FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 4º Teste º Ao de escolridde Versão Nome: Nº Turm: Professor: José Tioco 09/0/08 Apresete o seu rciocíio de form clr, idicdo todos os cálculos que tiver de efetur e tods s justificções ecessáris Qudo, pr um resultdo, ão é pedid um proximção, pretede-se sempre o vlor exto, su form mis simples Evite lterr ordem ds questões Not: O teste é costituído por dus prtes Cdero : 0 miutos (é permitido o uso de clculdor) Cdero : 40 miutos (ão é permitido o uso de clculdor) Fich de vlição d Mtemátic A º Ao Pági /7 Versão
Cdero : 0 miutos (é permitido o uso de clculdor) De um progressão ritmétic sbe-se que e 0 (0) Determie expressão do termo gerl de O termo gerl de um progressão ritmétic de rzão r é d form Como 0 r temos r 0 r r Portto, 0 9 k r k (0) Clcule 0 0 6 0 correspode à som de 0 6 progressão, icluido e 0 0 Como SN N, temos S6 6 6 6 6 N termos cosecutivos d (0) Usdo defiição, mostre que lim Not: se ão respodeu à questão cosidere 9 Temos de mostrr que por muito grde que sej o úmero rel positivo L, existe um ordem p prtir d qul todos os termos de são superiores L L 9 L 9 L L 9 L 9 Assim, L, existe um ordem p, turl e superior, tl que, p L, o que sigific que lim (0) Defi, pelo termo gerl, progressão ritmétic v cujo vigésimo termo é e tl que lim 0 v Se v é um progressão ritmétic etão o seu termo gerl é d form v r b, sedo r rzão d progressão De lim 0 result lim 0 v r b Já sbemos que v b 0 r 0 Como v0 vem, 0 b b 4 b 8 Logo, v 8 r r Fich de vlição d Mtemátic A º Ao Pági /7 Versão
Sejm b e c dus sucessões tis que, b e c b () Usdo defiição de limite de um sucessão, prove que b coverge pr limb se e só se 0, p :, p b b Assim, sedo p um úmero turl mior do que tem-se, p b, ou, todos os termos pertecem Pelo que sucessão tem limite V (0) Determie ordem prtir d qul todos os termos d b pertecem Pel líe terior cocluímos que b V0, 0 Portto, prtir do termo de ordem 00 (iclusive), b () Qul é o vlor de lim c? 0, 0 499 V0, 0 (A) (B) (C) 7 (D) 7 Pels proprieddes, limc V 0, 0 lim c limc limb limb OPÇÃO B/D limb, pois sucessão c difere de b pes os dois primeiros termos 4 Cosidere sucessão de termo gerl (0) 4 Mostre que é um progressão geométric e idique rzão d progressão é um p geométric se e só se r (costte) Logo, é um p geométric de rzão (0) 4 Clcule o vlor exto d som dos 0 primeiros termos de 0 r Temos S0 0, com e r r 0 0 0 0 0 9048 Assim, S8 0 9049 Fich de vlição d Mtemátic A º Ao Pági /7 Versão
() 4 Qul é o vlor de lim? (A) 0 (B) (C) (D) lim lim lim 0 OPÇÃO A () Três termos cosecutivos de um progressão geométric são ddos, pr um determido úmero rel x, respetivmete, por: x, x 6 e x 6 Qul é rzão d progressão? (A) (B) 4 (C) (D) Como são termos cosecutivos, rzão etre eles é rzão d progressão Assim, x6 x6 x 6 x 6xx 6 x x 6 x 6 6 x x 8 x x x x 6 6 Os termos d progressão são x, x 6 6 4, x 6 6 8 A rzão d progressão é 8 4 r 4 OPÇÃO A/C 6 Sejm, b e b c c sucessões, defiids por: () 6 Qul ds firmções seguites é fls? limb (B) (A) (C) b Temos, b é limitd (D) se ímpr se pr Assim, lim 0 e Temos tmbém,, b b b b é moóto b é covergete lim 0 pelo que limb e b é covergete, pelo que b é limitd OPÇÃO B/A Fich de vlição d Mtemátic A º Ao Pági 4/7 Versão
(0) 6 Idique, justificdo, o vlor lógico d proposição seguite, c 0000 Resolvmos codição c 0000 0000 0000 0000 0000 0000,7 A proposição dd é FALSA, pois pes pr se tem c 0000 Outro processo: Usr um cotrexemplo (porque firmção é fls) Pr temos c 9 79 0000 () 6 Clcule lim c Temos, lim c lim limc lim lim lim lim limc lim lim Portto, lim c 0 Cdero : 40 miutos (ão é permitido o uso de clculdor) () 7 De um progressão ritmétic Qul é o vlor de v 4? v sbe-se que v0 v80 0 (A) (B) 8 (C) 0 (D) 0 Como v80 v0 70r, temos v 0 v 80 0 v0 v0 70r 0 v0 70r 0 v0 r v4 OPÇÃO A/D 8 Cosidere sucessão b de termo gerl b cos () 8 O vlor de b00 b99 é Fich de vlição d Mtemátic A º Ao Pági /7 Versão
(A) 00 (B) 0 Temos b cos cos 00 e b99 00 0 00 0 0 0 99 cos 0 0 99 00 (C) 0 (D) 0 Portto, b00 b99 0 OPÇÃO B 0 0 () 8 Mostre que b tem um ifiidde de termos ulos b 0 cos 0 0 cos 0 k Eq impossível k, k, k k, k Portto, pr k 0 os termos de ordem k são todos ulos (0) 8 Clcule, cso exist, lim b lim b lim cos 0 Pois,, cos, isto é, cos é um sucessão limitd e lim 0 limite do produto de um sucessão limitd por um sucessão que coverge pr zero é zero e o 9 Cosidere sucessão u defiid por recorrêci: u u 4 u, (0) 9 Usdo o método de idução mtemátic, prove que, u Sedo B codição u B é verddeir: temos, temos de mostrr que: B é hereditriedde: Hipótese: u ; u, proposição verddeir; Tese: u u 4 4 Como u, vem, sucessivmete, u 4 4 u cqm Logo, pelo método de idução cocluímos que, u Fich de vlição d Mtemátic A º Ao Pági 6/7 Versão
() 9 Mostre que sucessão u é decrescete u é decrescete, u u 0 u u 0 u u u 4 u u 4 u u u 4 u 4 u 4 u, que é verdde, pel líe terior Logo u é decrescete () 9 Justifique que u é covergete Como, u, sbemos que sucessão é miord ( é miorte) Pel líe terior sbemos que sucessão miord e decrescete é covergete () 0 Acerc de um sucessão u sbe-se que: Qul ds firmções seguites é fls? (A) (C) u é decrescete, logo u u 7 u ão é um progressão ritmétic (B) u tem três termos iguis (D) u é covergete, pois tod u é moóto crescete u é crescete em setido lto u ão é um progressão ritmétic porque u u ão é costte (depede de ) Vejmos o que podemos cocluir sobre o sil de u 7 7 4 7 0 Pr temos u4 u 0, pelo que u4 u Pr 4 temos uu4 0, pelo que u u4 Portto, u u4 u, ou sej, u 7 u tem três termos iguis 8 6 4 Pr os resttes vlores de temos u u 0, pois os termos de 7 estão sobre um prábol de cocvidde voltd pr cim e zeros em e 4 Assim,, u u 0, pelo que u é crescete em setido lto OPÇÃO B Fich de vlição d Mtemátic A º Ao Pági 7/7 Versão