UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdad d Economia, Administração Contabilidad d Ribirão Prto Dpartamnto d Economia Nom: Númro: REC00 MICROECONOMIA II PRIMEIRA PROVA (0) () Para cada uma das funçõs d produção abaixo, ncontr a taxa técnica d substituição dtrmin s a função aprsnta rndimntos constants, crscnts ou dcrscnts d scala (a) f (x, x ) 4 x x (Não us simplsmnt a fórmula da TST para a função Cobb Douglas, mas mostr como a TST é calculada) (b) f (x, x ) x + 3 x (c) f (x, x ) x + x () Encontr as funçõs d dmanda dos fators d produção a função d ofrta para cada uma das funçõs d produção abaixo: (a) f (x, x )3 x + 4 x (b) f (x, x )min { x, x } (3) S a função d lucro d uma mprsa é π(p, w, w ) p (ω + ) 4ω, na qual p é o prço do produto w w são os prços dos dois insumos d produção, dtrmin as funçõs d ofrta d dmanda dos fators d produção dssa mprsa (Expliqu como você chgou a sss rsultados) (4) Encontr as funçõs d dmanda condicional d custo das funçõs d produção abaixo: (a) f (x, x )3 x + x (b) f (x, x ) x + x (5) A função d custo d uma mprsa é c(y) y 3 4y + 0y Dtrmin: (a) A partir d qu prço do produto da mprsa a quantidad ofrtada por la passa a sr positiva (b) A mnor quantidad positiva qu podria sr ofrtada por ssa mprsa (c) A função d ofrta invrsa (prço d ofrta m função da quantidad produzida) dfinida no domínio das quantidads maiors ou iguais à quantidad do itm antrior RESPOSTAS () Para rspondr os itns dssa prgunta mprgarmos o fato d qu a taxa técnica d substituição (TTS) é (o ngativo) da razão ntr as produtividads marginais dos dois fators d produção, a dfinição d rndimntos crscnts d scala, sgundo a qual uma função d produção f (x, x ) aprsnta rndimntos crscsts d scala: caso, para qualqur α>0, α> f (αx,αx )>αf (x, x )
REC00 ª PROVA RESOLVIDA α< f (αx,αx )<αf (x, x ) rndimntos dcrscnts d scala: caso, para qualqur α>0 α> f (αx,αx )<αf (x, x ) α< f (αx,αx )>αf (x, x ) rndimntos contants d scala: caso, para qualqur α > 0, f (αx,αx ) αf (x, x ) (a) f (x, x ) 4 x x Nss caso, tmos, PMg f (x, x ) x PMg f (x, x ) x x 4 x x x 4x 3 4 x 4 x x 4 x x Assim a taxa técnica d substituição é calculada como s sgu: TTS PMg PMg x 3 4x 4 4 x x Para dtrminar s há conomias ou dsconomias d scala, obssrv qu x x f (αx,αx ) 4 αx αx α 3 4 4 x x α 3 4 f (x, x ) Como α 3 4 < α para qualqur α> α 3 4 > α para qualqur 0<α<, concluímos qu, s 0<α<, f (αx,αx )>αf (x, x ), s α> f (αx,αx )< αf (x, x ) Portanto, a função d produção aprsnta rndimntos dcrscnts d scala (b) f (x, x ) x + 3 x Nss caso, Assim, PMg x ( x + 3 x ) x PMg x ( x + 3 x ) 3 x x TTS PMg PMg 3 x Para vrificar a xistência d rndimntos d scala, notmos qu f (αx,αx ) αx + 3 αx α ( x + 3 x ) αf (x, x ) Como, para qualqur α >, α < α, para qualqur 0 < α <, α > α Concluímos qu, caso, α >, f (αx,αx ) < αf (x, x ), caso 0 < α <
REC00 ª PROVA RESOLVIDA,f (αx,αx )>αf (x, x ) Portanto a função d produção aprsnta rndimntos dcrscnts d scala (c) No caso m qu a função d produção é f (x, x ) x + x, as produtividads marginais dos fators d produção são: PMg ( ) x + x x x + x PMg ( ) x + x x x + x Portanto a taxa d substituição técnica srá () TST PMg PMg Essa função d produção aprsnta rndimntos dcrscnts d scala pois, para qualqur α>0, f (αx,αx ) αx + αx α x + x αf (x, x ) Novamnt, como, para qualqur α>, α<α, para qualqur 0<α<, α>α Concluímos qu, caso, α>, f (αx,αx )<αf (x, x ), caso 0< α <,f (αx,αx ) > αf (x, x ) Portanto a função d produção aprsnta rndimntos dcrscnts d scala (a) Como s trata d uma função d produção côncava, sabmos qu as condiçõs d máximo d sgunda ordm srão atndidas Nss caso, basta vrificar as condiçõs d lucro máximo d primira ordm, igualando o valor da produtividad marginal d cada fator d produção ao su prço As produtividads marginais dos fators d produção são PMg 3 x PMg x Assim, a condição d maximização d lucro é 3 p ω p x x Rsolvndo para x x ncontramos as funçõs d dmanda dos dois fators d produção: x (p,ω, ) 9 4 p x (p,ω, )4 p Para ncontrar a função d ofrta, basta substituir na função d produção x x por ssas xprssõs: ( 8 y(p,ω, ) p + 9 ) ω 3
REC00 ª PROVA RESOLVIDA (b) Obrv qu s trata d uma função d produção com complmntaridad prfita ntr os insumos d produção, sndo os insumos complmntars na razão d 9 unidads do insumo por unidad do insumo Nss caso, para maximizar su lucro, a mprsa não dv mantr nnhum dsss insumos m xcsso Assim, a solução d lucro máximo dv implicar 4x x O lucro da mprsa srá dado por p min { x, x } ω x x Substituindo nssa xprssão, a igualdad x 4x, ficamos com a xprssão do lucro intiramnt m função d x : ω x 4 x + p x Encontramos a função d dmanda plo insumo drivando ssa xprssão m rlação a x igualando o rsultado a zro ou sja, p x ω + 4 x (p,ω, ) p (ω + 4 ) A dmanda plo insumo é ncontrada aplicando-s novamnt a igualdad 4x, d tal sort qu p x (p,ω, )4 (ω + 4 ) A função d ofrta é ncontrada substituindo-s as funçõs d dmanda na função d produção obtndo-s p y(p,ω, ) ω + 4 (3) Plo lma d Hottling, a drivada parcial da função d lucro m rlação ao prço do produto é a função d ofrta os ngativos das drivadas parciais da função d lucro m rlação aos prços dos fators são as funçõs d dmanda dsss fators Assim trmos: (4) y(p,ω, ) π p p (ω + ) ω, x (p,ω, ) π ω p 4 x (p,ω, ) π p 4 Obsrv qu s trata d uma função côncava, portanto, a condição d máximo d sgunda ordm stá garantida 4
REC00 ª PROVA RESOLVIDA (a) Nss, caso, como a função d produção é stritamnt côncava, portanto, stritamnt quas-côncava, podmos usar as condiçõs d custo mínimo d primira ordm dscritas plo sistma d quaçõs: { TST ω f (x, x ) y As produtividads marginais dos insumos são PMg 3 x PMg x Assim, a taxa d substituição técnica é x TST PMg 3 PMg x Portanto, o sistma d quaçõs qu xprssam as condiçõs d custo mínimo é { 3 x x ω 3 x + x y Rsolvndo ss sistma, ncontramos as funçõs d dmanda condicionais: x (y,ω, )9 y (4ω + 9 ) x (y,ω, )4 y (4ω + 9 ) Finalmnt, a função d custo é obtida somando-s os valors das dmandas condicionais: c(y,ω, )ω x (y,ω, )+ x (y,ω, ) ω y 4ω + 9 (b) Trata d um caso d substitutos prfitos na produção, pois as produtividads marginais dos dois insumos são: P M g f (x, x ) x P M g f (x, x ) x, d tal sort qu a taxa d substituição técnica é constant igual a TST PMg PMg Quando isso ocorr, ao minimizar su custo, a mprsa dv contratar xclusivamnt o insumo caso o prço rlativo ω / sja infrior ao módulo da taxa d substituição técnica, xclusivamnt o insumo caso ω / > T ST, ou qualqur combinação d insumo caso ω / T ST 5
REC00 ª PROVA RESOLVIDA Assim, as funçõs d dmanda dos dois insumos são dadas por [ ] y caso 0 < ω [ ] [ ] x (y,ω, ) 0 x (y,ω, ) y caso > ω ] } {[ x x : x + x y caso ω Dss modo, a função d custo, obtida somando-s os produtos das dmandas d cada fator vzs su prço, srá dada por { ω y caso c(y,ω, ) ω y caso ω, ou, usando a função mínimo, c(y,ω, )min { ω y, } y (5) (a) A quantidad ofrtada pla mprsa só é positiva para prços maiors ou iguais ao custo variávl médio mínimo Nossa mprsa não possui custo fixo Portanto, su custo médio é igual a su custo variávl médio é igual a CVM c(y) y 4y+ 0 y O ponto d custo variávl médio mínimo ocorr quando y é tal qu dcvm(y) 0 y 40 y d y Para calcular o custo variávl médio mínimo basta, assim, calcular o valor do custo variávl médio quando y : CVM min 6 Assim, a mprsa ofrtará quantidads positivas d su produto para prços maiors ou iguais a 6 (b) A mnor quantidad positiva qu podrá sr ofrtada por ssa mprsa é a quantidad qu minimiza o custo variávl médio y Essa quantidad podrá sr ofrtada no caso m qu o prço do produto é igual ao custo variávl médio mínimo A ss prço a mprsa staria indifrnt ntr ofrtar ssa quantidad ou zrar sua produção, pois, nos dois casos, obtria um xcdnt nulo Para prços infriors ao custo variávl médio mínimo, a quantidad ofrtada sria nula, para prços supriors, a quantidad ofrtada sria suprior a (c) A função d ofrta invrsa tm domínimo para y, ou sja, a partir do ponto d custo variávl médio mínimo Ela é dfinida pla curva d custo marginal, qu é dada pla drivada da função d custo m rlação à quantidad produzida Assim, a função d ofrta invrsa srá dada por p(y)3y 8y+ 0 6