CONTROLO DIGITAL CONTROLO. 3º ano 2º semestre 2005/2006. Transparências de apoio às aulas teóricas. Cap. 8 - Controlo Digital

Transcrição

1 CONROLO DIGIAL Licnciatura m Engnharia Elctrotécnica d Computador LEEC Dpartamnto d Engnharia Elctrotécnica d Computador DEEC CONROLO 3º ano º mtr 5/6 ranparência d apoio à aula tórica Cap. 8 - Controlo Digital Eduardo Morgado Abril Rvito m Outubro 3 odo o dirito rrvado Eta nota não podm r uada para fin ditinto daqul para qu foram laborada lccionação no Intituto Suprior écnico m autoriação do autor IS-DEEC-LEEC Controlo 5/6 Outubro 5 Controlo Digital - E. Morgado

2 CONROLO DIGIAL - flxibilidad na raliação do controlador programa d cálculo - poibilidad d controlo dinâmico aociado a dcião lógica - multiplxagm no tmpo rvindo divra cadia d controlo r k Computador + k algoritmo u k d controlo u t D/A G yt yk clock A/D y t Snor A/D : convror analógico-digital D/A : convror digital-analógico yt : inal m tmpo contínuo yk : inal m tmpo dicrto : príodo d amotragm yt yk t t i amotragm oprador variávl no tmpo ii iii iv quantificação oprador não-linar rolução do convror A/D quaçõ à difrnça q. algébrica adaptada ao cálculo por computador procamnto numérico com prcião d cálculo finita v tmpo d convrão + tmpo d cálculo no controlo analógico é praticamnt intantâno IS-DEEC-LEEC Controlo 5/6 Outubro 5 Controlo Digital - E. Morgado

3 QUANIFICAÇÃO 3 Erro d quantificação na convrão A/D rolução finita do convror Nívi d quantificação Sinal analógica d ntrada Caractrítica ntrada-aída d um convror A/D d 3 bit M : tnão máxima rprntávl n : númro d bit do convror Rolução variação mínima dtctávl no inal d ntrada: r M n rro d quantificação upondo arrdondamnto: M q n M n+ opração não-linar pod originar ocilaçõ d ciclo limit ruído d quantificação rolução do convror actuai comun : 4 bit Conidrarmo: rro d quantificação rolução do A/D rro d arrdondamnto prcião finita << amplitud do inai Analiarmo o fito do príodo d amotragm IS-DEEC-LEEC Controlo 5/6 Outubro 5 Controlo Digital - E. Morgado

4 AMOSRAGEM - Amotrador idal 4 x*t xt x*t 3... t Amotragm impuliva ou modulação por impulo Sja: { x t } X ω + * x t x t t k x k t k k δ + k * * F F { x t } X ω δ ddu- qu: * X ω + X ω kω k ω π : frquência d amotragm o pctro do inal x*t rultant da amotragm impuliva d xt, é a obrpoição d um conjunto infinito d réplica do pctro d xt ditanciada na frquência d ω π/. Srá poívl rcuprar o inal xt a partir do inal amotrado x*t? Sim...: i xt for d banda limitada ii utiliar um filtro paa-baixo idal orma da amotragm IS-DEEC-LEEC Controlo 5/6 Outubro 5 Controlo Digital - E. Morgado

5 EOREMA DA AMOSRAGEM 5 Um inal xt d banda limitada é intiramnt dfinido pla ua amotra π xn, n, ±, ±,..., a frquência d amotragm ω for plo mno dua v uprior à frquência máxima do inal ω M : ω > ω M O inal xt podrá r rcontruído a partir da amotra obtida por amotragm impuliva x*t utiliando um filtro paa-baixo idal d ganho largura d banda ω c : ω M <ω c < ω - ω M δ t-k Hj ω xt x*t Hω xt ω c ω c ω Xω - ω M ω M X*ω - ω - ω ω ω X* ω - ω ω aliaing!

6 6 Rpota impuliva do filtro paa-baixo idal: com ω ω / π c / h t F πt πt { H ω } n não-caual! inal à aída d Hω: x t h t x * + π t k x k inc t k A função inc fa a intrpolação da amotra

7 REENOR DE ORDEM ZERO ZOH Zro Ordr Hold 7 xt x*t ZOH x h t xt x h t 3... t x h t provém da rtnção do valor da amotra durant o intrvalo d amotragm Rpota ao impulo: ht ut ut- δt ZOH Função d tranfrência: H L{ h t } ZOHjω Não é filtro paa-baixo idal -ω -ω ω ω x h t + x k k + * { h t x t } [ u t τ u t τ ] x τ δ τ k [ u t k u t k ] + k Intrpolação da amotra xk por polinómio d ordm ro O convror D/A mai utiliado funcionam no modo ZOH

8 RANSFORMADA Z 8 * t Sja x o inal rultant da aplicação do amotrador idal ao inal caual x t * x t + + x t δ t k x k δ t k k k * tom- a rpctiva tranformada d Laplac X : + * * t + k X x t dt x k k dfinindo a variávl como:, vm: * + k X X x k k Na variávl tmpo dicrto k, crv-: X + x k [ k] k qu é a ranformada-z unilatral da quência x[k]. Alguma Propridad: - torma do valor inicial: x[ ] X lim + - torma do valor final: x[ k] X lim k + lim ganho tático: - convolução: Z { x[ k] y[ k] } X Y n - difrnça: Z{ x[ k n] } X G condiçõ iniciai nula

9 9 RELAÇÂO ENRE OS POLOS DE X E OS POLOS DE X Exmplo: xt x[k] t at inal analógico: x t u t X ROC : R > a + a ak inal amotrado: x k u k + ak k k a a X ROC : > a dond, ntr o polo d X, -a, no plano-, o polo d X, -a, no plano-, obrva- a rlação m qu é o príodo d amotragm Eta rlação, ntr o polo da tranformada d Laplac d um inal m tmpo contínuo o polo da tranformada-z do inal rultant da amotragm com príodo, é gral. Ma não há uma rlação gral ntr o ro da tranformada!

10 ESABILIDADE Polo no Smiplano Complxo Equrdo: σ ± jω com σ < Corrpondnt no plano-: σ ± jω > σ Dond: σ < < Condição d tabilidad aimptótica para itma cauai m tmpo dicrto dcrito por funçõ d tranfrência racionai m : todo o polo no intrior do círculo unitário no plano- Conhcmo a rlação: localiação d polo no plano- rpota tranitória m tmpo contínuo atravé da aplicação infrimo a rlação: localiação d polo no plano- rpota tranitória m tmpo dicrto

11 LOCALIZAÇÂO DE POLOS NO Plano- RESPOSA RANSIÓRIA polo no plano- caractrítica da rpota tranitória S%, t, ξ, t p,... polo no plano- caractrítica da rpota tranitória r θ σ ± jω,, σ ± jω σ ± jω r ± jθ - lugar gométrico σ ct. no plano- t. tablcimnto, ou ξω n, contant ct. circunfrência d raio r σ no plano- - lugar gométrico ω ct. no plano- t. d pico, ou ω d, contant arg ct. radial formando ângulo θ ω no plano- - lugar gométrico amortcimnto ξ ct. piral logarítmica no plano- - o limiar d tabilidad é a circunfrência d raio unitário no plano- - a viinhança do ponto + corrpond à viinhança do ponto - o ixo ral ngativo no plano- rprnta a frquência frquência d Nyquit ; ω > ω / aliaing! π ω

12 FUNÇÃO DE RANSFERÊNCIA DISCREA ou pulada Objctivo: dduir a função d tranfrência G qu rlaciona a quência numérica uk forncida plo computador ao convror D/A no modo ZOH, com a quência numérica yk à aída do convror A/D Por dfinição: G é a ranformada-z da rpota y[k] ao impulo δ[k] uk ut yt yk D/A G A/D ZOH G ndo m conta a intrpolação raliada plo ZOH: u [ k ] δ [ k ] u t µ t µ t µt: calão unitário U Y U G G A quência d aída pod ntão r xpra por: y [ k ] y t L Y L G t k t k é um atrao corrpondnt a um príodo d amotragm : G Ζ { [ ]} Ζ y k L G t k Ζ L t k G t k Em notação abrviada: G G Ζ Equivalnt dicrto d "G prcdido d ZOH"

13 EXEMPLO: 3 Controlo Analógico a G + a li d controlo: u t K t K[ r t y t ] r t + t K u t G y t plano Im Y R KG + KG x -a R Controlo Digital rk uk ut yt Computador D/A ZOH G yk A/D i - Cálculo do quivalnt dicrto d G prcdido do ZOH modlo do itma vito plo computador no intant d amotragm G G Ζ G a + a G a + a + a L G µ t at µ t µ t : calão unitário para não confundir com o inal d comando u t

14 4 ak µ O corrpondnt inal amotrado é: µ k k Então: G ak Ζ{ µ k µ k } a a a a a ii- Li d controlo proporcional: u k K k K[ r k y k ] r k + k uk yk K G I m plano - -a x R Y R KG + KG Notar qu: - a rgra d contrução do root-locu no plano- ão idêntica à utiliada no plano-; a intrprtação é qu é difrnt - o valor do polo d G dpnd do príodo d amotragm - o itma d ª ordm m tmpo dicrto não é távl para todo o K>, ao contrário do u análogo m tmpo contínuo

15 5 Dtalh do Root-Locu Análi do polo m malha fchada a a a a a a a k k k k KG KG R Y a a a a k k R x - plano -a m I fchada malha m intávl é itma k k para critico < >,

16 PROJECO DO CONROLADOR DIGIAL Algoritmo 6 Problma: Dtrminar a quação à difrnça ou a corrpondnt função d tranfrência C a programar no computador para obtr o comportamnto djado do itma m malha fchada Dua via: I - Obtr o modlo dicrto da plant G G projctar o controlador no plano- PROJECO DIRECO projcto no plano- prcdido da dicrtiação do itma ZOH G G - - Z Epcificaçõ polo no plano- dominant... G polo no plano- Projcto no plano- C II - Projctar o controlador no plano-, C, dtrminar um quivalnt no plano-: C C PROJECO POR EMULAÇÂO projcto no plano- guido da dicrtiação do controlador G colha d Epcificaçõ polo no plano- dominant... Projcto no plano- C C - método d utin - mapamnto polo ro -...

17 EXEMPLO: 7 r k + k algoritmo u k d controlo D/A ZOH u t G yt yk A/D Computador a G com a,5 + a pcificaçõ da rpota ao calão : - rro m rgim prmannt nulo - Sobrlvação 6 % - mpo d tablcimnto 5 % g Objctivo: Dimnionar um controlador digital por forma a cumprir aqula pcificaçõ C K α β PROJECO DIRECO Dado: G pcificaçõ da rpota tmporal m tmpo contínuo Etapa do projcto: i G Ζ G G para convror D/A no modo ZOH iii pcificaçõ polo djado no plano- iii colha dimnionamnto do controlador C iv imulação ajut d parâmtro polo djado no plano- via adquada a: itma rápido procador lnto frquência d amotragm limitada plo procador

18 8 PROJECO DIRECO projcto no plano-, prcdido da dicrtiação do itma é dado o príodo d amotragm: g i G G Ζ... a a,393,67 dtrminado antriormnt ii S 6 % ξ,54 t 5% g 3/ ξ ω n ξ ω n,3 ω d,5 polo djado no plano- upoto dominant :, -,3 ± j,5 polo djado no plano- : -,3 ± j,5 -,3 [co,5 ± j n,5 ],647 ± j,36 iii rro m rgim prmannt nulo para ntrada calão β Controlador Proporcional Intgral PI dicrto C K α motr qu o dnominador - anula o rro tático ao calão

19 iv dimnionamnto do controlador 9 R + E U Y C G Y R C G + C G α.393 quação caractrítica: + K.,67,67 + K α,393 polinómio caractrítico djado:,647 ± j,36,94 +,55 por idntificação do polinómio caractrítico, calcula-: K,796 α,8 C,8,796 quação à difrnça a implmntar no computador: U,8,796 E U U,796E,45E dond: ou: u n + u n,796 n +,45 n u n u n +,796 n,45 n

20 rpota ao calão yk: Y R,33,569,94 +,55.4 Stp Rpon. Amplitud projcto dircto g im c. Rpota ao calão m tmpo dicrto Root-locu - f.t.malha abrta: K Root Locu.5 Imaginary Axi projcto dircto plano Ral Axi Root-locu notar a circunfrência unitária, o polo ro da malha abrta o polo projctado da malha fchada

21 Voltando à quação à difrnça rultant do projcto: u n u n +,796 n,45 n... a aída u dpnd da ntrada no mmo intant d amotragm... Impoívl d raliar, porqu xit um tmpo finito d latência para o cálculo d un! doi procdimnto poívi: a - Convror A/D D/A não incroniado - O convror D/A pra plo rultado do cálculo. S o tmpo d cálculo tmpo d latência << ~/ aqula quação à difrnça é uma boa aproximação do proco ral. b - Convror A/D D/A incroniado - Introdu- um atrao unitário - corrpondnt a um príodo d amotragm ou ja, ataca- dirctamnt o facto d havr um príodo d latência, polo adicional do controlador m. Adoptando t último procdimnto atrao unitário: R + E U Y C G C U α E K. havrá, ntão, qu rfar o dimnionamnto:.393,67 α quação caractrítica: + K.,67 + K α,393

22 polinómio caractrítico djado:,647 ± j,36,94 +,55 x notar qu o polinómio caractrítico é d 3º grau além do polo projctado djado xit um trciro polo x. n m polo da malha abrta polo da malha fchada tmo: n m ++,67,647 + j,36 +,647 j,36 + x x,33,94 +,55,33 por idntificação do polinómio caractrítico, calcula-: K,885 α,495,495 C,885 quação à difrnça a implmntar no computador: U E,495,885 U U,885E,8 E dond: u n + u n +,885 n +,8 n ou: u n u n +,885 n,8 n aim, a aída do filtro digital no intant d amotragm n rulta d dado d ntrada rfrnt a intant d amotragm antrior.

23 3 rpota ao calão yk: Y R,3478,7 3,67 +,955,7.4 Stp Rpon. Amplitud projcto dircto g c/ atrao unitário im c. Root-locu - f. t. malha abrta: K Root Locu.5 Imaginary Axi projcto dircto plano Ral Axi

24 4 PROJECO POR EMULAÇÃO projcto no plano-, guido da dicrtiação do controlador Dado: G pcificaçõ da rpota tmporal m tmpo contínuo Etapa do projcto: iv Epcificaçõ polo djado no plano- colha dimnionamnto do controlador C v colha do príodo d amotragm vi iv controlador digital quivalnt C imulação ajut d parâmtro No EXEMPLO prnt, rcordando: rk + k algoritmo uk d controlo D/A ZOH ut G yt yk A/D Computador itma plant:,5 G +,5 pcificaçõ da rpota ao calão : - rro m rgim prmannt nulo - Sobrlvação 6 % - mpo d tablcimnto 5 % g

25 5 i projcto do controlador C no plano- polo djado no plano- upoto dominant :, -,3 ± j,5 atrá dduido R + E U Y C G rro m rgim prmannt nulo, para a ntrada calão controlador PI C K + a Y R C G + C G + a.5 quação caractrítica: + K. +,5 +,5 + K + a,5 polinómio caractrítico djado:, -,3 ± j,5 +,6 +,35 por idntificação do polinómio caractrítico, calcula-: K, a 3,5 C, + 3,5

26 6 rpota ao calão: Y R, + 3,5 +,6 +,35.4 Stp Rpon. Amplitud controlo analógico im c Root-locu f. t. da malha abrta:, + 3,5,5 K +,5 + 3,5 +,5 3 Root Locu Imaginary Axi - - controlo analógico plano Ral Axi

27 Problma : Dado C qual o controlador quivalnt C? i.., como obtr o quivalnt dicrto d um filtro contínuo? Não há uma olução xacta! porqu C tm aco apna à amotra do inal d ntrada no intant d amotragm, nquanto C proca continuamnt no tmpo. Rfrimo doi método ntr outro... ncariamnt aproximado I - Mapamnto do polo do ro - o polo d C d C rlacionam- como. - o ro d C d C rlacionam- como. - ganho tático iguai: C C é atrant pla implicidad II - Método d utin ou da tranformação bilinar baia- numa aproximação numérica da intgração: ja o intgrador: U C u t t τ dτ E ou k u k u k + t dt k aproximando aqul intgral no intrvalo pla ára d um trapéio intgração trapoidal : u k u k + + k [ k ]

28 8 aproximando aqul intgral no intrvalo pla ára d um trapéio intgração trapoidal : [ ] k k k u k u + + na tranformada-z : C E U + C E U dond, aqula aproximação numérica corrpond à rlação: + + tranformação bilinar Problma : como colhr o príodo d amotragm? π ω Largura d Banda -3dB da malha fchada [G.F.Franklin,J.D.Powll,M.L.Workman,DigitalControl of Dynamic Sytm, Addion-Wly] not- qu, adoptando a via do Projcto Dircto no plano- podm utiliar- frquência d amotragm ω mnor com rultado acitávi t t k- k

29 9 Rtomando o EXEMPLO d projcto por mulação: vii colha do príodo d amotragm L.B. -3dB da malha fchada: Y jω R jω, jω + 3,5 Y. jω +,6 jω +,35 R ω LB,75 rad/ ω,75 5 rad/,4 g iii controlador digital quivalnt C utiliando o método d utin ou da tranformação bilinar: + 3,5 C, rultant do projcto no plano-,4 g + + obtm-:,34 C,76 viii imulação para imular trmo d achar o modlo dicrto do itma, G, para,4 g : G G Ζ... a a,8,89

30 rpota ao calão: Y R,65,9,758 +, Stp Rpon. Amplitud Método d utin.4 g im c. O qu acontcrá na colha do príodo d amotragm no dviarmo π do critério ω Largura d Banda -3dB da malha fchada? Sja g :.4 Stp Rpon. Amplitud Método d utin g im c. Y,6 +,59 R,39 +,666,393 G,67 C +,73,55

31 3 Com g. obrva- uma dgradação da rpota dinâmica fac à colha d,4 g, com afatamnto ignificativo da pcificaçõ rcord- contudo qu na via Projcto Dircto f- g com bon rultado! A modificaçõ na rpota tmporal tão aociada à dpndência da localiação do polo no plano- com o valor do príodo d amotragm. calcul o polo da malha fchada para o doi cao antrior,,4, jutifiqu a altraçõ obrvada na rpota ao calão Na rpota tmporai obtida, vrificou- mpr qu a pcificaçõ dinâmica nunca ram rigoroamnt atifita; tal dv- ou à aproximaçõ inrnt à convrão plano-/plano- ou ao polo projctado d ª ordm não rm uficintmnt dominant o pao guint do projcto ria o ajut do parâmtro do controlador m imulação na viinhança do valor calculado.