadas para a consrução da mariz Z eq, apresenada em (7 Cada elemeno desa mariz (ij, resíduos associados ( ij λ R e ermos direos z eq ( s z eq i ( s z eq n ( s O O Z = ( ( ( eq z eq i s z eq ii s z eq in s (7 O O z eq n( s z eq ni( s z eq nn( s z eq ij (s pode ser escrio como uma função dos pólos dominanes ( ij d, conforme mosrado em (8 Eses pólos podem ser obidos pelo algorimo de múliplos pólos dominanes, onde as funções de ransferência uilizadas são os elemenos da mariz Z eq z eq ij ( s np = ( ij R ( ij ( ij + d s λ A mariz admiância nodal equivalene é obida inverendo-se a mariz Z eq : (8 eq = Z eq Y (9 Seja Y es (s a mariz admiância nodal da área de esudos isolada Os elemenos da mariz Y(s que represena a área de esudos, levando-se em cona a presença da área exerna (sisema reduzido, são dados por: ij ( s ( s ( s = (20 es ij + eq ij 6

7 eq ij ( es ij ( onde s e s são elemenos das marizes Yeq(s e Y es (s, respecivamene 5 Pare Aiva do Equivalene odal Como dio aneriormene, o eorema de Noron é uilizado para a obenção da pare aiva do equivalene da área exerna Assim, as barras de conexão devem ser ligadas à erra de modo que as correnes de curo-circuio nesas barras possam ser calculadas Ese procedimeno esá mosrado na Figura 3, onde i cc-, i cc- e i cc-m são as correnes de curo-circuio nas barras de conexão,,,, m, respecivamene, calculadas para cada harmônico de ineresse m i cc- i cc- i cc-m Área Exerna Figura 3: Correnes de curo-circuio da área exerna Deve-se observar que curo-circuiar as barras de conexão corresponde a ligá-las a fones ideais de ensão com valores nulos Desa forma, o primeiro passo para o cálculo desas correnes de curocircuio é solucionar o sisema linear dado por (6 com Y(s subsiuída por Y ex (s e Z f e v f feios iguais a zero, sendo Y ex (s a mariz admiância nodal da área exerna, ou seja: Y ex K ( s K 0 v i = if 0 Devido à convenção de sinais, as correnes das fones de ensão que compõe o veor i f possuem o senido de enrar nas barras de conexão, enquano as correnes de curo-circuio possuem o senido de sair desas barras em direção ao nó de referência Assim, após resolver o sisema (2 para i f, em-se: i [ icc icc icc m ] = if cc = (2 (22 Após a obenção das pares passiva e aiva do equivalene modal, o sisema reduzido pode ser consruído, conforme mosrado esquemaicamene na Figura 4 Deve-se observar que a mariz admiância nodal dese sisema possui a mesma dimensão da mariz da área de esudos Área de Esudos i cc- i cc- m Z eq (s i cc-m 6 Resulados Figura 4: Esquema do sisema reduzido A rede elérica escolhida para a análise é composa por um sisema de ransmissão (área de esudos conecado a um sisema indusrial (área exerna, conforme mosrada na Figura 5 Ese 7

8 sisema de ransmissão de médio pore é uma modelagem simplificada da região sul do sisema elérico brasileiro Todas as linhas da rede elérica foram modeladas considerando a naureza disribuída dos seus parâmeros A dependência deses parâmeros com a freqüência foi omiida, embora seja possível incluí-la facilmene na modelagem Y(s O sisema indusrial de pequeno pore será subsiuído pelo seu equivalene modal Na Tabela esão apresenados os valores de suas resisências e induâncias represenaivas das cargas das barras, bem como as capaciâncias das compensações reaivas Adoou-se a modelagem R série para as cargas de ambos os sisemas (áreas [9] Os valores dos parâmeros (resisência longiudinal R, reaância longiudinal X e capaciância ransversal C por unidade de comprimeno das linhas de ransmissão do sisema indusrial esão apresenados na Tabela 2 Os valores dos comprimenos desas linhas esão apresenadas na Tabela 3 e na Tabela 4 esão apresenados os valores das fones de correnes harmônicas Sisema de Transmissão Sisema Indusrial i 26 i 3 i 2 Figura 5: Rede elérica exemplo A conexão enre o sisema de ransmissão (área de esudos e o sisema indusrial (área exerna é feia pelo ransformador insalado enre as barras 20 da área de esudos (ensão base 345 V e 0 da área exerna (ensão base 38 V, cujos valores de seus parâmeros eléricos esão apresenados na Tabela 5 Deve-se observar que ese ransformador é considerado como perencene à área de esudos Tabela : Dados de barras do sisema indusrial Barra R (Ω (H C (µf Barra R (Ω (H C (µf Tabela 2: Parâmeros das linhas de ransmissão do sisema indusrial R (Ω/m X (Ω/m C (µf /m

9 Tabela 3: Dados dos comprimenos das linhas de ransmissão do sisema indusrial Barra de Barra para l (m Barra de Barra para l (m Tabela 4: Fones de correnes harmônicas do sisema indusrial Barra Freqüência (Hz ódulo (pu Ângulo Tabela 5: Dados do ransformador de conexão enre as áreas Barra de Barra para R (Ω (H S (VA O domínio de freqüência escolhido para a análise é de 0 a 3000 Hz Devido a limiações de espaço, os dados da área exerna são apresenados apenas em [0] Os módulos das impedâncias próprias da barra de conexão (barra 0 das áreas de esudos e exerna desconecadas esão mosradas na Figura 6 Observa-se que esas impedâncias são da mesma ordem, indicando que exise uma ala ineração enre as áreas Deve-se observar que quando o módulo da impedância da área exerna é muio maior (ou muio menor do que o da área de esudos, não é necessário o uso de equivalenes sofisicados, basando, simplesmene deixar as barras de conexão em abero (ou curo-circuiadas Na Figura 7 esá mosrado o módulo da impedância própria da barra 0 (barra de conexão da área exerna isolada em função da freqüência superposo ao módulo da impedância do seu equivalene obido para a freqüência fundamenal da rede (equivalene de curo-circuio Observa-se que a resposa em freqüência do equivalene de freqüência fundamenal é praicamene uma linha rea, devido ao seu comporameno induivo, pois o mesmo é composo por uma induância em série com uma resisência Na Figura 8 esão mosradas as resposas em freqüência do módulo da impedância própria da barra de conexão (barra 0, considerando o sisema compleo composo por ambas as áreas modeladas em dealhe e o sisema reduzido composo pela área de esudos modelada em dealhe e pelo equivalene de freqüência indusrial da área exerna Como se pode observar esas curvas são consideravelmene diferenes, mosrando a baixa qualidade do equivalene de freqüência indusrial da área exerna Na Tabela 6 esão lisados os pólos dominanes e resíduos associados da impedância própria da barra de conexão da área exerna Eses pólos foram deerminados uilizando o méodo de múliplos pólos dominanes, uilizando como iniciaivas iniciais os valores de freqüência correspondenes aos picos presenes na curva do módulo da impedância própria da barra de conexão Nese caso o ermo d é nulo 9

10 2 8 5 Área Exerna Área de Esudos Área Exerna Equivalene de 60 Hz Z(j ω 2 09 Z(j ω Freqüência (Hz Freqüência (Hz Figura 6: ódulos das impedâncias próprias da barra de conexão Figura 7: ódulos da impedância própria da barra de conexão da área exerna e do seu equivalene de 60 Hz Sisema Compleo Sisema Reduzido (60 Hz Z(j ω Freqüência (Hz Figura 8: Verificação da qualidade do equivalene de freqüência indusrial da área exerna Tabela 6: Pólos dominanes e seus resíduos associados da impedância própria da barra 0 da área exerna Pólos Resíduos ± j m j ± j m j ± j ± j ± j m j ± j m j ± j m j ± j m j Com eses pólos dominanes e seus resíduos associados, o modelo de ordem reduzida da impedância própria da barra 0 da área exerna pode ser consruído uilizando (8 Na Figura 9 e na Figura 0 esão mosradas as curvas de resposa em freqüência (módulo e ângulo da impedância própria da barra 0 obidas considerando o modelo dealhado e o equivalene modal da área exerna isolada Como se pode observar, esas curvas são visualmene coincidenes para o inervalo de freqüências de ineresse Na Figura e na Figura 2 esão mosradas as resposas em freqüência do módulo e do ângulo da impedância própria da barra de conexão (barra 0, considerando o sisema compleo composo por ambas as áreas modeladas em dealhe e o sisema reduzido composo pela área de esudos modelada em dealhe e pelo equivalene modal da área exerna Como se pode observar esas curvas são visualmene coincidenes, mosrando a excelene qualidade do equivalene modal proposo 0

11 Z(j ω odelo Dealhado Equivalene odal Freqüência (Hz ang [Z(j ω] odelo Dealhado Equivalene odal Freqüência (Hz Figura 9: ódulos das impedâncias próprias da barra de conexão da área exerna isolada, considerando sua modelagem dealhada e seu equivalene modal Figura 0: Ângulos das impedâncias próprias da barra de conexão da área exerna isolada, considerando sua modelagem dealhada e seu equivalene modal Z(j ω Sisema Compleo Sisema Reduzido odal Freqüência (Hz ang [Z(j ω] Sisema Compleo Sis Reduzido odal Freqüência (Hz Figura : Verificação da qualidade do equivalene modal proposo pela comparação do módulo da impedância própria da barra de conexão Figura 2 Verificação da qualidade do equivalene modal proposo pela comparação do ângulo da impedância própria da barra de conexão Uma vanagem dese equivalene modal é que seus pólos são um subconjuno dos pólos da área exerna, ou seja, os pólos dese equivalene são verdadeiros Assim, por exemplo, quando se calcula o segundo pólo (ou o segundo par de pólos a ser incluído no equivalene, o cálculo do primeiro coninua válido Ou seja, nese méodo, a ordem do equivalene pode ser aumenada aproveiando-se odos os cálculos feios aneriormene Ese ipo de facilidade e eficiência não é enconrado em méodos onde os pólos do equivalene são aproximações dos pólos da área exerna Neses méodos, em geral, o aumeno da ordem do equivalene implica no recálculo de odo o conjuno de pólos O objeivo de se aumenar a ordem do equivalene é se ober maior exaidão denro da faixa de freqüências de ineresse ou expandir esa faixa de ineresse Para a obenção da pare aiva do equivalene, a barra de conexão (barra 0 da área exerna deve ser curo-circuiada, para que as correnes harmônicas de Noron possam ser deerminadas, conforme descrio no iem 5 Ese cálculo é realizado considerando a auação simulânea das fones de correnes harmônicas insaladas nas barras 4, 26 e 35 da área exerna Na Tabela 7 esão descrios os valores desas correnes Tabela 7: Correnes harmônicas de Noron Barra Freqüência (Hz ódulo (pu Ângulo (graus Uma vez obidas as pares passiva e aiva do equivalene modal da área exerna, é possível se calcular as disorções harmônicas de ensão no sisema reduzido composo pela área de esudos e pelo equivalene Os valores desas disorções esão apresenados na Tabela 8, considerando o sisema reduzido e o sisema compleo (composo por ambas as áreas modeladas em dealhe Conforme pode ser observado, com exceção das barras conecadas a fones de ensão senoidais ideais, os erros

12 máximos nos valores das disorções, calculados uilizando-se o sisema reduzido, foi de 0085 % para o 5 o e de 0003 % para o 7 o harmônicos, considerando odas as barras da área de esudos Barra Sisema Compleo 5 o harmônico (% Tabela 8:Comparação enre as disorções harmônicas de ensão Sisema Reduzido 5 o harmônico (% Erro(% Sisema Compleo 7 o harmônico (% Sisema Reduzido 7 o harmônico (% Erro(% Conclusões Nese rabalho é descria uma nova meodologia para a consrução de equivalenes dinâmicos com pares passiva e aiva de uma área do sisema (área exerna No exemplo apresenado, o equivalene proposo foi capaz de subsiuir com excelene exaidão um sisema indusrial (área exerna conecado a um sisema de ransmissão (área de esudos Ese ipo de subsiuição pode ser paricularmene úil quando se considera os diversos sisemas indusriais, de sub-ransmissão e de disribuição que esão conecados ao sisema de ransmissão, uma vez que a modelagem dealhada de odos eses sisemas pode levar a marizes de dimensões muio grandes, com conseqüenes problemas de memória e de empo compuacional Com o uso dos equivalenes o sisema de ransmissão pode ser esudado com marizes de dimensões iguais ao seu número de barras Uma vanagem do equivalene modal proposo é que seus pólos são um subconjuno dos pólos da área exerna, ou seja, os pólos dese equivalene são verdadeiros Devido a iso, a sua ordem pode ser aumenada simplesmene pelo cálculo de um novo pólo real ou par de pólos complexos conjugados, aproveiando-se odos os pólos calculados aneriormene Além diso, garane-se que nenhuma 2

13 dinâmica falsa ou espúria seja inroduzida no equivalene, o que pode aconecer com méodos baseados no cálculo de pólos aproximados da área exerna 8 Referências [] J B Ward, Equivalen Circuis for Power Flow Sudies, AIEE Transacions 68, , New Yor, 949 [2] S Gomes Jr, N arins, C Porela, odal Analsis Applied o s-domain odels of ac Newors, Procedings of he IEEE/PES Winer eeing, Columbus, Ohio, Janeiro 200 [3] S Gomes Jr, C Porela, N arins, Deailed odel of ong Transmission ines for odal Analsis of ac Newors, Proceedings of he IPST 0 - Inernaional Conference on Power Ssem Transiens, Rio de Janeiro, Brasil, Junio 200 [4] S Gomes Jr, N arins, S Varricchio, C Porela, odal Analsis of Elecromagneic Transiens in ac Newor having ong Transmission ines, submied o Transacions on Power Deliver [5] S Varricchio, S Gomes Jr, N arins, s-domain Approach o Reduce Harmonic Volage Disorions Using Sensiivi Analsis, Proceedings of he IEEE/PES Winer eeing, Columbus, Ohio, Janeiro 200 [6] Sergio Varricchio, Sergio Gomes Jr, Nelson arins, eandro Ramos de Araujo, Franlin Clemen Véliz, Crisiano de Oliveira Cosa, Advanced Tool for Harmonic Analsis of Power Ssems, IX Smposium of Specialiss in Elecric Operaional and Expansion Planning IX SEPOPE, Rio de Janeiro, RJ, Brazil, 23rd o 27h, a, 2004 [7] J A arinez-velasco (Ed, Compuer Analsis of Elecric Power Ssem Transiens, New Yor: IEEE Press, 997 [8] S Gomes Jr, N arins, C Porela, Compuaion of uliple Dominan Poles in s-domain, submied o Transacions on Power Ssems [9] Sergio uis Varricchio e Crisiano de Oliveira Cosa, odelagem de Cargas e de Fones de Correne enre Barras para Esudos de Comporameno Harmônico de Sisemas de Poência, Relaório Técnico CEPE, No DP/DSE , 2005 [0] Franlin Clemen Véliz, Equivalenes Dinâmicos de Redes Eléricas de Grande Pore Uilizando Análise odal, Tese de esrado, COPPE/UFRJ, RJ, Brasil, Abril Bibliografia Franlin Clemen Véliz obeve os graus de BSc e Sc em engenharia elérica em 200 e 2005 pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil Desde 2002 rabalha no CEPE, desenvolvendo méodos e ferramenas compuacionais para análises de sisemas de poência Sergio uis Varricchio obeve o grau de BSc em engenharia elérica em 987 pela Universidade Caólica de Perópolis (UCP, Perópolis, RJ, Brasil e o grau de Sc em engenharia elérica em 993 pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil Desde 989 rabalha no CEPE onde aualmene desenvolve rabalhos e pesquisas nas áreas de análise de sisemas de poência, qualidade de energia e ransiórios eleromagnéicos Sergio Gomes Jr obeve o grau de BSc em engenharia elérica pela Universidade Federal Fluminense (UFF, Nierói, RJ, Brasil e os graus de Sc e PhD em engenharia elérica pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, em 992, 995 e 2002, respecivamene Desde 994 rabalha no CEPE, desenvolvendo méodos e ferramenas compuacionais para análises de sisemas de poência 3