XIII SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 6 a 8 de Novembro de 2006 MÉTODOS DO AUXÍLIO MULTICRITÉRIO À DECISÃO QUE EMPREGAM A UTILIDADE ADITIVA Luís Alberto Duca Rael (UFF) duca@metal.eemvr.uff.br Nlso Bradalse (UFF) lso@metal.eemvr.uff.br Resumo: Este trabalho de pesqusa apreseta dos métodos do Auxílo Multcrtéro à Decsão, o Método UTA (Jacquet-Larèze e Sskos, 092) e o Método UTAC (Rael, 2002). Ambas metodoloas empream a Teora da Utldade Adtva. As duas metodoloas são apresetadas e são fetas comparações etre as mesmas. As comparações etre as duas metodoloas são mostradas as coclusões. Palavras-chave: Utldade Adtva, Auxílo Multcrtéro à Decsão, Tomada de Decsão.. Itrodução O Auxílo Multcrtéro à Decsão é uma área da Pesqusa Operacoal que trata de problemas decsóros, quado estes ecesstam utlzar mas do que um crtéro, para aalsar as alteratvas, que são as soluções do problema abordado (Baa e Costa, 990), (Baa e Costa e Vasck, 995). Os resultados obtdos com o empreo do Auxílo Multcrtéro à Decsão em problemas complexos ustfcam a sua utlzação, apresetado-se como ferrameta poderosa a um custo acessível a busca da melhor solução (Gomes et al, 2002), (Gomes et al, 2003). Auxílo Multcrtéro à Decsão (AMD) ão busca drmr o coflto etre os crtéros ualmete deseáves, busca sm, emprear um método para se fazer uma aálse sstemátca do problema de decsão, eleedo desta forma a melhor alteratva (Belto e Stewart, 2002), (Vcke, 989). Detre os dversos métodos do Auxílo Multcrtéro à Decsão o Método UTA (Jacquet-Larèze e Sskos, 982) e o Método UTAC (Rael, 2002), ambos pertecetes à escola amercaa foram selecoados para realzarem avalações. O Método UTA (Jacquet-Larèze e Sskos, 982) é um método desevolvdo o âmbto da Tomada de Decsão Multcrtéro. Este método tem a vataem de estmar a fução de utldade adtva ão-lear de cada crtéro presete a aálse. Para estmar estas fuções de utldade adtva, é precso de uma ordeação subetva do couto ou um subcouto das alteratvas forecdo pelos decsores, e os desempehos de tas alteratvas em relação a crtéro. Desta maera, o Método UTA começa por pedr aos aetes decsores que ordeem, em termos de preferêca, o couto ou um subcouto das alteratvas. Posterormete, através da resolução de um problema de proramação lear, determam-se os valores das varáves e a forma da fução de utldade de cada crtéro. A fução obetva do modelo vsa mmzar uma fução dos erros assocados às restrções que refletem as preferêcas a pror forecdas pelo aete decsor ou pelos aetes decsores. A costrução das fuções de utldade será tato mas fel quato maor for o úmero de alteratvas que o decsor cosa ordear de forma subetva. Esta pesqusa pretede emprear além do Método UTA emprear também o Método UTAC (Rael, 2002) apresetada por Rael em 2002 em sua tese de doutorado. Nesta varate do Método UTA os decsores avalam prevamete os crtéros ão as alteratvas como o método oral. Um outro fator mportate é que as preferêcas dos decsores são cosderadas pelo modelo com a clusão de ovas varáves as restrções e a fução obetvo.
XIII SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 6 a 8 de Novembro de 2006 2. Métodos da Utldade Adtva 2. Método UTA O Método UTA (Utldade Adtva) fo desevolvdo por Jacquet-Larèze e Sskos em 982. Para aplcar este método UTA, assumem-se as bases axomátcas que estão por trás da Teora da Utldade Multatrbuto (Mult-Attrbute Utlty Theory, MAUT), pos se está buscado determar as fuções de utldade adtva (Keeey e Raffa, 993), (Schärl, 996), (Vcke, 989), (Romero e Pomerol, 997). O Método UTA apreseta dversas aplcações as mas varadas áreas, (Zopouds e Dmtrs, 998), (Rael et. al, 2003), (Gozaález-Araya et al, 2002), (Rael, 200), O problema de reressão ordal que é tratado pelo método UTA (Jacquet-Larèze e Sskos, 982) é o seute: Tedo uma estrutura de preferêca de ordem-fraca de (f,~), com f sfcado preferêca estrta e ~ a dfereça em um couto de alteratvas ou ações, o auste da fução de utldade adtva baseado em crtéros múltplos é obtda de tal modo que a estrutura de preferêca resultate sea tão cosstêca quato possível com a estrutura cal. No modelo adtvo, quado somete um crtéro está evolvdo, a preferêca pode ser explctada como seue; a f b ( a), () > a ~ b ( a), (2) = que sfca que cada crtéro defe o couto A uma relação de ordem (f,~). Cosdere um couto de alteratvas, chamado de A, que é avalado por um couto de crtéros = (, 2, 3,..., ), sedo o úmero de crtéros e o desempeho o crtéro. A areação de todos os crtéros em um úco crtéro é chamada de fução de utldade multatrbuto e represeta-se como U ( ) = U(, 2, 3,..., ). Chama-se de P a relação de preferêca estrta e I a relação de dfereça (Roy e Bouyssou, 993) etre duas alteratvas, respectvamete. Se ( a) = [ ( a), 2( a), 3( a),..., ( é a avalação multcrtéro de uma alteratva a, etão as seutes propredades são sustetadas pela fução de utldade U: U[ > U[ ( b)] apb, (3) U[ ( = U[ ( b)] aib, (4) e a relação R = P I defe uma ordem fraca das alteratvas. A fução de utldade é adtva se é da forma: U [ ] = u ( ), (5) = ode cada u ( ) é a utldade maral do desempeho o crtéro. Uma hpótese fudametal que é precso ão esquecer quado se aplca uma fução de utldade adtva é a codção de depedêca mútua dos crtéros em fução das preferêcas (Keeey e Raffa, 993). Cosdere o valor mas alto e o valor mas baxo em termos de preferêca do crtéro. Assumdo um ão decremeto das preferêcas em cada crtéro, etão as utldades maras u são fuções moótoas crescetes. Portato, pode-se ormalzar as fuções de utldade detro do tervalo [0, ], tedo-se: = u ( ) =, (6) e u ( ) = 0 para todo. (7) O método UTA emprea a proramação lear para determar os valores das 2
XIII SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 6 a 8 de Novembro de 2006 varáves que descrevem as fuções de preferêca de cada crtéro. Para fazer a mplemetação do método UTA são ecessáras duas formações fudametas em relação às alteratvas, a avalação multcrtéro e a ordeação fraca R defda em A, ode A é o couto ou um subcouto das alteratvas presetes em A. Este couto A serve como couto de referêca para terroar ao aete decsor. Para cada par ( a, b) A', o aete decsor expressa sua preferêca ou sua dfereça lobal. Para cada alteratva de A, a fução de utldade calculada U '[ dfere da verdadera U [ ( em um erro σ(a): U '[ = u [, para todo a A' (8) = Cosderado as relações de preferêca (3) e de dfereça (4), e a fução de utldade (8), tem-se: U '[ U '[ ( b)] δ se o decsor dca apb (9) U '[ ( U'[ ( b)] = 0 se o decsor dca aib (0) sedo δ > 0, um úmero real pequeo empreado a fm de separar sfcatvamete duas classes da ordeação fraca R. Jacquet-Larèze e Sskos 982 estabeleceram que este valor de δ tem que pertecer ao tervalo [/0Q, /Q], sedo Q o úmero de classes de dfereça. Assumdo a exstêca de trastvdade, o aete decsor só precsará fazer (m ) comparações etre alteratvas, ode m correspode ao úmero de alteratvas de A. Substtudo (8) em (9) e (0), tem-se: = = { u [ u[ δ apb, () { u [ σ = 0 aib, (2) As fuções u são cosderadas como sedo leares por tervalos. Para defr tas tervalos, o aete de decsão escolhe α potos do tervalo [, ] ode a fução u está defda. Cada poto é determado pela seute fórmula: = + ( ) (3) α e varado de até α. Esses potos vão defr (α - ) tervalos eqüdstates de [, ]. ( a) + u[ = u ( ) + [ u ( ) ( )] u. (4) + A hpótese da mootocdade das preferêcas das utldades maras u ( ) requerda por este método é satsfeta através do seute couto de restrções: + u ( ) u ( ) s, =, 2, 3,..., α -, =, 2, 3,...,. (5) ode s > 0 é o lmte de dfereça defdo para cada crtéro. As varáves que represetam as utldades u ( ) e os erros σ(a) são estmadas por meo de proramação lear cosderado as restrções apresetadas. Têm-se as seutes restrções: as restrções aos lmtes superores e ferores de cada crtéro; as restrções seudo as preferêcas e as dfereças etre as alteratvas a A ; restrções que aratam a hpótese da mootocdade das utldades maras e as restrções devdo a ão eatvdade de cada crtéro. A fução obetvo do problema de proramação lear (PPL) correspode à mmzação dos erros σ(a) assocados às utldades de cada alteratva a A. Assm, a formulação matemátca do PPL é: 3
XIII SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 6 a 8 de Novembro de 2006 (PPL)M Sueto a: = = u ( = a A' F = σ ( a) (6) { u[ ( u[ δ se a P b, (7) { u [ + ) u ( ) s, σ = 0 se a I b, (8) para todo e, (9) u ( ) = (20) u ( ) = 0 para todo (2) u ( ) 0, para todo e (22) σ(a) 0 para todo a A. (23) A solução ótma de PPL será aquela (ou aquelas) que obteha o melhor valor para a fução obetva. Sea F dto valor ótmo. A experêca do uso do método dca que, mutas vezes, podem exstr soluções acetáves (F > F) que apresetem um melhor desempeho em relação às dstâcas de Kedall ou Spearma que a solução ótma (Jacquet-Larèze e Sskos, 982). Isto é, a ordem fraca R obtda por soluções acetáves está mas próxma da ordem fraca R determada pelo aete decsor que a ordem fraca determada pela solução ótma. Por este motvo, o método UTA ão pára com a obteção de uma solução ótma, seão que explora, através de efcetes procedmetos de pós-otmzação, os vértces de um ovo poledro que é obtdo acrescetado a restrção abaxo (24) ao couto de restrções do PPL: F F + k(f) (24) A restrção (24) estabelece que a fução obetva F ão ultrapasse F além de um lmte postvo k(f), sedo k(f) uma proporção muto pequea de F. Os vértces deste ovo poledro correspodem às fuções de utldade, ode um ou mas crtéros atem um peso extremo (ou máxmo ou mímo). Assm, a exploração do ovo poledro é feta resolvedo dos ovos problemas de proramação lear o PPL2 e o PPL3. (PPL2) M u ( ) =, 2, 3,..., (25) Sueto a: σ ( a) F + k( F) (26) = = a A' u ( = { u [ δ se a P b, (27) { u [ + ) u ( ) s, σ = 0 se a I b, (28) para todo e, (29) u ( ) = (30) u ( ) = 0 para todo (3) u ( ) 0, para todo e (32) σ(a) 0 para todo a A. (33) (PPL3) Max u ( ) =, 2, 3,..., (34) Sueto a: 4
XIII SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 6 a 8 de Novembro de 2006 σ ( a) F + k( F) (35) = = a A' u ( = { u [ δ se a P b, (36) { u [ + ) u ( ) s, σ = 0 se a I b, (37) para todo e, (38) u ( ) = (39) u ( ) = 0 para todo (40) u ( ) 0, para todo e (4) σ(a) 0 para todo a A. (42) Falmete, o método UTA propõe calcular as médas das fuções de utldade maras u ( ) obtdas pela aálse de pós-otmzação. Com estas médas, pode-se avalar a U((a)) de todas as alteratvas a A, seam ou ão estas alteratvas do couto de referêca A. 2.2 Método UTAC O Método UTA (Jacquet-Larèze e Sskos, 982) apresetado a seção ateror possu determadas característcas para ser mplemetado. Emprea a matrz de avalação e os ulametos dos decsores em termos de preferêca e dfereça das alteratvas ou de um subcouto dessas alteratvas selecoadas para aalsar o problema decsóro. Esses dados são arupados em termos de preferêcas e dfereça expressas pelos decsores e mplemetados através de dversos problemas de proramação lear, sueto às restrções; de preferêca e dfereça etre as alteratvas, mootocdade das fuções de utldade e dos lmtes superores e ferores das fuções. As varáves de decsão dos problemasde proramação lear são; as varáves σ(a) que são empreadas pelo modelo para serem adcoadas à utldade lobal de cada alteratva de modo a obterem a mesma ordeação forecda, a pror, pelos decsores; e as varáves u que defem as fuções de utldade de cada crtéro. O prmero problema de proramação lear (PPL) do Método UTA é mplemetado para verfcar se o modelo coseue obter a mesma ordeação forecda pelos decsores. O seudo e tercero PPLs são mplemetados dversas vezes para fazer a aálse pósotmzação, o úmero de mplemetações que terão que ser fetas está relacoado com o úmero de crtéros presetes a aálse. Duas mplemetações para cada crtéro buscado determar os lmtes superor e feror que o valor máxmo da fução obetvo de cada crtéro pode assumr em fução das restrções do modelo. Após aálse de pós-otmzação exda pelo método, calcula-se a méda do valor de cada varável que são os potos que rão determar a fução de utldade de cada crtéro. Em problemas de decsão, eralmete o úmero de alteratvas é muto rade, o que tora dfícl a obteção de ulametos em termos de preferêca por parte dos decsores em relação ao couto de alteratvas. Essa dfculdade em expressar preferêca é traduzda através de uma ordeação que ão represeta as preferêcas dos decsores. Por outro lado, os processos decsóros, o úmero de crtéros ormalmete é pequeo, ão devedo ser superor a ove. Este úmero fo levatado através de pesqusa (Mller, 956). Desta forma é mas fácl assm para os decsores expressarem suas preferêcas em relação a um couto de pequeo de crtéros, do que o fazer em relação ao couto das alteratvas. 5
XIII SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 6 a 8 de Novembro de 2006 Dversos métodos de Auxílo Multcrtéro à Decsão empream a quatfcação dos pesos dos crtéros, como forma dos decsores expressarem suas preferêcas em relação aos dversos potos de vstas presetes o processo decsóro. Portato, um couto com meos elemetos, como o de crtéros, tora mas fácl e cofável a aálse das preferêcas por parte dos decsores. O Método UTAC (Rael, 2002) busca obter soluções que represetem melhor os ulametos dos decsores, especalmete os casos ode as alteratvas estão em rades úmeros. Assm, partdo-se deste prcípo, faz-se o empreo das preferêcas dos decsores ão em relação ao couto das alteratvas, mas sm em relação ao couto de crtéros presetes a aálse decsóra. Deste modo, a ordeação a ser empreada como dado de etrada este Método UTAC será a ordeação das alteratvas obtda com o empreo de um outro método de AMD (método de areação adtva), que vsa obter ordeação das alteratvas, Problemátca Pδ, tedo como referêca às preferêcas dos decsores em relação ao couto de crtéros. O modelo leva em cosderação essas preferêcas dos decsores em relação ao couto de crtéros através da clusão de ovas restrções os PPLs. Uma ova fução obetvo (PPL4), apresetada a equação (43), é mplemetada este Método UTAC. Esta fução obetvo é empreada a aálse de pós-otmzação. A característca desta varate é que a aálse pós-otmzação, ão ecessta fazer dversas mplemetações do PPL4 para se calcular a sua méda, e assm determar o valor das varáves que descrevem as fuções de utldade. Para cada crtéro, duas restrções ao peso são adcoadas ao modelo, uma em relação ao seu lmte superor (52) e outra em relação a seu lmte feror (5). O PPL4 é apresetado a seur: (PPL4) M F = σ ( a) + ξ ( u MIN ) + ξ ( u MAX ) (43) Sueto a: = = u ( = a A' = { u[ ( u[ δ se a P b, (44) { u [ + ) u ( ) s, = σ = 0 se a I b, (45) para todo e, (46) u ( ) = (47) u ( ) = 0 para todo (48) u ( ) 0, para todo e (49) σ(a) 0 para todo a A. (50) u ( ) (u -MIN) > w (5) u ( ) + (u -MAX) < w (52) 3. Coclusão Este arto apreseta um ovo Método do Auxílo Multcrtéro à Decsão, o Método UTAC (Rael, 2002) que apreseta melhoras em relação ao Método UTA (Jaquet-Larèze e Sskos, 982). Ambos os métodos buscam determar fuções de utldades dos crtéros que represetem da melhor maera possível às preferêcas dos decsores evolvdos o processo decsóro. 6
XIII SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 6 a 8 de Novembro de 2006 O Método UTA para ser mplemetado requer como dado cal, das preferêcas dos decsores em relação ao couto ou subcouto de alteratvas para determar as fuções de utldades dos crtéros. O Método UTAC emprea as preferêcas dos decsores em relação ao couto de crtéro e, determa a ordeação das alteratvas, que será empreada para modelar o problema de proramação lear, com o auxílo de um método de areação adtva. Como beefíco, o Método UTAC apreseta redução do tempo de mplemetação, redução do úmero de mplemetações que terão que ser realzadas, além dsso, destaca-se que as fuções de utldades obtdas estão o mas próxmo possível das preferêcas dos decsores. Por outro lado, o Método UTAC exe o empreo de um outro método de ordeação, areação adtva, problemátca Pδ, para a sua mplemetação. Outro poto mportate em relação ao Método UTA é que mutas vezes este método determa as fuções de utldades dos crtéros, respetado as restrções dos modelos matemátcos, mas estas fuções estão loe de represetar as preferêcas dos decsores. Já o Método UTAC, devdo o empreo das restrções ao peso, sto ão acotece. 4. Referêcas Bbloráfcas BANA E COSTA, C.A. Reads Multple Crtera Decso Ad..ed. Berl : Sprer-Verla, 990, 660 p. BANA E COSTA, C.A., VANSNICK, J.C. Uma ova abordaem ao problema da costrução de uma fução de valor cardal: MACBETH, Ivestação Operacoal, Portual, v. 5, p. 5-35, 995. BARBA-ROMERO, S., POMEROL, J.C. Decsoes Multcrtero Fudametos Teórcos y Utlzacó Práctca. ed. Espaha, Alcalá: Servco de Publcacoes de la Uversdad de Alcalá, 997, 420 p. BELTON, V., STEWART, T.J. Multple Crtera Decso Aalyss: A Iterate d Approach. ed. USA, Norwell: Kluwer Academc Plublshers, 2002, 372 p. GOMES, L.F.A.M., GOMES, C.F.S., ALMEIDA, A.T. Tomada de Decsão Gerecal: Efoque Multcrtéro. ed. São Paulo, Ed. Atlas, 2002. GOMES, L.F.A.M., GONZÁLEZ -ARAYA, M.C., CARIGNANO, C. Tomada de Decsões em Ceáros Complexos. ed. São Paulo: Edtora Thoso, 2003. GONZÁLEZ -ARAYA, M.C., RANGEL, L.A.D, LINS, M.P.E., GOMES, L.F.A.M. Buld the Addtve Utlty Fuctos for CAD-UFRJ Evaluatos Staff Crtera, Aals of Operatoal Research, Kluwer, v.6, p. 27-288, 2002. JACQUET -LAGRÈZE, E., SISKOS, J. Assess a set of Addtve Utlty Fuctos for Multcrtera Decso- Mak, The UTA Method, Europea Joural of Operatoal Research, v.0, p.5-64, 982. KEENEY, R., RAIFFA, H. Decsos wth Multple Obectves - Preferece ad Value Tradeoffs. ed. New York: Cambrde Uversty Press, 993, 569 p. RANGEL, L.A.D. Determação de Fuções de Utldade através das Preferêcas dos Decsores sobre o Couto de Crtéros Empreado o Método UTA, Tese de D.Sc., COPPE/UFRJ, Ro de Jaero, RJ, Brasl, 2002, 54 p. RANGEL, L.A.D., GOMES, L.F.A.M. Avalação de caddatos ao curso de Eehara de Produção de Volta Redoda da UFF: um quadro de referêca multcrtéro, XXXII SBPO - Smpóso Braslero de Pesqusa Operacoal, Campos do Jordão, ov. 200. RANGEL, L.A.D., SOARES DE MELLO, J.C.C.B., GOMES, G.G., GOMES, L.F.A.M. Avalação da Iterorzação dos Cursos da Uversdade Federal Flumese com o Uso Couado dos Métodos UTA e MACBETH, Portual: Ivestação Operacoal, v.23, p.-2, 2003. ROY, B., BOUYSSOU, D. Ade Multcrtère à la Decso: Methodes et Cas. ed. Pars : Ed. Ecoomca, 993., 695 p. SCHÄRLIG, A. Pratquer Electre et Prométhée. ed. Susse, Lausae: Press Polytechques et Uverstares Romade, 996. 7
XIII SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 6 a 8 de Novembro de 2006 VINCKE, PH. L'Ade Multcrtère à la Décso. Bruxells, ed. Bruxells: Édtos de l'uversté de Bruxells, 989. ZOPOUNIDIS, C., DIMITRIS, A.I., Multcrtera Decso Ad Methods for the Predcto of Busess Falure. ed. Netherlads, Dordrecht: Kluwer Academc Publshers, 998, 7 p. 8