ANÁLISE DINÂMICA DE UMA VIGA DE TIMOSHENKO APOIDA SOBRE BASE ELÁSTICA UTILIZANDO EQUAÇÕES INTEGRAIS: UM CASO PARTICULAR

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1 VIII ERMAC 8 o Encontro Regional de Mateática Aplicada e Coputacional - de Novebro de 8 Univeridade Federal do Rio Grande do Norte Natal/RN ANÁISE DINÂMICA DE UMA VIGA DE TIMOSHENKO APOIDA SOBRE BASE EÁSTICA UTIIZANDO EQUAÇÕES INTEGRAIS: UM CASO PARTICUAR Souza, M. R. A. Depto de Engenharia Mecânica, ES, UFPB, BR 3, João Peoa, PB arcioouza@ct.ufpb.br Mendonça, A. V. Depto de Tecnologia da Contrução, ABEME, UFPB, BR 3, João Peoa, PB endonca@ct.ufpb.br Reuo: E geral, o eprego da teoria de Tiohenko na concepção do odelo de viga ubetida a carregaento dinâico traz, coo coneüência, reultado ai conitente do ue o obtido co o odelo de viga de Euler-Bernoulli. Epecialente uando e trata de elevado valore de freüência de excitação ou enore razõe de apecto na viga. Método nuérico coo o de eleento finito e eleento de contorno tê ido utilizado e análie dee tipo. No entanto, a olução de tai problea por eio de eleento de contorno é uito dependente da diponibilidade ou deduzibilidade da chaada oluçõe fundaentai. No preente trabalho, ua aplicação epecífica da teoria de Tiohenko a ua viga apoiada obre ua bae elática, repreentando, nee contexto, ua fundação ou tipo de aorteciento, exige alteraçõe na euação diferencial governante da deflexão, be coo na olução fundaental do itea de euaçõe, repreentado no doínio de aplace. Dea fora, o valore deconhecido do contorno pode er deterinado (étodo de eleento de contorno). E coneüência dio, o valore de rotação e deflexão tabé pode er obtido e ponto arbitrário ao longo do vão da viga. Palavra-chave: Viga de Tiohenko, Método de eleento de contorno, Bae elática, Doínio de aplace. Introdução O odelo propoto por Tiohenko para viga é, e deterinada ituaçõe, be ai próxio da realidade do ue auele advindo da teoria de Euler- Bernoulli []. Tal refinaento e deve a contribuição do efeito do cialhaento no coportaento dee corpo (delocaento e rotaçõe), verificado e viga ob a ação de carregaento uaiuer, principalente no cao co oderada razõe de apecto (relação entre o copriento da viga e a altura de ua eção tranveral). Outra vantage do referido odelo e dá e análie dinâica, ue ão eenciai para a deterinação da freüência naturai, e faixa de reonância e projeto de viga e eixo. Nee contexto o detaue e dá devido a natureza hiperbólica da euaçõe, e contraponto à caracterítica elíptica da viga de Euler-Bernoulli [7]. A olução da euaçõe contituinte do odelo de Tiohenko é, para cao uito retrito, obtida na literatura epecializada por étodo analítico [,3,4,3]. Quando ee étodo não atende à condiçõe ipota pelo problea, faz-e uo de étodo nuérico [9,,5]. Nee ultio, o étodo de eleento finito (MEF) é ai freüenteente aplicado. No últio ano, o étodo de eleento de contorno (MEC) tê ido ua opção cada vez ai aplicável na olução de problea de engenharia, endo então ua alternativa ao uo do já conolidado MEF. Para a viga de Euler-Bernoulli, Providaki e Beko [] fora o prieiro a aplicar o MEC e problea de vibração devido a flexão forçada. Ante [5] deenvolveu, tabé via MEC, a olução para o problea de flexão etática utilizando o odelo de Tiohenko e, recenteente, para problea dinâico avaliado no doínio de aplace e da freüência [6]. Diante dee contexto, o preente trabalho e propõe a aplicar o étodo de eleento de contorno na olução do cláico problea da viga de Tiohenko obre ua bae elática [8], a fi de avaliar a influência da rigidez da fundação no delocaento, rotação e freüência reonante da viga e uetão. Para io, o problea foi avaliado no doínio de aplace e poteriorente no doínio da freüência para iplificar a dedução da euaçõe fundaentai, neceariaente reforulada devido à inerção do tero de rigidez na euaçõe ue contitue o odelo de avaliado.

2 Neceitou-e tabé retringir a agnitude da rigidez da fundação elática para u valor elevado e relação ao utilizado na literatura, a fi de e evitar reultado na fora de núero coplexo. Euaçõe governante Quando ubetida a carregaento etático ou dinâico, a viga e defora devido a deflexão e rotação. No odelo propoto por Euler-Bernoulli a parcela dea rotação devido ao cialhaento γ não é coniderada, ua vez ue ua de ua hipótee é a perpendicularidade da eção tranveral à linha neutra e todo o ponto da viga durante a flexão. A contribuição da rotação devido ao cialhaento γ é coniderada no odelo propoto por Tiohenko [] na fora: u( = ϕ( + γ ( () Ai, ubtituindo a euação na relação eleentar do eforço cortante (euação 3) e coniderando a euação para o oento fletor, te-e: (, ) M x t ( ϕ = EI (, ) () u x t V ( = κgaγ = κga + ϕ( (3) Onde EI é a rigidez de flexão da viga, A a área da eção tranveral, G o ódulo de elaticidade tranveral e κ é o fator de correção de cialhaento, neceário para converter a ditribuição de tenão de cialhaento na eção tranveral e u valor édio. z Figura l: Ilutração da viga obre bae elática Coniderando o euilíbrio dinâico na direção z realizado na viga ilutrada na figura, te-e a eguinte euaçõe ue rege o problea propoto: V x t,, + ( Ku( = ρ A M xt x u x t t ( x, ϕ, V ( + ( = ρi (4) (5) t Onde ( e ( ão, repectivaente, o carregaento e oento fletor dinâico ditribuído ao longo da viga. O parâetro K é a rigidez da bae elática (figura ). Subtituindo a relaçõe () e (3) na euaçõe ue rege o odelo propoto chega-e ao itea acoplado de euaçõe. ( x u t t B = (6) ϕ, t Onde: B κga ρa K κga x t x = κga EI κga ρi t Tendo e vita a neceidade de upriir a dependência do tepo na euaçõe 4 e 5, conve utilizar a técnica da traforada de aplace co repeito ao tepo. Dea fora κga ρa + K κga x x B = κga EI κga ρi (7) No preente trabalho a análie dinâica da viga é deenvolvida tabé no doínio da freuência, coniderando ue a excitação é harônica [6]. E função dio = iω, onde i = - e ω é a freuência de excitação da viga. Solução fundaental Para a teoria de Tiohenko a oluçõe fundaentai ão o delocaento, a rotação, be coo a reaçõe de ua viga infinita ubetida a ua x = δ x x e força ou oento pontuai ( δ ( x =, repectivaente, atuando e u ponto ualuer x ue eteja contido entre o extreo e (figura ). No doínio de aplace o itea de euaçõe acoplada reulta e: ( ) BG = I δ x x (8) Onde, D S K D x x B = D D D S (9) u ( ) ( x u G = ϕ (, ) (, x x ϕ x () δ ( xx ) I δ ( x x ) = δ ( x x ) () Para o uai, D S = κga, D = EI, S = ρ A e = ρi. A oluçõe fundaentai ão deterinada a partir da relação entre o ecalar ψ e a atriz de cofatore, tal ual propoto por Hörander [], logo:

3 CO G = B ψ () B ( B ) = I, onde ( B ) CO ( ) det ( B ) = B CO ψ det ψ δ ( ) () BG = B B = B I =I x x (3) Dea fora, ( B ) det = D S K D D S (4) D D det DD DS SD DK ( B ) = ( + + ) ( DS SS DK S K) 4 4 (5) Fazendo λ =, e ubtituindo na euação 5, tee coo raíze da euação de egundo grau λ e λ x : K λ, = + + ± c c D c Onde, c Kc c D A = + + Ac c Kc c I c D D (6) (7) No etudo de Ante et al. [6], verifica-e ue confore fore o valore de λ e λ, e terá diferente euaçõe repreentando ψ. No entanto, na referência citada, é epre poitivo. Io indica ue a raíze erão epre reai. Coniderando a inerção da bae elática K, na euaçõe acia, te-e raíze poitiva apena para u elevado valor de K. Para valore ai oderado é negativo, reultando e raíze coplexa. Dea fora, o odelo propoto fica retrito a ituaçõe onde a rigidez da fundação é uae infinita. Contudo tal aplicação é tabé válida, ua vez ue e verifica no reultado a forte influência dea rigidez no delocaento e rotaçõe da viga analiada. Ai, ubtituindo na euação 5 a raíze λ e λ, (ue ão poitiva) obtida na euação 6 e eguindo a euação 3, tal ual detalhado e [6], obté-e, para ua faixa de freüência entre e 4,5x 4 rad/ ua expreão ue atifaça à poitividade da dua raíze. λ r λ r e e ψ = (8) DD ( λ λ) λ λ e coneüenteente deterina-e G pela relação, deterinando-e por fi a oluçõe fundaentai do delocaento e rotação para a dua euaçõe propota (euaçõe 4 e 5). * λ r e D + S u ( = λ D( λ λ) λ D λ r e D+ S λ λ D * gn r λr λr * u (, ), x x = e e =ϕ x x D λ λ r( λ+ λ ) * e r λ ϕ ( xx, ) = e ( K S+ Dλ) λ DD λ ( λ λ) λ r λ () + e ( K S+ Dλ) λ Vu Vu + Mϕ M ϕ + { " ' " ( ) Du Su + Ku + Dϕ u+ Dϕ D + S ϕ * D u ' } ( ϕ dx u ) ϕ dx (8) = + () Utilizando a relaçõe e 3 é poível deterinar o oento e cortante fundaentai para a dua euaçõe acoplada. ogo: r( λ ) + λ gn r e * r λ r λ V ( = e ( S Dλ) + e ( S + Dλ) D( λ λ) () ( λ ) λ ( ) ( ) r + * e K S r V ( = e λ e D λ λ λ λ * r λ r λ M (, x = e λ e λ λ λ r λ+ λ λ r λ * e r λ M ( = e ( K S+ Dλ ) D( λ λ) r λ e ( K S+ Dλ ) λ (3) (4) (5) Forulação da euação integral A euação integral do itea (6) é obtida ultiplicando-e por ua integral o ponderador G, ue é a atriz de oluçõe fundaentai (, ) (, ) ( xx, ) ( xx, ) l u x x u x x u x x B + dx = ϕ x x ϕ ϕ (6) Integrando por parte a euação 6 chega-e e: Vu Vu + Mϕ M ϕ + { " ' " ( ) Du Su + Ku + Dϕ u+ Dϕ D + S ϕ * (7) Du ' } ( ϕ dx u ) ϕ dx = + (9) 3

4 Utilizando o efeito de filtrage do delta de Dirac ( δ ( x )) e coniderando a relação etabelecida na euação 8, obte-e a euação integral do delocaento e rotaçõe da viga. u ( ) ( x ϕ ( u (, ) (, x x ϕ x u (, ) (, ) x x ϕ x x V ( u (, ) (, ) x x ϕ x x M ( u x x = dx + ϕ x V (, ) (, x x M x u ( V (, ) (, ) (9) ( x x M x x ϕ Validação nuérica Para validar a euação integral obtida (euação 9) no odelo da viga obre bae elática é neceário ue e faça ua avaliação do étodo nuérico utilizado. Dee odo, o reultado obtido fazendo K = (e bae elática) deve er uficienteente próxio dauele publicado por Ante et al., 4 [6] para a ea condiçõe iulada. Na tabela etão elencado o valore da freuência ue provoca reonância para ua excitação arônica pulante no ponto édio do vão de ua viga de aço co de copriento. Tabela : Valore de freuência de excitação reonante para validação de odelo nuérico Valore de freuencia ω (Hz) Ante et al.,4 Souza e Mendonça 35,5 35,53 76,5 76,46 77, 77,3 84,9 84,56 Co a elevada rigidez da bae elática e epera ue o delocaento e rotaçõe eja uae nulo. Io pode er contatado na figura, onde a freuência ue caua reonância da viga ilutrada na figura ão coparada co e e o tero correpondente a fundação elática K E-5-5E Ponto de reonância Se bae elática Co bae elática Freuencia, f (Hz) Figura : Reonância para a viga apoiada obre bae elática e co vão livre (linha tracejada) Verifica-e na figura ue, devido a alta rigidez utilizada na bae elática, não ocorre reonância na viga apoiada obre a bae elática (linha cheia), uando coparada à viga e bae elática (linha tracejada). Na figura 3 a 6 contata-e ubtancial redução da deflexõe e rotaçõe na viga apoida e bae elática para faixa de freuência ditante dauela ue caua reonância Reultado obtido Tendo e vita o dado contido na tabela, a euação integral deenvolvida nete trabalho reolve, co razoável confiabilidade, o problea propoto e [6] de aneira ue a inerção de K na euação integral reulta na euação 3. Na tabela etão diponívei o dado de entrada do preente cao. Tabela : Dado de entrada do problea propoto E = GPa G = 8 GPa h = b =, = ρ = 785 kg/ 3 κ = 5/6 / = N / K =. TPa Deflexão, u () Deflexõe na viga Co bae elática, 5 Hz Se bae elática, 5 Hz Co bae elática, 5 Hz Se bae elática, 5 Hz Copriento da viga, () Figura 3: Deflexão de viga para ω de 5 e 5 Hz 4

5 3E-6 Deflexão, u () E-6 E-6 -E-6 -E-6-3E-6-4E-6-5E E-6 6E-6 5E-6 4E-6 3E-6 E-6 E-6 -E-6 -E-6-3E-6-4E-6 Rotação na viga Co bae elática, 5 Hz Se bae elática, 5 Hz Co bae elática, 5 Hz Se bae elática, 5 Hz Copriento da viga, () Figura 4: Rotação de viga para ω de 5 e 5 Hz Deflexõe na viga Co bae elática, 4 Hz Se bae elática, 4 Hz Co bae elática, 45 Hz Se bae elática, 45 Hz Copriento da viga, () Figura 5: Deflexão de viga para ω de 4 e 45 Hz Para valore de freüência próxio do ponto de reonância (figura 7 e 8) e verifica delocaento e rotaçõe ai ignificativo na viga e o apoio da fundação do ue o contatado na figura 3 a 6. Tal ituação e dá pela freüência de excitação ipota (3 e 4 Hz), onde a viga pode chegar ao colapo devido à reonância, coo vito na figura. Já para o odelo da viga apoiada obre a bae elática, verificae a auência de deflexõe e rotaçõe ignificante, jutificada pelo elevado valor da rigidez ue e reflete na auência de freüência ue caue reonância (ver figura ) e por ua vez é coneüência da neceidade de anter o parâetro da euaçõe trabalhada no conjunto do núero reai ( poitivo), facilitando então a anipulação e obtenção do reultado. Deflexão, u () E-5 6E-5 4E-5 E-5 -E-5 Deflexõe na viga Co bae elática, 3 Hz Se bae elática, 3 Hz Co bae elática, 4 Hz Se bae elática, 4 Hz Copriento da viga, () Figura 7: Deflexão de viga para ω de 3 e 4 Hz Rotação na viga Co bae elática, 3 Hz Se bae elática, 3 Hz Co bae elática, 4 Hz Se bae elática, 4 Hz -5E-6-6E-6-7E-6-8E-6-9E-6 -E-5 Rotação na viga Co bae elática, 4 Hz Se bae elática, 4 Hz Co bae elática, 45 Hz Se bae elática, 45 Hz -4E-5-6E-5-8E Copriento da viga, () Figura 6: Rotação de viga para ω de 4 e 45 Hz Copriento da viga, () Figura 8: Rotação de viga para ω de 3 e 4 Hz 5

6 Concluão No ue e refere ao odelo da viga aui idealizado egundo a hipótee de Tiohenko, verificou-e o já eperado. Ito é, ue a inerção do tero referente à bae elática na euaçõe ue rege eu coportaento teve por coneüência ua iportante aenização do delocaento e rotaçõe para a faixa de freüência avaliada ( a 4.5x 4 rad/). No ue e refere ao étodo de eleento de contorno, nota-e a contribuição aui preente na forulação da euação integral co a adião do tero referente à fundação elática de aneira a adaptar ua ituação, já avaliada nuericaente por Ante et al., 4, ao étodo do eleento de contorno. Contudo, no reultado aui apreentado liitou-e o valor da rigidez da bae elática a u núero tal (tabela ) ue culinae e valore reai na raíze da euação 6. Para valore de K ai oderado e copatívei co o adotado na literatura, ter-e-ia a variávei λ e λ obtida e núero coplexo, reultando por coneüência e delocaento e rotaçõe tabé dado e núero coplexo, ue eria ai difícei de tratar, be coo de uantificar e coparar a referida incógnita. [8] Hetenyi, M. Bea of elatic foundation, Univerity of Michigan Pre, Ann Arbor, Michigan (946) [9] K.K. Kapur, Vibration of a Tiohenko bea, uinga finite eleent approach, Journal of the Acoutical Society of Aerica 4 (966) [] R.E. Nickel, G.A. Secor, Convergence of conitently derived Tiohenko bea finite eleent, International Journal for Nuerical Method in Engineering 5 (97) [l] S. Tiohenko, D.Y. Young, Vibration Proble in Engineering, 3rd Edition, D. van Notrand, New York, 96, pp []. Horander, inear Partial Differential Operator, Springer, Berlin, 963. Referência [] B.A. Ovunc, Dynaic of fraework by continuou a ethod, Coputer and Structure 4 (974), 6 89 [] C.P. Providaki, D.E. Beko, Dynaic analyi of bea by the boundary eleent ethod, Coputer and Structure (986), [3] D.E. Beko, B.A. Boley, Ue of dynaic influence coefficient in forced vibration proble with the aid of aplace tranfor, Coputer and Structure 5 (975), [4] D.E. Beko, G.V. Narayanan, Dynaic repone of fraework by nuerical aplace tranfor, Coputer Method in Applied Mechanic and Engineering 37 (983), [5] H. Ante, Fundaental olution and integral euation for Tiohenko bea, Coputer and Structure 8 (3), [6] H. Ante, M. Shanz, S. Alverann, Dynaic analye of plane frae by integral euation for bar and Tiohenko bea, Journal of ound and vibration (4), [7] J. Precott, Elatic wave and vibration of thin rod, Philoophical Magazine 33 (94),