GABARITO DA AVALIAÇÃO 1 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES 014-1 1- Ordene os dados. Indique o 1º, º e 3º quartil. Desenhe o diagrama de caixa. Calcule a média e a mediana dos dados. Determine qual o desvio padrão., 3, 4, 4, 5, 8, 11, 15 Solução: Observamos que os 8 números já estão posicionados em ordem crescente. A mediana divide os dados em partes iguais. Como isso acontece entre os números 4 e 5, temos a mediana calculada como sendo a média destes dois valores = 4,5. A mediana também é o segundo quartil do conjunto de dados. Já o primeiro quartil divide a metade dos dados em partes. Esse valor está entre 3 e 4 = 3,5. Já o terceiro quartil está localizado entre 8 e 11 = 9,5. A média dos dados é calculada como sendo: 1 8 1 8 xi. 1 8 1. 8 ( 3 4 4 5 8 11 15) 6,5 A variância dos dados é calculada como sendo: 8 1 ( x i ) 4,5 3,5,5,5 1,5 1,5 4,5 8,5 N 1 7 14 0,8 7 Logo o desvio padrão é a raiz de 0,8 = 4,56.
- Calcule a correlação que relaciona a idade e a altura de uma criança. Idade (anos) Altura (cm) 6 70 8 110 10 130 1 150 Observamos que a correlação pode ser obtida diretamente em uma planilha eletrônica. Para se fazer o cálculo manual da correlação é preciso preencher a tabela a seguir: Idade (x) Altura (y) x.y 6 70 40 36 8 110 880 64 10 130 1300 100 1 150 1800 144 somatório 36 460 4400 344 N. B x. y x. y N. x x 4.4400 36.460 13 4.344 16 A N y x B. N Logo Y = 13 ou ainda: ALTURA = ( 13. IDADE ) -
3- Uma pesquisa realizada com 100 estudantes, sendo 50 mulheres e 50 homens, mediu o tempo de reação para frear um carro em milisegundos. O valor médio obtido tanto para homens quanto para mulheres foi de 170ms com um desvio padrão de 30ms. Considerando que o tempo de reação obedece uma distribuição normal, qual é a probabilidade de encontrar uma pessoa com tempo de reação maior que 140ms e menor que 00ms. A mesma pesquisa foi realizada após os mesmos 100 estudantes beberem 4 copos de cerveja, obtendo-se um tempo médio de reação para frear de 0ms com desvio padrão de 50ms para os homens e 40ms e desvio padrão 50ms para as mulheres. Que conclusões podemos inferir dessas informações? Qual a probabilidade de uma pessoa que bebeu 4 copos de cerveja ter tempo de frenagem menor que 170ms? Considere que o tempo médio dos alunos que beberam é a média entre os tempos dos homens e das mulheres com o mesmo desvio padrão. Solução: Utilizando o software R e tutorial disponível no link: http://leg.ufpr.br/~paulojus/embrapa/rembrapa/rembrapase1.html#x14-880001.1 > x <- seq(80, 50, len = 170) > fx <- dnorm(x, 170, 30) > plot(x, fx, type = "l") Temos a curva normal que representa o tempo de resposta dos estudantes. fx 0.000 0.00 0.004 0.006 0.008 0.010 0.01 100 150 00 50 x Observamos que o tempo de resposta médio é de 170ms com desvio padrão de 30ms. Qual a probabilidade de encontrar um estudante com tempo de reação entre 140ms e 00ms? Na curva de distribuição normal representada abaixo é possível visualizar o intervalo de área desejado. Para usar a tabela da curva normal padronizada (com média = 0) é preciso fazer a seguinte transformação: Z = MEDIA DESVIO Z1= 140 170 30 = 1
Z= 00 170 =1 30 Na tabela normal encontramos valores de área correspondentes à F(Z=-1) e F(Z=+1) como sendo: 0,1587 e 0,8413. Logo, fazendo-se a diferença entre estes dois temos 0,68. Veja mais informações sobre curvas normais no site: http://www.portalaction.com.br/content/6-distribui%c3%a7%c3%a3o-normal A probabilidade de um estudante ter tempo de resposta entre 140ms e 00ms é de 68,%. A ingestão de álcool modifica os tempos de resposta. Temos uma distribuição normal para as mulheres com tempo médio de 70ms e outra para os homens de 0ms. O tempo médio após ingestão de bebida alcoólica é de 30ms, mantendo-se o desvio padrão de 50ms. Nesse caso para se calcular a probabilidade de um estudante, escolhido ao acaso ter tempo de reação menor que 170ms é calculada como sendo: 170 30 Z 1,0 F( Z 1,0) 0,1151 50 Podemos concluir que apenas 11,5% dos estudantes que ingeriram bebida alcoólica terão tempo de resposta menor que 170ms. Esse tempo era esperado para 50% dos estudantes que não beberam bebida alcoólica. Houve uma redução de quase 40%! As mulheres normalmente sentem mais que os homens os efeitos da ingestão de bebida alcoólica. Essa informação confere com pesquisas médicas publicadas no link: http://saude.terra.com.br/bem-estar/entenda-por-que-as-mulheres-ficam-bebadas-maisrapidamente,7a183f04cf7310vgncld100000bbcceb0arcrd.html
4- Em uma rede de computadores, em 50% dos dias ocorre alguma falha. Considere a variável aleatória = número de dias com falha na rede. Considere o período de observação de 30 dias e suponha que os eventos são independentes. Qual a probabilidade de ocorrer 1 ou mais dias de falha na rede, considerando os 30 dias de observação? Qual a probabilidade de ocorrer exatamente 1 dias de falha na rede, considerando os mesmos 30 dias de observação? Solução: Utilizando o programa R temos a plotagem da distribuição de probabilidade binomial para o problema apresentado: x <- 0:30 fx <- dbinom(x, 30, 0.5) plot(x, fx, type = "h") fx 0.00 0.05 0.10 0.15 0 5 10 15 0 5 30 A probabilidade de se ocorrer exatamente 1 dias cm falha é calculado como sendo 8%: P( 30! 1).0,5 1!.(30 1)! 1.0,5 18 0,08 Para se calcular a probabilidade de mais de 1 dias com falha dentro dos 30 dias observados, utilizamos a aproximação com a normal, com a correção de continuidade de 0,5. O cálculo poderia ser realizado a partir de P(x=13) + P(=14) +...+ P(x=9)+p(x=30) ou ainda fazendo o cálculo de Y = P(=0)+P(=1) + P(=)...+ P(=1). O valor da probabilidade de ocorrer mais que 1 dias com defeito é exatamente = 1 Y = 89,8%. O cálculo utilizando a aproximação normal é feito da seguinte forma: N. P 30.0,5 15 N. P. Q 30.0,5.0,5,74
11,5 15 Z1 1,77 F( Z 1,77) 0,100,74 Essa área corresponde a área não hachurada da curva normal representada acima. A área hachurada é calculada como sendo = 1 0,100 = 0,898 ou 89,8%. Observamos que o valor de 11,5 é decorrente da correção de continuidade = (1-0,5=11,5). Na Figura a seguir ilustramos como podemos transformar a distribuição discreta em normal a partir das barras..
5- Suponha que em uma linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa seja de 10%. Toma-se uma amostra de 30 peças para serem inspecionadas. Qual a probabilidade de se obter na amostra: a) Uma peça defeituosa? b) Nenhuma peça defeituosa? c) Mais que peças defeituosas? Solução: Considerando que esta é uma distribuição de probabilidade binomial podemos calcular a probabilidade de se encontrar uma peça defeituosa, nenhuma peça defeituosa e duas peças defeituosas como sendo: P( P( P( 1) 0) ) 30! 1.0,1.0,9 1!.(9)! 9 30! 0.0,1.0,9 0!.(30)! 30!.0,1.0,9!.(8)! 30 8 0,141 14,1% 0,04 4,% 0,7,7% Observamos que nesse caso P(=1) = probabilidade de encontrar uma peça com defeito. E que p = percentual de sucesso (encontrar peça com defeito) = 0,1. Logo, q = 1-p = 1 0,1 = 0,9 que é o percentual de fracasso (não encontrar peça com defeito). Para calcularmos a probabilidade de se encontrar mais de peças com defeitos fazemos: P ( > ) = 1 (P(=0)+ P(=1) + P(=)) = 1 0,41 = 59% Utilizando o programa R é possível visualizar a distribuição binomial: > x <- 0:30 > fx <- dbinom(x, 30, 0.1) > plot(x, fx, type = "h") Observamos que a média de defeitos é calculada por = p. N = 0,1. 30 = 3. Observamos no gráfico que a probabilidade de obtermos em torno de 3 peças defeituosas entre as 30 é a mais alta. No software R calculamos a probabilidade de se obter exatamente 3 peças com defeitos como sendo 0,3 ou 3% >dbinom(3, 30, 0.1) > [1] 0.360879 fx 0.00 0.05 0.10 0.15 0.0 0 5 10 15 0 5 30 > dbinom(0, 30, 0.1) Resposta: 0.0439116 > dbinom(1, 30, 0.1) Resposta: 0.1413039 > dbinom(, 30, 0.1) Resposta: 0.7656 x
6- Na Páscoa uma tia compra ovos para seus 5 sobrinhos. Ela comprou 1 chocolate Lacta e chocolates Garotos para cada sobrinho. Dentro do chocolate há brindes, sendo que a probabilidade de se encontrar um brinde no chocolate Lacta é de 1/6. Já para o chocolate Garoto a chance é de 1/1. Nesse caso, qual é a probabilidade do sobrinho mais velho ser o único a ganhar um brinde no chocolate Lacta? Qual a probabilidade do sobrinho mais novo ganhar um prêmio da Lacta ou da Garoto? Solução: A probabilidade de qualquer sobrinho encontrar um brinde da Lacta é de 1/6. A probabilidade de qualquer sobrinho não encontrar um brinde da Lacta é de 5/6. Para que apenas o sobrinho mais velho (não importa qual seja) seja o único a ganhar o brinde é preciso que ele ganhe o brinde e nenhum dos outros 4 sobrinhos encontre o brinde. 4 1 5 P 6 6 0,0803 Observamos que o valor de 5/6 é elevado a quarta potência porque são 4 sobrinhos que não podem encontrar o brinde. Essa probabilidade é de 8%. Para que o sobrinho mais novo (poderia ser qualquer um deles) encontrar um prêmio da Lacta ou da Garoto temos as seguintes possibilidades: Ele pode encontrar 1, ou 3 brindes. A probabilidade dele não encontrar nenhum brinde é dado pelo cálculo: NBL, NBG, NBG = 5/6 x 11/1 x 11/1 = 605/864 = 0,7 Logo a probabilidade dele encontrar pelo menos um brinde é 1 0,7 = 0,3 ou 30%. Podemos fazer o cálculo também mais detalhado: BL = probabilidade de encontrar brinde da Lacta = 1/6 BG = probabilidade de encontrar brinde da Garoto = 1/1 NBL= probabilidade de não encontrar brinde da Lacta = 5/6 NBG= probabilidade de não encontrar brinde da Garoto = 11/1 BL BG BG = 1/6 x 1/6 x 1/1. BL NBG BG = 1/6 x 11/1 x 1/1 BL NBG NBG = 1/6 x 11/1 x 11/1 BL BG NBG = 1/6 x 1/1 x 11/1 NBL BG BG = 5/6 x 1/1 x 1/1 NBL BG NBG = 5/6 x 1/1 x 11/1 NBL NBG BG = 5/6 x 11/1 x 1/1 NBL NBG NBG = 5/6 x 11/1 x 11/1 Calculamos todas as possibilidades de se obter pelo menos um brinde e somamos: 1/864 + 11/864 + 11/864 + 11/864 +... 55/864. A soma dará 30%.
7- Uma escola apresenta os seguintes dados para a altura de uma turma. Qual é a média de altura da turma? Qual o desvio padrão? Altura Frequência 160-165 4 165-170 8 170-175 0 175-180 8 180-185 4 Solução: Observamos que a quantidade de alunos na turma é N = 44. Para calcularmos a média de alturas da turma e o desvio padrão fazemos inicialmente o cálculo do ponto médio de cada faixa de altura. xi f xi. f xi xi. f 16,5 4 650 6406,5 10565 167,5 8 1340 8056,5 4450 17,5 0 3450 9756,5 59515 177,5 8 140 31506,5 5050 18,5 4 730 33306,5 1335 soma 7590 1310475 5 i x N i. f 7590 17,5 44 O cálculo da variância e do desvio padrão é realizado da seguinte forma: N. 7,9 5,8 7 i 5 xi. f xi. fi 1 N.( N 1) 1310475 7590 44. 44.(44 1) 5800 7,9 189