RIO DE JANEIRO RJ - BRASIL

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1 PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA ARETHA DE SOUZA VIDAL CAMPOS PROJETO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO ELETRICISTA. Aprovada por: Profª. Carmen Luca Tancredo Borges, D.Sc (Orenador) Prof. Anono Carlos Squera de Lma, D.Sc Prof. Sergo Sam Hazan, D.Sc RIO DE JANEIRO RJ - BRASIL DEZEMBRO DE 2007

2 DEDICATÓRIA Dedco ese rabalho ao meu namorado e amgo Eduardo Jubn de Meríca por er conrbuído para o meu amadurecmeno durane a faculdade e por er sdo udo o que eu precse sempre que eu precse.

3 AGRADECIMENTOS Agradeço em prmero lugar a Deus por er colocado em meu camnho odas as pessoas que serão cadas. À oda a mnha famíla em especal aos meus pas Sebasão Vdal e Mara José e ao meu rmão Thago Vdal pela confança deposada em mm, pela pacênca e pelo carnho nos momenos mas dfíces e pelo orgulho que sempre demonsraram durane odo o período da faculdade. À Professora Carmen Luca Tancredo Borges pelos conhecmenos dvddos durane a graduação bem como durane a elaboração do Proeo. A odos os professores do Deparameno de Engenhara Elérca por audarem na mnha formação em especal ao Professor Sergo Sam Hazan pelos conselhos, pelas conversas, pelos sorrsos e por er acredado em mm desde o níco do curso, ao Professor Anôno Carlos Squera de Lma por, conra odas as expecavas, er se mosrado, além de um educador, um grande amgo e ao Professor Jorge Luz do Nascmeno por er buscado desde o prmero período nos fazer pensar e agr como engenheros. Aos amgos Fred, Fêfa e Gab por enenderem o meu afasameno durane o período da faculdade. A odos os amgos da faculdade em especal Eduardo Jubn, Dav Duque e Renaa Rbero, que fo a rmã que eu escolh. Ao meu prmo Brenno por me escolher como um exemplo a segur e por dzer sempre o que precse escuar. Obrgada!

4 A mene que se abre a uma nova déa amas volará ao seu amanho orgnal. Alber Ensen v

5 RESUMO A expansão de fones geradoras mplca elevado cuso fnancero e socal, consderando-se ambém o cuso ambenal provocado pelas usnas ermelércas e hdrelércas. Daí se conclu ser exremamene necessáro o esudo de meodologas de planeameno. O consumo de elercdade é crescene, mesmo em época de crse econômca. As relações enre o mercado de energa elérca, enre o consumo de energa de um modo geral, enre a avdade econômca e a políca ndusral são complexas, em função do processo de desenvolvmeno do país, exgndo que o seor formule meodologas própras para avalar a evolução do mercado. De manera geral o planeameno do seor elérco se dvde em Planeameno da Expansão e Planeameno da Operação, e o segundo de subdvde anda em horzones de planeameno. Ese rabalho apresena os conceos dessas duas eapas do Planeameno, bem como as formulações maemácas relavas aos mesmos. v

6 SUMÁRIO CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO...1 CAPÍTULO 2: PLANEJAMENTO DE SISTEMAS HIDROTÉRMICOS SISTEMAS TÉRMICOS SISTEMAS HIDRELÉTRICOS ETAPAS DO PLANEJAMENTO Caraceríscas do Planeameno da Expansão Planeameno Baseado em Créros Deermníscos Planeameno Baseado em Créros Probablíscos Caraceríscas do Planeameno da Operação...17 CAPÍTULO 3: PLANEJAMENTO DA EXPANSÃO FORMULAÇÃO ESTÁTICA EM UM ESTÁGIO Modelo de Transpores Modelo de Fluxo de Carga CC Modelo Hbrdo Modelo de Fluxo de Carga CA FORMULAÇÃO DINÂMICA EM MÚLTIPLOS ESTÁGIOS Modelo de ranspores Modelo de Fluxo de Carga CC Modelo Hbrdo A DECOMPOSIÇÃO DE BENDERS...53 CAPÍTULO 4: PLANEJAMENTO DA OPERAÇÃO PLANEJAMENTO DA OPERAÇÃO DE SISTEMAS TÉRMICOS PLANEJAMENTO DA OPERAÇÃO DE SISTEMAS HIDROTÉRMICOS O problema de longo prazo e médo prazo Programação Dnâmca Esocásca Modelo a Ssema Equvalene Programação Dnâmca Esocásca Dual O Problema de Curo Prazo Fluxo de Poênca Ómo...99 CAPÍTULO 5: ESTUDO DE CASO ESTUDO DE FLUXO DE POTÊNCIA Tabela 5.2 Dados das Lnhas do Ssema Condção de Carga Méda Condção de Carga Pesada Condção de Carga Leve v

7 Inerpreação dos Resulados ESTUDO DE ESTABILIDADE Condção de Carga Méda Condção de Carga Pesada Condção de Carga Leve Inerpreação dos Resulados ESTUDO DE CONFIABILIDADE Condção de Carga Méda Condção de Carga Pesada Condção de Carga Leve Inerpreação dos Resulados CONCLUSÕES CAPÍTULO 6: CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS v

8 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO A energa elérca ornou-se ndspensável para a sobrevvênca do ser humano, sendo ulzada para fns desde ndusras aé doméscos. Seu consumo vem aumenando em odo o mundo acompanhado do crescmeno do nível sóco econômco da população. Com o crescmeno acelerado da demanda dese recurso, exse a necessdade de nvesmenos massvos que englobem as fones de geração, ransmssão e dsrbução de energa elérca[1]. A expansão de fones geradoras mplca elevado cuso fnancero e socal, consderando-se ambém o cuso ambenal provocado pelas usnas ermelércas e hdrelércas. Daí se conclu ser exremamene necessáro o esudo de meodologas de planeameno. A ndúsra de geração de energa elérca braslera é hdroérmca, composa por usnas hdrelércas com grandes reservaóros de regularzação pluranual, que represena mas de 90% da capacdade nsalada do país, e por usnas ermelércas convenconas e nucleares. Devdo à exensão erroral do Brasl e, conseqüenemene, às resrções de ransmssão, o seor elérco é segmenado em quaro submercados correspondendo às regões dos ssemas nerlgados: Sul, Sudese/Cenro-Oese, Nordese e Nore[2]. O consumo de elercdade é crescene, mesmo em época de crse econômca. As relações enre o mercado de energa elérca, enre o consumo de energa de um modo geral, enre a avdade econômca e a políca ndusral são complexas, em função do processo de desenvolvmeno do país, exgndo que o seor formule meodologas própras para avalar a evolução do mercado. A Imporânca do Planeameno Energéco O planeameno do seor elérco é fundamenal para assegurar a connudade do abasecmeno e/ou suprmeno de energa ao menor cuso, com o menor rsco e com os menores mpacos sóco-econômcos e ambenas para a socedade. Do de oura forma, a fala do planeameno pode razer conseqüêncas negavas, com reflexos em ermos de elevação de cusos e/ou degradação na qualdade da presação 1

9 do servço, as como raconamenos ou excessos de capacdade nsalada, produção nefcene, ec. Enfm, ano as caraceríscas écncas e econômcas como o escopo e a complexdade dos aspecos envolvdos no funconameno da ndúsra de energa explcam a mporânca do planeameno do seor elérco. A necessdade de planeameno ambém derva do escopo e da complexdade do ssema energéco, nclundo os dferenes aores responsáves pela evolução do seor, ano do lado da ofera quano do lado da demanda. Em especal os formuladores de políca e as agêncas reguladoras são aores com grande poder nsuconal sobre as varáves do ssema. Suas decsões razem mpacos para odos os agenes e nfluencam sobremanera o fuuro dos ssemas. Essas decsões, na maora das vezes, são omadas perane um ambene de ncerezas e necessam de processos ssemácos de apoo à decsão, em especal sobre as perspecvas de fuuro. Obevo do Trabalho Ese rabalho em como obevo a apresenação dos conceos de Planeameno da Operação e da Expansão de Ssemas Hdroérmcos unamene com as formulações maemácas desenvolvdos para modelá-lo. 2

10 CAPÍTULO 2 PLANEJAMENTO DE SISTEMAS HIDROTÉRMICOS Um ssema hdroérmco (fgura 2.1) é consuído de usnas hdrelércas, usnas érmcas, usnas de ouras fones alernavas e uma rede de ransmssão nerlgando as usnas com os cenros de consumo. FIGURA 2.1 Esquema de Ssema Hdroérmco 2.1. Ssemas érmcos As usnas ermelércas podem ser dvdas em dos grandes grupos: - As convenconas que usam maeras fósses como combusível, as como: o carvão, o óleo combusível e o gás naural; 3

11 -As nucleares, as quas ulzam combusíves físses como o urâno. Denro do grupo de usnas convenconas enconramos as usnas com urbnas a vapor, a gás e usnas com combusão drea. Apesar dos dversos pos de combusíves e caraceríscas apresenadas pelas usnas érmcas, é possível fazer uma represenação esquemáca das usnas que usam a quema de maéra-prma para a obenção de vapor. A fone de calor pode ser fea a parr da combusão de qualquer um dos combusíves cados, ou anda, de alguma oura fone alernava. Esa represenação pode ser vsa na fgura 2.2. Fgura 2.2 Confguração Esquemáca Típca da Geração de Energa com Turbna a Vapor. Qualquer po de usna ermelérca é represenada nos esudos de planeameno aravés das suas caraceríscas físcas e resrções operavas, as como: poênca máxma, combusível usado, consumo específco, axa de omada de carga e nível mínmo operavo. Um mporane parâmero de caracerzação físca e operava de uma ermelérca é a represenação gráfca de seu consumo ncremenal, H, ou cuso ncremenal, F, os quas represenam, respecvamene, a axa de aumeno do consumo de combusível e de cuso de operação, em função de um ncremeno no seu nível de geração [3]. Uma curva ípca de enrada e saída, que lusra o cuso ncremenal de operação de uma ermelérca, é apresenada na fgura

12 Os níves mínmos de geração das usnas ermelércas usualmene ulzados em esudos de planeameno energéco podem esar relaconados com uma sére de faores, as como: -Caraceríscas físcas das usnas, como manuenção da esabldade do cclo ermodnâmco ou do consumo de combusível secundáro das usnas a carvão; -Problemas de esabldade na rede elérca; -Usnas érmcas em sua maora êm um consumo mínmo de combusível conraado com seu fornecedor, para assegurar a connudade de exploração de mnas. Fgura 2.3 Curva Típca de Enrada e Saída de uma ermelérca. O cuso de produção de um ssema ermelérco, denro de um horzone de operação, pode ser defndo como uma função dos cusos fxos de operação, dos cusos varáves de produção e dos de parda de uma undade geradora. Maemacamene, so pode ser represenado pela equação 2.1[3]. { Cv ) [ P (, k) P ( )] + C f ( ) y(, k) + Cs ( ) z(, k } F = ( ) (2.1) k K I 5

13 Onde: C f () = Cuso fxo; C s () = Cuso de parda da usna; C v () = Cuso varável; I = Idenfcador da undade geradora; k = Indcador do período de operação (hora); P (,k) = Produção de energa na usna durane a hora k; P () = O nível mínmo de energa produzdo pela usna uma vez que ela fo ncalzada; y(,k) = Snalza a operação da usna (y=1, usna operando, y=0, usna nava); z(,k) = Snalza a parda da usna no começo da hora k (z=1, usna ncalzada, z=0, usna nava). Uma vez ncalzada, a undade de geração érmca deve connuar em operação por um cero número de horas anes de deslgá-la. E ambém quando deslgada, a undade deve permanecer um cero número de horas parada. Quando essas undades são despachadas, oura mporane resrção é o cumprmeno da geração máxma e geração mínma, al como lusrado na fgura 2.4. Fgura 2.4 Lmes de Geração. 6

14 2.2. Ssemas Hdrelércos Uma usna hdrelérca é composa bascamene por uma barragem, responsável pela formação de um reservaóro de água, omadas d água e conduos forçados que levam a água desde o reservaóro aé a casa de força, suada num nível mas baxo à usane da barragem, que aloa os grupos de urbna-gerador e equpamenos auxlares e o canal de fuga por onde a água é novamene reconduzda ao ro[4]. Ouro componene da usna hdrelérca é o veredouro, que em a função de descarregar oda a água não ulzada pra a geração (que excede à capacdade do reservaóro). A fgura 2.5 mosra os prncpas componenes de uma usna hdrelérca. Fgura 2.5 Prncpas Componenes de uma Usna Hdrelérca [23] A fgura 2.6 mosra o core ransversal de uma usna hdrelérca. Nela podem ser observados o ssema de conduo forçado, a caxa espral, a urbna e o gerador. Pode-se verfcar ambém o nível do reservaóro e do canal de fuga. A dferença enre as coas dos níves do reservaóro e do canal de fuga defne a alura de queda brua. 7

15 Fone: Iapu Bnaconal Fgura 2.6 Core Transversal de uma Usna Hdrelérca. O nível do reservaóro é uma função não lnear do volume de água armazenado no reservaóro. As undades normalmene adoadas são o mero sobre o nível do mar (m.s.n.m) e o hecômero cúbco (hm 3 ) para o nível do reservaóro e volume, respecvamene [4]. O nível do canal de fuga é uma função não lnear da vazão defluene. A defluênca é composa pela vazão de água que passa aravés das urbnas mas a vazão sendo descarregada pelo veredouro, num dado nsane. A nfluênca da vazão verda no nível de canal de fuga depende das caraceríscas de proeo da usna, no que dz respeo à localzação do veredouro, pos quando o vermeno se dá em um pono dsane das descargas das undades geradoras a nfluênca pode ser mínma, não afeando a alura de queda[4]. A produção da energa elérca é o resulado de um processo de ransformação. A energa poencal da água armazenada no reservaóro é ransformada pela urbna em energa mecânca que aravés de um exo é ransmda ao gerador. No gerador, a energa mecânca é ransformada em energa elérca, que após passar por uma subesação 8

16 elevadora de ensão é neada no ssema de ransmssão para a sua enrega aos cenros de consumo. A dedução da expressão maemáca que represena a função de geração de uma undade geradora hdrelérca começa a parr da energa poencal armazenada no reservaóro. Defne-se a varação desa energa poencal em relação à varação da massa d água no reservaóro como [5]: de p = dm g h (2.2) Onde: de p é a varação ncremenal na energa poencal (em Joules); dm reservaóro (em Kg); é uma varação ncremenal da massa de água armazenada no g é a aceleração da gravdade (em m/s 2 ) e; h níves do reservaóro e do canal de fuga. é a alura de queda (em m), defnda como a dferença enre os A varação da massa d água é converda em varação de volume ( v, em m 3 ) levando em cona o peso específco d água (ρ, em kg/m 3 ) na segune relação: m ρ = (2.3) v Da equação (2.3) pode-se ober: dm = ρ dv (2.4) Subsundo-se (2.4) em (2.2) em-se: 9

17 de p = ρ dv g h (2.5) Se for consderada a energa poencal d água varando num nervalo de empo nfnesmal, em-se num lado da equação (2.5) a expressão de poênca e no ouro lado a varação do volume num nervalo de empo nfnesmal, que resula em vazão: de dv p = ρ g h d d (2.6) de dv p b = q = e d d p (2.7) Subsundo-se (2.7) em (2.6) em-se: p b = ρ q g h (2.8) A equação (2.8) expressa a poênca brua (p b ) assocada com uma deermnada vazão d água urbnada q desde uma alura de queda h. A condução d água aé a urbna é fea aravés de únes ou ssema de duos. Devdo à frcção d água no ssema de adução verfcam-se perdas expressas em ermos de alura de queda. A alura de queda líquda é defnda como sendo a dferença enre a alura de queda brua e a perda hdráulca e é represenada pela segune equação: h = h (2.9) l h p onde, h l é alura de queda líquda (em m); h p é a perda hdráulca (em m); h é a alura de queda brua (em m), defnda como sendo a dferença enre as coas do nível do reservaóro e do nível do canal de fuga. 10

18 A perda hdráulca refere-se enão, à redução da energa poencal pelo aro da água ao escoar no neror do conduo forçado e caxa espral. Esa perda é calculada levando-se em cona dados referenes ao comprmeno, dâmero, curvas, a rugosdade das paredes nernas do conduo forçado e da caxa espral. Normalmene é represenado como uma função quadráca do po [5]: h p 2 = k q (2.10) onde: k é a consane caracerísca do ssema de adução (em s 2 /m 5 ); q é a vazão urbnada (em m 3 /s). A ransformação da poênca hdráulca em poênca mecânca é realzada pela urbna e essa ransformação depende da vazão urbnada q, da alura de queda líquda h l, e da efcênca η dessa ransformação. Assm pode-se ober a expressão maemáca para a poênca mecânca desenvolvda pela urbna como sendo: p = ρ g q η (2.11) m h l Ao exo da urbna esá acoplado o gerador elérco, que ransforma a poênca mecânca em poênca elérca. Essa ransformação depende da efcênca do gerador, so é: p = η g p m (2.12) onde: η g é o rendmeno do gerador. Subsundo-se a equação (2.11) na equação (2.12) obemos a expressão maemáca da poênca produzda por uma undade geradora hdrelérca: 11

19 p = ρ g q η η (2.13) h l g onde: p é a poênca elérca gerada ( em MW ); η é o rendmeno da urbna ( em % ); η g é o rendmeno do gerador ( em % ); h l é a alura de queda líquda ( em m ); q é a vazão urbnada ( em m 3 /s ). Fo vso anerormene que um ssema ermelérco apresena uma capacdade mínma e máxma de operação, que é um faor mporane em esudos de planeameno energéco, pos esses valores de poênca defnem a sua faxa operava. Em usnas hdrelércas, no enano, a relação enre o despacho e o cuso de geração da usna não é drea como nas usnas ermelércas. Nese caso, um créro de desempenho convenene é a efcênca na produção. O aumeno da efcênca em uma usna hdrelérca consse bascamene em consegur produzr uma quandade maor de energa para o mesmo volume de água urbnada [5] Eapas do Planeameno De manera geral, o planeameno do seor elérco em as segunes fases: Planeameno da Expansão: Eapa na qual procura-se analsar as dferenes esraégas da expansão do ssema elérco em relação à geração e ransmssão, esabelecendo-se um programa de consrução e nsalação de novas undades de geração, ransmssão e conrole do ssema e de nvenáro das bacas hdrográfcas; são defndas as drerzes que consuem a base dos esudos de médo e curo prazos, as como reserva de poênca, capacdade de geração de pona. 12

20 Planeameno de Operação: Com horzones de aé cnco anos, o obevo é esabelecer o comporameno do ssema para um horzone de operação de aé alguns anos à frene. Nesa eapa deve-se promover o aproveameno raconal dos recursos, garanndo-se a qualdade e segurança no aendmeno à demanda e respeo às resrções operavas do ssema hdroérmco Caraceríscas do Planeameno da Expansão A expansão de ssemas de geração ermoelércos basea-se prncpalmene no esabelecmeno de um nível de confabldade para o aendmeno da demanda máxma fuura. Os acréscmos de capacdade nsalada são dmensonados e escalonados no empo de modo a assegurar o aendmeno à demanda máxma prevsa e aos requsos de reserva de poênca, denro de padrões pré-esabelecdos de qualdade de suprmeno. A reserva de poênca represena uma folga de capacdade de geração, necessára para permr que se manenha a qualdade de suprmeno na ocorrênca de manuenções programadas e falhas nas undades geradoras, erros de prevsão de carga e necessdades de regulação da freqüênca do ssema. A capacdade de geração de pona de ssemas ermoelércos é em geral sufcene para o aendmeno aos requsos de energa, pos as usnas ermoelércas não êm, usualmene, lmações de combusíves. O processo de planeameno pode ser defndo como uma análse ssemáca e ordenada de nformações face a obevos deseados, como o obevo de subsdar a omada de decsões. No caso do planeameno da expansão de ssemas de geração de energa elérca, as prncpas nformações a serem raadas são as caraceríscas físco-operavas e econômcas das fones de geração e as prevsões de consumo do mercado. As decsões a serem omadas envolvem a alocação emporal e espacal das capacdades de geração necessáras para aender ao crescmeno da demanda ao longo do horzone de planeameno. A função obevo é assegurar o aendmeno do mercado de energa elérca, denro de padrões pré-esabelecdos de qualdade, geralmene a mínmo cuso [5]. Pode-se, enão, caracerzar duas avdades dsnas que se desenvolvem nos esudos de planeameno da expansão do ssema gerador: o dmensonameno das fones de geração e a deermnação do programa de expansão do ssema. O conhecmeno, a avalação e o dmensonameno dos recursos energécos dsponíves para a geração de energa elérca envolvem esudos que devem ser execuados 13

21 com aé rna anos de anecedênca pos as usnas geradoras êm períodos de consrução basane longos, como a análse de novas ecnologas de geração ou ransmssão de energa, ou o esabelecmeno de programas de capacação ecnológca e ndusral do país. Como as nformações sobre o parque gerador fuuro só se ornam mas dealhadas à medda que se reduz o horzone de análse, os esudos de planeameno da expansão são usualmene dvddos em rês eapas seqüencas : longo prazo, médo prazo e curo prazo. Esudos de longo prazo - Analsam um horzone de aproxmadamene rna anos e permem denfcar as lnhas mesras de desenvolvmeno do ssema, fxando, em função da composção esperada do parque gerador, das capacdades esmadas dos roncos de ransmssão e do desenvolvmeno de processos ecnológcos e ndusras, as meas para o programa de expansão de médo prazo. Esudos de médo prazo - Analsam o aendmeno ao mercado nos próxmos dez anos e esabelecem o programa de expansão do ssema elérco, de forma a aender os requsos a cuso mínmo, manendo a qualdade de suprmeno em níves pré-deermnados. Esudos de curo prazo - Represenam o ause do programa de expansão do ssema frene a varações conunuras, como mudanças das prevsões do mercado, arasos nos cronogramas de obras e resrções dos recursos fnanceros. Um exemplo de Planeameno da expansão é o Plano Decenal de Expansão de Energa PDE, formulado anualmene pela Empresa de Pesqusa Energéca EPE, que proporcona snalzações para orenar as ações e decsões relaconadas ao equaconameno do equlíbro enre as proeções de crescmeno econômco do país, seus reflexos nos requsos de energa e da necessára expansão da ofera, em bases écnca, econômca e ambenalmene susenável. Nese sendo, o PDE apresena as alernavas cabíves para compor o plano de ofera, conemplando o programa de obras para a expansão das nfra-esruuras de ofera e de ranspore dos energécos conemplados nesse horzone de planeameno. O exemplo mas recene é o Plano Decenal de Expansão

22 Esses esudos de planeameno abrangem o horzone de 10 anos, devendo ser obeo de revsões anuas. Essas aualzações anuas rão consderar, enre ouras, as mudanças nas prevsões de crescmeno do consumo de energa e reavalações da economcdade e vabldade dos proeos de ofera de energa em função de um maor dealhameno dos seus esudos écncos de engenhara e de meo ambene, além da ncorporação de novos proeos cuos esudos enham sdo fnalzados. O planeameno decenal é um nsrumeno que em o papel de orenar fuuras ações governamenas e de fornecer uma correa snalzação a odos os agenes do seor energéco braslero, de modo a nduzr uma alocação efcene dos nvesmenos, base para a modcdade arfára fuura[6] Planeameno Baseado em Créros Deermníscos A produção energéca de um ssema hdrelérco depende da sére cronológca de vazões afluenes às dversas bacas que compõem o ssema. Na mpossbldade de conhecer as vazões fuuras para fns de planeameno da expansão do parque gerador, o Seor Elérco ulzava, como dado de enrada nos modelos de smulação e/ou omzação, o regsro de vazões observadas no passado (50 anos), denomnada sére hsórca, ou sea, supunha a repeção das afluêncas observadas no passado. Defna-se como energa frme de um ssema gerador o maor valor de energa capaz de ser produzdo connuamene pelo ssema, com as mesmas caraceríscas do mercado, sem a ocorrênca de défcs, no caso de repeção das afluêncas do regsro hsórco. Assm sendo, o créro de garana de suprmeno ou créro de energa frme, que represena no processo de planeameno a forma de aender os requsos de demanda com qualdade e a um cuso mínmo, era defndo com base na não ocorrênca de défc de energa, mas na hpóese de repeção do hsórco de vazões. Porano, a expansão do ssema era raada de forma deermnísca. Mas, na realdade, o créro da energa frme pode ser enenddo como mas conservador, endo uma posura de mnmzar o arrependmeno [5]. 15

23 Planeameno Baseado em Créros Probablíscos Apesar do créro da energa frme apresenar as vanagens acma menconadas, além de prover um maor grau de vsbldade aos fenômenos hídrcos, mas recenemene o Seor Elérco passou a ulzar séres snécas de vazões obdas a parr do hsórco das vazões nauras com as mesmas caraceríscas esaíscas, aravés do uso de modelos maemácos. Perdeu-se a sensbldade em relação aos fenômenos reas, além de nroduzr dúvdas quano à convenênca em usar as modelos. As séres de vazões ulzadas permem exrar a nformação dos regsros hsórcos e dos respecvos rscos nerenes à operação do Ssema Inerlgado Naconal (SIN). A produção das séres snécas é baseada em modelos esocáscos. O planeameno da expansão do ssema de geração hdroérmco vsa o aendmeno dos requsos de energa e poênca fuuros em níves adequados de qualdade a um cuso mínmo. Os benefícos assocados à produção de energa nas usnas hdrelércas são meddos em ermos de economa de cusos de combusíves provocada pelo deslocameno de geração ermelérca. Os créros de garana de suprmeno (pona e energa) represenam a forma de se esabelecer a qualdade do aendmeno e baseam-se na aferção dos parâmeros operavos do ssema. Os créros dos probablíscos, aualmene ulzados, são aqueles que levam em cona a naureza aleaóra dos dversos parâmeros que nerferem na qualdade do suprmeno de energa (seqüênca hdrológca desfavorável) e de poênca (defeos nos ssemas de ransmssão/dsrbução e/ou geração, nese úlmo nclundo depleconameno dos reservaóros). Tas créros possuem as segunes premssas báscas[5]: Incorporam a expansão do ssema gerador e dos prncpas roncos de ransmssão ao longo do horzone de planeameno; Consderam as regras de operação óma do ssema hdroérmco; Represenam as caraceríscas hdrológcas dsnas das afluêncas aos aproveamenos do ssema; Maném as mesmas caraceríscas esaíscas da amosra hsórca (médas, desvos padrão, coefcenes de correlação espacas e emporas, ec.); 16

24 Permem a quanfcação dos rscos de suprmeno Caraceríscas do Planeameno da Operação O prncpal obevo do planeameno da operação é a defnção de quas undades geradoras e que monanes de energa cada um desses geradores deve produzr, de modo a suprr a demanda ao menor cuso oal possível. O cuso de operação de cada undade geradora é função do combusível por ela ulzado para a produção de energa. Em um ssema hdroérmco, as usnas hdrelércas ulzam a água como combusível para produção de energa. Em prncípo, poderíamos pensar enão que o cuso de operação de usnas hdrelércas é nulo, pos não há nenhum desembolso para comprar a água que esá armazenada nos reservaóros das usnas hdrelércas. Na verdade, na operação energéca de um ssema hdroérmco exse uma relação enre a decsão omada em um eságo qualquer e sua conseqüênca fuura. Se no presene for gaso água em excesso e se não chover o sufcene para repor a água dos reservaóros, no fuuro o cuso de operação do ssema pode vr a ser alíssmo, pos o aendmeno a carga erá de ser feo aravés do uso de geração érmca cara, ou porque pode aé ser necessáro realzar um raconameno de energa. Por ouro lado, ulzando geração érmca em excesso no presene de modo a economzar a água dos reservaóros, se um período de mua chuva ver a ocorrer, pode ser necessáro verer água dos reservaóros no fuuro, resulando em um desperdíco de energa. A fgura 2.7 apresena as conseqüêncas do processo de decsão de operação de um ssema hdroérmco, lusrando o acoplameno emporal enre as decsões. Fgura 2.7 Processo de Decsão para Ssemas Hdroérmcos. 17

25 Além de acoplado no empo, um problema de operação energéca de um ssema hdroérmco é ambém esocásco, á que não exse cereza a respeo das afluêncas fuuras no momeno em que a decsão operava é omada. Na omada de decsão da operação de um ssema hdroérmco deve-se comparar o benefíco medao do uso da água e o benefíco fuuro do armazenameno da mesma. O benefíco do uso medao da água pode ser represenado aravés de uma função chamada Função de Cuso Imedao (FCI), enquano que o benefíco de armazená-la no presene para o seu uso fuuro pode ser represenado aravés de uma Função de Cuso Fuuro (FCF). A palavra fuuro aqu não sgnfca apenas um eságo depos, e sm odos os eságos fuuros aé o horzone de planeameno. Esas duas funções esão lusradas na Fgura 2.8. Fgura 2.8 Função de Cuso Imedao e Função de Cuso Fuuro O exo x do gráfco apresenado na fgura 2.8 represena o volume fnal armazenado no reservaóro de uma usna hdráulca, e o exo y represena o valor da função de cuso fuuro ou cuso medao expresso em undades moneáras. Como é de se esperar, a função de cuso medao aumena com o volume fnal armazenado nos reservaóros. Iso ocorre porque a decsão de economzar água no presene esá relaconada a um maor gaso com geração érmca no aendmeno a carga. Dese modo, a função de cuso medao esá assocada ao gaso com geração érmca no eságo aual. Por ouro lado, a função de cuso fuuro dmnu com o volume fnal armazenado nos reservaóros, porque a decsão de economzar água no presene esá relaconada a um menor uso de geração érmca no fuuro. Logo, a função de cuso fuuro 18

26 esá assocada ao valor esperado do gaso com geração érmca no fnal do eságo (níco de +1) aé o fnal do período de esudo. Em ermos conceuas, a curva de FCF sera calculada pelas smulações operavas do ssema para cada nível de armazenameno no fnal da eapa. Como lusrado na fgura 2.8, as smulações são realzadas de manera probablísca, so é, usando grande número de cenáros hdrológcos. Fgura 2.9 Cálculo da Função de Cuso Fuuro O uso ómo da água armazenada nos reservaóros é aquele que mnmza a soma do cuso de geração érmca no presene com o valor esperado do cuso de geração érmca aé o fm do horzone de planeameno. Noe que ese é o pono de mínmo da curva formada pela soma da função de cuso medao com a função de cuso fuuro, conforme apresenado na fgura

27 Fgura 2.10 Decsão Óma para o uso da água Observe ambém que ese pono é aquele onde as dervadas da função de cuso fuuro e da função de cuso medao, em relação ao volume fnal armazenado nos reservaóros, se gualam em módulo. Maemacamene: ( FCI + FCF) FCI = V V FCF + V = 0 FCI V FCF = V As dervadas ( FCI/ V) e (- FCF/ V) são conhecdos como valores da água. Logo, ao conráro do exposo no níco desa seção, a água armazenada nos reservaóros não em cuso nulo, e sm possu um valor relaconado ao cuso de oporundade de economzarmos água hoe para a usarmos no fuuro. Devdo às mpossbldade de se er um conhecmeno perfeo das fuuras afluêncas aos aproveamenos e, em cera medda, da curva de carga do ssema, sua operação orna-se um problema probablísco. A exsênca de váras bacas nerlgadas e a necessdade de avalação das conseqüêncas do uso das reservas nos anos fuuros levam ao emprego de um período longo de esudo, caracerzando o planeameno da operação como um problema de grande pore. Além dsso, há não lneardades devdo às funções de cusos érmcos e de produção das usnas hdráulcas (vazão x alura da queda). Como os benefícos da geração de uma 20

28 usna hdráulca não podem ser meddos dreamene como função da usna somene, mas sm em ermos da economa de combusíves do ssema, em-se que as varáves envolvdas são não-separáves. Fnalmene, o planeameno da operação de um ssema hdroérmco deve levar em cona um amplo especro de avdades, abrangendo desde a omzação pluranual dos reservaóros aé o despacho das usnas, levando em cona as resrções operavas. Os dferenes horzones de esudo correspondem a dferenes pos de análse do desempenho do ssema, as como efeos de longo prazo (possbldade de défcs fuuros, valor esperado de gerações érmcas no fuuro, ec), efeos de médo prazo (conraos anuas para suprmeno de energa e demanda enre empresas do ssema, programa de manuenções, ec) e efeos de curo prazo (conrole de cheas, resrções de segurança, ec). Devdo às complexdades apresenadas é mpossível se dspor de um modelo maemáco únco para o raameno do problema. Assm, o problema é subdvddo em problemas menores, e coordenados enre s. A fgura 2.11 mosra, de forma smplfcada, as dversas eapas que compõem esses processos, os quas devem ser negrados com o planeameno da expansão do ssema. Nesa fgura podemos noar que os resulados obdos em cada fase servem como dados de enrada para a próxma fase emporal na cadea. Além dsso, os resulados de cada uma delas servem como realmenação para a fase precedene no cclo de planeameno segune. 21

29 Fgura 2.11 Represenação das Eapas de Planeameno do Ssema Elérco Braslero. 22

30 A eapa de planeameno da operação subdvde-se anda em esudos energécos e elércos. Os esudos elércos êm por obevo vablzar as meas calculadas pelo planeameno da operação energéca, assegurando uma operação confável para o ssema. Os prncpas resulados do planeameno da operação elérca são as adapações das meas energécas à capacdade real do ssema de ransmssão. Os esudos elércos e energécos são decomposos em cadeas, as quas ulzam dferenes horzones de planeameno e graus de dealhameno na represenação do ssema. A fgura 2.12 mosra como o problema de planeameno da operação energéca é subdvddo em um conuno de subproblemas. Pode-se observar que o grau de dealhe cresce na medda em que se reduz o horzone de nfluênca das decsões. Fgura 2.12 Dferenes Eapas do Planeameno Energéco da Operação. 23

31 No planeameno de longo prazo deermnam-se os oas de geração érmca e a políca de operação do ssema raduzda por funções de cuso fuuro, so é, que raduzem o cuso esperado de operação de um período qualquer aé o fnal do horzone, quanfcando assm os rscos no aendmeno energéco, e anda os nercâmbos enre os subssemas. O planeameno de médo prazo em as funções do planeameno de longo prazo porém os resulados são explcados a nível semanal. Ouros resulados dese horzone são a deermnação dos cusos de geração e a defnção dos monanes dos conraos de suprmeno. A parr das meas de geração fxadas pelos esudos de longo e médo prazo, o planeameno de curo prazo (pré-despacho) deermna o valor da água, o cuso margnal de curo prazo, a avalação e a programação de nercâmbos. Anda de acordo com a fgura 2.11, depos do planeameno da operação segue-se a programação dára e horára da operação, culmnando o processo com a supervsão e coordenação da operação do ssema elérco em empo real. O processo é enão encerrado com as avdades de análse pós operava. 24

32 CAPÍTULO 3: PLANEJAMENTO DA EXPANSÃO O planeameno da expansão das capacdades de geração e de ransmssão dos ssemas de energa elérca consu um problema de omzação de grande complexdade em função de dversos faores, enre os quas se desacam[7,8]: É necessáro consderar uma vsão de longo prazo para que os empreendedores possam se benefcar da economa de escala que é usual para os equpamenos de ransmssão e pode esar presene, ambém, em alguns empreendmenos de geração, as como as cenras hdrelércas. Além dso, o empo necessáro para a consrução dos empreendmenos de maor pore, como por exemplo, uma grande cenral hdrelérca, faz com que sea necessáro decdr pela sua consrução muo anes desse empreendmeno ornar-se necessáro para o ssema. Os empreendmenos de geração e de ransmssão apresenam dependêncas emporas e espacas e precsam ser analsados de forma conuna no espaço e no empo. Assm, é necessáro analsar, smulaneamene, odo o ssema ao longo de um horzone de empo de longo prazo. Precsam ser avaladas, smulaneamene, as caraceríscas écncas, econômcas e ambenas dos empreendmenos. Exsem ncerezas assocadas aos valores prevsos para o comporameno do consumo, dos recursos hídrcos (responsáves, aualmene, por 95% da produção naconal de energa elérca) e do cuso e dsponbldade das ouras fones prmaras de energa (gás naural, carvão, dervados do peróleo, nuclear e fones alernavas) ao longo do horzone de planeameno. Resula daí um problema de omzação de dfícl solução em função do elevado número de varáves (conínuas e neras) e de resrções (lneares e não lneares) que êm sdo, usualmene, smplfcado aravés do desacoplameno enre o planeameno da ransmssão e 25

33 o da geração, sendo o segundo realzado anes sem a consderação do prmero ou com uma represenação grossera dos nvesmenos da ransmssão. Oura smplfcação, basane comum no planeameno da expansão do ssema de ransmssão, é o emprego de modelos esácos que analsam apenas um período do horzone de planeameno e consderam que odos os nvesmenos são realzados de uma só vez. O problema do planeameno da expansão das capacdades de geração e de ransmssão dos ssemas de energa elérca pode ser represenado pelo segune problema de omzação: Mn z = c( x) + d( y) Sueo a: (3.1) A( x) b E( x) + F( y) h onde: z é a função obevo; x represena as varáves de nvesmeno (decsões a respeo das capacdades de geração e de ransmssão); c(x) represena o cuso assocado às decsões de nvesmeno; A(x) b represena as resrções assocadas às decsões de nvesmeno (resrções fnanceras, cronograma de consruções, lmes físcos de nsalação, ec.); y represena as varáves de operação do ssema (decsões a respeo do nível de geração nas barras, core de carga, fluxo nas lnhas, ec.); d(y) represena o cuso assocado às decsões de operação; 26

34 E(x) + F(y) h represena as resrções assocadas às decsões de operação (que dependem das decsões de nvesmeno realzadas). Aravés da formulação do problema dado em (3.1) e ulzando-se defnções adequadas da função obevo z = c(x) + d(y) e das resrções A(x) b e E(x) + F(y) h, é possível represenar uma varada gama de problemas de expansão da capacdade desde o problema do planeameno esáco da ransmssão ae o planeameno dnâmco negrado do ssema elérco. Nese Capíulo, empregando-se a expressão (3.1), é formulado o problema dnâmco do planeameno da expansão dos ssemas de geração e ransmssão de energa elérca que em por obevo defnr não somene a localzação e o po, mas ambém, o momeno mas adequado para que os nvesmenos seam levados a ermo, de modo que o conínuo crescmeno da demanda sea sempre assmlado de forma omzada pelo ssema. Parndo-se de um modelo esáco em um eságo, formula-se o problema dnâmco em múlplos eságos fazendo uso dos rês modelos clásscos de represenação da rede de ransmssão: modelo de ranspores, modelo do fluxo de carga CC e modelo híbrdo ranspores-cc Formulação esáca em um eságo O problema esáco do planeameno da expansão dos ssemas de geração e ransmssão de energa elérca é uma smplfcação do problema dnâmco na qual se consdera apenas um ano no horzone de planeameno. Nese caso, deermna-se a localzação e o po de nvesmeno de modo que o valor presene do cuso oal de operação e nvesmeno sea mnmzado no período consderado. Na função obevo dese problema de omzação dsnguem-se duas parcelas dferenes: uma relaconada com o nvesmeno, represenada por c(x), que depende do cuso de aqusção dos novos equpamenos, e oura relaconada com operação, represenada por d(y), que depende do uso dos equpamenos nsalados. Na Fgura 3.1, em-se uma represenação no empo dos cusos envolvdos na expansão da capacdade e na operação do ssema. O ano 0 fo escolhdo para servr de base para o cálculo dos valores presenes dos cusos de nvesmeno e de operação e o ano 1 corresponde ao nsane no qual os equpamenos á deverão esar dsponíves para operação. Por smplcdade, no período compreenddo enre os anos 1 e 2, os dados do ssema foram consderados consanes e, porano, as parcelas anuas, referenes à operação do ssema, são odas guas a d 1 (y). 27

35 Fgura 3.1 Deermnação do valor presene problema esáco. A pare da função obevo, z, relaconada com o nvesmeno corresponde ao valor oal necessáro para a consrução das undades geradoras, lnhas de ransmssão e ransformadores e pode ser consderada apenas uma vez, geralmene, no nsane em que o respecvo equpameno for nsalado parcela c 1 (x) da fgura 3.1. O valor presene do cuso de nvesmeno, c(x), depende do valor do nvesmeno, c 1 (x), e do momeno em que ele será realzado, 1. Por ouro lado, a pare de z relaconada com o uso corresponde ao cuso oal de operação do ssema e pode ser ransformada em parcelas anuas, em função da quandade gerada e do cuso prevso para cada gerador durane o período consderado parcelas d 1 (y) da fgura 3.1. O valor presene do cuso de operação, d(y), depende, ambém do empo em anos que o ssema será operado desa forma na fgura 3.1, corresponde ao somaóro dos valores presenes das parcelas anuas do período enre os anos 1 e 2. Consderando a axa de descono anual I, os valores presenes dos cusos de nvesmeno e operação, no ano base 0, são dados por: 1 0 c x) = (1 I ) c ( x) (3.2) ( 1 28

36 d 1 0 ( 1 + ) = ( 1 ) ( ) + ( 1 ) 1 ) 0 ( 2 ) y I d y I d ( y ) ( 1 I ) 1 0 ( d(y) = 2 1 = 1 0 d1( y) d ( y ) (1 I ) (3.3) Para smplfcar a noação, o faor de descono ulzado para converer em valor presene o cuso de nvesmeno da expressão (3.2) será noado por δ nv e o faor ulzado para converer em valor presene o cuso de operação da expressão (3.3) será noado por δ oper. Defne-se, assm: c( x) = δ c1 ( x) (3.4) nv d ( y ) = δ d 1( y ) (3.5) oper onde: 1 0 δ (1 ) (3.6) nv = I δ oper = (1 I ) (3.7) = 1 Na expressão (3.6) consdera-se que o desembolso do nvesmeno será realzado no momeno em que o equpameno esver dsponível para o ssema, ou sea, no níco do prmero ano de sua operação. Da mesma forma, em (3.7), as parcelas anuas referenes à operação do ssema são guas e compuadas como se fossem pagas no níco de cada ano. O problema esáco de planeameno da expansão em um eságo pode ser formulado de forma mas geral, consderando-se as varações nas condções de operação do ssema ao longo do horzone consderado. Assm, é possível represenar, por exemplo, o crescmeno da demanda, as alerações sazonas e as varações horáras (pona e fora da pona). A represenação da varação da demanda no período mplca em que as parcelas anuas d (y) seam dferenes e nvalda a smplfcação consderada na expressão (3.3). Nesse caso, os problemas de operação de odos os eságos precsam ser represenados ndvdualmene. As alerações sazonas podem ser modeladas aravés da represenação dos períodos que descrevem as varações anuas exsenes no ssema, por exemplo, esações seca e úmda dos ssemas hdrológcos. Também, nesse caso, os problemas de 29

37 operação relavos a cada período precsam ser represenados ndvdualmene e, ao nvés de uma parcela anual únca de cuso, exsem dversas parcelas dferenes, uma para cada período consderado. O cuso oal de operação passa, enão, a ser represenado pelo somaóro do cuso de cada período, ponderado pela sua duração proporconal. As varações horáras são represenadas de forma análoga às varações sazonas. Nese rabalho, a fm de faclar o enendmeno e smplfcar a noação (prncpalmene na formulação do problema mul-eságo), fo consderado que os dados do ssema permanecem consanes no período enre os anos 1 e 2 vde fgura 3.1. No enano, é convenene salenar que a exensão para consderar as varações nas condções de operação que ocorrem no período pode ser realzada de modo relavamene dreo. Na formulação esáca apresenada, o momeno em que os nvesmenos serão realzados é fxo e corresponde ao ano 1. A defnção do nsane mas adequado para que as nvesmenos seam realzados, de modo que o cuso de operação e expansão seam mnmzados, é realzada aravés da solução do problema dnâmco de expansão, que será formulado a segur. Nese caso, além de defnr a localzação e o po de nvesmeno, deermna-se quando esse deve ser realzado. Dependendo do modelo de rede empregado para represenar o ssema de ransmssão, ou sea, da defnção adoada para as resrções A(x) b e E(x) + F(y) h da equação (3.1), o problema do planeameno negrado da expansão dos ssemas de geração e ransmssão pode ser formulado de dversas maneras, como mosrado a segur Modelo de Transpores Quando a rede de ransmssão exsene e as lnhas e ransformadores canddaos são represenados pelo modelo de ranspores, o problema do planeameno da expansão assume a segune forma: Mn v = δ cn + CN ) + δ oper ( OCG + oc g + nv ( α k k r )] sueo a: Sf + G + g + r = d f ( n + n ) f 0 30

38 N G G N G g g g (3.8) 0 r d n n n N N N n e N neros f rresro onde: v é valor presene do cuso oal de expansão e operação do ssema ao longo de odos os anos que consuem o horzone de planeameno [$]; δ nv é o faor de descono para deermnar o valor presene do nvesmeno realzado no eságo ; c é o cuso de nsalação de uma lnha no corredor [$]; n é o número de lnhas adconadas ao corredor ; C é o cuso de nsalação do gerador canddao [$]; N é o número de geradores canddaos adconados; δ oper é o faor de descono alerado para consderar ambém a duração em anos do eságo consderado [ano]; 31

39 OC é o cuso de operação do gerador canddao [$/ano]; G é a neção de poênca ava do gerador canddao [pu]; oc é o cuso de operação do gerador á nsalado [$/ano]; g é a neção de poênca ava do gerador á nsalado [pu]; α é o faor para compablzar a undade de cuso com core de carga [$/ano]; r k é o core de carga na barra k [pu]; S é a marz ncdênca nó-ramo da rede ncal e dos ramos canddaos; f é o veor dos fluxos de poênca ava nos ramos[pu]; G é o veor das neções de poênca ava dos geradores canddaos [pu]; g é o veor das neções de poênca ava dos geradores á nsalados [pu]; r é o veor dos cores de carga nas barras [pu]; d é o veor das demandas de poênca ava [pu]; f é o fluxo de poênca ava no ramo [pu]; 0 n é o número de lnhas/ransformadores exsenes no ramo na rede ncal; f é o fluxo máxmo de poênca ava no ramo [pu]; G é a geração mínma do gerador canddao [pu]; 32

40 G é a geração máxma do gerador canddao [pu]; g é a geração mínma do gerador á nsalado [pu]; g é a geração máxma do gerador á nsalado [pu]; n é o número mínmo de lnhas que precsam ser adconadas no corredor ; n é o número máxmo de lnhas que podem ser adconadas no corredor ; N é o número mínmo de geradores canddaos que precsam ser adconados; N é o número máxmo de geradores canddaos que podem ser adconadas; Em (3.8) as varáves de nvesmeno da equação (3.1) são represenadas pelo número de equpamenos de geração, N, e de ransmssão, n a serem adconados. As varáves de operação são represenadas pelas neções dos geradores canddaos adconados, G, e exsenes, g, e pelos fluxos de poenca ava nos ramos, f. Além dso, uma neção fcíca adconal, r k, é acrescenada às barras de carga vsando quanfcar o cuso de não aender parcal ou oalmene a demanda. Os lmes mínmos n e N são empregados para conemplar as decsões prevas em nvesmenos que podem não ser ómos para (3.8) mas que á esão em curso de realzação e precsam ser respeados. Assm, quando á é conhecda a defnção de que algum nvesmeno será realzado, seu respecvo lme nferor assumra valor maor que zero. Por ouro lado, os lmes máxmos n e N represenam resrções relaconadas com a vabldade da consrução no empo ou represenam lmes nauras sobre a capacdade físca. Como pôde ser observado, a grande vanagem em ulzar ese modelo de rede de ransmssão é que em (3.8) a função obevo e odas as resrções são lneares. Assm, o planeameno da expansão da capacdade orna-se um problema convexo de programação lnear nera msa (PLIM). Além dso, é possível realzar o planeameno da expansão mesmo que o ssema elérco não sea conexo, fao que é basane freqüene nas confgurações ncas dos ssemas elércos reas. Oura consderação mporane é que, 33

41 embora o resulado obdo aravés da formulação (3.8) geralmene não sasfaça a Segunda Le de Krchhoff (que não é consderada), sempre pode ser ulzado como um lmane nferor para ouros modelos menos relaxados, como os descros a segur Modelo de Fluxo de Carga CC Quando a rede de ransmssão exsene e as lnhas e ransformadores canddaos são represenados pelo modelo de rede do fluxo de carga CC, o problema do planeameno da expansão assume a segune forma: Mn v = δ cn + CN ) + δ oper ( OCG + oc g + nv ( k k α r )] sueo a: Sf + G + g + r = d 0 n + n f ( θ θ ) = 0 x f ( n + n ) f 0 N G G N G g g g (3.9) 0 r d n n n N N N n e N neros 34

42 f e θ rresros onde: x θ é a reaânca do ramo [pu]; é o angulo de fase do fasor ensão nodal da barra [radanos]. Como no modelo de rede de ranspores, as varáves de nvesmeno são represenadas pelo número de equpamenos de geração, N, e de ransmssão, n, a serem adconados. As varáves de operação são represenadas pelas neções dos geradores canddaos adconados, G, e exsenes, g, pelos fluxos de poênca ava nos ramos, f e pelos ângulos de fase dos fasores ensão nodal, θ. Novamene, uma neção fcíca adconal, r k, é acrescenada às barras de carga vsando quanfcar o cuso de não aender parcalmene ou oalmene o valor prevso para sua demanda. Após algumas manpulações algébrcas, a parr de (3.9), chega-se à segune expressão equvalene: Mn v = δ cn + CN ) + δ oper ( OCG + oc g + nv ( k k α r )] sueo a: B θ + G + g + r = d ( n + n 0 ) θ θ ( n + n ) φ 0 N G G N G g g g (3.10) 0 r d n n n 35

43 N N N n e N neros θ rresro onde: B é a marz suscepânca da rede ncal e dos ramos canddaos B B = B B = γ = 0 = Ω1 γ se Ω se Ω (3.11) 0 n + n γ é a suscepânca no ramo : γ =, Ω [pu]; x Ω é o conuno dos ramos defndos pela rede ncal e pelos ramos canddaos; Ω é o conuno das barras que se lgam à barra ; θ é o veor dos ângulos de fase do fasor ensão nodal [radanos]; φ é a aberura angular máxma permda no ramo : = x f φ [radanos]. Na formulação (3.10), observar que as resrções do po: ( n + n ) θ θ ( n + n ) φ (3.12) 0 0 só fazem sendo para al que n + n 0 > 0. Caso n + n 0 = 0, esas resrções não exsem. O problema represenado pelas equações (3.9) e (3.10) é mas próxmo do problema real do ssema elérco (porque consdera as duas Les de Krchhoff) mas apresena os 36

44 mesmos nconvenenes á observados no planeameno da expansão do ssema de ransmssão: 1. Pare das resrções são não-lneares. Em (3.9), n aparece mulplcado por θ - θ ; em (3.10) além dso, B é função da varável de nvesmeno n e aparece mulplcado pela varável de operação θ; 2. A regão facível pode ser não convexa. Nese caso, mesmo que a função obevo sea lnear, exsem resrções não lneares ano em (3.9) quano em (3.10) e, assm, o planeameno de expansão da capacdade ornase um problema de programação não lnear nera msa (PNLIM) Modelo Hbrdo Combnando-se as duas represenações de rede descras anerormene, pode-se ober um modelo híbrdo, nermedáro. Ese modelo é formulado represenando-se a rede de ransmssão exsene aravés das equações do fluxo de carga CC e as lnhas e ransformadores canddaos pelo modelo de ranspores, conforme descro pela equação (3.13): Mn v = δ cn + CN ) + δ oper ( OC G + oc g + nv ( k rk α )] sueo a: B S f + G + g + r = d 0 θ + 1 θ θ φ Ω 0 Ω f n f 1 N G G N G g g g (3.13) 37

45 0 r d n n n N N N n e N neros θ e f rresros onde: 0 B é a marz suscepânca da rede ncal B 0 B = B B = γ = 0 = 0 Ω γ 1 se Ω se Ω 0 0 (3.11) n γ [pu]; γ é a suscepânca ncal no ramo : =, Ω0 x Ω 0 é o conuno dos ramos que fazem pare da rede ncal; θ [radanos]; é o veor dos ângulos de fase do fasor ensão nodal das barras da rede ncal S 1 é a marz ncdênca nó-ramo dos ramos canddaos; f é o veor dos fluxos de poenca ava nos ramos canddaos (pu); θ é o angulo de fase do fasor ensão nodal da barra da rede ncal [radanos]; 38

46 f é o fluxo de poenca ava no ramo canddao [pu]; Ω 1 é o conuno dos ramos canddaos. As varáves de nvesmeno connuam sendo o número de equpamenos de geração, N, e de ransmssão, n, a serem adconados. As varáves de operação são represenadas pelas neções dos geradores canddaos adconados, G, e exsenes, pelos ângulos de fase dos fasores ensão nodal das barras que fazem pare da rede ncal, g, θ, e pelos fluxos de poênca ava nos ramos da rede canddaa, f. Observar que os ângulos de fase das ensões nodas só são defndos para as barras que fazem pare da rede ncal, Ω0. Por ouro lado, as varáves relaconadas com o fluxo de poenca ava nos ramos só são defndas para os ramos canddaos, Ω1. Formulado desse modo, o modelo híbrdo maném as caraceríscas deseáves do modelo de ranspores, ou sea, a lneardade de odas as resrções e função obevo, sendo ambém um problema de programação lnear nera msa (PLIM) Modelo de Fluxo de Carga CA O modelo maemáco para o planeameno da expansão de redes de ransmssão usando o modelo CA pode ser defndo como uma exensão do modelo CC e pode ser escro da segune forma: Mn T v = c n (3.14) n sueo a: P( V, θ, n) P G + P = 0 (3.15) D Q( V, θ, n) Q G + Q = 0 (3.16) D 39

47 0 de 0 ( N + N ) S ( N + N ) S (3.17) 0 para 0 ( N + N ) S ( N + N ) S (3.18) P G PG PG (3.19) Q G Q Q (3.20) G G V V V (3.21) 0 n n (3.22) onde: P G é o veor de geração de poênca ava; Q G é o veor de geração de poênca reava; P D é o veor de demanda de poênca ava; Q D é o veor de demanda de poênca ava; V é o veor das magnudes de ensão; P G é o veor de lme máxmo de geração de poênca ava; Q G é o veor de lme máxmo de geração de poênca reava; V é o veor de lme máxmo das magnudes de ensões; P G é o veor de lme mínmo de geração de poênca ava; 40

48 Q é o veor de lme mínmo o de geração de poênca reava; G V é o veor de lme mínmo das magnudes de ensões. No caso dos lmes máxmo e mínmo das ensões é usado 105% e 95% do valor nomnal, respecvamene; de S, ramos em ambos ermnas e o seu lme. para S e S são os veores de fluxos de poênca aparene (MVA) nos Os lmes de poênca ava e reava nos geradores são represenados por (3.19) e (3.20), respecvamene; e os das magnudes de ensão por (3.21). Os lmes (MVA) nos fluxos por (3.17) e (3.18). A resrção nas capacdades dos crcuos adconados por (3.22). As equações (3.15) e (3.16) represenam as equações convenconas de fluxo de poênca CA, consderando-se n, o número de crcuos (lnhas e ransformadores), como varáves. Os elemenos dos veores P( V, θ, n) e Q( V, θ, n) são calculados por (3.23) e (3.24), respecvamene. P V, θ, n) = V V [ G ( n) cosθ + B ( n) senθ ] (3.23) ( N Q V, θ, n) = V V [ G ( n) senθ B ( n)cosθ ] (3.24) ( N onde:, n represenam barras e N é o conuno de odas as barras; represena o crcuo enre as barras e ; θ = θ θ represena a dferenca de ângulo de fase enre as barras e. Os elemenos da marz admânca (G e B) são dados em (3.25): 41

49 G G = G B B = B ( n) = ( n g ( n) = ( n) = b Ω ( n g ( n) = ( n b sh Ω [ n + n g ) + n g n b ) ( b + b 0 sh ) 0 ) + n ( b 0 + ( b sh ) 0 )] (3.25) onde: Ω é o conuno das barras vznhas à barra ; g é a conduânca da lnha no ramo ; b é a suscepânca da lnha no ramo sh b é a suscepânca shun da lnha no ramo (se é um ransformador b = 0 ) sh sh b é a suscepânca shun na barra. Pode-se observar em (3.25) que exse a possbldade de se adconar uma lnha ou um ransformador em paralelo ao exsene (no caso base), embora os parâmeros do crcuo equvalene possam ser dferenes. Deve-se noar ambém que os aps fora do nomnal dos ransformadores não foram consderados e, nese caso as lnhas de ransmssão e os ransformadores êm um mesmo crcuo equvalene. As varáves de decsão são as magnudes e ângulos das ensões, o número de crcuos adconados e as poêncas ava e reava geradas nas barras de geração. O problema formulado nas Eqações (3.14) a (3.22) é um problema não-lnear nero mso (PNLIM) com um número grande de alernavas a serem analsadas. 42

50 3.2. Formulação dnâmca em múlplos eságos No planeameno dnâmco negrado da expansão da capacdade do ssema de energa elérca, as decsões sobre os nvesmenos na geração e na ransmssão são realzadas smulaneamene, ao longo dos anos que consuem o horzone de planeameno. A parr das nformações referenes aos valores de demanda prevsos para cada ano, unamene com as capacdades nsaladas e canddaas de geração e de ransmssão (com seus respecvos cusos de operação e nsalação), deermna-se onde e quando devem ser realzados nvesmenos de modo que o valor presene do cuso oal de operação e expansão do ssema elérco sea mnmzado. Na formulação do problema de omzação correspondene, o conínuo crescmeno da demanda e da geração ao longo do empo, que é delmado pelo horzone consderado, é aproxmado por crescmenos dscreos que ocorrem em anos específcos que vão defnr os dversos eságos represenados. Após cada um dos eságos, consdera-se que o ssema permanece nalerado aé o eságo segune, como mosra a fgura 3.2. Fgura 3.2 Duração dos Eságos Como na formulação esáca, a função obevo dese problema de omzação apresena uma parcela relaconada com o nvesmeno, represenada por c(x) e oura relaconada com a operação, represenada por d(y). Na fgura 3.3 em-se uma 43

51 represenação no empo dos cusos envolvdos na expansão da capacdade e na operação do ssema. O ano 0 serve de base para o cálculo dos valores presenes dos cusos de nvesmeno e de operação e os anos 1 e T delmam o período de empo consderado. Vale observar que os equpamenos relaconados aos nvesmenos do eságo devem esar dsponíves para operação a parr do nsane. Fgura 3.3 Deermnação do valor presene problema dnâmco. Para o problema dnâmco, a pare da função obevo, z, relaconada com o nvesmeno, corresponde ao somaóro do valor presene dos recursos necessáros para a consrução das undades geradoras, lnhas de ransmssão e ransformadores nos dversos eságos consderados: parcelas c 1 (x), c 2 (x),, c T (x) da fgura 3.3. A pare de z relaconada com o uso corresponde ao somaóro do valor presene dos cusos anuas de operação do ssema ao longo de odo o horzone consderado: parcelas d 1 (y), d 2 (y),,d T (y) da fgura 3.3. Consderando-se a axa de descono anual I, os valores presenes dos cusos de nvesmeno e operação no ano base 0 são dados por: 44

52 T 0 c( x) = (1 I) c ( x) + (1 I ) c ( x) (1 I) c ( ) (3.26) 1 2 T x 1 2 = 3 1 T d1( y) + (1 I) d2( y) (1 I) dt ( y) = = d ( y) = (1 I) (3.27) 1 2 T Para smplfcar a noação, o faor de descono ulzado para converer em valor presene o cuso de nvesmeno do eságo da expressão (3.26) será represenado por δ nv e o faor ulzado para converer em valor presene o cuso de operação do eságo da expressão (3.27) será represenado δ oper. Defne-se, assm: 1 2 T c x) = δ c ( x) + δ c ( x) δ c ( x) (3.28) ( nv 1 nv 2 nv T d 1 2 T y) = δ d ( y) + δ d ( y) δ d ( y) (3.29) ( oper 1 oper 2 oper T onde: = (1 I) 0 δ (3.30) nv p= 0 p δ = (1 I) (3.31) oper 0 De forma análoga às expressões esácas, na expressão (3.30), consdera-se que o desembolso do nvesmeno será realzado no momeno em que o equpameno esver dsponível para o ssema, ou sea, no níco do prmero ano de sua operação. Da mesma forma, em (3.31), as parcelas anuas referenes à operação do ssema são guas e compuadas como se fossem pagas no níco de cada ano. De acordo com o modelo de rede ulzado para represenar o ssema de ransmssão, o problema do planeameno dnâmco negrado da expansão dos ssemas de geração e de ransmssão pode ser formulado de dversas maneras, como mosrado a segur. 45

53 Modelo de ranspores Quando a rede de ransmssão exsene e as lnhas e ransformadores canddaos são represenados pelo modelo de ranspores, o problema dnâmco do planeameno da expansão assume a segune forma: Mn v = T [ δ nv ( cn + CN ) + δ oper ( OC G + oc g + = 1 α r k k )] sueo a: Sf + G + g + r = d f ( m= 1 n m + n 0 ) f m= 1 N m G G m= 1 N m G g g g 0 r d (3.32) n n n N N N T n =1 n T N =1 N n e N neros 46

54 f rresro = 1,2,...,T onde: v é valor presene do cuso oal de expansão e operação do ssema ao longo de odos os anos que consuem o horzone de planeameno [$]; δ nv é o faor de descono para deermnar o valor presene do nvesmeno realzado no eságo - ver Equação 3.30; n é o número de lnhas adconadas ao corredor no eságo ; N é o número de geradores canddaos adconados no eságo ; δ oper é o faor de descono alerado para consderar ambém a duração em anos do eságo - ver Equação 3.31 [ano]; OC é o cuso de operação do gerador canddao no eságo [$/ano]; G é a neção de poênca ava do gerador canddao no eságo [pu]; oc é o cuso de operação do gerador á nsalado no eságo [$/ano]; g é a neção de poênca ava do gerador á nsalado no eságo [pu]; α é o faor para compablzar a undade de cuso com core de carga [$/ano]; r k é o core de carga na barra k no eságo [pu]; S é a marz ncdênca nó-ramo da rede ncal e dos ramos canddaos; 47

55 f é o veor dos fluxos de poênca ava nos ramos no eságo [pu]; G é o veor das neções de poênca ava dos geradores canddaos no eságo [pu]; g é o veor das neções de poênca ava dos geradores á nsalados no eságo [pu]; r é o veor dos cores de carga nas barras no eságo [pu]; d é o veor das demandas de poênca ava no eságo [pu]; f é o fluxo de poênca ava no ramo no eságo [pu]; 0 n é o número de lnhas/ransformadores exsenes no ramo na rede ncal; f é o fluxo máxmo de poênca ava no ramo [pu]; G é a geração mínma do gerador canddao [pu]; G é a geração máxma do gerador canddao [pu]; g é a geração mínma do gerador á nsalado no eságo [pu]; g é a geração máxma do gerador á nsalado no eságo [pu]; n é o número mínmo de lnhas que precsam ser adconadas no corredor no eságo ; n é o número máxmo de lnhas que podem ser adconadas no corredor no eságo ; N é o número mínmo de geradores canddaos que precsam ser adconados no eságo ; 48

56 N eságo ; é o número máxmo de geradores canddaos que podem ser adconadas no n é o número oal máxmo de lnhas que podem ser adconadas no corredor ; N é o número oal máxmo de geradores canddaos que podem ser adconados; T é o número de eságos consderados. geração, As varáves de nvesmeno são represenadas pelo número de equpamenos de N, e de ransmssão, n, a serem adconados nos dversos eságos = 1, 2,,T. As varáves de operação, relavas ao eságo = 1, 2,, T, são represenadas pelas neções dos geradores canddaos adconados, G, e exsenes, g, e pelos fluxos de poênca ava nos ramos, f. Além dso, uma neção fcíca adconal, r k, é ulzada para quanfcar o cuso de não aender parcalmene ou oalmene o valor prevso para sua demanda. Os lmes mínmos n e N são empregados para conemplar as decsões prévas em nvesmenos que podem não ser ómos para (3.32) mas que á esão em curso de realzação e precsam ser respeados. Os lmes máxmos n e relaconadas com a vabldade da consrução no empo e os lmes n e os lmes nauras sobre a capacdade físca. N represenam resrções N represenam Do mesmo modo como fo observado em formulações anerores, o problema assm formulado raa-se de um problema convexo de programação lnear nera msa (PLIM) Modelo de Fluxo de Carga CC Quando a rede de ransmssão exsene e as lnhas e ransformadores canddaos são represenados pelo modelo de rede do fluxo de carga CC, o problema do planeameno dnâmco da expansão assume a segune forma: Mn v = T [ δ nv ( cn + CN ) + δ oper ( OC G + oc g + = 1 α r k k )] 49

57 50 sueo a: d r g G B = θ m m m m n n n n φ θ θ ) ( ) ( = = + + = = + m m m m G N G G N 1 1 g g g r d 0 (3.33) n n n N N N T n n =1 T N N =1 n e N neros θ rresro,...,t 1,2 = onde:

58 B é a marz de suscepânca da rede ncal e dos ramos canddaos no eságo [pu]: θ é o veor dos ângulos de fase do fasor ensão nodal no eságo [radanos]; θ é o veor dos ângulos de fase do fasor ensão nodal da barra no eságo [radanos]. geração, As varáves de nvesmeno são represenadas pelo número de equpamenos de N, e de ransmssão, n, a serem adconados nos dversos eságos = 1, 2,,T. As varáves de operação, relavas ao eságo = 1, 2,, T, são represenadas pelas neções dos geradores canddaos adconados, fase dos fasores ensão nodal, G, e exsenes, θ. A neção fcíca adconal, g, e pelos ângulos de r k, é adconada às barras de carga para quanfcar o cuso de não aender parcalmene ou oalmene o valor prevso para sua demanda. Conforme observado para o problema esáco, o problema assm formulado é de um problema de programação não-lnear nera msa (PNLIM) Modelo Hbrdo Quando a rede de ransmssão exsene é represenada aravés das equações do fluxo de carga CC e as lnhas e ransformadores canddaos pelo modelo de ranspores, o problema do planeameno dnâmco da expansão assume a segune forma: Mn v = T [ δ nv ( cn + CN ) + δ oper ( OC G + oc g + = 1 α r k k )] sueo a: B 0 θ + S 1 f + G + g + r = d θ Ω θ φ 0 f m= 1 n m f Ω 1 51

59 m= 1 N m G + G m= 1 N m G g g g 0 r d (3.34) n n n N N N T n =1 n T N =1 N n e N neros θ e f rresros = 1,2,...,T onde: θ é o veor dos ângulos de fase do fasor ensão nodal no eságo [radanos]; f é o veor dos fluxos de poênca ava nos ramos canddaos no eságo [pu]; θ é o veor dos ângulos de fase do fasor ensão nodal da barra no eságo [radanos]. f é o fluxo de poênca ava no ramo canddao no eságo [pu]. 52

60 geração, As varáves de nvesmeno connuam sendo o número de equpamenos de N, e de ransmssão, n, a serem adconados nos dversos eságos = 1, 2,,T. As varáves de operação, relavas ao eságo = 1, 2,, T, são represenadas pelas neções dos geradores canddaos adconados, G, e exsenes, g, pelos ângulos de fase dos fasores ensão nodal das barras que fazem pare da rede ncal, θ, e pelos fluxos de poênca ava nos ramos da rede candada, f. Observar que os ângulos de fase das ensões nodas só são defndos para as barras que fazem pare da rede ncal, Ω0. Por ouro lado, as varáves relaconadas com o fluxo de poênca ava nos ramos só são defndas para os ramos canddaos, Ω1. Analogamene ao problema esáco, o modelo híbrdo assm formulado maném as caraceríscas deseáves do modelo de ranspores e consu um problema de programação lnear nera msa (PLIM) A Decomposção de Benders Como fo apresenado no níco dese capíulo, o problema de expansão das capacdades de geração e de ransmssão dos ssemas de energa elérca pode ser represenado pelo segune problema de Omzação: Mn z = c( x) + d( y) Sueo a: (3.35) A( x) b E( x) + F( y) h Nese problema, as varáves x represenam as decsões a respeo das capacdades de geração e de ransmssão e as varáves y represenam as decsões a respeo do modo de operação do ssema. A( x) b são as resrções assocadas às decsões de nvesmeno e E( x) + F( y) h são as resrções assocadas às decsões de operação. Consderando-se a decomposção naural enre as decsões de nvesmeno e de operação, o problema do planeameno da expansão pode ser represenado por um processo de decsão em duas eapas: 53

61 Eapa 1 (Subproblema de Invesmeno) Deermna-se uma decsão de nvesmeno facível x *, ou sea, al que A( x*) b. Eapa 2 (Subproblema de Operação) Ulzando a decsão de nvesmeno x *, o ssema é operado da forma mas efcene possível, so é, mnmzando o cuso de operação d(y): Mn d ( y) Sueo a: (3.36) F( y) h E( x*) Observar que na resrção do problema (3.36) o ermo E(x*) passa para o lado dreo, pos é conhecdo. Nese processo de decsão, o obevo é mnmzar a soma dos cusos de operação e de nvesmeno, conforme lusra a Fgura 3.4. Fgura 3.4: Processo de decsão em duas eapas. 54

62 A meodologa de decomposção é baseada nas segunes observações: Os cusos de operação d (y*), onde y * é a solução óma do problema (3.36), pode ser vso como uma função α (x) da decsão de nvesmeno x, al que: α(x) = Mn d ( y) Sueo a: (3.37) F( y) h E( x) O problema da expansão da capacdade do ssema da equação (3.35), pode ser reescro em ermos das varáves x da segune manera: Mn z = c( x) + α( x) Sueo a: (3.38) A( x) b onde a função α (x) é a solução do problema (3.37) para um dado x. A função α (x) fornece nformação sobre as conseqüêncas das decsões de nvesmeno x em ermos de cusos de operação. Em ouras palavras, o problema da Eapa 2 é mapeado no problema da Eapa 1 aravés de α (x). Se esa função esvesse dsponível, o problema da expansão da capacdade podera ser resolvdo sem uma represenação explíca do subproblema de operação. Como so geralmene não ocorre, a função α (x) precsa ser deermnada e o méodo da decomposção de Benders é ulzado para consruí-la, com a precsão requerda, a parr da solução do subproblema de operação, como é mosrado na fgura

63 Fgura 3.5 Decomposção de Benders. No méodo da decomposção de Benders, os problemas das Eapas 1 e 2 são resolvdos eravamene da segune forma: 1. Incar com uma aproxmação ~ α ( x ) que é um lme nferor para α (x). 2. Eapa 1 Subproblema de Invesmeno: Resolver uma aproxmação do problema de expansão da capacdade (3.38): Mn z = c( x) + ~ α ( x) Sueo a: (3.39) 56

64 A( x) b 3. A solução óma do problema (3.39) é um lme nferor para o problema geral da expansão da capacdade (3.35): z = c( x*) + ~ α ( x*) (3.40) 4. Eapa 2 Subproblema de Operação: Resolver o problema de operação: Mn d(y) Sueo a: (3.41) F( y) h E( x*) onde x * é a solução do problema (3.39). Observar que o problema (3.41) é escro somene em ermos das varáves y porque x * é conhecdo. 5. Sea y * a solução do problema (3.41), enão o par ( x *, y *) é uma solução facível do problema geral de expansão da capacdade (3.35) mas não necessaramene a solução óma. O valor correspondene da função obevo : z = c( x*) + d( y*) (3.42) é, porano, um lme superor do valor da solução óma do problema geral de expansão da capacdade (3.35). 6. Se z z é menor do que uma dada olerânca, o processo ermna e o par ( x *, y *) é a solução óma do problema (3.35). Caso conráro, gerar uma nova aproxmação ~ α ( x ) a parr da solução do problema (3.41) esa aproxmação connua sendo um lme nferor para α (x). Reornar para o Passo 2. Os Passos 1 6 descrevem as lnhas geras do esquema da decomposção de Benders. Deve-se observar que as eapas de nvesmeno (problema (3.39) do Passo 2) e 57

65 de operação (problema (3.41) do Passo 4) são resolvdos separadamene, explorando, maemacamene, a decomposção naural enre as decsões de nvesmeno e operação. Oura caracerísca mporane do méodo da decomposção de Benders é a dsponbldade dos lmes nferor e superor da solução óma a cada eração. Esses lmes podem ser ulzados para um créro efevo de convergênca, como mosrado no Passo 6. A aualzação da aproxmação ~ α ( x ) é realzada a parr dos mulplcadores de Lagrange da solução do problema (4.7). Tas mulplcadores avalam as mudanças no cuso de operação do ssema causadas por varações margnas no plano de nvesmenos em ese e nas capacdades das lnhas e podem ser empregados para produzr uma resrção lnear, escra em ermos das varáves de nvesmeno x. Essas resrções, conhecdas como Cores de Benders, são ncorporadas ao subproblema de nvesmeno, que é modfcado e novamene resolvdo para deermnar um novo plano de nvesmeno para ser esado. A segur veremos a aplcação da Decomposção de Benders a um dos modelos apresenados anerormene. Modelo de Transpores em um eságo Como á apresenado na Seção 3.1.1, quando a rede de ransmssão é represenada pelo modelo de ranspores, o problema do planeameno negrado da expansão é dado pela segune expressão: Mn v = δ cn + CN ) + δ oper ( OCG + oc g + nv ( α k k r )] sueo a: Sf + G + g + r = d f ( n + n ) f 0 N G G N G g g g (3.43) 58

66 0 r d n n n N N N n e N neros f rresro Nesa formulação, as varáves de nvesmeno (número de equpamenos de geração, N e, de ransmssão, n ) e de operação (fluxos de poênca ava nos ramos, f, e neções dos geradores canddaos adconados, G, e exsenes, g ) são lnearmene separáves e, assm, o planeameno da expansão consu um problema convexo para o qual a solução óma pode ser obda aravés do emprego da decomposção de Benders. O processo de decomposção conduz aos segunes subproblemas: Subproblema de operação: Mn w = δ ( oper OC + + G oc g α k r k Sueo a: Sf + G + g + r = d f ) 0 ( n ν + n f π (3.44) N ν G ν G N G Π 59

67 g g g 0 r d f rresro Subproblema de Invesmeno: Mn v = δnv ( cn CN ) + β sueo a: ν ν ν ν ν { π f ( n n )} + { Π G ( N N )} + β ν ω β w n n n N N N n e N neros onde β surge como conseqüênca da decomposção; ν π são os mulplcadores de Lagrange das resrções f ( n ν + n ) f ; 0 ν Π são os mulplcadores de Lagrange das resrções N ν G ν G N G ; G e ν G são os lmes dos geradores canddaos que foram mposos, 60

68 ν ν G, se Π < 0 G = (3.45) ν G, se Π > 0 obdos após a solução do subproblema de operação (3.43), na eração ν do processo. O subproblema de operação da equação (3.43) fornece, para o subproblema de nvesmeno da equação (3.44), as nformações necessáras para a defnção do novo core de Benders a ser acrescenado, ou sea, ν ω, ν π, das decsões de nvesmeno realzadas, ou sea, ν Π. Ese subproblema será, poserormene, nformado ν n e ν N, conforme mosra a fgura 3. Na expressão (3.44) a varável ω represena um lmane nferor para ω que pode ser deermnado, por exemplo, a parr da solução do subproblema de operação desconsderando-se o ssema de ransmssão de energa e realzando o despacho para um ssema fcíco formado por apenas um nó no qual odas as cargas e odos os geradores (exsenes e canddaos) esão conecados. ν A convergênca do processo ocorre quando o valor ω ómo, obdo na solução do ν subproblema de operação, concde com o valor β, obdo na solução do subproblema de nvesmeno aneror. Nese caso, não será produzdo um novo core de Benders e a solução obda corresponderá à solução óma do problema (3.42). 61

69 Fgura 3.6 Decomposção de Benders modelo de ranspores em um eságo. 62

70 CAPÍTULO 4: PLANEJAMENTO DA OPERAÇÃO 4.1. Planeameno da Operação de Ssemas érmcos O modelo apresenado em [3] e represenado a segur, apresena um modelo de despacho ómo de um ssema de geração composo somene por usnas ermelércas, onde o obevo é mnmzar os cusos de geração. Mn Z = NUT = 1 C GT sueo a: NUT GT = =1 D (4.1) GT GT GT = 1,..., NUT onde: π D é o cuso margnal assocado à varação do mercado; π GT é o cuso margnal assocado à varação da capacdade de geração. Nese problema, o recurso ulzado para a produção de energa é a capacdade de geração érmca. E pode-se resolvê-lo faclmene despachando as usnas por cuso crescene de operação aé aender à demanda. Se * for o úlmo gerador a ser carregado, o cuso margnal assocado à varação da demanda é dado por: 63

71 π = C GT (4.2) D * J* que ndca que a varação margnal da demanda será aendda pelo gerador *, cuo cuso unáro é C * GTJ *. Assm, um usna produz energa a um cuso unáro C GT e a vende no mercado spo ao preço π D, que, como fo vso, é gual a C * GT *. Pode-se calcular o lucro das usnas a parr do ganho líqudo: π = C GT C GT para = 1,..., * GT * * π = 0 para = *+1,..., NUT GT (4.3) Aravés das equações 4.3 podemos chegar às segunes conclusões: Se houver um aumeno na capacdade de um gerador carregado no despacho econômco (cuo cuso C GT é menor que * GT * C ), esa capacdade adconal será ulzada para subsur pare da geração *. O ganho líqudo é, porano, a dferença enre os cusos unáros de geração de ambas undades. Um ncremeno na capacdade de uma undade não carregada (cuso unáro superor a C * GT * ) não afea o despacho e, porano, o cuso de operação. Assm, o lucro oal de cada érmca será dado por π para = 1,..., NUT. GT GT No caso da enrada em operação de uma nova usna no ssema que possa subsur oda a geração * e que enha um cuso unáro menor que C * GT *, enão o preço da energa π D pode ser reduzdo para C * 1 GT* 1. 64

72 4.2. Planeameno da Operação de Ssemas Hdroérmcos O problema de longo prazo e médo prazo O Planeameno da operação energéca de médo e longo prazo possu uma naureza essencalmene esocásca, uma vez que não se conhece precsamene as afluêncas que rão ocorrer a cada eságo. Em ermos maemácos, resolver o problema de planeameno a longo e médo prazos, sgnfca decdr, ao níco de cada eságo, a quandade de água a ser urbnada que mnmze o cuso de operação ao longo de odo o período de planeameno. No enano ocorre que o problema de planeameno é esocásco, sem que se enha o conhecmeno prévo das afluêncas que ocorrerão no ssema. Sendo assm, uma nformação dsponível é a dsrbução de probabldades das afluêncas condconada às afluêncas dos eságos anerores. A parr desas consderações a solução óma do problema pode ser obda por Programação Dnâmca Esocásca (PDE). Uma vez ulzado um algormo baseado na PDE, ese problema pode ser formulado anda de duas maneras: acaso-decsão, pos dada uma varável aleaóra (acaso), por exemplo a afluênca, passase à defnção da melhor operação (decsão); ou sea, supõe-se conhecda a afluênca no níco do mês e oma-se a decsão para esa afluênca, e; decsão-acaso, decdndo-se apenas em função da dsrbução de probabldades da afluênca do eságo em que se enconra o problema. A Fgura 4.1 lusra como funcona o algormo de recursão da PDE, referene ao modelo de acaso-decsão, relaado anerormene. 65

73 Fgura 4.1- Programação Dnâmca Esocásca Formulação Acaso Decsão. Pode-se noar que, para um dado esado do ssema no eságo, composo por {x, y -1 }, cada afluênca é esudada separadamene, acarreando a obenção de dferenes cusos de operação para o mesmo esado. O cuso a ser arbuído é o valor esperado dos cusos relaconados a cada uma dessas decsões. A decsão seleconada, para cada esado, é aquela de menor cuso esperado. Para a formulação do po decsão-acaso, cada decsão érmca é esada pela PDE. O cálculo da ransção de esados é repedo para dferenes valores de afluênca e o valor esperado para o cuso de operação é guardado. A decsão érmca que resular em um mínmo cuso será a decsão óma para o esado. Ese procedmeno, esado para odos os esados em cada eságo do esudo, é mosrado pela Fgura

74 Fgura 4.2- Programação Dnâmca Esocásca Formulação Decsão Acaso. A formulação referene ao modelo do po acaso-decsão, que é ulzada nos esudos de longo prazo do ssema elérco braslero, esá apresenada a segur. sueo a: Mn C U 1 β * α (X ) = E y X ( ) ( ) + α + 1 X + 1 (4.4) X +1 = f (X, y, U ) (4.5) g +1 (X +1 ) 0 (4.6) h (U ) 0 (4.7) = T, T 1,...,1 e X onde: é o índce que defne o eságo onde se enconra o problema; X é o veor de varáves que defnem o esado dos ssema em um deermnado eságo ; 67

75 y é o veor de afluêncas ncremenas ao ssema durane o eságo ; E y X é o valor esperado sobre odo o conuno de valores possíves de afluêncas no eságo, condconadas pelo esado X, conhecdo no nco do eságo ; U é o veor que engloba as decsões em um deermnado eságo. Para o problema de planeameno, a decsão quanfca os níves de geração hdráulca e érmca para o eságo e deermna o esado que o ssema se enconrará ao fnal do mesmo; T é o oal de eságos do horzone de planeameno; C (U ) é o cuso operavo relaconado com a decsão U ; α (X ) é o valor do cuso esperado de operação do eságo aé o fnal do horzone do período de planeameno; f (X, y, U ) é a equação de ransção de esados. Esa equação relacona X com X +1. Para a operação energéca esa equação é a que represena a conservação de água nos reservaóros do ssema, sendo descra adane; β é o valor do faor de aualzação moneára; g +1 (X +1 ) é o conuno de resrções relavas ao veor de esados X ; h (U ) é o conuno de resrções relavas ao veor de decsão U ; A função obevo, represenada pela equação (4.4), mosra que o mínmo cuso de operação do eságo é composo pelo menor valor possível da soma dos cusos dreos ocorrdos no mesmo, C (U ), mas o valor do cuso fuuro a parr do eságo segune, α ( X ) * O veor de decsões U engloba o urbnameno, u, e o vermeno, s, das usnas hdrelércas Programação Dnâmca Esocásca 68

76 A Programação Dnâmca (PD) surgu em meados da década de cnqüena aravés dos rabalhos de Bellman, os quas vsavam soluconar uma gama de problemas de conrole e omzação dnâmca. A eora maemáca ulzada pela PD, baseada em cálculo de varações, apesar de ser complexa, enconra uma cera facldade de aplcação, desde que sea possível expressar um problema parcular de omzação em ermos aproprados, o que nem sempre é uma arefa rval. A PD em sdo aplcada em problemas relaconados à área de ssemas de energa elérca, as como: - despacho econômco de undades érmcas; - un commmen ; - planeameno de ssemas hdroérmcos. O problema de planeameno da operação energéca, conforme mosrado anerormene, é caracerzado por omadas de decsões seqüencas em que a omaldade de uma decsão aual depende de um conuno de aconecmenos fuuros. Assm, a decsão de maner um reservaóro com um deermnado armazenameno, aravés de um volume depleconado qualquer, poderá er sdo acerada ou não dependendo da seqüênca de afluêncas que chegará ao reservaóro e da esraéga que se ulze para a sua operação. Um algormo adequado para a resolução de um problema dese po pode ser obdo da PD. Baseado na PD, o período de esudo é dvddo em nervalos, denomnados de eságos e aravés de cálculos recursvos enconra-se, para cada possível suação do ssema (esado), a melhor decsão de acordo com obevos pré-fxados. A omaldade em cada decsão é baseada no Prncípo da Omaldade de Bellman, a qual dz que uma políca óma deve ser al que, ndependenemene da raeóra descra para se chegar a um deermnado esado, as decsões remanescenes devem consur uma raeóra óma para sar daquele esado. Iso, nuvamene, faz com que o problema deva ser resolvdo em sendo conráro, ou sea, que a recursão deve ser realzada no sendo nverso do empo, abrangendo assm as possíves seqüêncas de afluêncas em decsões fuuras. No problema de planeameno da operação energéca, as decsões se referem ao nível de geração érmca. Supondo que o período de planeameno sea dvddo em nervalos mensas e que, para um deermnado mês, o mercado de energa, a confguração do ssema e o volume ncal dos reservaóros, x,, seam conhecdos, o 69

77 volume ao fnal do mês (níco do próxmo mês), x +1,, e o evenual défc, D, fcam deermnados a parr de duas formas: - admndo-se a afluênca do mês, y, conhecda ao níco do eságo, e enão omando uma decsão para essa afluênca; - omando uma decsão érmca ao níco do mês, U ; sem consderar a afluênca do mês; Observa-se enreano que esse problema é esocásco, sendo enão necessáro ulzar um algormo que consdere esa caracerísca nerene ao problema da operação energéca de longo prazo. Para ano deve-se recorrer à écnca de Programação Dnâmca Esocásca (PDE). A ulzação da PDE na solução do problema de planeameno da operação energéca perme que o problema sea formulado de duas maneras, relaconadas com o raameno esocásco das afluêncas. Na prmera, denomnada formulação acaso-decsão, para um dado esado ao níco do eságo, adme-se como conhecda, no níco do mês, a afluênca que rá aconecer. Enão o acaso (afluênca), ocorre anes que se ome a decsão. Assm, cada afluênca é esudada ndvdualmene, resulando em dversas soluções ómas, com dversos cusos de operação para um mesmo esado. Na segunda, defnda como formulação decsão-acaso, uma vez que não se adme que a afluênca sea conhecda ao níco do mês, supondo apenas conhecda a sua dsrbução de probabldades, a decsão érmca é omada sem o conhecmeno prévo da afluênca. Assm, para cada esado do problema, em cada eságo, é omada a decsão érmca que em méda sea menos onerosa, consderando as dversas possbldades de afluêncas da dsrbução. A grande dferença enre esas duas formulações, no ocane ao algormo da PDE, relacona-se com a aproxmação calculada para cada eságo, dos ponos da função de cuso fuuro, represenada pela Equação (4.4). Na abordagem acaso-decsão o cuso aproxmado a ser arbuído ao eságo é o valor esperado oal e aualzado dos cusos relaconados com cada uma das afluêncas. Já no modelo decsão-acaso, para cada decsão érmca escolhda, em-se um valor de cuso medao para cada conuno de afluêncas esadas. Eses valores são somados aos respecvos valores de cusos fuuros esperados, prevamene calculados no eságo aneror, calculando assm o cuso oal aualzado e esperado no níco do eságo assocados a cada esado. O cuso ómo a ser arbuído ao eságo, cuo valor consu um 70

78 pono da função de cuso fuuro α (X ), é o que se relacona com a decsão érmca que mnmza o cuso fuuro oal esperado. Tano na formulação acaso-decsão, quano na decsão acaso, a PDE consró a função de cuso fuuro, dscrezando o espaço de esados X em um conuno de valores. O processo de obenção da políca óma pode ser esquemazado, para a formulação acasodecsão, aravés dos segunes passos:. Incalzação de α T+1 ;. Repa de = T, T-1,...,1; Repa para cada esado do ssema; Repa para cada aluênca y ; Faz o balanço de energa; Calcula o cuso de operação assocado; Calcula o valor esperado do cuso de operação; Deermna um pono da função de cuso fuuro; Ese algormo possu caraceríscas neressanes: é aplcável a problemas muleságos, a problemas esocáscos, e perme represenar as não-lneardades, ec. A grande desvanagem do algormo da PDE é, no enano, a necessdade da dscrezação do espaço de esados X. Como a esraéga de operação deve ser calculada para odas as combnações possíves dos níves dos reservaóros e afluêncas do eságo aneror, o esforço compuaconal cresce de forma exponencal com o número de varáves de esado. Supondo que cada um dos NR níves dos reservaóros do ssema, x, seam dscrezados em ND parcelas, com NR afluêncas do eságo aneror, y -1,, em-se ND 2NR esados dscrezados. A prncpal conseqüênca dso é que um algormo baseado na PDE orna-se nvável compuaconalmene, mesmo para ssemas com poucas usnas hdrelércas. Por exemplo, arbrando-se ND = 20 dscrezações em-se: 1 reservaóro 20 2 = 400 esados 2 reservaóros 20 4 = esados 3 reservaóros 20 6 = esados 4 reservaóros 20 8 = esados 5 reservaóros = esados Esa é a chamada maldção da dmensonaldade da PDE. De modo a evar esa explosão combnaóra foram desenvolvdas algumas meodologas a fm de resolver o 71

79 problema de planeameno da operação energéca com um esforço compuaconal menor do que o exgdo pelo algormo da PDE. A smplfcação mas adoada para o planeameno energéco de médo e longo prazo é a elmnação da caracerísca de grande pore do problema, agregando-se os város reservaóros do ssema em um únco reservaóro equvalene, vablzando assm o uso da PDE. Conudo a agregação do ssema em um únco reservaóro é nadequado face a dversdade hdrológca apresenada enre as regões em que se enconram os reservaóros. Nesses casos, uma práca comum consse em adoar uma represenação com múlplos reservaóros equvalenes, cada um represenando um subssema específco. Essa adoção, enão orna nvável o uso da PDE como écnca de resolução, pos conforme mosrado anerormene, sua aplcação é lmada para um únco reservaóro. De oura manera, uma meodologa baseada na PDE, chamada Programação Dnâmca Esocásca Dual (PDED), ornou-se uma alernava para a solução do problema de planeameno. A segur os conceos de agregação de reservaóros e da PDED são apresenados Modelo a Ssema Equvalene Um reservaóro equvalene armazena, urbna e lança energa em vez de água. A razão para que sea fea a ransformação de água em energa é devda ao fao que uma usna hdrelérca aprovea a dferença de energa poencal enre dos níves a fm de produzr elercdade. Assm, não é sufcene apenas o conhecmeno dos volumes de água no reservaóro equvalene, uma vez que somene essa nformação não defne as reas possbldades de geração do ssema como um odo. Faz-se essencalmene necessáro conhecer, por exemplo, a posção relava das usnas na cascaa para calcular a quandade de água de cada reservaóro que pode ser ulzada. A energa armazenada pelo reservaóro equvalene a cada eságo represena aproxmadamene o armazenameno de energa do ssema hdráulco nero. Sea p a poênca em MW, gerada pela -ésma usna hdrelérca: p = c η q h (4.8) onde: h é a alura da queda no -esmo reservaóro, expresso em meros; 72

80 η é o rendmeno oal do conuno urbna/gerador da -ésma usna; q é a vazão urbnada do -ésmo reservaóro dada em m 3 /s; c é uma consane de valor 9,81 x 10-5, em m/s 2. sendo: q dx = (4.9) d onde: x é o volume do reservaóro. O snal negavo represena que a varação do esado de x (sob afluênca nula) é decrescene em relação a vazão urbnada, q. Como poênca é a dervada da energa no empo, p as equações (4.13) e (4.14) da segune forma: de = d I, podemos combnar de = p d = cη h dx (4.10) Por defnção, a energa armazenada no -ésmo reservaóro é a energa gerada ao depleconá-lo oalmene, sob a hpóese de afluênca nula. Com sso emos que a energa (0) armazenada é o resulado da evolução do reservaóro de um armazenameno x = x para o armazenameno fnal de x = 0. Se o reservaóro é compleamene depleconado, ncando de sua armazenagem ncal, x (0), a energa produzda pela -ésma usna pode ser esmada por: E (0) m (0) (0) ( x ) c h ( x ) x = η (4.11) onde: 73

81 m (0) h ( x ) é a alura de queda méda durane o depleconameno, dado por: h m ( x (0) ) = x 1 (0) (0) x 0 h ( ζ ) dζ (4.12) Em uma cascaa com város reservaóros, a energa armazenada depende ano do esado de cada reservaóro quano de sua políca de operação realzada para depleconálos. Sea λ um parâmero global que represena o processo de depleconameno, de modo que, para λ = 1 os reservaóros esão com seu nível de armazenameno ncal (0) x e para λ = 0 os reservaóros enconram-se oalmene depleconados. A políca de operação pode ser uma função genérca, x(λ), que fornece o nível de armazenameno para um dado momeno do reservaóro durane o processo de depleconameno. Uma vez endo esabelecda a função x(λ), a energa produzda durane o depleconameno é calculada por: onde: NUH 1 R ( 0) dx ( λ) EARM ( x ) = cη h ( x ( λ)) dλ = Ω (4.13) 1 J dλ I 0 (0) EARM ( x ) é a energa oal produzda com o oal depleconameno do ssema consderando o veor de armazenameno ncal (0) x ; NUH r é o número de usnas do ssema com reservaóro; Ω é o conuno de odas as usnas a usane do -ésmo reservaóro. A regra de operação adoada no ssema braslero é a operação unforme. Esa políca, para um dado esado ncal de armazenameno, represenado pelo veor (0) x = [ x1, x2,..., x,..., x NUH r ], consdera que os reservaóros seam depleconados em paralelo. Com sso, os reservaóros manêm o mesmo percenual de volume armazenado em relação aos seus respecvos volumes ncas. 74

82 Exemplfcando, se em um dado nsane de empo o volume armazenado no reservaóro 1 for gual a 30% de x 1,enão odos os demas reservaóros esarão com o armazenameno a 30% de seus volumes ncas. Consderando esa hpóese, a regra de operação é deermnada pela segune função lnear: x (0) ( ) λx λ = (4.14) e anda, como (0) dx ( λ) = x dλ, a energa armazenada no ssema é calculada por: NUH r (0) (0) m (0) EARM ( x ) = x cη h ( x ) = Ω (4.15) 1 A energa afluene ao reservaóro equvalene represena o valor oal em energa das descargas afluenes aos város reservaóros. O seu cálculo depende, como no caso da energa armazenada, da operação fuura dos reservaóros. De forma smplfcada, adme-se um conuno de hpóeses, as quas não esão no escope dese rabalho. Vale ressalar apenas que as energas assocadas às afluêncas com as usnas que possuem reservaóro são dferencadas das usnas sem reservaóro, ou fo d água, vso que nessas a água não pode ser esocada. O prncípo do modelo a reservaóro equvalene é baseado no fao que o cuso da geração érmca no problema de longo prazo é uma função da geração hdráulca oal do ssema, ao nvés das gerações ndvduas de cada usna. Nese caso, se exsr apenas um reservaóro equvalene, a mnmzação do cuso esperado de operação pode ser obda pela recursão da PDE, uma vez que o número de varáves de esado é reduzdo. A écnca de reservaóro equvalene em razoável efcênca se as usnas com reservaóro possuem grande capacdade de regularzação e se a regão que as mesmas perencem for hdrologcamene homogênea. A regão precsa ambém ser elercamene nerlgada, de modo que a carga possa ser suprda pela geração de qualquer usna hdrelérca, sem haver congesonameno. Pode-se denfcar alguns aspecos que lmam o uso do reservaóro equvalene. A agregação não perme que se represenem as caraceríscas operavas ndvduas das usnas e o acoplameno hdráulco enre elas. Iso é fundamenal para a represenação correa dos urbnamenos máxmos, perdas por alura de queda, alura do canal de fuga e a 75

83 dversdade hdrológca enre as subbacas. Todas esas smplfcações fazem com que o ssema fque subesmado quano a sua capacdade de geração hdráulca. Aualmene, no ssema braslero, o modelo a ssema equvalene é ulzado para o planeameno energéco de longo prazo, permndo assm uso de écncas fundamenadas em PDE. A EPE (Empresa de Pesqusa Energéca) em ulzado o modelo NEWAVE, que faz uso dos conceos de reservaóro equvalene e Programação Dnâmca Esocásca Dual (PDED). Para o caso de um únco reservaóro equvalene o problema é formulado, de acordo com o modelo acaso-decsão descro anerormene, por: NUT 1 * α ( X ) = Mn CT GT, + CD * D + α + ( X + 1) = 1 (4.16) 1 β sueo a: EARM +1 + GH + V = EARM + EC EVMIN EVP (4.17) NUT GH + GT, + D = M EFIO EVMIN (4.18) = 1 EARM EARM (4.19) GH + EFIO + EVMIN GH (4.20) GT GT,, (4.21) onde: EARM +1 é a energa armazenada pelo reservaóro equvalene no fnal do eságo. Represena a capacdade máxma de armazenameno do conuno de reservaóros do ssema e é esmada pela energa produzda pelo esvazameno compleo dos reservaóros do ssema; 76

84 EC é a energa conrolável do ssema. É obda no eságo. a parr da afluênca naural a cada reservaóro mulplcada pela sua produbldade méda equvalene somada às produbldades das usnas fo d água a usane aé o próxmo reservaóro, exclusve; EFIO é a energa, durane o eságo, correspondene às afluêncas ncremenas às usnas a fo d água e consequenemene não passíves de armazenameno. A deermnação da afluênca ncremenal é fea em cada usna a parr de sua afluênca naural, da qual são desconadas as afluêncas nauras às usnas de reservaóro medaamene a monane. A energa é calculada respeando-se o lme da capacdade de urbnameno de cada usna; GH é o oal de energa produzda pelo reservaóro equvalene durane o eságo ; V é a energa verda pelo reservaóro equvalene durane o eságo ; EVMIN é a energa de vazão mínma do reservaóro equvalene durane o eságo. Esa energa corresponde ao desenoque de água dos reservaóros necessáro para aender a resrção de vazão mínma; EVP é a energa perdda pela evaporação da águas nos reservaóros. Seu cálculo é feo com base na área correspondene à alura de queda méda, devendo ser corrgdo para ouras aluras. As demas varáves não defndas são dêncas àquelas apresenadas na formulação do problema de longo prazo, descra anerormene nese mesmo capíulo. Em deermnadas suações a agregação em um únco reservaóro não é sufcene, pos exse a necessdade de se represenar os város subssemas e nercâmbos que compõem um deermnado ssema. Nesses casos, a aplcação da PDE fca nvável, uma vez que exse o problema da maldção da dmensonaldade. Para conornar ese problema faz-se o uso da Programação Dnâmca Esocásca Dual (PDED), pos esa orna possível a omzação esocásca de múlplos reservaóros, raando a PDE de forma analíca. Essa écnca é descra a segur Programação Dnâmca Esocásca Dual Com o obevo prncpal de evar a explosão combnaóra promovdo por um algormo baseado em PDE, foram desenvolvdas váras meodologas capazes de aproxmar a solução do problema. A PDED é uma desas e se basea na consrução 77

85 analíca da função de cuso fuuro ulzando para so o Prncípo de Decomposção de Benders. Incalmene é apresenada a versão deermnísca da PDED: a Programação Dnâmca Dual Deermnísca (PDDD). Em seguda é fea a exensão para o caso esocásco. Programação Dnâmca Dual Deermnísca A eora de PDDD pode ser apresenada sob a forma de um problema de programação lnear de dos eságos aplcado ao problema de planeameno da operação energéca. Consderando conhecda a afluênca em um eságo qualquer, ese problema fca com a segune esruura: f = Mn c 1 z 1 + c 2 z 2 sueo a: A 1 z 1 b 1 (4.22) E 1 z 1 + A 2 z 2 b 2 O problema (4.22) pode ser nerpreado como um processo de omada de decsão seqüencal de dos eságos: 1º Eságo Escolhe-se uma decsão vável z 1 *, al que A 1 z 1 * b 1 ; 2º Eságo Dado z 1 *, resolve-se o problema de omzação do segundo eságo: Mn c 2 z 2 Sueo a: (4.23) A 2 z 2 b 2 E 1 z 1 * onde: 78

86 z 1 * (4.23). por ser conhecdo, passa para o lado dreo do conuno de resrções do Problema Os veores z 1 e z 2 represenam os volumes fnas dos reservaóros, as vazões urbnadas, os vermenos, as gerações ermelércas, ec., para o prmero e segundo eságos respecvamene. O obevo do problema é mmnzar o cuso oal de operação composo por c 1 z 1 + c 2 z 2. Assm conhecda a solução do segundo eságo, o Problema (4.23) pode ser reescro, com o problema do prmero eságo sendo defndo por: Mn c 1 z 1 + α 2 (z 1 ) sueo a: (4.24) A 1 z 1 b 1 O valor de x 1 z 1 é o cuso medao assocado ao prmero eságo. A função α 2 (z1) represena o cuso fuuro da decsão z 1 qualquer, sendo defnda por: α 2 (z 1 ) = Mn c 2 x 2 sueo a: (4.25) A 2 z 2 b 2 E 1 z 1 O Prncípo da Decomposção de Benders é uma écnca que perme consrur, eravamene, aproxmações para a função α 2 (z 1 ), baseada na solução do problema do segundo eságo. A função α 2 (z 1 )pode ser caracerzada a parr do problema dual do 2 eságo. Consderando que há um problema dual assocado a qualquer problema de programação lnear, em-se que o dual do Problema (4.25) pode ser represenado da segune manera: α 2 (z 1 ) = Max π 2 (b 2 E 1 z 1 ) sueo a: (4.26) 79

87 π 2 A 2 c 2 onde: eságo. π 2 represena o veor com as varáves duas assocadas ao problema do 2º O conuno de resrções do Problema (4.26) defne uma regão vável, que por sua vez é ndependene da decsão omada no 1 eságo, z 1. Esa regão é um poledro convexo 1 2 p [ formado pelos ponos exremos π = π, π,..., π ]. Eses ponos represenam as 2 soluções báscas váves para o problema, o qual pode ser resolvdo por enumeração: Max π 2 (b 2 E 1 z 1 ) (4.27) π 2 π 2 O problema (4.27) pode ser reescro da segune manera: α 2 (z1) = Mn α 2 sueo a: α 2 π 2 1 (b 2 E 1 z 1 ) α 2 π 2 2 (b 2 E 1 z 1 )... (4.28) α 2 π 2 p (b 2 E 1 z 1 ) sendo α 2 uma varável escalar. 80

88 Como α 2 é maor ou gual a cada π 2 (b 2 E 1 z 1 ), =1,...,p, e sendo um problema de mnmzação, em-se que pelo menos uma resrção esará ava na solução óma do problema (4.28). Porano, ese problema possu solução óma dênca ao do problema (4.27), e consequenemene, gual à solução óma do problema (4.26). Com sso, conclu-se que as resrções α 2 π 2 (b 2 E 1 z 1 ) do problema (4.28) defnem a função cuso fuuro, α 2 (z 1 ), orgnára do problema (4.25). Ese problema pode enão ser reescro como: α 1 = Mn c 1 z 1 + α 2 (z 1 ) Sueo a: A 1 z 1 b 1 α 2 (z 1 ) π 2 1 (b 2 E 1 z 1 ) α 2 (z 1 ) π 2 2 (b 2 E 1 z 1 )... (4.29) α 2 (z 1 ) π 2 p (b 2 E 1 z 1 ) Pode-se observar que α 2 (z 1 ) corresponde ao valor de uma função convexa defnda 1 2 p [ pelas resrções lneares π 2 (b 2 E 1 z 1 ), e π = π, π,..., π ] é o conuno que defne os coefcenes dos hperplanos supore, conforme mosra a fgura

89 Fgura 4.3 Inerpreação Geomérca da Função de cuso fuuro. Logo, o Problema (4.27) poder ser escro somene em função das varáves do problema de 1 eságo e mas a varável escalar α 2 (z 1 ), conforme mosrado na Equação (4.19). Embora o conuno de resrções π 2 (b 2 E 1 z 1 ) - α 2 (z 1 ), =1,..., p sea de grande dmensão, apenas algumas delas esarão avas na solução óma do problema. Para manusear esa consderação, podem ser aplcadas écncas de relaxação, com base no algormo de Decomposção de Benders. Com sso, é possível consrur a função α 2 (z 1 ), eravamene, com o grau de precsão deseado. Deve-se observar, anda, que exse uma dferença enre a programação dnâmca convenconal e a sua versão dual no ocane à consrução da função de cuso fuuro, mosrada pela Fgura 4.3. Na programação dnâmca convenconal, o exo represenado pela varável z 1, sera dscrezado em p ponos, para os quas seram calculados p cusos fuuros [α 2 (z 1 1 ), α 2 (z 2 1 ),..., α 2 (z p 1 )], os quas são passados para o eságo aneror como nformação. Para a programação dnâmca dual, ao nvés dso, resolve-se o Problema (4.26) para um dado z 1 *, obendo-se como a solução óma α 2 (z 1 *)=ω 2, unamene com o veor de mulplcadores smplex assocados, π 2 *. Assm, escolhem-se anos valores de z 1 quano for a precsão deseada para a consrução da curva de cuso fuuro. 82

90 O veor π 2 * é um vérce da regão vável desas resrções, podendo ser usado para formar uma nova resrção do po π 2 (b 2 -E 1 z 1 ) - α 2 (z 1 ) 0, denomnada de Core de Benders. Essa resrção é adconada, como nformação, ao eságo aneror. Devdo à convexdade do problema, a solução do problema prmal é a mesma que a do problema dual. Com sso pode-se consderar a segune relação: ω 2 * = π 2 * (b 2 -E 1 z 1 *) (4.30) Colocando (π 2 * b 2 ) em evdênca, obém-se: π 2 * b 2 = ω 2 * + π 2 * E 1 z 1 * (4.31) Subsundo na expressão π 2 *(b 2 -E 1 z 1 ) - α 2 (z 1 ) 0, de forma a fcar ndependene de b 2, cra-se uma resrção resulane, que a segur é ransferda ao problema do prmero eságo: α 2 (z 1 ) + π 2 * E 1 z 1 ω 2 * + π 2 * E 1 z 1 * (4.32) A grande vanagem dese processo é que não há necessdade da dscrezação do espaço de esados. A cada eração, uma nova aproxmação da função de cuso fuuro é gerada em orno do pono obdo a parr da solução do problema do 1 eságo z 1 *. Quano à escolha dos z 1 *, em-se um processo baseado em erações que conssem na seleção de uma sére de recursões dreas, denomnada forward, e nversas, backward, para odo o período de esudo como será vso a segur. A programação dnâmca dual é faclmene aplcada à problemas mul-eságos. Consderando que um problema possua T eságos, e sendo k o conador de erações, ncalmene resolve-se uma seqüênca de problemas, percorrendo desde o eságo 1 aé o eságo T-1. De cada problema, armazena-se o valor ómo das varáves, z 1 * k, e o cuso medao assocado de cada eságo, c z 1 * k. Esa eapa do algormo é denomnada de processo forward. Ao chegar no úlmo eságo, começa-se a recursão nversa, denomnada processo backward, do eságo T aé o eságo 2. Para cada eságo, obém-se da formulação dual 83

91 os valores de ω * k e π * k, que em conunção com o veor z -1* k, calculados no processo forward, monam a segune resrção: α (z -1 ) + π * k E -1 z -1 ω * k + π * k E -1 z -1 * k (4.33) Esa resrção ( Core de Benders ) é enão passada para o eságo aneror. Para cada nova eração, uma nova resrção adconal é acrescenada para o eságo aneror. Pode-se noar que, o processo eravo ermna quando, a cada eságo, o cuso prevso no eságo -1 para o eságo, guala-se ao cuso efevo do eságo, ω * k. Com sso em-se que o cuso oal do prmero eságo, ω 1* guala-se ao valor da soma composa por c 1 z 1 * + c 2 z 2 * c T z T *. Ou sea, a soma dos cusos efevos de odos os eságos em uma eração defne o lme superor do problema, sendo que o lme nferor é obdo no prmero eságo, ω 1*. O processo converge rapdamene, à medda que em cada eração cada eságo ulza um novo valor z -1* k mas próxmo da raeóra óma. A segur é apresenado o algormo de solução da PDDD aplcada a problemas mul-eságos. 1º Faça: K = 0 ; lme superor z_upper = + ; lme nferor z_lower = 0 ; aproxmação ncal da função de cuso fuuro α +1 (z ) = 0 ; valor do esado ncal do problema gual a z 0 * ; 2º Repa para = 1, 2,..., T Resolva o segune problema de omzação: ω = Mn c z + α +1 (z ) sueo a: A z b 1 E -1 z -1* Armazene os valores de z * e ω * ; 3º Sendo ω 1 * defndo como o lme nferor do problema e 84

92 Mn {z_upper K ; c 1 z 1 * + c 2 z 2 * c T z T *} o lme superor, faça o segune ese de convergênca: Se o lme nferor é aproxmadamene gual ao lme superor, enão pare; Caso não se verfque a convergênca, r para o 4º passo; 4º Repa para = T, T-1,..., 2 Usando o pono z -1* obdo na recursão drea (2º passo), resolva: ω = Mn c z + α +1 (z ) sueo a: A z b 1 E -1 z -1* α +1 (z ) + π +1* k E z ω +1* k + π +1* k E z * k = 1,...,K onde: π * k represena a dervada do cuso fuuro do eságo, em função de z -1, no pono z -1 * durane a k-ésma eração. 5º Vá para (2º), acrescenando as resrções obdas na recursão nversa (4º), fazendo para so K = K+1. O algormo da programação dnâmca dual apresenado, enconra-se em sua forma deermnísca. Aconece que no problema do planeameno da operação energéca, as afluêncas fuuras não podem ser prevamene deermnadas, causando a necessdade de aplcação da programação dnâmca dual na sua versão esocásca. Esa arefa é faclada, pos uma caracerísca mporane do algormo de Programação Dnâmca Dual é a capacdade de represenar problemas de omzação com naureza esocásca. Caso Esocásco Com Evenos Independenes 85

93 A PDED é uma exensão do algormo da Programação Dnâmca Dual para problemas de omzação esocásca. Isso pode ser vso, de forma nroduóra, a parr de um problema de programação lnear de dos eságos, em que o veor b do Problema (4.22) possa assumr os m valores, b 1, b 2,..., b m, com respecvas probabldades, p 1, p 2,..., p m e (p 1 + p p m = 1). Assumremos anda a hpóese de que, as afluêncas em um eságo qualquer não dependem das afluêncas dos eságos anerores. Com so, os veores {b ; = 1, 2,..., T} são varáves aleaóras ndependenes, ornando assm o espaço de esados do ssema composo apenas pelos níves de armazenameno dos reservaóros do ssema. Feo sso, o problema consse em deermnar a esraéga que mnmza o valor esperado para os dos eságos: f = Mn c 1 z 1 + p 1 c 2 z p m c 2 z 2m sueo a: A 1 z 1 b 1 E 1 z 1 + A 2 z 21 b 21 E 1 z 1 + A 2 z 22 b 22 (4.34) E 1 z 1 + A 2 z 2m b 2m O problema (4.34) corresponde ao segune processo de decsão: 86

94 1º Eságo: Deermnar uma solução vável z 1 *, al que A 1 z 1 * b 1 ; 2º Eságo: Enconrar um veor (z 21 *, z 22 *,..., z 2m *), que é solução do problema : Mn p 1 c 2 z 21 + p 2 c 2 z p m c 2 z 2m Sueo a: A 2 z 21 b 21 E 1 z 1 * A 2 z 22 b 22 E 1 z 1 * (4.35) O problema (4.35) pode ambém ser decomposo em m subproblemas de omzação ndependenes: Mn p 1 c 2 z 21 sueo a: (4.36) A 2 z 21 b 21 E 1 z 1 * Mn p 2 c 2 z 22 sueo a: (4.37) 87

95 A 2 z 22 b 22 E 1 z 1 * Mn p m c 2 z 2m sueo a: (4.38) A 2 z 2m b 2m E 1 z 1 * Onde as soluções dos problemas (4.36) a (4.38) são ponderadas pelas respecvas probabldades p 1, p 2,..., p m. Cada problema do segundo eságo é função da decsão z 1 do problema do prmero eságo. Porano, o problema (4.36) pode ser reescro como: Mn c z + α ) 2 ( 1 1 z 1 Sueo a: (4.39) A 1 z 1 b 1 Aqu em-se que c 1 z 1 represena o cuso medao e α 2 z ) represena o valor esperado do cuso fuuro e das soluções dos subproblemas represenados pelas equações (4.31) a (4.33). ( 1 A função α 2 z ) é um poledro convexo que pode ser consruído a parr do valor esperado dos mulplcadores smplex assocados a cada subproblema. ( 1 88

96 Consderando [π 2 1, π 2 2,..., π 2 p ] os veores de mulplcadores smplex assocados às resrções dos problemas (4.36) a (4.38), e [ω 2 1, ω 2 2,..., ω 2 p ] os valores das soluções ómas correspondenes, o core de Benders assocado ao problema (4.39) é: p 1 π 1 2 (b 21 E 1 z 1 )+...+ p m π m 2 (b 2m E 1 z 1 ) α 2 z ) (4.40) ( 1 Ou alernavamene, elmnando-se o veor b : p 1 (ω π 1 2 E 1 (z 1 *- z 1 )) p m (ω m 2 + π m 2 E 1 (z 1 *- z 1 )) α 2 z ) (4.41) ( 1 Agrupando em-se: ω 2 * + π 2 * E 1 (z 1 *- z 1 ) α 2 z ) (4.42) ( 1 ω 2 * = p 1 ω p 2 ω 2 m p m ω 2 (4.43) π 2 * = p 1 π p 2 π p m π 2 m (4.44) Trabalhando a Equação (4.42), a fm de colocar as varáves para o lado esquerdo da equação, em-se a expressão defnva do Core de Benders que é remedo como nformação ao prmero eságo: α 2( z 1 ) + π 2 * E 1 z 1 ω 2 * + π 2 * E 1 z 1 (4.45) A aplcação do algormo da PDED para problemas mul-eságos é medaa, sendo que odos os passos obdos para o caso deermnísco são váldos ambém para o caso esocásco. Enreano, algumas consderações devem ser feas para ese úlmo caso. É fácl noar que para o caso em que cada eságo há m possíves cenáros de afluêncas, a evolução do ssema de reservaóros apresena um esruura em árvore, conforme lusrado na Fgura 4.4. Noa-se enão que exse uma explosão no número de esados apresenado pelo problema da operação energéca, composo por odo o horzone de esudo. Consderando um problema com T eságos e possundo m possbldades de afluêncas, de acordo com a formulação apresenada para a PDED anerormene, que podem vr a ocorrer na ransção de para +1, em-se um espaço amosral composo por 89

97 m T esados possíves a serem calculados. Supondo um horzone de planeameno de 5 anos com dscrezação mensal (T=60), e anda apenas 10 possbldades de afluênca em cada eságo, em-se esados a serem calculados, cada um, represenando um problema de omzação. Felzmene, não é necessáro smular odo esse espaço amosral, basando ulzar uma amosra sufcenemene grande de seqüêncas, a fm de esmar a solução óma com precsão aceável e razoável esforço compuaconal. Aravés dso evase a explosão combnaóra mosrada pela Fgura 4.4. Essa esmava é fea smulando-se no processo forward uma amosra de cenáros {b,s }; s = 1,...,S, a fm de calcular os ponos {z,s *}; s = 1,...,S, para os quas será fea a aproxmação para a função de cuso fuuro, α +1( z), na eapa nversa. A cada eságo e para um cenáro hdrológco s resolve-se um subproblema de operação que mnmza os cusos de operação desse eságo mas o valor aproxmado para o cuso de operação do eságo +1 aé o fnal do horzone de planeameno. Os ponos {z,s *}; s = 1,...,S represenam os volumes fnas das usnas hdrelércas no eságo e seqüênca s. No processo backward, a cada eságo, é feo o cálculo dos valores esperados do cusos fuuros e cusos margnas { ω * e π *. = T, T-1,...,2}, para m realzações (afluêncas) prováves, calculados em orno do pono {z -1,s *}; s = 1,...,S defndos na recursão drea. Observe-se que, em cada eságo mona-se uma resrção conforme a Equação (4.50) que, equvalenemene à sua versão deermnísca, orna o problema mas resro. Vale salenar nese pono que, apesar de cada resrção ser consruída a parr de uma deermnada seqüênca durane o eságo, ela é aplcável a qualquer seqüênca do eságo -1. Isso faz com que, grande quandade de nformação sea ransferda a cada problema de omzação, acelerando assm seu processo de convergênca. 90

98 Fgura 4.4 Esruura da árvore do Problema de Planeameno da Operação Energéca. A Fgura 4.5 lusra de forma esquemáca os processos de smulação forward e backward, ulzados pela PDED. 91

99 Fgura 4.5 Dagrama Esquemáco das smulações Usadas na Implemenação da PDED. Deve-se noar que, na Fgura 4.5, um core médo é gerado para as m realzações (afluêncas) de cada esado smulado no forward. Já na Fgura 4.4, cada esado do problema gera um core para o respecvo esado no eságo aneror. O processo de convergênca do algormo esocásco é feo com base no fao que o lme superor do problema provém da soma de um grande número de seqüêncas, e enão, pode ser represenado por uma varável aleaóra com dsrbução normal e méda gual ao valor esperado do cuso de operação ao longo de odo o período de esudo. A parr dessas nformações é possível consrur um nervalo de confança para o valor do lme superor, usando-se como créro de convergênca do algormo o valor máxmo admdo para a ncereza dese valor. Ese nervalo é consruído com base nas segunes expressões: T S 1 z _ upper = c z, s * (4.46) S = 1 s= 1 92

100 S 1 z _ lower = ω 1, s * (4.47) S s= 1 1 S 2 2 σ z _ upper = ( z _ upper z _ upper) 2 s (4.48) S s= 1 onde: S é o número oal de seqüêncas amosradas para a recursão drea (forward); z _ upper é o valor médo dos cusos de operação ao longo de odos os eságos; z _ lower é o valor médo dos cusos fuuros esperados de operação para o prmero eságo; 2 σ z _ upper é a varança relaconada ao valor esperado do lme superor do problema; z _ upper s é o cuso medao assocado a cada seqüênca defnda na recursão drea, sendo defndo por: T z _ upper = c z (4.49) s = 1, s * e anda, com base na segune relação: 2 σ s = σ z _ upper (4.50) onde: σ s é a varança do lme superor do problema; 93

101 Podemos consrur um nervalo de 95% de confança, defndo por: IC = [ z _ upper 1.96 σ ; z _ upper 1.96 σ ] (4.51) 95% s s z _ upper Ese nervalo, mosrado na fgura 4.6, mede a ncereza gerada pelo valor de, e porano, pode ser ulzado como créro de convergênca do algormo da PDED. Para sso, basa verfcar se o valor esperado da função de cuso fuuropara o prmero eságo z _ lower, enconra-se denro do nervalo de confança do lme superor defndo pela equação (4.51). Em caso afrmavo o algormo pára. Fgura 4.6 Inervalo de Confança do Valor do Lme Superor do PDED. Deve ser noado que, como se raa de um nervalo consruído a parr do valor esperado do lme superor, o valor do lme nferor do problema pode esar localzado ano a drea, quano a esquerda do valor de z _ upper calculado. O fluxograma compleo para o algormo da PDED é apresenado na Fgura 4.7 Evenos Aleaóros Lnearmene Independenes 94

102 Conforme relaado no em aneror, as afluêncas nese rabalho foram consderadas como varáves aleaóras ndependenes ou sea, as afluêncas de um deermnado mês não dependem das respecvas afluêncas dos meses anerores. Esa hpóese acarrea em esraégas de operação basane omsas, uma vez que despreza a correlação exsene enre as afluêncas de eságos dsnos, responsável pela ocorrênca de períodos secos. Séres hdrológcas de nervalo menor que o ano, as como séres mensas, êm como caracerísca o comporameno peródco das suas propredades probablíscas, como por exemplo a méda, a varânca e a esruura de auo-correlação. A modelagem dese processo pode ser fea por formulações auo-regressvas cuos parâmeros apresenam um comporameno peródco. A esa classe de modelos denomna-se modelos auo-regressvo peródcos, PAR(p), onde p é um veor, p = (p 1, p 2,..., p s ), que ndca a ordem ou número de ermos auo-regressvos do modelo cada período. 95

103 Fgura 4.7 Fluxograma da Programação Dnâmca Esocásca Dual. 96

104 O Problema de Curo Prazo O obevo prncpal do planeameno da operação energéca de curo prazo é a desagregação das meas calculadas pelo planeameno de longo e médo prazo (bascamene expressas na forma de volume ao fnal do período de curo prazo ou anda aravés da função de cuso fuuro obda do problema de longo prazo). Esa desagregação deve servr como base para a execução de uma programação semanal para as usnas, que possa aender as resrções hdráulcas do ssema hdroérmco. O horzone de planeameno ulzado no ssema braslero para o problema de curo prazo é de um mês. Em conrase com as eapas de longo e médo prazo, quando as ncerezas dos parâmeros são elevadas, o planeameno de curo prazo pode ser consderado como de naureza deermnísca, aceando-se as prevsões das afluêncas ao longo do horzone de esudo como conhecdas. A formulação do problema de planeameno da operação energéca de curo prazo, para um únco ssema, é descra a segur. Maemacamene, em-se para o problema de curo prazo: nu Mn F = { Φ GT, )} T = 1 J = 1 ( + CD D (4.52) sueo a: GT,, GT, GT (4.53) GH, (,, = Ψ x, d ) (4.54) x 1 ) (4.55) +, = x, + y, ( u, + s, ) + ( u, k + s, k k M x + 1, x+ 1, x + 1, (4.56) u, u, u, (4.57) L, u, + s, L, (4.58) 97

105 GH =, + GT, + D M (4.59) x T + 1, = x * (4.60) = 1,..., NUH = 1,..., NUT = 1,...,T onde: Φ ( GT, ) é a função que represena o cuso de geração érmca da -ésma usna hdrelérca, durane o eságo ; δ usane; é o empo de vagem da água defluda do reservaóro k aé o reservaóro a GH, é o oal gerado pela -ésma usna hdrelérca durane o eságo. x * é o volume mea, calculado no médo prazo, a ser angdo pela -ésma usna hdrelérca do ssema no eságo T. As demas varáves não relaconadas são as mesmas apresenadas na formulação do problema de longo e médo prazo. O problema de curo prazo, por ser deermnísco, em por solução uma raeóra óma para os volumes dos reservaóros do ssema. Esa raeóra corresponde à evolução óma para uma seqüênca de afluêncas preesabelecdas. Com so, o problema resulane é usualmene formulado como um problema de omzação não-lnear, e em sdo resolvdo com algormos específcos que exploram as parculardades do problema em conunção com écncas de programação não-lnear. A prncpal razão da não-lneardade do problema advém das equações (4.52) e (4.59), conforme mosrado anerormene. Oura caracerísca apresenada pelo problema de curo prazo é o fao de que as resrções (4.55) aé (4.58) represenam caraceríscas de um problema de omzação de fluxo em redes. A grande movação para o aproveameno da esruura de redes é a redução do esforço compuaconal obdo quando se resolve o problema com algormos específcos. 98

106 Fluxo de Poênca Ómo O Fluxo de Poênca Ómo é uma ferramena que em por fnaldade fornecer a melhor condção de operação de um ssema elérco sob um deermnado obevo. Nesse rabalho, o obevo é a mnmzação do cuso de operação [9]. O Fluxo de Poênca Ómo é geralmene formulado como um problema de Programação Não-Lnear, de acordo com o segune formao padrão [9]: Mn f (z) (4.61) Sueo a: g(z) = 0 (4.62) h(z) 0 (4.63) onde: f (.) é a função obevo; g(. ) são as resrções de gualdade; h(. ) são as resrções de desgualdade; z é o veor de varáves do problema. Varáves do Fluxo de Poênca Ómo As varáves a serem omzadas no Fluxo de Poênca Ómo são dvddas em varáves dependenes ou de esado e varáves ndependenes ou de conrole. Enende-se por varáves de esado o conuno mínmo de varáves capaz de caracerzar uncamene o esado de operação da rede elérca. Normalmene as varáves de esado são módulo e ângulo das ensões de fase em cada barra do ssema elérco. As varáves ndependenes, ou de conrole, são as que, durane o processo de solução, serão aleradas com a fnaldade de se enconrar o pono ómo de operação. Na práca, esas varáves podem ser: 99

107 Poênca ava gerada em cada máquna; Módulo da ensão nas barras de geração; Poênca reava gerada; Posção de ap de ransformador; Suscepânca shun de bancos de capacores e reaores; Poênca ransmda enre lnks DC; Fluxo de nercâmbo enre áreas; Reaânca de capacor sére. Resrções de Igualdade No FPO, o conuno de resrções de gualdade é na verdade o fechameno do balanço de carga e geração da rede elérca. As resrções são as equações da rede, al como no Fluxo de Poênca convenconal. Pode-se anda nclur às resrções de gualdade caraceríscas parculares de operação da rede elérca, como a fxação de deermnadas varáves ou combnação de varáves do ssema. Resrções de Desgualdade As resrções de desgualdade são nequações represenando lmes físcos relaconados com a capacdade érmca de ransmssão de poênca dos componenes da rede ou lmes operaconas relaconados com aspecos de segurança da operação do ssema. No problema de FPO é comum haver lmes para as segunes varáves: Módulo da Tensão Tap do Transformador Ângulo de defasameno Poênca ava gerada Poênca reava gerada Poênca reava capacva alocada Poênca reava nduva alocada Poênca ava alocada Carregameno nos crcuos Reeção de carga Inercâmbo enre áreas 100

108 Função Obevo segue abaxo: Para nosso esudo de Planeameno da Operação, a Função Obevo a ser esudada Mínmo cuso de geração de poênca ava Vsa represenar o despacho econômco da rede. O cuso de geração de poênca ava é normalmene represenado como uma função lnear em relação à poênca ava gerada em cada máquna. f = 1 2 I G c p PG (4.64) Onde: I G é o conuno de geradores de poênca ava conroláves; c p é o cuso de geração de poênca ava no gerador ; PG é a geração de poênca ava no gerador. Méodos de solução do Fluxo de Poênca Ómo - Méodos Baseados em Programação Lnear O Fluxo de Poênca Ómo pode ser represenado como um Problema de Programação Lnear. Um problema de Programação Lnear é na verdade um caso parcular de um Problema de Programação Não Lnear. No caso de um Problema de Programação Lnear, ano a função obevo, quano as resrções são lneares. O Fluxo de Poênca Ómo é um problema não-lnear, que pode ser aproxmado aravés de lnearzações sucessvas. As equações orgnas do problema (4.61 a 4.63) são resolvdas com uma sucessão de aproxmações lneares da forma: 0 Mn f '( z + z) = 0 (4.65) Sueo a: 101

109 0 g '( z + z) = 0 (4.66) 0 h '( z + z) 0 (4.67) onde: 0 z é o valor ncal de z ; z é a varação em relação ao pono ncal; f ', g ' e h ' são aproxmações lneares das funções não-lneares orgnas. Cada lnearzação calcula a dreção do pono ómo Dz aravés da lnearzação da função obevo e das resrções. Enreano, a solução erava do problema lnear, equações (4.65 a 4.67), não garane a solução do problema não-lnear orgnal, equações (4.61 a 4.63). Porano, deve-se execuar um fluxo de poênca convenconal enre cada lnearzação. As meodologas de solução do FPO baseadas em Programação Lnear êm como vanagem a efcene deecção de casos sem solução real, a facldade na resolução de problemas de FPO com análse de segurança e empos relavamene reduzdos de resolução. Os méodos de Programação Lnear mas comuns ulzados na solução do FPO são o méodo Smplex, o méodo baseado no Veor Gradene e o Méodo de Ponos Inerores para Programação Lnear. - Méodos Baseados em Programação Não Lnear As equações represenavas do FPO são não lneares e em alguns casos, dfíces de serem aproxmadas por funções lneares. Por cona dso, êm-se opado por resolver dreamene o problema não lnear de FPO aravés de écncas de Programação Não Lnear. Nese caso, em-se a caracerísca de modelar mas precsamene o problema. No enano, há uma perda em ermos compuaconas nesses méodos, pos a solução é mas lena. Alguns dos méodos de Programação Não Lnear ulzados na solução do FPO são o de Programação Quadráca Seqüencal, Méodo do Gradene Reduzdo e Méodo de Newon. Eses méodos êm sua mporânca denro do conexo hsórco de desenvolvmeno do 102

110 FPO com formulação não lnear. No enano, o Méodo dos Ponos Inerores rouxe ganho sgnfcavo de desempenho, prncpalmene em se raando de problemas de grande pore. Em especal, o algormo prmal-dual em apresenado excelenes resulados ano em aplcações compuaconas, quano em desenvolvmeno eórco. 103

111 CAPÍTULO 5: ESTUDO DE CASO Apesar de erem sdo apresenados alguns méodos de planeameno, o esudo de caso será feo de uma forma dferene, em função de ndsponbldade das ferramenas compuaconas própras, mas buscando ao máxmo uma aproxmação dos conceos apresenados anerormene. Será feo um esudo de Planeameno da operação com o ssema de 16 barras [10] mosrado na fgura 5.1 em 3 condções dsnas: - Condção de Carga Méda - Confguração Incal do Ssema. - Condção de Carga Pesada - Aumeno de 50% na carga do Ssema. - Condção de Carga Leve - Redução de 30% na carga do Ssema. Serão feos 3 esudos para cada Condção, a fm de planear a operação do ssema para o respecvo paamar de carga: - Fluxo de Poênca. - Esabldade. - Confabldade. Para cada condção de carga, será fea a análse com a rede ínegra e com a rede em conngênca, a fm de analsar a segurança do ssema. 104

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113 5.1. Esudo de Fluxo de Poênca Para ese esudo será ulzado o programa Anarede[11], desenvolvdo pelo CEPEL, que em como função analsar o fluxo de poênca do ssema, smulando a operação da rede e calculando os dados da barra aravés da resolução do fluxo de poênca pelo méodo de Newon Raphson. Após a realzação da smulação e a obenção da convergênca, o programa apona as barras que esão operando fora dos seus lmes. Assm é possível verfcar, aravés do Anarede, o que ocorrera com o ssema se a carga fosse alerada e, caso haa alguma volação, exse a possbldade de enar rerá-las aravés de alerações nas condções de operação do ssema. Os dados das Barras (em condção de carga méda) e das lnhas esão presenes nas Tabelas 5.1 e 5.2 respecvamene. 106

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