Uiversidade Federal de Alfeas Projeto e Aálise de Algoritmos Aula 07 Notações θ, Ω, ω, ο humberto@bcc.uifal-mg.edu.br
Última aula Notação O Uma fução f domia assitoticamete outra fução g se existem duas costates positivas c e 0
Última aula Notação O Uma fução f domia assitoticamete outra fução g se existem duas costates positivas c e 0 tais que, para qualquer >= 0,
Última aula Notação O Uma fução f domia assitoticamete outra fução g se existem duas costates positivas c e 0 tais que, para qualquer >= 0, temos g <= c. f
Outras otações Assim como a otação O forece uma maeira assitótica de dizer que uma fução é meor ou igual a outra, existem outras otação que forecem outras coclusões sobre a complexidade de algoritmos;
Outras otações Assim como a otação O forece uma maeira assitótica de dizer que uma fução é meor ou igual a outra, existem outras otação que forecem outras coclusões sobre a complexidade de algoritmos; Θ
Outras otações Assim como a otação O forece uma maeira assitótica de dizer que uma fução é meor ou igual a outra, existem outras otação que forecem outras coclusões sobre a complexidade de algoritmos; Θ Ω
Outras otações Assim como a otação O forece uma maeira assitótica de dizer que uma fução é meor ou igual a outra, existem outras otação que forecem outras coclusões sobre a complexidade de algoritmos; Θ Ω ω
Outras otações Assim como a otação O forece uma maeira assitótica de dizer que uma fução é meor ou igual a outra, existem outras otação que forecem outras coclusões sobre a complexidade de algoritmos; Θ Ω ω ο
Notação Ω
Notação Ω A otação Ω é bem parecida com a otação O; O defie um limite assitótico superior, e; Ω defie um limite assitótico iferior.
Notação Ω A otação Ω é bem parecida com a otação O; O defie um limite assitótico superior, e; Ω defie um limite assitótico iferior. Exemplos: 4 3
Notação Ω A otação Ω é bem parecida com a otação O; O defie um limite assitótico superior, e; Ω defie um limite assitótico iferior. Exemplos: 4 3 1
Notação Ω A otação Ω é bem parecida com a otação O; O defie um limite assitótico superior, e; Ω defie um limite assitótico iferior. Exemplos: 4 3 1 3log log
Notação Ω A otação Ω é bem parecida com a otação O; O defie um limite assitótico superior, e; Ω defie um limite assitótico iferior. Exemplos: 4 3 1 3log log 11
Notação Ω A otação Ω é bem parecida com a otação O; O defie um limite assitótico superior, e; Ω defie um limite assitótico iferior. Exemplos: 4 3 1 3log log 11!
Notação Ω Limite assitótico iferior g {f: c e 0 c g f 0 0 0 }
Notação Ω Limite assitótico iferior
Notação Ω Na prática a otação Ω ão é vista soziha em aálises de algoritmos;
Notação Ω Na prática a otação Ω ão é vista soziha em aálises de algoritmos; Pelo motivo de ão iteressar para a aálise de algoritmos;
Notação Ω Na prática a otação Ω ão é vista soziha em aálises de algoritmos; Pelo motivo de ão iteressar para a aálise de algoritmos; A otação O possui sua importâcia, pois o programador coclui que seu algoritmo é o máximo tão complexo a uma fução.
Notação Ω Na prática a otação Ω ão é vista soziha em aálises de algoritmos; Pelo motivo de ão iteressar para a aálise de algoritmos; A otação O possui sua importâcia, pois o programador coclui que seu algoritmo é o máximo tão complexo a uma fução. Mas o míimo tão complexo, como a otação Ω descreve, ão é importate para coclusões práticas sobre algoritmos.
Notação Ω Na prática a otação Ω ão é vista soziha em aálises de algoritmos; Pelo motivo de ão iteressar para a aálise de algoritmos; A otação O possui sua importâcia, pois o programador coclui que seu algoritmo é o máximo tão complexo a uma fução. Mas o míimo tão complexo, como a otação Ω descreve, ão é importate para coclusões práticas sobre algoritmos. Ω vem a maioria das vezes acompahada a otação Θ; Como um complemeto a aálise, uca soziha...
Notação θ
Notação θ Cohecida também como limite firme ou limite assitoticamete restrito.
Notação θ Cohecida também como limite firme ou limite assitoticamete restrito. A otação O, apesar de forecer iformações sobre a complexidade do algoritmo, em sempre os revela algo importate;
Notação θ Cohecida também como limite firme ou limite assitoticamete restrito. A otação O, apesar de forecer iformações sobre a complexidade do algoritmo, em sempre os revela algo importate; Não faz setido, para algum algoritmo, dizer que suas complexidade é por exemplo O!. Ou faz?
Notação θ Cohecida também como limite firme ou limite assitoticamete restrito. A otação O, apesar de forecer iformações sobre a complexidade do algoritmo, em sempre os revela algo importate; Não faz setido, para algum algoritmo, dizer que suas complexidade é por exemplo O!. Ou faz? 3 O Exemplos da falta de precisão de O: O O O O 4 5 1000 O!
Notação θ Uma fução f pertece ao cojuto θg se existem costates positivas 0, c 1 e c
Notação θ Uma fução f pertece ao cojuto θg se existem costates positivas 0, c 1 e c tais que ela possa ser impresada etre c1.g e c.g, para um valor de suficietemete grade. Θg {f: 0 c 1 c 1,c e 0 g f 0 c g 0 }
Notação θ Exemplo: Θg {f: 0 c 3 Θ 1 c 1,c g e 0 f 0 c g 0 } Para isso, devemos defiir costates c 1, c e 0 tais que: c 1 1 3 c Ecotre costates que satisfaça as duas desigualdades...
Notação θ Exemplo de costates: 1 c1 3 c Dividido por... c 1 1 3 c
Exemplo de costates: Portato, se existem tais costates Notação θ 7 1 14 1 0 1 c c Θ 3 1 3 1 c c 1 3 1 c c Dividido por...
Notação θ Observação: f x Θg x sse f x O g x e f x g x
Notação ο o miúsculo
Notação ο O limite assitótico superior forecido pela otação O ó-zão pode:
Notação ο O limite assitótico superior forecido pela otação O ó-zão pode: Ser assitoticamete restrito;
Notação ο O limite assitótico superior forecido pela otação O ó-zão pode: Ser assitoticamete restrito; Não ser assitoticamete restrito;
Notação ο O limite assitótico superior forecido pela otação O ó-zão pode: Ser assitoticamete restrito; Não ser assitoticamete restrito; Exemplos: Assitoticamete restrito: O Não assitoticamete restrito: O log O c
Notação ο Todas as fuções de O ó-zão que ão defiem um limite assitoticamete restrito pertecem a o ó-ziho
Notação ο Todas as fuções de O ó-zão que ão defiem um limite assitoticamete restrito pertecem a o ó-ziho se f O g e f g f g etao
Notação ο Todas as fuções de O ó-zão que ão defiem um limite assitoticamete restrito pertecem a o ó-ziho se f O g e f g f g etao log
Notação ο g {f: 0 c 0, f 0 c g 0 0 } Comparativo com a otação O; Não é <=, é somete < f f O g, o limite 0 f cg sematém válido para alguma costatec 0 g, o limite 0 f cg é válido para todas as costates c 0
Notação ο Facilitado o etedimeto... Se f οg lim f 0 g etão
Notação ω omega miúsculo
Notação ω O limite assitótico iferior forecido pela otação Ω omegazão pode: Ser assitoticamete restrito; Não ser assitoticamete restrito; Exemplos: Assitoticamete restrito: 3 Não assitoticamete restrito:
Notação ω Todas as fuções de Ω omegazão que ão defiem um limite assitoticamete restrito pertecem a ω se f O g e f g f g etao 1 log
Notação ω g {f: c 0 c g 0, 0 f 0 0 } Não é <=, é somete <
Notação ω Facilitado o etedimeto... Se f g lim f g etão
Exercícios
Exercícios V ou F f g sse g f g f etao g f se a b c d e f g h i g f etao g f se g f etao g f se g f etao g O f se g f etao g f se g f etao g f se g f etao g f se g f etao g f se
Exercício para próxima aula Descreva e implemete 3 algoritmos para a seguite espiral: Eles devem ter respectivamete as seguites complexidades: Θ; Θsqrt; Θ1. Eu iformo, e você iforma as coordeadas x, y do -ésio poto.
Leitura para próxima aula Livro: Algoritmos Corme 4 Recorrêcias; 4.1 O método de substituição; 4. O método de árvore de recursão 4.3 O método mestre
Bibliografia CORMEN, T. H.; LEISERSON, C. E.; RIVEST, R. L.; 00. Algoritmos Teoria e Prática. Tradução da ª edição americaa. Rio de Jaeiro. Editora Campus. TAMASSIA, ROBERTO; GOODRICH, MICHAEL T. 004. Projeto de Algoritmos - Fudametos, Aálise e Exemplos da Iteret.