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1 Pova A EXAME DE TRANSFERÊNCIA EXTERNA 2013/2014 (SEGUNDA FASE) EXAME PARA PORTADORES DE DIPLOMA DE NÍVEL SUPERIOR 2013/2014 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA POLITÉCNICA 09/06/2013 Nome Completo: Documento de Identidade: Assinatua: INSTRUÇÕES 1. SOMENTE INICIAR A PROVA QUANDO FOR AUTORIZADO PELO FISCAL DE SALA. 2. A pova tem 28 páginas, incluindo a página de osto. O espaço em banco que segue cada uma das 15 questões é paa a sua esolução. A página 28 é paa RASCUNHO e não seá consideada na coeção. 3. Veifica se o seu nome e a sua opção de cuso estão coetos na etiqueta de identificação da pova. 4. Não esquece de identifica a página de osto da pova, colocando seu nome completo (sem abeviações), o númeo do seu documento de identidade e a sua assinatua nos locais indicados. 5. NÃO É PERMITIDO O USO DE CALCULADORA OU CELULAR DURANTE A PROVA. O USO DESSES APARELHOS PODERÁ IMPLICAR A DESCLASSIFICAÇÃO SUMÁRIA DO CANDIDATO (DEIXAR O CELULAR DESLIGADO!!!). 6. Não é pemitido o uso de outos mateiais estanhos à pova. 7. A pova é paa se esolvida à caneta (azul ou peta), com exceção dos desenhos técnicos. 8. Qualque dúvida faz pate da intepetação do enunciado da questão. 9. Duação da pova: 5 hoas. Saída pemitida a pati das 14h30min. 10. Não é pemitido fuma no local de exame. 1/26

2 1) Sejam A, B, C e D vétices de um tetaedo. D B C X (a) Sendo X o baicento do tiângulo ABC, expesse o veto como A combinação linea dos vetoes:, e. Use: =, em que N é o ponto médio de BC. (b) Consideando em o sistema de coodenadas: Σ,,, ), esceva uma equação geal do plano DNX. (c) Sabendo que = 5, = 3 e = 2, que a medida em adianos do ângulo ente e é 3 e que tem sentido oposto a, detemine o volume do tetaedo. RESPOSTA: a) + +. b) O plano DNX passa pelo ponto 0,0,0 e tem como vetoes dietoes e. No item (a), achamos as coodenadas de =,, em elação à base consideada. Vamos enconta as coodenadas de nessa base. = + =. Assim, = 0,,. Paa encontamos uma equação geal do plano DNX, vamos usa os vetoes: 3 1,1,1 e 2 0,1,1. Um ponto,, petence ao plano DNX se e somente se os vetoes: =,,, e foem lineamente dependentes, o que acontece se e somente se , ou seja, 0 é uma equação pocuada /26

3 c) Sabemos que o volume do tetaedo é calculado pela expessão: V =. Vamos toma como base o tiângulo ABC, já que pelos dados do poblema, a altua do tetaedo elativamente a essa base é igual ao módulo do veto, pois este tem a mesma dieção que o veto. A áea do tiângulo ABC é igual a: = sin =. Assim, o volume do tetaedo é igual a V= 2 =. 3/26

4 2) Sejam, e númeos eais. (a) Veifique que e são autovaloes da matiz 0. (b) Detemine todos os valoes de paa os quais a matiz é diagonalizável. 0 Justifique. 1 (c) Calcule RESPOSTA: a) O polinômio caacteístico da matiz é igual a: det = 0 As aízes de são os autovaloes da matiz. Potanto, a e b são os autovaloes pocuados. b) Denotemos po a matiz dada, que tem como polinômio caacteístico =. Assim, é autovalo da matiz com multiplicidade algébica igual a 2. Paa que a matiz seja diagonalizável, a multiplicidade geomética de deve se igual a 2. Essa multiplicidade é igual à dimensão do autoespaço associado a. Esse autoespaço é: =, R =0 0 =, R :=0. Esse espaço teá dimensão 2 se e somente se =0. c) Denotemos po a matiz dada. Queemos calcula potência da sua invesa. Pelo item (a), os autovaloes de são e, potanto, os autovaloes da invesa são: 2 e -3. Sabemos que os autoespaços de uma matiz e da sua invesa são os mesmos. Vamos enconta os autoespaços de : =, R : =0 =,0: R= 1,0. 0 Esse é o autoespaço de associado ao autovalo 2. + =, R : =0 =,: R=6, 5. Esse é o 0 autoespaço de associado ao autovalo -3. Chamamos = e temos que = Potanto, = = = = /26

5 3) Seja V um espaço vetoial sobe R, de dimensão finita, munido de um poduto inteno, e seja S um subespaço de V. Denota-se po o complemento otogonal de S em V. (a) Se 3 2 em que e, detemine o veto de mais póximo de. Justifique. (b) Sabendo que a dimensão de V é 3, que a dimensão de é 1 e que é o subespaço geado pelo conjunto 1,,0,0,1,,,1,0, em que denota uma base de V, detemine todos os possíveis valoes de. RESPOSTA: a) Sabemos que quando o espaço vetoial é de dimensão finita, a pojeção otogonal de um veto em um subespaço é o veto desse subespaço mais póximo do veto pojetado. Assim, pocuamos o veto. Po definição, e. Potanto, 2. b) Como é um espaço vetoial de dimensão finita, sabemos que =. Assim, concluímos que dim=2, pois dim =1 e dim=3. Dessa foma, o conjunto que gea deve se Paa isso, devemos te 1 1=0, ou seja, =0; assim, temos que =0, 0 0 =1, = 1. Obsevemos que, no conjunto dado, os vetoes 1,,0 0,1, são lineamente independentes paa qualque valo de, ou seja, dim 2 paa qualque. Poém, dim=2 somente quando =0,=1 = 1. 5/26

6 4) Dado o diagama de fases Cu-Ni, a segui, e supondo uma liga com 40% em peso de Níquel, pegunta-se: a) Qual a composição da(s) fase(s) da liga a 1400 o C e a 1260 o C? b) Existe alguma difeença ente os valoes das composições químicas do item (a) e a composição química da liga? Justifique. c) Qual a pocentagem da fase líquida na tempeatua de 1260 o C? d) É possível enduece po pecipitação esta liga? Justifique. RESPOSTA: a) A 1400 o C, a composição química do líquido é de 40% de Níquel e 60% de cobe. A 1260 o C, a composição química do líquido é de 32% de Níquel e 68% de cobe. A composição da fase α é de 48% de Níquel e 62% de Cobe. 6/26

7 b) Sim. Na tempeatua de 1260 o C as composições do líquido e da fase α são difeentes da composição química da liga. O motivo da difeença de composição está na difeença de solubilidade do Cobe no Níquel e também pela difeença de fação volumética das duas fases. c) A pocentagem de líquido é dada po: %L = (48-40)/(48-32)x100 = 50%. d) Não é possível enduece a liga po pecipitação poque não existe limite da solubilidade máxima do Cobe no Níquel (que é de 100%), que seia a condição paa a fomação de uma segunda fase paa popociona o enduecimento po pecipitação, nem a diminuição da solubilidade sólida com o abaixamento da tempeatua. 7/26

8 5) Considee a figua a segui, que elaciona o limite de escoamento com o tamanho de gão (d -1/2 ) paa uma liga metálica, que epesenta o enduecimento po efino de gão, dado pela elação de Hall-Petch. a) Detemine os valoes das constantes σ o e k y da elação de Hall-Petch do gáfico fonecido. b) Utilizando a elação de Hall-Petch, calcule o limite de escoamento (σ y ) paa essa liga quando o tamanho de gão (d) fo igual a 9,0 x 10-4 mm. c) Suponha que o tamanho de gão do item (b) seja especificado paa uma baa com áea de 0,001 m 2, sujeita a uma tensão de 275MPa. Qual o maio tamanho de gão adimissível paa que esta baa seja solicitada dento do egime elástico. Dada: elação de Hall-Petch : σ y = σ o + k y d 1 2 8/26

9 RESPOSTA: a) Cálculo dos valoes das constantes da elação de Hall-Petch paa o mateial. σ o = 25 MPa paa d -1/2 = 0. O valo de k y é dado pela inclinação da eta: k y = (200-25)/14= 12,5 MPa.mm -1/2 Assim, a elação de Hall-Petch paa o mateial especificado é: σ = ,5. d -1/2 b) Paa o tamanho de gão de 9,0 x 10-4, o limite de escoamento é: σ = ,5. (9,0 x 10-4 ) -1/2 = 441,67 a 442 MPa. c) O tamanho de gão máximo paa que a baa esista a uma tensão de 275 MPa, ainda no egime elástico, é dado po: 275 = ,5. d -1/2 d -1/2 = (250-25)/12,5 = 20 1/ d 1/2 = 1/20 d = mm Desta maneia, o tamanho de gão deve se meno que mm, paa que a baa não se defome plásticamente paa a tensão especificada de 275MPa. 9/26

10 6) A esistência à tação (LE) de um mateial poliméico semicistalino é dada po: em que: LE = limite de escoamento paa peso molecula infinito. = peso molecula numéico médio do polímeo. O esultado do ensaio de tação de dois polímeos com mesmo meo, poém com pesos moleculaes numéicos médios difeentes, está apesentado na tabela a segui: Limite de escoamento (MPa) Peso molecula numéico médio (g/mol) Com base nas infomações fonecidas, pede-se: a) Po que a esistência mecânica do polímeo aumenta com o aumento do peso molecula numéico médio? b) Detemina as constantes da equação acima. c) Qual o peso molecula numéico médio paa que o mateial esista a uma solicitação mecânica de 70MPa? RESPOSTA: a) O aumento do peso molecula numéico médio é devido ao emaanhamento das macomoléculas, que aumenta com o aumento do peso molecula numéico médio. b) Paa calcula a equação dos dados da tabela fonecida, tem-se: 40= (1) 80= (2) Subtaindo (2) de (1) obtém-se o valo de A: A= 1, MPa.g/mol Paa calcula LE (limite de escoamento paa peso molecula infinito) basta substitui o valo de A na equação (2), po exemplo. Assim, LE = 93,33 MPa. 10/26

11 Potanto: =93,33 1, c) O valo do peso molecula numéico médio do polímeo mínimo paa esisti a uma solicitação de 70 MPa é dado po: 70=93,33,. Logo, = g/mol. 11/26

12 7) Um combustível é fomado pela mistua ente ueia (CH 4 N 2 O) e hidogênio gasoso (H 2 ). Ambos estão isentos de água. Após a combustão completa dessa mistua, com a em excesso, os fumos da combustão foam analisados e a composição, em base seca, foi: 7% CO 2, 7% O 2, 86% N 2. Todas as pocentagens são em massa. a) Detemine a composição dos fumos (pocentagem em massa) em base úmida. b) Detemine o excesso de a utilizado na combustão. c) Sabendo-se que o pode caloífico supeio da ueia é 2924kcal/kg e o pode caloífico supeio do hidogênio é 34150kcal/kg, detemine o pode caloífico supeio da mistua dos dois combustíveis com a qual foi feita a combustão que poduziu os fumos caacteizados no enunciado. Dados: Massas atômicas: C=12; H=1; O=16; N=14. A: 21% Oxigênio; 79% Nitogênio (pocentagens voluméticas). RESPOSTA: a) Reações de combustão: -ueia: CH 4 N 2 O + 3/2 O 2 CO 2 + 2H 2 O + N 2 -hidogênio: H 2 + ½ O 2 H 2 O Base de cálculo: 100g de fumos secos. SUBSTÂNCIA MASSA (g)...número DE MOLS CO g ,16 O g ,22 N g ,07 Como o CO 2 só vem da ueia, pela estequiometia: CH 4 N 2 O + 3/2 O 2 CO 2 + 2H 2 O + N 2 1mol 1mol x 0,16mols x = 0,16mols de ueia paa cada 100g de fumos secos. Novamente pela estequiometia: CH 4 N 2 O + 3/2 O 2 CO 2 + 2H 2 O + N 2 1mol 1,5mols 1mol 2mols 1mol 0,16mols x 0,16mols y z 12/26

13 Donde se tem: x= 0,22mols de O 2 ; y = 0,32mols de H 2 O; z = 0,16mols de N 2. Paa o N 2 : -nos fumos: 3,07mols -da ueia: 0,16mols Potanto, associados ao a em excesso: 3,07-0,16 = 2,91mols de N 2. Essa quantidade coesponde a: - n(n 2 )/n(o 2 ) = 79%/21% = 3,76, o que fonece 0,77mols de O 2 utilizados na combustão (excesso + estequiomético). - Saem nos fumos 0,22mols de O 2 ; logo o total de oxigênio empegado na combustão foi: 0,77mols 0,22mols = 0,55mols de oxigênio. - Paa a ueia, empegaam-se 0,24mols de oxigênio. Assim sendo, paa o hidogênio foam utilizados: 0,55mols 0,24mols = 0,31mols de oxigênio. Da eação paa o hidogênio: H 2 + ½ O 2 H 2 O 1mol 0,5mols 1mol x 0,31mols y x = 0,62mols de hidogênio. y = 0,62mols de água. Composição do combustível paa 100g de fumos secos: 0,16mols de ueia e 0,62mols de hidogênio. Massas molaes: -ueia CH 4 N 2 O -hidogênio H x1+2x14+16=60g/mol 2x4=2g/mol Potanto, o combustível tem: *0,16mols de ueia e 0,62mols de hidogênio, o que coesponde a 20,5% de ueia e 79,5% de hidogênio (base mola). ou *9,60g de ueia e 1,24g de hidogênio, o que coesponde a 88,6% de ueia e 11,4% de hidogênio (em massa). Fumos úmidos: Em 100g de fumos secos, tem-se associados 0,32mols de água (da ueia), 0,62mols de água (do hidogênio), totalizando 0,94mols de água: SUBSTÂNCIA NÚMERO DE MOLS MASSA(g) %EM MASSA CO 2 0,16 7 6% O 2 0,22 7 6% N 2 3, % H 2 O 0, % b) n(o 2 eal) = n(o 2 teóico) + pn(o 2 teóico) p=excesso de oxigênio empegado 0,24+0,31+0,22=(0,24+0,31)(1+p) p=0,4, ou seja, empegou-se um excesso de 40% de a na combustão. c) PCS do combustível = (%massa de ueia)xpcs(ueia) + (%massa hidogênio)xpcs(hidogênio). PCS do combustível = 0,886x2924, ,114x34150 PCS do combustível = 6484kcal/kg de combustível. 13/26

14 8) Os seguintes mateiais estão disponíveis: - baa de feo metálico puo; - baa de cobe metálico puo; - baa de zinco metálico puo; - solução de ácido cloídico (HCl), 1M; - solução de um sal de zinco (Zn 2+ ), 1M; - solução ácida com ph desconhecido. São conhecidos os potenciais de eletodo padão, como mostados a segui: Cu e Cu E o = +0,347V Fe e Fe E o = -0,440V 2H + + 2e H 2 E o = 0,000V Zn e Zn E o = -0,763V Dado: Equação de Nenst: 0,0591 a E = E 0 + log z a oxidada eduzida em que E é o potencial de equilíbio foa das condições padão; E 0 é o potencial de equilíbio nas condições padão; z é o númeo de moles de elétons no sistema consideado; a oxidada epesenta as atividades das fomas oxidadas do sistema; a eduzida epesenta as atividades das fomas eduzidas do sistema; log epesenta o logaitmo decimal. a) Detemine se é possível utiliza feo puo, ou cobe puo, ou ambos indistintamente, ou nenhum deles paa mateial de evestimento de uma tubulação onde passaá uma solução de ácido cloídico 1M a 25 ºC e 1atm. Justifique a esposta. b) Detemine o ph da solução ácida com o ph desconhecido, sabendo-se que, ao se monta uma pilha com a baa de zinco metálico imeso em uma solução de seu sal (Zn 2+, 1M), conectada com um eletodo inete em que se obseva o despendimento de hidogênio gasoso (H 2 ) a 1atm, a foça eletomotiz medida foi de +0,5857V. Todo o sistema está a 25 ºC. ph = -log[h + ] RESPOSTA: a) Paa o feo puo: -eação catódica: 2H + + 2e H 2 E o = 0,000V -eação anódica: Fe e Fe E o = -0,440V 14/26

15 Coigindo-se os potenciais de equilíbio paa as condições dadas: Feo: E = E 0 + 0,0591 log z a a oxidada eduzida 0, = 0,440 + log = 0,6173V Paa o hidogênio: E = E 0 0,0591 a + log z a oxidada eduzida 0, = 0,0 + log = FEM = E(catodo) E(anodo) = 0 (-0,6173) = +0,6173V > 0. Logo, foma-se uma pilha espontaneamente e a coosão do feo ocoe. Assim, o feo é inadequado ao uso. Paa o cobe puo: -eação catódica: 2H + + 2e H 2 E o = 0,000V -eação anódica: Cu e Cu E o = +0,347V Coigindo-se os potenciais de equilíbio paa as condições dadas: Feo: E = E 0 + 0,0591 log z a a oxidada eduzida 0, = + 0,374 + log = + 0,1967V Paa o hidogênio: E = E 0 0,0591 a + log z a oxidada eduzida 0, = 0,0 + log = FEM = E(catodo) E(anodo) = 0 (+0,1967) = -0,1967V < 0. Logo, não se foma uma pilha espontaneamente e a coosão do cobe não ocoe. Assim, o cobe é adequado ao uso. b) Reações: -catódica: 2H + + 2e H 2 E o = 0,000V -anódica: Zn e Zn E o = -0,763V Coigindo os potenciais: Hidogênio: + 2 0,0591 aoxidada 0,0591 [ H ] E = E + log = 0,0 + log = 0,0591log[ H z a eduzida ] Zinco: E = E 0 0,0591 a + log z a oxidada eduzida 0, = 0,763 + log = 0,763V 2 1 FEM = E(catodo) E(anodo) = 0,0591log[H + ] (-0,763) = +0,5857V log[h + ] = -3,0, ou seja, - log[h + ] = 3,0 = ph da solução. ph da solução = 3,0 15/26

16 9) A enegia de ede de um cistal contém contibuições de todas as foças de atação e epulsão existentes ente as espécies que paticipam do cistal. Ela é dada po: q1q E = k d 2 em que k é uma constante de popocionalidade, q 1 e q 2 são as cagas envolvidas e d é a distância ente essas cagas. Consideando este fato, indique, paa os paes dados a segui, qual dos compostos apesenta a maio enegia de ede, justificando a esposta fundamentada na teoia das ligações químicas. a) CaO (óxido de cálcio) ou KF (fluoeto de potássio). b) NaF (fluoeto de sódio) ou CsI (iodeto de césio). Dados: Distibuição eletônica: Cálcio: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 Oxigênio: 1s 2 2s 2 2p 4 Potássio: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 1 Sódio: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 1 Flúo: 1s 2 2s 2 2p 5 Césio: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 4d 10 5s 2 5p 6 6s 1 Iodo: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 4d 10 5s 2 5p 5 RESPOSTA: a) CaO (óxido de cálcio) ou KF (fluoeto de potássio). Cálcio e potássio petencem ao mesmo peíodo da tabela peiódica e, assim, o tamanho dos dois cátions não deve difei muito. O mesmo ocoe com o oxigênio e o flúo. Potanto, a difeença mais significativa deve esta nas cagas pesentes em cada íon. Desta foma, a enegia de ede do CaO deve se maio que a enegia de ede do KF, já que, no CaO, tem-se Ca 2+ e O 2-, enquanto que no KF tem-se K + e F -. b) NaF (fluoeto de sódio) ou CsI (iodeto de césio). Nesta situação, todos os íons têm caga única, potanto, a difeença ente os tamanhos dos íons deve se o fato fundamental paa a enegia de ede. Os íons Na + e F - são menoes que os íons Cs + e I -. Assim, a enegia de ede do NaF deve se maio. 16/26

17 10) Dados o plano α e a eta : a) Repesente, po seus taços hoizontal (β π 1 ) e vetical (β π 2 ), um plano β que contenha a eta ; b) Repesente, po suas pojeções P 1 e P 2, um ponto P que petença simultaneamente ao plano α dado e ao plano β identificado acima; c) Detemine a inteseção (α β) ente os planos α e β; d) Detemine o ponto I, intesecção ente a eta e o plano α. Deixe claamente identificadas as suas espostas a cada item. 2 α π 2 π 2 π 1 1 α π 1 17/26

18 RESPOSTA: a) b) c) d) Escolheu-se um plano β de topo, mas podeia te sido escolhido outo qualque. 2 β π2 (α β) 2 α π 2 P 2 + I 2 + π 2 π 1 + P 1 + I 1 (α β) 1 β π 1 1 α π 1 18/26

19 11) Desenhe a pespectiva cavaleia da peça dada abaixo po suas vistas. Adota: α=30 no 2º quadante (ângulo das fugantes) e k=1/2. Desenhe a pespectiva em escala natual. Medidas em mm. 19/26

20 RESPOSTA: 20/26

21 12) Complete o conjunto de vistas abaixo, desenhando a vista supeio (1º. Diedo). RESPOSTA: 21/26

22 13) Dado um sistema de pontos mateiais P i, paa i = 1..N, de massas m i e velocidades v i, e sabendo que a enegia cinética de um ponto mateial P i é dada po /2, deduza a expessão do Teoema da Enegia Cinética (TEC) paa o sistema de pontos mateiais, =, em que τ é o tabalho de todas as foças atuantes no sistema e é a vaiação da enegia cinética. RESPOSTA: Tem-se: /2 => = /2=. /2=. =. Integando de 0 a t: = =. =. = = => = 22/26

23 14) A estutua em foma de T é homogênea e tem peso P. A extemidade A se apoia na paede (vetical) e a extemidade B se apoia no solo (hoizontal). A paede e o solo são de mateiais difeentes: o coeficiente de atito ente a estutua e o piso é µ e o coeficiente de atito ente a estutua e a paede é nulo. Pede-se: a) Detemina as coodenadas x G e y G do baicento da estutua em foma de T. b) Calcula a foça de atito ente a estutua e o piso no ponto B, supondo que a estutua esteja em equilíbio estático. c) Veifica se µ = 0,5 é suficiente paa mante o equilíbio. g y A C 45 o B x RESPOSTA: a) x = 0 G m L 2 2m L y G = = m 2m /26

24 b) Diagama de copo live A N A P F at B N B Equações de equilíbio: x = 0 F Fat = N A Fy = 0 N B = P 2 L 2 2 M = = Bz 0 N A 2L 2 P L P N A = 12 5 F at = 12 P c) No limite: F = µ N = 0,5P at B > 5P 12 Potanto, µ = 0,5 é suficiente paa mante o equilíbio. 24/26

25 15) No mecanismo mostado na figua, o ponto O é fixo, e a baa OD, de compimento L, possui veto de otação ω k 1= ω 1 (constante) em elação a um efeencial fixo. O disco de cento A e aio R possui veto de otação ω k 2= ω 2 e veto aceleação angula α = k em elação à baa OD. O ponto A possui velocidade v = vk (constante) em 2 α 2 elação à baa OD. O sistema de coodenadas Oxyz é fixo na baa OD e o veto ( P A) é paalelo ao eixo Oy. Consideando a baa OD como efeencial móvel, detemine, paa o instante da figua, a) as velocidades elativa, de aastamento e absoluta do ponto P ; b) as aceleações elativa, de aastamento e absoluta do ponto P. z L y P A R ω 2 O D x ω 1 v RESPOSTA: a) Velocidade elativa do ponto P: v P = v A + ω2 ( P A), em que A = vk P = ω Ri + vk el el v el Velocidade de aastamento do ponto P: Definindo ( A D) = zk, e obsevando que k //ω 1 O A = 0 2 v el z, v v + ( P O) PA v e ( P O) = Li Rj + zk v = ω Ri + Lj PA 1 ω 1 = 1 Velocidade absoluta do ponto P: v v + v v = ( + ) Ri + Lj + vk PAbs PA Pel PAbs OA = ω 1 ω2 ω1 ω, em que 25/26

26 b) Aceleação elativa do ponto P: a Pel em que = aa + & ω ( P A) + ( ( P A) ) el 2 ω2 ω2, a = 0 e & 2 ω = α k a = α Ri + Rj A el Aceleação de aastamento do ponto P: a PA em que ω2 Pel = ao + & ω A 1 1 ω1 a = 0 e & 2 ω = 0 = ω Li + O A Aceleação absoluta do ponto P: a = a + a + a, PAbs PA Pel ( P O) + ω ( ( P O) ) 1 PCo 2 1 ω1 ap A, Rj 2ω ω ω = ω ω em que ap = V k ( Ri vk ) Rj Co A P = 2 el = ( α R ω L) i + ( ω R + ω R + ω R)j ap Abs ω 2 26/26