ARMAZENAMENTO ESPARSO NO PRÉ-CONDICIONAMENTO PARA O MÉTODO ITERATIVO GMRES, APLICADO À SOLUÇÃO DE FLUXO DE POTÊNCIA

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1 ARMAZENAMENTO ESPARSO NO PRÉ-CONDICIONAMENTO PARA O MÉTODO ITERATIVO GMRES, APLICADO À SOLUÇÃO DE FLUXO DE POTÊNCIA Jhonatan de Olvera Slva Departamento de Engenhara Elétrca Unversdade Federal de Mato Grosso Cuabá, Brasl jhonatan.olvera.ene@gmal.com Carlos Enrque Portugal Poma Departamento de Engenhara Elétrca Unversdade Federal de Mato Grosso Cuabá, Brasl portugal@ufmt.br Vanessa de Olvera Campos Insttuto de Computação Unversdade Federal de Mato Grosso Cuabá, Brasl vanessa@c.ufmt.br Resumo - Este trabalho busca ntegralzar e aprovetar adequadamente os avanços na área de métodos numércos, usufrundo de suas característcas e testando-os no problema de fluxo de potênca. Propondo novas estratégas para o armazenamento esparso no pré-condconamento, com ntuto de melhorar sgnfcatvamente o desempenho do método teratvo. Com o uso destas estratégas, também deverá ser possível soluconar sstemas lneares relatvos ao subproblema lnear de fluxo de potênca que envolve matrzes mal-condconadas, próxmas da sngulardade e/ou ndefndas, decorrentes de cenáros de condções operaconas adversas, que comumente os soluconadores dretos têm dfculdades de soluconar. Palavras-chave artgo; pré-condconador; fluxo de potenca; armazenamento esparso. I. INTRODUÇÃO O sstema braslero de energa elétrca passou por grandes transformações desde o projeto para lumnação da estação central da Estrada de Ferro D. Pedro II, em 1879 [1]. Com uma matrz de energa elétrca baseada em sua grande parte por potencal hdráulco e uma vasta dmensão terrtoral, com as centras de geração dstantes dos prncpas centros de consumo, tem-se uma alta complexdade em termos da confguração e tamanho do sstema de transmssão de energa elétrca. Conto uma dversdade de equpamentos com dferentes característcas e uma varedade de tpo e período de carga e condções adversas em sua operação, aumentam-se cada vez mas as dfculdades em manter o estado seguro das redes de energa elétrca e seu contnuo funconamento. Consequentemente, a modelagem e solução das equações matemátcas que representam esse sstema elétrco de energa tornam-se também mas complexas, exgndo ferramentas que possam garantr maor robustez numérca e efcênca. O objeto de estudo neste trabalho está assocado à solução do subproblema lnear do fluxo de potênca (1), portanto, uma das etapas do método de Newton Raphson [2]. Apresentam-se neste trabalho métodos e estratégas computaconas para a solução de sstemas lneares, abordando as transformações realzadas nestes sstemas, defndas como pré-condconamento. Essas transformações são realzadas através de métodos numércos que garantem baxo número de condconamento da matrz de coefcente, portanto maor robustez do soluconador. J [ θ V] = [ P Q] (1) Assocando e adaptando modelos matemátcos e métodos numércos efcentes com ntuto de garantr maor robustez e efcênca computaconal, utlza-se neste trabalho o método teratvo Resíduo Mínmo Generalzado (GMRES) [4], combnado às técncas de précondconamento baseado no método Doolttle [2] com regra de preenchmento e as técncas de armazenamento esparso do método de Zollenkopf [3] aplcado à solução de sstemas lneares, so as modfcações e extensões deste o objeto central de estudo deste trabalho. II. MÉTODO GMRES O método teratvo do Resíduo Mínmo Generalzado, conhecdo também como GMRES, basea a busca da aproxmação na condção da norma resdual mínma, determnando x k de tal manera que sua correspondente

2 norma Eucldana do resíduo seja mínma sobre o subespaço de Krylov, cujas bases são ortonormalzadas [2]. Apresenta-se em (2) a equação utlzada para a determnação aproxmada de x k, so V uma matrz formada pela expressão (3) que é à base do subespaço de Krylov após sua ortonormalzação. Para ortonormalzar os vetores base do subespaço de Krylov K k (A, r 0 ), utlza-se o processo de Arnold [4]. x k = x 0 + V. y k (2) [V] nxm = [V 1 f V 2 f V k f ] (3) Para ortonormalzação do vetor v k+1 em relação aos f outros k vetores [V 1 V f 2 V f k ], é utlzada a equação (4), ortonormalzados em terações anterores. Para tal processo é aplcado o algortmo de Arnold, conhecdo também como método de Gram-Schmdt modfcado, onde os vetores (V f 1, V f 2,, V f k ) pertencem ao subespaço orgnal de Krylov (r 0, A r 0, A 2 r 0,, A k r 0 ). f v k+1 = v k+1 v k+1 k [[[v f g ] T g=1 v k+1 ] v f g ] k [[[v f g ] T v g=1 k+1 ] v f g ] 2 Para satsfazer o teste de convergênca, a expressão r 0 2 ê 1 H k y k deve ser gual à zero, para tanto, os valores dos elementos do vetor y k devem ser tas que satsfaça a condção, to o resultado da equação a zero (6). O menor valor esperado para a norma do resíduo é próxmo ou gual à zero para cada teração k do GMRES, tornando o problema do tpo mínmo quadrado de pequeno porte (7), que pode ser determnado usando-se as fatorações ortogonas baseadas em rotações no plano ou método de Rotação de Gvens [4]. (4) r k 2 = b A x k 2 (5) r k 2 = V k+1 [ r 0 2 ê 1 H k y k ] 2 (6) III. H k y k = r 0 2 ê 1 (7) PRÉ-CONDICIONADOR No prncípo o pré-condconador era utlzado para referencar as transformações realzadas em um sstema lnear com objetvo de dmnur o número de condconamento da matrz de coefcentes [6], relaconando o menor condconamento da matrz de coefcentes com a melhora na convergênca de um método teratvo [7]. O pré-condconador P pode ser dvddo em duas partes prncpas, a prmera refere-se ao algortmo utlzado para montagem de P e, o segundo consste na regra de preenchmento. Para pré-condconadores baseados em fatoração ncompleta, como o utlzado neste trabalho, normalmente adota-se o algortmo de fatoração trangular para montar de forma mplícta a matrz P, transformando em duas matrzes trangulares L e U (M = L U A), como apresentado em (8) [8] e [12]. P (L U ) P T y = P b, x = P T y (8) As matrzes Jacobanas típcas de fluxo de potênca são normalmente ndefndas, mal condconadas e mutas vezes próxmas da sngulardade, prncpalmente para sstemas elétrcos de maor porte e operando em máxmo carregamento [2]. Portanto, torna-se necessáro utlzar de estratégas que mnmzem ou elmnem as dfculdades relaconadas às característcas apresentadas, que podem levar a convergênca lenta ou falha no processo. O algortmo pré-condconador é dvdo em quatro subrotnas, o prmero refere-se ao armazenamento da matrz de coefcente ou Jacobana para o estudo de fluxo de potênca, subsequente é realzado o reordenamento, que após seu térmno nca-se o processo de fatoração trangular Doolttle e, por fm, é efetuada a substtução progressvoregressva que obtém o resultado do sstema lnear calculado. A. Armazenamento Esparso A expansão do sstema elétrco braslero e sua nterlgação elevaram a complexdade e as dfculdades em manter a qualdade do servço. Dessa forma surge a necessdade de determnar os fluxos por essas redes e algumas outras grandezas elétrcas que possbltam o dagnóstco do estado do sstema analsado. A evolução dos sstemas elétrcos, tanto por suas dmensões quanto complexdade, levou há uma necessdade cada vez maor de smuladores computaconas com alta efcênca de processamento de dados. So os sstemas lneares de grande porte e de alta esparcdade, faz se necessáro aplcação de técncas de armazenamento esparso. Desenvolvdo com base no método de Zollenkopf [5] e [13], o armazenamento esparso da matrz Jacobana é realzado tanto por lnha quanto coluna, crando vetores que guardam nformações dos elementos dferentes de zero da matrz de coefcentes. Os vetores esparsos possbltam uma busca rápda aos elementos não nulos da matrz, so vantajoso tanto para o armazenamento da matrz de coefcentes como para as matrzes trangulares L e U determnadas no processo de fatoração trangular. Dentre os prncpas vetores esparsos, destacam-se: NOZE quantdade de elementos por lnha; ITAG índce de coluna dos elementos; CE valor dos elementos; LCOL posção do prmero elemento por lnha;

3 LNXT posção dos elementos, exceto os de LCOL. Realzado o armazenamento esparso da matrz de coefcentes, como passo subsequente ao processo de précondconamento, efetua-se o reordenamento da matrz Jacobana. B. Reordenamento da Matrz Jacobana Com objetvo de dmnur o número de elementos nãonulos da matrz Jacobana e melhorar a establdade numérca durante a fatoração trangular LU, aplca-se a estratéga de reordenamento do tpo Mínmo Grau (Mnmum Degree MD), conhecdo como o esquema II de Tnney [9]. O esquema II de Tnney gera o vetor reordenamento NSEQ, sequênca numérca que representa a ordem das lnhas e/ou colunas que serão permutadas, dando orgem as matrzes de permutação P e Q, que uma vez determnadas pode substtur o sstema orgnal por outro equvalente reordenado. Com objetvo de preservar as propredades da matrz orgnal, aplca-se a permutação smétrca, portanto Q = P T, manto estruturalmente smétrca. O processo de permutação matrcal é um tpo de transformação lnear, onde se multplca uma matrz quadrada bnára determnada pelo vetor de ordenamento, conhecda como matrz de permutação P, pela matrz de coefcentes. Com objetvo de garantr maor efcênca computaconal, não há a realzação do produto de matrzes, o processo de permutação é realzado de forma ndreta, deslocando lnha e coluna ao mesmo tempo. Algortmo 1: Algortmo smplfcado de Permutação da Matrz Jacobana. for = 1:n for j= 1:n Passo 1: = NSEQ() jj= NSEQ(j) Passo 2: x= LCOL(1,jj) y= LCOL(1,jj)+NOZE(1,jj)-1 whle (x ~= (y+1)) Passo 3: f = ITAG2(1,x) Jacobana Permutada Como passo ncal ao processo de permutação da matrz Jacobana, através do vetor de reordenamento é determnada as novas posções de cada elemento da matrz, armazenado seus respectvos ndces de lnha e coluna (Passo 1). O segundo passo para permutação é a dentfcação dos elementos da matrz de coefcentes através dos vetores esparsos. Por fm, como tercero passo, é armazenada em novos vetores esparsos a matrz Jacobana permutada. C. Fatoração Trangular Neste trabalho utlza-se o pré-condconador de fatoração ncompleta ILUD(ξ) apresentado em [2] e [10], provenente de uma versão do algortmo de elmnação de Gauss conhecdo como Doolttle. Uma grande vantagem deste algortmo é a possbldade de aplcação da estratéga de preenchmento baseada no erro em ambos os fatores trangulares L e U, de forma efcente. O pré-condconador de fatoração ncompleta ILUD(ξ), decompõem a matrz coefcente em duas matrzes trangulares, L e U, determnados através das equações de Doolttle (10) e (9) respectvamente. As matrzes superor e nferor são mensuradas através da elmnação de Gauss conhecda como Algortmo Doolttle, que tem como forma generalzada três laços em sequênca como em k 1 U k = J k j=1 [L kj U j ], = k,, n (9) L k = J k 1 k j=1 [L j U jk ] = k + 1,, n (10) U kk Algortmo 2: Algortmo da Fatoração Trangular LU. for =1:n Passo 1: for j= 1:(NOZEL()) j= ITAGL(z,) h= PCU(j) Passo 2: for k= 1:(NOZEU()) x= L*CEU(h) Passo 3: L(k)= L(k)-L(h)*U(PU(z,)) U(ITAGU(h))= U(ITAGU(h)) x h= (h+1) Atualzação ITAGU e NOZEU Passo 4: for z= 1:(NOZEU()) j= ITAGL(j,) h= PCL(j) Passo 5: for k= 1:NOZEL(j) k = ITAGL(hh) Passo 6: L(k)= L(k)-L(h)*U(PU(z,)) L(k)= L(k)/DEU() Atualzação ITAGL e NOZEL Passo 7: for z= 1:NOZEL() NOZEL;IATGL;CEL;LNXTL Passo 8: for z= 1:NOZEU() NOZEU;IATGU;CEU;LNXTU A fatoração trangular com a técnca de esparcdade é ncada calculando os elementos da matrz trangular superor. Os elementos da matrz Jacobana são salvos na varável U que durante a fatoração é utlzada para

4 armazenar os elementos por lnha de cada teração da própra matrz U. São vnculados ao laço j os elementos dferentes de zero da matrz L (Passo 1), e assocam-se os elementos não nulos de U ao laço k (Passo 2). Defndos os laços através dos vetores esparsos para determnação dos elementos da matrz trangular U, há aplcação da equação de Doolttle (Passo 3). So este um dos processos de maor exgênca computaconal, a técnca de esparcdade elmna a necessdade de trabalhar com elementos nulos e fazo buscas dretas aos elementos dferentes de zero. A determnação da matrz trangular nferor L é realzada por meo da equação de Doolttle, so aplcado ao processo a estratéga de vnculação dos laços jk, aos elementos dferentes de zero das matrzes L e U (Passo 4, 5 e 6). Para casos que J k = 0 há a necessdade de atualzar os vetores esparsos ITAGL e NOZEL após o calculo das varáves da relatva matrz, em casos que o somatóro é gual a zero os vetores esparsos de índce e quantdades de elementos por coluna serão guas da matrz Jacobana. Por fm, para cada teração é realzado o armazenamento da lnha (U) e coluna (L) em vetores esparsos das matrzes trangulares superor e nferor (Passo 7 e 8) aplcando a regra de preenchmento, expostas em (11) e (12) na devda ordem. Quando o erro assocado a varável analsada for menor que a tolerânca estpulada ξ, o elemento é descartado. U k = { 0, R(U k) < ξ, k = (,, n) (11) m k, R(U k ) ξ L k = { 0, R(L k) < ξ, = (1 +,, n) (12) m k, R(L k ) ξ D. Substtução Progressva e Regressva Fnalzado o processo de determnação das matrzes trangulares pelo método de Dooltte modfcado, onde é adotada a técnca de armazenamento esparso e aplcada a vnculação dos laços do algortmo aos elementos não nulos das matrzes, executa-se o processo de substtução progressva e regressva. Como parte do pré-condconador, é aplcada a estratéga de transformação do sstema lnear em outro equvalente, como em (13), que para determnação da solução executa-se prmeramente o processo de substtução progressva expresso em (14). A x = B L U x = B L Z = B (13) 1 Z = B j=1[l j Z j ] (14) Denomnado de progressvo em referênca a sequênca lógca de processamento, a substtução ocorre em dos laços, o prmero () para ndcar o elemento de Z que está so calculado e j para o somatóro. As matrzes trangulares são armazenadas aplcando-se a técnca de esparcdade, portanto, assm como na fatoração trangular, assoca-se ao laço j os elementos dferentes de zero da matrz L, pos o produto dentro do somatóro torna-se desnecessáro para elementos nulos. Como ultma sub-rotna para determna a matrz de ncógntas x, temos a substtução regressva, apresentada em (15). Defnda como substtução regressva em referênca ao sentdo da sequênca de cálculo, o processo ocorre com o prmero laço varando de (n 1) até 1, ou seja, uma varação decrescente. L Z = B Z = U x (15) X = Z n j=+1[u j X j ] (16) U Tem-se em (16) a representação do processo de substtução regressva, so empregados dos laços, o prmero () para ndcar o elemento de x que está so calculado e j para o somatóro. Assm como na substtução progressva, assoca-se ao laço j os elementos dferentes de zero da matrz U. Fnalzado o processo de substtução tem-se o resultado do sstema lnear e, o térmno do pré-condconador para o método GMRES aplcado ao estudo de fluxo de potênca. IV. SIMULAÇÕES Devdo à complexdade, característcas do problema estudado e a aplcação de dversos métodos computaconas no programa para solução do fluxo de potênca, é utlzado à lnguagem nterpretada MatLab R2011a (MATrx LABoratory). O software é baseado em estudos matemátcos de matrzes, so uma lnguagem de alto nível que possblta maor facldade nas mplementações computaconas de equações numércas. Através do programa Fluxo de Potênca desenvolvdo neste trabalho é possível alterar o estado do sstema elétrco, com ntuto de avalar a robustez dos métodos computaconas. Para sso, são realzados acréscmos de carga ao sstema smulado, aumentando o nível de carregamento, que por consequênca eleva o número de condconamento da matrz Jacobana tornando mas dfícl a solução do sstema lnear [10]. São smulados cnco sstemas elétrcos de potênca, o prmero IEEE 30 sobrecarregado, representa uma aproxmação smplfcada de parte do sstema elétrco de potênca amercano em dezembro de 1961, possundo 30 barras, 2 geradores e 4 condensadores síncronos. Outro sstema smulado é IEEE 118 sobrecarregado, representa uma aproxmação smplfcada de parte do sstema elétrco de potênca amercano em dezembro de Este sstema contém 118 barras, 19 geradores e 177 ramos. Utlza-se também uma confguração do sstema nterlgado braslero com 2256 barras, 3508 ramos e 200 geradores, e casos de teste desenvolvdo pela IEEE - Test

5 Systems Task Force em 1993, sstemas IEEE 145 e 300 barras. V. RESULTADOS Com ntuto de avalar o desempenho do algortmo desenvolvdo neste trabalho, apresentam-se na Tabela I as smulações dos pré-condconadores ILUD e CROUT [11], uma versão do método de elmnação de Gauss, assocados ao soluconador GMRES. Foram utlzados os sstemas IEEE 30, 118, 145 e 300 barras, e o sstema braslero JBrasl2256 de 2256 barras. Mensurado em segundos o tempo de smulação, os resultados dos pré-condconadores foram dvddos em duas partes, tempo de processamento da solução do sstema lnear e a duração de todo o processo de solução do Fluxo de Potênca. Nota-se na Tabela I uma relatva vantagem do método Crout para a solução do sstema lnear do IEEE 30 e 118 barras sobrecarregados, porém havo uma aproxmação no tempo total, que se deve a dmnução da quantdade de terações do Fluxo de Potênca, demonstrando, portanto, maor robustez do algortmo ILUD para sstemas mal condconados. Tabela I: TEMPO DE SIMULAÇÃO DOS PRÉ-CONDICIONADORES. Pré-condconador Sstema Elétrco ILUD CROUT de Potênca Ax=B Total Ax=B Total IEEE 30 0,0095 0,149 0,0002 0,0051 IEEE 118 0,041 0,5451 0,001 0,0142 IEEE 145 0,0858 0,673 0,0026 0,0188 IEEE 300 0,1067 0,7462 0,0052 0,0372 JBrasl2256 1,0962 2,1972 0,1085 0,2397 a. Tempo computaconal em segundos. O pré-condconador ILUD apresenta maor efcênca computaconal quanto maor o sstema elétrco de potênca smulado, so possível observar analsando a comparação entre os tempos de ILUD pelo método de CROUT para cada sstema smulado, como apresentado na Tabela II. Para o sstema IEEE 118, o método ILUD apresenta um tempo de smulação total de 38 vezes o tempo do método CROUT, porém, para o sstema JBrasl2256 essa relação reduz para aproxmadamente 9,16. Tabela II: RELAÇÃO DO TEMPO DE SIMULAÇÃO DOS PRÉ- CONDICIONADORES ILUD e CROUT. Sstema Elétrco ILUD/CROUT de Potênca Ax=B Total IEEE 30 45, ,7 IEEE , , IEEE , , IEEE , , JBrasl , , Com ntuto de avalar o desempenho do précondconador desenvolvdo neste trabalho em uma lnguagem de programação complada, fo realzada a conversão para a lnguagem Fortran do soluconador do sstema lnear, armazenamento esparso, processo de fatoração trangular e substtução. Realzou-se a smulação do sstema IEEE 300 barras e obteve-se uma melhora sgnfcatva, so a relação entre ILUD no Fortran pelo Matlab de 8,3 vezes e, redução para aproxmadamente 2,5 vezes quando comparado ILUD Fortran com Crout MatLab. Para a smulação do algortmo de CROUT fo utlzada à função lu do MatLab, desta forma, dferente do algortmo desenvolvdo neste trabalho que são nterpretados e passam pelo processo de montagem (lnguagem de montagem), a função lu é complada dretamente. Portanto, as smulações apresentadas neste trabalho para fns comparatvos entre CROUT e ILUD não podem ser consderadas gualtáras, mesmo para a comparação ILUD Fortran e Crout MatLab. Tabela III: PROCESSO DE FATORAÇÃO TRIANGULAR DOOLITTLE E SUBSTITUIÇÃO, COM E SEM TÉCNICA DE ESPARCIDADE. Com Técnca de Sem Técnca de Sstemas Esparcdade Esparcdade Elétrcos de Potênca Tempo Mflops Tempo Mflops IEEE 30 0,0122 0,02 0,0152 0,1421 IEEE 300 0,1635 0,0459 3, ,81 JBrasl2256 1,258 0, ,12E+04 Apresenta-se na Tabela III o comparatvo entre a fatoração trangular e substtução, utlzando a técnca de esparcdade e o algortmo Doolttle. Observa-se uma melhora sgnfcatva no desempenho do processo de fatoração trangular e substtução quando empregada a técnca de esparcdade. Para a smulação do sstema JBrasl2256, temos uma dspardade muto consderável, enquanto o algortmo esparso executou em 1,258 segundos, sem a técnca de esparcdade processou em aproxmadamente 27 mnutos. Destaca-se também, que quanto maor o sstema elétrco de energa smulado, maor a efcênca do algortmo com esparcdade, sso se deve a característca de o algortmo não trabalhar com elementos nulos e a relação dreta entre o aumento da esparcdade da matrz Jacobana com o tamanho do sstema. VI. CONCLUSÕES A expansão do sstema elétrco braslero e sua nterlgação elevaram a complexdade e as dfculdades em manter a qualdade do servço. Dessa forma surge a necessdade de determnar os fluxos por essas redes e algumas outras grandezas elétrcas que possbltam o dagnóstco do estado do sstema analsado. A evolução dos sstemas elétrcos, tanto por suas dmensões quanto complexdade, levou a uma necessdade cada vez maor de smuladores computaconas com alta efcênca de processamento de dados e alta confabldade. So os sstemas lneares de grande porte e esparsos, faz se

6 necessáro que a matrz de coefcentes tenha o menor condconamento para melhor convergênca do método teratvo. Este artgo propõe a aplcação do método de armazenamento esparso de Zollenkopf ao pré-condconador ILUD, assocando e adaptando os métodos de forma a garantr maor efcênca computaconal e robustez. A efcênca computaconal do método ILUD te aumentar na medda em que os sstemas elétrcos de energa smulados aumentam, característca de grande relevânca para o estudo de fluxo de potênca, devdo aos aspectos dos sstemas de energa elétrca. Essa melhora também se justfca pelas mudanças nas característcas e propredades espectras da matrz Jacobana, consderada uma das prncpas dfculdades pertnentes ao problema estudado, que podem dfcultar o processo de solução. Consderado atualmente uma referênca na fatoração ncompleta, o algortmo de CROUT dervado do método de elmnação de Gauss, apresentado em [11], apresenta um tempo de processamento superor para todos os sstemas smulados, entretanto cabem algumas observações. O précondconador ILUD consegue reduzr o número de nterações do soluconador, demonstrando maor robustez do ILUD. Comprova-se também, uma melhora sgnfcatva no desempenho computaconal do pré-condconador desenvolvdo neste trabalho, conforme o sstema smulado aumenta, havo uma aproxmação ao tempo do método de Crout e sugerndo que para sstemas maores podem se gualar ou até mesmo superar. [7] EVANS, D. J. The use of pre-condtonng n teratve methods for solvng lnear systems wth symmetrc postve defnte matrces. J. Inst. Math. Its Appl. 4, p. 295, [8] CHEN, K. Matrx Precondtonng Technques and Applcatons. Cambrdge Monographs on Appled and Computatonal Mathematcs, [9] TINNEY, W. Drect solutons of sparse network equatons by optmally ordered trangular factorzaton. Proceedngs of the IEEE, Volume: 55, Issue: 11, pp , [10] POMA, Carlos E. Portugal, PRADA, Rcardo B., PESSANHA, José Eduardo O., Error-Based ILU Precondtoner for the Soluton of Lnear Equatons. IEEE Transactons On Power Systems, Volume: 32, Nº. 1, pp , [11] LI, Na; SAAD, Yousef, Crout Versons Of ILU Factorzaton Wth Pvotng For Sparse Symmetrc Matrces, Electronc Transactons on Numercal Analyss Kent State Unversty, Volume 20, pp , [12] SAAD, Y. Iteratve Methods for Sparse Lnear Systems, 2nd ed., Socety for Industral and Appled Mathematcs, Phladelpha, [13] CASTRO, Carlos A. C Jr. Análse Matrcal de Sstemas de Energa Elétrca. Departamento de Sstemas e Energa Faculdade de Engenhara Elétrca e Computação/UNICAMP, AGRADECIMENTOS Agradecemos à Fundação de Amparo à Pesqusa do Estado de Mato Grosso (FAPEMAT) e ao Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco (CNPq), pelo suporte fnancero, sem o qual não sera possível a realzação desta pesqusa. REFERÊNCIAS [1] Cabral, Lga M. M.; Cachapuz, Paulo B. B.; Lamarão, Sergo T. N. Panorama do Setor de Energa Elétrca no Brasl. 1 ed. Ro de Janero: Centro da Memóra da Eletrcdade no Brasl, [2] POMA, Carlos Enrque Portugal. Um Soluconador Iteratvo Para Sstemas-Lneares: Aplcação no Problema do Fluxo de Carga. Ro de Janero, Dssertação (Doutorado em Engenhara Elétrca) PUC-Ro, [3] ZOLLENKOPF, K. B-Factorsaton Basc Computatonal Algorthm and Programmng Technques, a paper from Large Sparse Sets of Lnear Equatons, edted by J. K. Red, Academc Press, pp , [4] SAAD, Y.; SCHULTZ, M. H. GMRES: A generalzed mnmal resdual algorthm for solvng nonsymmetrc lnear systems. pp. SIAM J. Sc. Stat. Comput. 7, p. 856, [5] ZOLLENKOPF, K. B-Factorsaton Basc Computatonal Algorthm and Programmng Technques, a paper from Large Sparse Sets of Lnear Equatons, edted by J. K. Red, Academc Press, pp , [6] TURING, A. M. Roundng-off errors n matrx processes. Q. J. Mech. Appl. Math. 1, p. 287, 1948.