Estatística Experimental. Profa. Simone Gisele de Oliveira Universidade Federal do Paraná

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1 Profa. Simone Gisele de Oliveira Universidade Federal do Paraná

2 Pontos importantes: - Por quê? - Quando? - Como?

3 Parte I: - Importância - Definições gerais - Amostragem (probabilista e não-probabilista) Parte II: - Estatística descritiva - Medidas de posição e dispersão - Princípios da experimentação

4 Parte III: - Planejamento experimental - Delineamentos experimentais Delineamento Inteiramente Casualizado Delineamento em Blocos Casualizados Delineamento em Quadrado Latino Delineamentos para Respostas de Fluxo Continuado

5 Parte IV: - Forma de arranjo dos dados Fatorial Parcelas subdivididas - Associação de variáveis quantitativas Correlação Regressão

6 Introdução Estatística - Matemática aplicada aos dados de observação

7 Introdução Estatística experimental Estudo dos experimentos, seu planejamento, execução e análise Estatística experimental Fatores controláveis Fatores não controláveis

8 Introdução Fatores não controláveis Variação ao acaso Significativo Resultados?? Não significativo

9 Estatística na metodologia científica Observação do fenômeno L Raciocínio dedutivo L Formulação da Hipótese E Compactação de Resultado E Coleta de resultados E Instalação do Experimento E Teste de Hipótese E + L Conclusão L Intervenções da lógica E Intervenções estatísticas

10 Definições gerais Tratamento - Método, elemento ou material cujo efeito deseja-se medir e comparar Experimento - Trabalho previamente planejado que segue determinados princípios básicos no qual se faz comparações dos efeitos dos tratamentos Pesquisa x Experimentação Pesquisa - Procura por novos conhecimentos Experimentação - Adaptação de conhecimento ou tecnologia

11 Definições gerais Unidade experimental ou parcela - Unidade na qual o tratamento é aplicado, fornecendo dados que deverão refletir o efeito do tratamento Repetição - Cada uma das aplicações do tratamento Delineamento Experimental - Distribuição dos tratamentos nas parcelas propiciando a análise dos dados

12 Amostragem População ou Universo (X) - Conjunto de seres animados ou inanimados que apresentam as mesmas características (dados com relação ao elemento em estudo)

13 Amostragem Amostra (n) - Porção selecionada da população

14 Amostragem Colher informações de grupo grande (universo) Amostragem Representativa Aleatoriedade Como escolher??

15 Amostragem Probabilista Amostragem Estatística Correções da amostragem Não-Probabilista

16 Amostragem Aleatória simples Sistemática Aleatória de múltiplo estágio Probabilista Por área Conglomerados ou grupos Fases múltiplas Estratificada

17 Amostragem Aleatória simples - Escolha do indivíduo da população ao acaso (cada membro tem a mesma probabilidade de ser escolhido) a) Sem reposição: Mais utilizado, em que cada elemento só pode entrar uma vez para a amostra b) Com reposição: Quando os elementos da população podem entrar mais de uma vez na amostra

18 Exemplo Escolha de 50 animais em rebanho de 200 animais 1 - Numerar animais 2 - Consultar tabela de números aleatórios Exemplo dos primeiros sorteados: 81, 49, 34, 08, 50, 14, 35, 15, 06, 30, 38 e 48

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20 Amostragem Sistemática - A população deve estar ordenada de forma que cada elemento seja identificado pela sua posição Exemplo - Lista de número de brinco, número de registro

21 Exemplo Escolher 10 vacas de um rebanho de Escolher aleatoriamente números de 1 a 10 Ex: Número sorteado foi Procurar no número do brinco o número 8 Ex.: 008, 018, 028, 038, 048, 058, 068, 078, 088, 098, 108, 118,

22 Amostragem Aleatória de múltiplo estágio: Consiste em dois ou mais estágios, utilizando amostragem aleatória e/ou sistemática Exemplo Avaliação de rebanhos Secretaria da Agricultura Lista de rebanhos por município 1 - Escolha do município (10 municípios) 3 - Escolha do rebanho (5 propriedades)

23 Exemplo 1 - Escolha dos municípios (10) Primeira coluna: Dois últimos algarismo (25, 03, 18, 30, 17, 05, 12, 06, 7 e 14) 2 - Escolha 5 propriedades (rebanhos) Primera coluna: Dois últimos algarismos (14, 06, 30, 24, 05)

24 Amostragem Por área: Não se conhece a totalidade dos compostos da população a) Divisão da área a ser pesquisada - Estado, município l b) Sorteio da área e pesquisa de todos os rebanhos desta área

25 Amostragem Por conglomerados ou grupos: Municípios, distritos, rebanho leiteiro, rebanho de corte a) O indivíduo só pode pertencer a um grupo b) Rápido e barato - Unidade amostral é o conjunto c) Quando não forem do mesmo tamanho = sub-grupos

26 Amostragem Fases múltiplas: a) Fase I Ampla, rápida e pouco profunda b) Fase II Extrai da primeira fase uma amostragem menor Exemplo Avaliar rebanhos de alta produção em determinado Estado a) Fase I - Número grande de rebanhos b) Fase II - Sortear amostras de algumas propriedades

27 Amostragem Estratificada: Pesquisador forma grupos, estratos (sexo, idade, etnia, profissão, renda) - Estratos homogêneos - Heterogeneidade entre estratos - A medida que as variáveis são acrescidas para formar estratos, estes crescem de forma geométrica - Amostragem estratificada NÃO PROPORCIONAL - Amostragem estratificada PROPORCIONAL

28 Amostragem Intencional Não-Probabilista Por juri Por quotas - Não usa formas aleatórias de seleção - Não aplica-se fórmula estatística para cálculo

29 Amostragem Intencional: Interesse no comportamento de elementos específicos da população Exemplo: Como pensam o líderes de opinião de uma localidade Por Juris : Questões específicas em determinado período de tempo Exemplo: Audiência de rádio ou TV, teste de consumo de produtos

30 Amostragem Por Quotas: Levantamento de mercado, prévia eleitoral ou opinião pública. a) Classificação da População - Característica avaliada b) Percentual da população para cada estrato c) Fixar quotas

31 Estatística Descritiva Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Produção de leite em vacas consumindo diferentes dietas experimentais Dieta A 20,3 22,5 26,7 30,1 28,4 26,5 27,4 21,4 31,2 25,4 28,2 26,3 25,3 22,4 26,4 27,5 Dieta B 28,4 30,5 32,5 33,4 29,5 30,4 31,3 27,4 29,6 32,5 28,4 31,3 30,9 33,1 29,9 30,0

32 Medidas de Tendência Central Necessidade de resumir as informações Os dados de observação tendem a se concentrar em torno de um valor Mediana Medidas de tendência central Moda Média

33 Mediana (Md( Md) Valor que divide a amostra em duas partes É valor central em uma série com número ímpar de elementos ou a média aritmética dos dois valores centrais em uma série com número para de elementos Exemplo A: Md = 5 Exemplo D: Md = Média de 6 e 7 = 6,5

34 Mediana (Md( Md) Para facilitara localização da mediana, pode-se usar a fórmula que dá a posição do valor mediano. Exemplo: = 7 valores VMd = N + 1 = = 8 = 4 (4 valor) Exemplo: = 7 valores

35 Mediana (Md( Md) A grande restrição na utilização da mediana em ensaios com animais é que a medida não é afetada por valores extremos Exemplo: Md = 4 Exemplo: Md = 4

36 Moda (Mo) Valor mais freqüente em uma série de valores - Unimodal Aparece apenas um valor mais freqüente Exemplo: Bimodal Mais de um valor apresenta mais freqüência Exemplo: Amodal Todos os valores aparecem uma única vez

37 Moda (Mo) Em uma curva de distribuição a moda é o valor em correspondência Ponto máximo Mo Cálculo do valor aproximado de uma moda: Mo: 3 Md 2 M (Mo = moda, Md = mediana e M = média)

38 Moda (Mo) Exemplo: Mo = 3 Md - 2 M Mo = 3 x 5,5-2 x 4,67 Mo = 16,5-9,34 Mo = 7,16 Só pode ser usada se a amostra for unimodal

39 Média (M)( Valor obtido pelo quociente entre a soma dos valores de uma amostra ou população e o seu número M = X N Quando a distribuição dos valores observados é simétrica, a média, a moda e a mediana coincidem

40 Média (M)( Exemplo: Média: = 42 = Mediana: N +1 = = 8 = 4 (4 valor) = Moda: 6 (número que aparece mais vezes) Mo Md M

41 Média (M)( Substituindo na série o valor 8 por 18 a série passa a ser: Média: = 52 = 7,4 7 7 Mo e Md = 6

42 Média (M)( Mo Md M Deslocamento da média

43 Medidas de Dispersão Os dados de observação biológica são heterogêneos Média não informa se os valores que representa estão agrupados em torna dela Medidas de dispersão

44 Medidas de dispersão É o grau de dispersão dos dados em função do valor central (geralmente a média) Amostras de mesma média podem ter dispersões diferentes Exemplo: a) = 75/5 = Média = 15 b) = 75/5 = Média = 15 Como medir a dispersão???

45 Medidas de dispersão Amplitude Total a) = 9 b) 16-14= 2 Desvio padrão Variância Erro padrão da média Coeficiente de variação

46 1 - Desvio padrão Influência de fatores não controlados em um experimento, chamados ao acaso, pode ser calculada e chamada de desvios, afastamento ou erro Exemplo: Produção leiteira 25,5 24,3 Média = 26,1 kg 27,7 23,5 25,3 25,5 28,7 23,5 30,5 26,6 Desvios Variação entre cada observação em relação ao valor médio

47 1 - Desvio padrão Desvios dos valores em relação a média -0,6-1,8 1,6-2,6-0,8-0,6 2,6-2,6 4,4 0,5 Conhecidos os desvios, calcula-se o Desvio Padrão

48 1 - Desvio padrão Cálculo: s = SQD n Quando possui todos os dados da população s = SQD n - 1 Quando se avalia amostras

49 Cálculo: SQD = (- 0,6) 2 + (- 1,8) (4,4) 2 + (0,5) 2 = 49,12 s = 49,12 = 0,779 9 s = Σx 2 -(Σx) 2 n n-1 O Cálculo do Desvio Padrão permite estimar a variação não controlada, isto é, a variação do acaso ou aleatória

50 2 - Variância A variância de uma população, representada por s 2, é definida como a média dos quadrados dos desvios em relação a média da população s = SQD N s 2 = SQD N

51 2 - Variância A variância de dentro de cada grupo (tratamento) deve ser semelhante entre grupos Homogeneidade de variâncias Se a variação dentro dos tratamentos for maior que a variação entre os tratamentos não é possível detectar diferenças significativas entre tratamentos 9,8 8, ,1 10,2 m = 10 10,8 10, ,1 11,2 m = 11 Variação dentro é menor do que variação entre tratamentos Variâncias homogêneas 9,8 8, ,1 10,2 m = m = 11 Variação dentro é maior do que variação entre tratamentos Não há homogeneidade de variâncias

52 3 - Erro Padrão da Média Ferramenta utilizada para indicar a precisão com que foi calculada a média S (m) = s/ n n = Número de dados da amostra Exemplo: S (m) = s/ n S (m) = 0,779/ 10 S (m) = 0,247

53 3 - Erro Padrão da Média Obtém-se dessa forma que a estimativa para a média é m = 26,1 ± 0,247 Quanto menor o erro padrão da média, maior a precisão dos dados Se o erro padrão for muito alto, ou transforma-se os dados ou utiliza-se outra Medida de Tendência Central

54 4 - Coeficiente de Variação Relaciona o Desvio Padrão em percentual (%) da média Fornece a idéia de precisão do experimento CV = s x 100 m Alto = > 8% Exemplo: CV = 0,779 x 100 = 3,0% 26,1 Médio = 5-8% Baixo = < 5%

55 4 - Coeficiente de Variação O mais usado Falha do método Não considerar número de repetições Exemplo: O número de amostras é 100 e não 10, com os mesmos valores de m e s (m = 26,1 e s= 0,799) CV = 0,779 x 100 = 3,0% 26,1 S(m) = 0,779 = 0,

56 Princípios Básicos da Experimentação 1- Repetição: Distribuição dos tratamentos a várias unidades experimentais Permite calcular o ERRO EXPERIMENTAL 2 - Casualização: Distribuição dos tratamentos de forma aleatória à cada unidade experimental Sorteio

57 Princípios Básicos da Experimentação 3 - Controle local: Homogeneização do material experimental (grupo), tornando os animais o mais homogêneos possíveis dentro de cada grupo Grupo = Blocos Blocos = Categoria animal, instalações, fertilidade do solo Quando o material experimental (animais, instalações) for homogêneo não há necessidade do controle local

58 Princípios Básicos da Experimentação - Quando material for homogêneo: Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) Causas de Variação: Tratamento (Controlado) Acaso (Não controlado) - Quando o material experimental for heterogêneo: Delineamento Blocos ao Acaso (DBC) Causas de Variação: Tratamento (Controlado) Blocos (Controlado) Acaso (Não controlado)

59 Teste de Significância Possibilita tomar decisões a respeito de tratamentos Formular hipóteses Hipótese 1 Não existe diferença entre os tratamentos (qualquer diferença numérica é devido ao acaso) H 0 = Hipótese de nulidade

60 Teste de Significância Hipótese 2 Existe diferença entre os tratamentos (Hipótese de nulidade é rejeitada) H 1 = Hipótese alternativa Existe diferença entre os tratamentos

61 Teste de Significância Quanto é diferente? Quem é diferente? Testes de significância

62 Teste de Significância Ao tomar a decisão de rejeitar ou não Ho, pode-se estar cometendo um dos tipos de erros: Tipo 1 Quando rejeita-se H 0 verdadeiro Tipo 2 Quando aceitamos H 0 falso Exemplo: H 0 - Efeito da dieta T1 é igual ao efeito da dieta T2 H 1 - Efeito de T1 é diferente do efeito de T2

63 Planejamento Experimental

64 Planejamento de experimentos Fase onde o sucesso de toda a pesquisa é determinado Necessário definir com extatidão: Objetivos (Qual é a hipótese do trabalho?) Quais as questões a serem respondidas? Quais animais deverão ser utilizados? Quais tratamentos deverão ser aplicados? Melhor forma de condução do trabalho Metodologias de coleta e análise adotadas Delineamentos experimentais apropriados Como obter as respostas

65 Planejamento de experimentos Definir objetivos Escolha das variáveis avaliadas Fatores que afetam estas características Delineamento estatístico Teste estatístico

66 Planejamento de experimentos Adoção de delineamentos experimentais apropriados Inteiramente casualizado Blocos inteiramente casualizados Quadrado latino - Tipo de animal experimental - Disponibilidade de tempo para condução do trabalho - Uniformidade das condições experimentais - Número de animais disponíveis para realização do trabalho - Características dos tratamentos

67 Planejamento de experimentos Utilizar desenhos que facilitem detecção dos efeitos Variações entre unidades deve ser a menor possível - Menor variância do erro experimental (QME) - Melhor estimativa do efeito dos tratamentos Grandeza da diferença que quer medir Poder do teste estatístico Número de repetições necessárias?

68 Planejamento de experimentos Cálculo do número de repetições r = q 2 s 2 F d 2 s e d = Valores de literatura ou experimentos anteriores q e F = Valores tabelados

69 Cálculo do número de repetições Exemplo: s = 2 kg de leite/animal d = 6 kg de leite/animal Número de tratamentos = 5 GL do resíduo = 15

70 Cálculo do número de repetições Se r = 5: Fonte de Variação GL Tratamento 4 Resíduo 20 Total 24 (tr -1) F 4,20 = 2,87 q 5,20 = 4,23

71 Cálculo do número de repetições r = 2,87 2 x2 2 x4, r = 8,24 x 4 x 4,23 36 r = 3,9 animais/tratamento

72 Cálculo do número de repetições Se r = 4: Fonte de Variação GL Tratamento 4 Resíduo 15 Total 19 (tr -1) F 4,15 = 3,06 q 5,15 = 4,08

73 Cálculo do número de repetições r = 3,06 2 x2 2 x4, r = 9,36 x 4 x 4,08 36 r = 4,2 4 animais/tratamento

74 Planejamento de experimentos Principais causas de interpretações errôneas: - Número insuficiente de repetições - Delineamento experimental inadequado - Erro de amostragem - Unidades experimentais não representativas da população em estudo - Medição de variável irrelevante - Confundimento de efeitos - Identificação incorreta da unidades experimentais - Testes estatísticos incorretos - Ausência de casualização

75 Delineamentos Experimentais

76 Análise de Variância Tratamento Instalações Manejo Variação individual Resultado experimental Estágio de lactação Delineamento inadequado Análise inadequada

77 Análise de Variância Instalações Manejo Variação individual Quando não identificados Somam-se a estimativa da variância individual Estágio de lactação Necessário sucesso no controle das fontes de variação indesejada

78 Análise de Variância Algumas premissas: 1 - A resposta que está sendo analisada deve ser uma variável com distribuição normal 2 - Os tratamentos onde a resposta está sendo medida devem apresentar variância iguais Caso contrário Análise não paramétrica Transformação dos dados

79 1 - Curva de Distribuição Normal Refere-se a distribuição dos dados obtidos em relação à média M M M Distribuição normal Forma de sino

80 2 - Variância Homogeneidade de variâncias Se a variação dentro dos tratamentos for maior que a variação entre os tratamentos não é possível detectar diferenças significativas entre tratamentos 9,8 8, ,1 10,2 m = 10 10,8 10, ,1 11,2 m = 11 Variação dentro é menor do que variação entre tratamentos Variâncias homogêneas 9,8 8, ,1 10,2 m = m = 11 Variação dentro é maior do que variação entre tratamentos Não há homogeneidade de variâncias

81 Transformação dos dados Quando os dados não apresentam a mesma variância ou não existe distribuição normal, antes de analisados, devem ser transformados - Transformação logarítmica - Transformação angular - Transformação radical

82 Análise de Variância Domínio dos efeitos das fontes de variação não controlados permite que o valor estimado da variância (s 2 ) entre os indivíduos seja referente somente ao tratamento Quantificar as variâncias causadas por cada fonte de variação Efeito dos tratamentos

83 Análise de Variância Fontes de Variação e Graus de Liberdade Montar Quadro de Análise de Variância Fontes de Variação entre Unidades Experimentais (dentro de cada Tratamento Erro Experimental Entre as médias dos tratamentos Tratamentos

84 Delineamentos Relaciona-se a forma de casualização dos tratamentos nas parcelas Objetivos Estimar o erro experimental Reduzir o erro experimental Reduzir a presença de vícios Como conseguir? Estimativa e redução do erro Repetições em número adequado Validade das estimativas Prática da casualização

85 Delineamento Inteiramente Casualizado Existe a variação de somente um fator enquanto que os demais permanecem constantes Distribuição dos tratamento às unidades experimentais de forma aleatória Envolve os princípio da repetição e casualização

86 Delineamento Inteiramente Casualizado Unidades Experimentais Homogêneas Variabilidade entre as unidades experimentais é mínima Condições ambientais facilmente controladas

87 Delineamento Inteiramente Casualizado Vantagens - É o mais simples entre todos os tipos de delineamento - Flexível no arranjo das unidades experimentais - Sem restrição ao número de tratamentos ou repetições - Análise estatística simples

88 Delineamento Inteiramente Casualizado Desvantagens - Unidades experimentais devem ser homogêneas Restringe utilização em nível de campo - Não há controle local Toda variação entre unidades experimentais entra no erro experimental

89 Delineamento Inteiramente Casualizado Casualização 1 - Numerar tratamentos T1, T2, T3 2 - Numerar repetições T1R1, T1R2,..., T3R5, T3R6 3 - Distribuir os tratamentos pelas unidades experimentais

90 Delineamento Inteiramente Casualizado A B C D E F G H I T1R1 T3R1 T1R2 T2R1 T3R2 T3R3 T1R3 T2R2 T3R4 J K L M N O P Q R T1R4 T2R6 T2R3 T3R5 T1R5 T2R4 T2R5 T1R6 T3R6

91 Produção de N-NH 3 em silagens de diferentes híbridos de sorgo avaliados em silos experimentais (Delineamento Inteiramente Casualizado) Repetições Tratamentos I II III IV Total Média 1 5,16 5,01 5,19 5,41 20,77 5,19 2 6,45 5,63 5,89 6,44 24,41 6,10 3 5,43 5,52 6,40 5,75 23,10 5,78 4 6,11 6,17 6,53 7,53 26,34 6,59 Σ 94,62 5,92

92 Análise de Variância Fontes de Variação e Graus de Liberdade Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos 3 Erro Experimental 12 Total 15 (t - 1) (t (r - 1)) ou (GL Total - GL Tratamento) (tr - 1)

93 Análise de Variância Soma dos Quadrados Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos Erro Experimental 3 SQ Trat 12 SQ Erro Total 15 SQ Total

94 Análise de Variância Soma dos Quadrados Totais SQ Total = Σx 2 -C C = G 2 N Fator de correção G = Somatório total da variável observada (94,62) N = Número de observações (16)

95 Análise de Variância Soma dos Quadrados Totais Exemplo: C = (94,62) 2 = 559,56 16 SQ Total = 5, , , ,53 2 C SQ Total = 566,11-559,56 = 6,55

96 Análise de Variância Soma dos Quadrados dos Tratamentos SQ Trat = ΣTrat 2 - C r = Número de repetições r Exemplo: SQ Trat = 20, , , , C SQ Trat = 563,66-559,56 = 4,10

97 Análise de Variância Soma dos Quadrados do Erro SQ Erro = SQ Total -SQ Trat Exemplo: SQ Erro = 6,55-4,10 = 2,45

98 Análise de Variância Quadrados Médios Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos 3 4,1 QM Trat Erro Experimental 12 2,45 QM Erro Total 15 6,55

99 Análise de Variância Quadrados Médio dos Tratamentos QM Trat = SQ Trat GL Trat Exemplo: QM Trat = 4,10 = 1,37 3

100 Análise de Variância Quadrados Médio do Erro QM Erro = SQ Erro GL Erro Exemplo: QM Erro = 2,45 = 0,20 12

101 Análise de Variância Teste F para comparação da variância Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos ,37 F Erro Experimental ,20 Total

102 Análise de Variância Teste F para comparação da variância O Teste F é utilizado para a comprovação ou não do teste de Hipótese (H 0 ou H 1 ) A diferença entre as médias dos tratamentos é função do acaso Aceita-se H 0 A diferença encontrada entre as médias dos tratamentos não é casual rejeita-se H 1

103 Análise de Variância Teste F para comparação da variância O teste F é calculado da seguinte maneira: F = QM Trat QM Erro Exemplo: F = 1,37 = 6,85 0,20

104 Análise de Variância Teste F para comparação da variância Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos 3 4,10 1,37 6,85 Tabelado Erro Experimental 12 2,45 0,20 Total 15 6,55

105 Análise de Variância Teste F para comparação da variância F Tabelado (5% e 1%) Obtido em função do número de graus de liberdade do numerador (tratamento, bloco) e do número de graus de liberdade do denominador (resíduo) GL Tratamento GL Resíduo

106 Análise de Variância Teste F para comparação da variância Exemplo: Tratamento = 3 GL Resíduo = 12 GL GL Tratamento F5% = 3,49 F1% = 5,95 GL Resíduo

107 Análise de Variância Teste F para comparação da variância Se F observado > que o F tabelado Significativo Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos 3 4,10 1,37 6,85 3,49 5,95 Erro Experimental 12 2,45 0,20 5% 1% Total 15 6,55

108 Análise de Variância Teste F para comparação da variância Se F observado > que o F tabelado Significativo Fontes de Variação GL SQ QM F observado Pr > F Tratamentos 3 4,10 1,37 6,85 P < 0,05 P < 0,01 Erro Experimental 12 2,45 0,20 5% (*) 1% (**) Total 15 6,55 F observado > F tabelado = Significativo (* e **)

109 Teste de Comparação de Médias Quando F é significativo, em experimento com mais de dois tratamentos Testes estatísticos: - t de Student - Student Newman Keuls -Tukey -Scheffé -Duncan - Dunnett Mais utilizado (5%)

110 Teste de Comparação de Médias - Tukey Para a aplicação do teste: 1- Calcular as estimativas dos contrastes entre 2 médias Y1 = m1 - m2 Y2 = m1 - m3 Y3 = m1 - m4

111 Teste de Comparação de Médias - Tukey 2 - Calcular a Diferença Mínima significativa ( ) Sendo: = q s r q: Valor dado na tabela de Tukey (5% e 1%) em função do número de tratamentos (horizontal) e do número de GL do resíduo (vertical) s = QMRes r = número de repetições

112 Teste de Comparação de Médias - Tukey Se Y > Teste é significativo As duas médias diferem entre si Se Y < Teste não significativo As duas médias não diferem entre si

113 Teste de Comparação de Médias - Tukey Exemplo: 4 tratamentos com 4 repetições Teste F significativo m D = 6,59 g m B = 6,10 g m C = 5,78 g m A = 5,19 g

114 Teste de Comparação de Médias - Tukey 1 - Calcular a Diferença Mínima Significativa (DMS) = q s r Obtenção do valor de q para 4 tratamentos e 12 GL resíduo (5%) Tabela q = 4,20

115 Teste de Comparação de Médias - Tukey s = QM Erro = 0,20 = 0,48% r = 4 = 2 = 4,20 x 1,17 = 1,01% 2

116 Teste de Comparação de Médias - Tukey 2 - Calcular as estimativas dos contrastes entre 2 médias Y1 = m D - m B = 0,49% (NS) Y2 = m D - m C = 0,81% (NS) Y3 = m D - m A = 1,4% (*) Y4 = m B - m C = 0,32% (NS) Y5 = m B - m A = 0,91% (NS) Y6 = m C - m A = 0,59% (NS)

117 Teste de Comparação de Médias - Tukey 3 - Representar as diferenças entre as médias Valor de Y deve ser maior que (1,01%) para ser significativo Y1 = m D - m B = 0,49% (NS) Y2 = m D - m C = 0,81% (NS) Y3 = m D - m A = 1,4% (*) Y4 = m B - m C = 0,32% (NS) Y5 = m B - m A = 0,91% (NS) Y6 = m C - m A = 0,59% (NS) m D = g a m B = g ab m C = g ab m A = g bc

118 Delineamento em Blocos Casualizados Os tratamentos são alocados ao acaso em grupos homogêneos = Blocos Objetivo Manter a variabilidade entre as unidades experimentais dentro do bloco menor possível e maximizar as diferenças entre os blocos Usado para controlar as variabilidades conhecidas

119 Delineamento em Blocos Casualizados Vantagens Elimina, pelo uso dos blocos, uma fonte de variabilidade nas unidades experimentais Adapta-se a uma grande variabilidade de situações É de fácil análise

120 Delineamento em Blocos Casualizados Desvantagens Quando os blocos não são homogêneos existe um aumento do erro experimental Quando as diferenças entre os blocos não são grandes o uso deste delineamento reduz o número de Graus de Liberdade do erro sem aumentar a precisão do ensaio

121 Delineamento em Blocos Casualizados Casualização: Identificar e numerar os Blocos: B1, B2, B3, B4, B5 Numerar tratamentos: T1, T2, T3, T4 Numerar repetições: T1R1, T1R2,..., T4R4, T4R5 Sortear os tratamentos aos Blocos de modo que cada bloco contenha todos os tratamentos

122 Delineamento em Blocos Casualizados Blocos B1 B2 B3 B4 B5 T4R1 T1R2 T3R3 T2R4 T1R1 T4R2 T2R3 T4R4 T2R1 T3R2 T1R3 T4R4 T3R1 T2R2 T4R3 T1R4 T1R5 T2R5 T4R5 T3R5

123 Análise de Variância Fontes de Variação e Graus de Liberdade Fontes de variação Tratamento, bloco, erro experimental (resíduo), total Graus de liberdade Número de observações menos 1, para cada fonte de variação

124 Efeito do processamento do milho na produção de leite de vacas holandesas (Delineamento em Blocos Casualizados) Blocos Tratamentos A B C D E Total Média 1 29,3 30,4 28,4 31,2 30,9 150,2 30,4 2 27,5 29,5 29,0 28,0 28,4 142,4 28,5 3 31,6 30,5 30,9 32,0 31,0 156,0 31,2 4 28,3 27,3 29,8 27,0 28,1 140,5 28,1 Σ 116,7 117,7 118,1 118,2 118,4 589,1 29,55

125 Análise de Variância Fontes de Variação e Graus de Liberdade Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos 3 Blocos 4 Erro Experimental 12 Total 19 (t - 1) (b - 1) (t - 1) (b - 1) ou (GL Total - GL Trat - GL Blocos) (tb - 1)

126 Análise de Variância Soma dos Quadrados Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos Blocos Erro Experimental 3 SQ Trat 4 SQ Blocos 12 SQ Erro Total 19 SQ Total

127 Análise de Variância Soma dos Quadrados Totais SQ Total = Σx 2 -C C = G 2 N Fator de correção G = Somatório total da variável observada (589,1) N = Número de observações (20)

128 Análise de Variância Soma dos Quadrados Totais Exemplo: C = (589,1) 2 = ,9 20 SQ Total = 29, , , ,1 2 -C SQ Total = , ,9 = 74,8

129 Análise de Variância Soma dos Quadrados dos Tratamentos SQ Trat = ΣTrat 2 - C r = Número de repetições r Exemplo: SQ Trat = 150, , , , C SQ Trat = , ,9 = 30,9

130 Análise de Variância Soma dos Quadrados dos Blocos SQ Trat = ΣBlocos 2 - C t = Número de tratamentos t Exemplo: SQ Trat = 116, , , , , C SQ Trat = , ,9 = 0,5

131 Análise de Variância Soma dos Quadrados do Erro SQ Erro = SQ Total -SQ Trat -SQ Blocos Exemplo: SQ Erro = 74,8-30,9-0,5 = 43,4

132 Análise de Variância Quadrados Médios Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos 3 30,9 QM Trat Blocos 4 0,5 QM Blocos Erro Experimental 12 43,4 QM Erro Total 19 74,8

133 Análise de Variância Quadrados Médio dos Tratamentos QM Trat = SQ Trat GL Trat Exemplo: QM Trat = 30,9 = 10,3 3

134 Análise de Variância Quadrados Médio dos Blocos QM Blocos = SQ Blocos GL Blocos Exemplo: QM Blocos = 0,5 = 0,13 4

135 Análise de Variância Quadrados Médio do Erro QM Erro = SQ Erro GL Erro Exemplo: QM Erro = 43,4 = 3,6 12

136 Análise de Variância Teste F para comparação da variância Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos 3 30,9 10,3 F Trat Blocos 4 0,5 0,13 F Blocos Erro Experimental 12 43,4 3,6 Total 19 74,8

137 Análise de Variância Teste F para comparação da variância O teste F é calculado da seguinte maneira: F Trat = QM Trat QM Erro F Blocos = QM Blocos QM Erro Exemplo: F Trat = 10,3 = 2,86 F Blocos = 0,13 = 0,04 3,6 3,6

138 Análise de Variância Teste F para comparação da variância Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos 3 30,9 10,3 2,86 Tabelado Blocos 4 0,5 0,13 0,04 Tabelado Erro Experimental 12 43,4 3,6 Total 19 74,8

139 Análise de Variância Teste F para comparação da variância F Tabelado (5% e 1%) Obtido em função do número de graus de liberdade do numerador (tratamento, bloco) e do número de graus de liberdade do denominador (resíduo) GL Tratamento GL Resíduo

140 Análise de Variância Teste F para comparação da variância Exemplo: Tratamento = 3 GL Resíduo = 12 GL GL Tratamento F5% = 3,49 F1% = 5,95 GL Resíduo

141 Análise de Variância Teste F para comparação da variância Se F observado > que o F tabelado Significativo Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos 3 30,9 10,3 2,86 3,49 5,95 Blocos 4 0,5 0,13 0,04 3,26 5,41 Erro Experimental 12 43,4 3,6 5% 1% Total 19 74,8 F observado < F tabelado = Não significativo (NS)

142 Delineamento em Quadrado Latino Controle local mais eficiente Duplo (linhas e colunas) Permite o controle de 2 fatores de variação controláveis que contribuem para a heterogeneidade das condições experimentais Estágio de lactação e número de lactações

143 Delineamento em Quadrado Latino Permite eliminar das comparações entre os tratamentos e da estimativa da variação casual as diferenças entre filas (estágio de lactação) e as diferenças entre colunas (número de lactações) Tratamentos são comparados em condições mais homogêneas Número de repetições deve ser igual ao de tratamentos

144 Delineamento em Quadrado Latino Vantagem Permite maior eficiência na análise estatística Elimina variações que seriam computadas nas comparações entre tratamentos e da estimativa da variação casual Permite a utilização de número reduzido de animais

145 Delineamento em Quadrado Latino Desvantagens Número de tratamentos deve ser igual ao de tratamentos, o que torna inviável experimentos com elevado número de tratametos Atenção aos tratamentos que possuam efeito residual Análise estatística pode tornar-se complexa

146 Delineamento em Quadrado Latino Casualização: Sortear um quadrado padrão Numerar tratamentos: T1, T2, T3, T4 Numerar repetições: T1R1, T1R2,..., T5R4, T5R5 Atribuir a cada letra um dos tratamentos

147 Delineamento em Quadrado Latino 4 x 4 5 x 5 A B C D B C D A C D A B D A B C A B C D E B D A E C C E B A D D C E B A E A D C B

148 Delineamento em Blocos Casualizados Colunas C1 C2 C3 C4 C5 L1 T1R1 T2R2 T3R3 T4R4 T5R5 Linhas L2 L3 L4 L5 T2R1 T4R2 T1R3 T5R4 T3R5 T3R1 T5R2 T2R3 T1R4 T4R5 T4R1 T3R2 T5R3 T2R4 T1R5 T5R1 T1R2 T4R3 T3R4 T2R5

149 Análise de Variância Fontes de Variação e Graus de Liberdade Fontes de variação Tratamento, linha, coluna, erro experimental (resíduo), total Graus de liberdade Número de observações menos 1, para cada fonte de variação

150 Digestibilidade do trato total de vacas em lactação alimentadas com silagens de diferentes híbridos de sorgo (Delineamento em Blocos Casualizados) Colunas Linhas A B C D E Total Média 1 68,2 A 61,6 B 66,3 C 62,6 D 67,2 E 325,9 65,2 2 71,3 B 73,3 D 72,3 A 74,2 E 69,6 C 360,7 72,1 3 67,4 C 66,4 E 69,4 B 70,5 A 69,4 D 343,1 68,6 4 74,6 D 67,5 C 66,4 E 78,7 B 64,3 A 351,5 70,3 5 68,9 E 70,9 A 72,3 D 67,4 C 69,4 B 348,9 69,8 Σ 350,4 339,7 346,7 353,4 339,9 1730,1 69,2

151 Análise de Variância Fontes de Variação e Graus de Liberdade Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos 3 Linha 4 Coluna 4 Erro Experimental 12 Total 19 (t - 1) (t - 1) (t - 1) (t - 1) (t - 2) ou (GL Total - GL Trat - GL Coluna - GL Linha) (t 2-1)

152 Análise de Variância Soma dos Quadrados Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos Linhas 4 SQ Trat 4 SQ Linhas Colunas 4 SQ Colunas Erro Experimental 12 SQ Erro Total 24 SQ Total

153 Análise de Variância Soma dos Quadrados Totais SQ Total = Σx 2 -C C = G 2 N Fator de correção G = somatório total da variável observada (1730,1) N = Número de observações (25)

154 Análise de Variância Soma dos Quadrados Totais Exemplo: C = (1730,1) 2 = ,8 25 SQ Total = 68, , , ,4 2 -C SQ Total = , ,8 = 353,9

155 Análise de Variância Soma dos Quadrados dos Tratamentos SQ Trat = ΣTrat 2 - C t = Número de tratamentos t Exemplo: SQ Trat = 346, , , , , C SQ Trat = , ,8 = 25,4

156 Análise de Variância Soma dos Quadrados das Linhas SQ Trat = ΣLinhas 2 - C r = Número de repetições r Exemplo: SQ Linhas = 325, , , , , C SQ Linhas = , ,8 = 133,5

157 Análise de Variância Soma dos Quadrados das Colunas SQ Colunas = ΣColunas 2 - C t = Número de tratamentos t Exemplo: SQ Colunas = 350, , , , ,9 - C 5 SQ Colunas = , ,8 = 30,4

158 Análise de Variância Soma dos Quadrados do Erro SQ Erro = SQ Total -SQ Trat -SQ Linhas -SQ Colunas Exemplo: SQ Erro = 353,9-25,4-133,5-30,4 = 164,6

159 Análise de Variância Quadrados Médios Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos 4 25,4 QM Trat Linhas 4 133,5 QM Linhas Colunas 4 30,4 QM Colunas Erro Experimental ,6 QM Erro Total ,9

160 Análise de Variância Quadrados Médio dos Tratamentos QM Trat = SQ Trat GL Trat Exemplo: QM Trat = 25,4 = 6,35 4

161 Análise de Variância Quadrados Médio das Linhas QM Linhas = SQ Linhas GL Linhas Exemplo: QM Linhas = 133,5 = 33,4 4

162 Análise de Variância Quadrados Médio das Colunas QM Colunas = SQ Colunas GL Erro Exemplo: QM Colunas = 30,4 = 7,6 4

163 Análise de Variância Quadrados Médio das Colunas QM Erro = SQ Erro GL Erro Exemplo: QM Erro = 164,6 = 13,72 12

164 Análise de Variância Teste F para comparação da variância Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos 4 25,4 6,35 F Trat Linhas 4 133,5 33,4 F Linhas Colunas 4 30,4 7,6 F Colunas Erro Experimental ,6 13,7 Total ,9

165 Análise de Variância Teste F para comparação da variância O teste F é calculado da seguinte maneira: F Trat = QM Trat F Linhas = QM Linhas F Colunas = QM Colunas QM Erro QM Erro QM Erro Exemplo: F Trat = 6,35 = 0,46 F Linhas = 33,4 = 2,44 F Colunas = 7,6 = 0,55 13,7 13,7 13,7

166 Análise de Variância Teste F para comparação da variância Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos 4 25,4 6,35 0,46 Tabelado Linhas 4 133,5 33,4 2,44 Tabelado Colunas 4 30,4 7,6 0,55 Tabelado Erro Experimental ,6 13,7 Total ,9

167 Análise de Variância Teste F para comparação da variância F Tabelado (5% e 1%) Obtido em função do número de graus de liberdade do numerador (tratamento, linha e coluna) e do número de graus de liberdade do denominador (resíduo) GL Tratamento GL Resíduo

168 Análise de Variância Teste F para comparação da variância Exemplo: Tratamento = 4 GL Resíduo = 12 GL GL Tratamento F5% = 3,26 F1% = 5,41 GL Resíduo

169 Análise de Variância Teste F para comparação da variância Se F observado > que o F tabelado Significativo Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos 4 25,4 6,35 0,46 3,26 5,41 Linhas 4 133,5 33,4 2,44 3,26 5,41 Colunas 4 30,4 7,6 0,55 3,26 5,41 Erro Experimental ,6 13,7 5% 1% Total ,9 F observado < F tabelado = Não significativo (NS)

170 Delineamentos para Respostas de Fluxo Contínuo Ensaios aplicados em experimentação com vacas leiteiras Utilizados quando a resposta fisiológica apresenta grande variação natural (produção de leite, gordura e proteína do leite) Se considerar a produção de leite total por vaca a variação será muito grande, mas ao considerar durante o período de lactação a resposta produção diária torna-se uma resposta de fluxo continuado

171 Delineamentos para Respostas de Fluxo Contínuo Ensaios Rotativos (Change-over) Estrutura do Quadrado Latino Faixa ideal para experimentação se encontra depois do pico de lactação até a metade da gestação (3 a 5 meses) Necessário período de adaptação dos animais ao tratamento Efeito residual Limita número de tratamentos

172 Delineamentos para Respostas de Fluxo Contínuo Ensaios Rotativos (Change-over) Como cada tratamento ocorre nos três períodos, ocorre certa compensação para seus efeitos Importante utilizar animais com produção semelhantes (persistência de lactação) Vaca 1 Vaca 2 Vaca 3 Período 1 A B C Período 2 C A B Período 3 B C A

173 Delineamentos para Respostas de Fluxo Contínuo Ensaios de reversão (Switch-back) Cada animal é utilizado em 3 períodos experimentais sucessivos Período inicial e final têm sempre o mesmo tratamento Procura eliminar as diferenças de velocidade de queda de produção entre diferentes vacas Não aconselhado para tratamentos com efeito residual

174 Delineamentos para Respostas de Fluxo Contínuo 2 Tratamentos Vaca 1 Vaca 2 Vaca 3 Vaca 4 Vaca 5 Vaca 6 Período 1 A B A Período 2 B Período 3 A B A B A A B B A A B B A B 3 Tratamentos Vaca 1 Vaca 2 Vaca 3 Vaca 4 Vaca 5 Vaca 6 Período 1 A B C A B C Período 2 B C A C A B Período 3 A B C A B C 4 Tratamentos Período 1 A B C D A B C D A B C D Período 2 B C D A C D A B D A B C Período 3 A B C D A B C D A B C D

175 Delineamentos para Respostas de Fluxo Contínuo Ensaios de reversão (Switch-back) Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos Erro Experimental Total Fontes de Variação GL SQ QM F observado F requerido Tratamentos Blocos Erro Experimental Total

176 Forma de Arranjo dos Tratamentos

177 Arranjo Fatorial Investigação de dois ou mais fatores ao mesmo tempo Tratamentos Combinações possíveis dos fatores Utilizado em qualquer delineamento Quando a presença de um fator altera o comportamento do outro, tem-se a interação de efeitos

178 Arranjo Fatorial Exemplo: Fatores avaliados Nível de tanino e PEG Silagem com baixo tanino Com PEG Sem PEG Silagem com alto tanino Com PEG Sem PEG

179 Arranjo Fatorial Vantagens Avaliação de mais de um fator ao mesmo tempo Avaliação da interação dos efeitos dos fatores Na ausência de efeito de interação o número de repetições é aumentado no teste dos efeitos principais Utilização mais racional dos recursos disponíveis

180 Arranjo Fatorial Desvantagens O simples aumento do número de fatores ou dos níveis de um fator aumenta muito o número de tratamentos A análise de resultados, dadas suas características, é torna-se muito complicada

181 Arranjo Fatorial Análise de variância Fontes de Variação GL SQ QM F observado Pr > F Tratamentos Volumoso (V) Aditivo (A) V x A Erro Experimental Total

182 Análise estatística - SAS

183 Arranjo Fatorial Análise de variância Fontes de Variação GL SQ QM F observado Pr > F Tratamentos 3 70,61 23,54 6,66 0,0068 Volumoso (V) 1 9,82 9,82 2,78 0,1216 Aditivo (A) 1 2,67 2,67 0,75 0,4023 V x A 1 58,13 58,13 16,44 0,0016 Erro Experimental 12 42,44 3,54 Total ,05

184 Arranjo Fatorial Composição química das silagens dos híbridos de sorgo avaliados com ou sem adição de polietilenoglicol (PEG) Tratamentos Composição (% da matéria seca) PB FDN NIDN/N Hemicelulose BTSP 8,05 59,08 21,75 15,69 BTCP 6,40 57,89 23,56 16,32 ATSP 8,31 53,87 23,93 13,15 ATCP 7,72 48,83 19,99 17,29 CV (%) 8,27 5,43 11,76 16,17 Volumoso Efeitos Principais Baixo tanino 7,22 a 58,43 b 22,66 16,01 Alto tanino 8,02 b 51,35 a 21,96 15,22 Aditivo Sem PEG 8,18 b 56,47 22,84 14,42 Com PEG 7,06 a 53,36 21,78 16,81

185 Arranjo Fatorial Desdobramento das interações observadas para composição das silagens de híbridos de sorgo com e sem adição de polietilenoglicol (PEG) Aditivo Volumosos BT AT Média CV (%) MS (%) Sem PEG 30,90 bb 36,28 aa 33,59 4,62 Com PEG 35,53 A 33,29 B 34,41 6,28 Média 33,22 34,78 CV (%) 7,30 3,13 FDA (%) Sem PEG 43,39 40,72 A 42,05 B 4,60 Com PEG 41,57 a 31,53 bb 36,55 A 6,34 Média 42,48 b 36,13 a CV (%) 5,60 5,13

186 Parcelas Subdividas Consiste em atribuir os níveis de um dos fatores às parcelas dispostas segundo um delineamento básico apropriado (DIC, DBC, DQL) e os níveis do outro fator às divisões das parcelas As parcelas do delineamento básico são denominadas parcelas principais ou parcelas e suas subdivisões são denominadas parcelas

187 Parcelas Subdividas Experimentos com medidas repetidas ao longo do tempo sobre as unidades experimentais são analisados como parcelas subdivididas As observações sobre uma mesma unidade experimental em instantes diferentes são consideradas como observações em subdvisões (subparcelas da unidade) Atribui maior precisão para o fator em subparcelas para o qual resulta em maior número de repetições

188 Parcelas Subdividas Vantagens Confere maior precisão ao fator contido na subparcela Atribui maior número de GL para a estimativa da varância do erro correspondente a subparcela Permite combinar em um mesmo experimento um fator que exige unidades experimentais grandes e um fator que requer unidades experimentais de pequenas dimensões

189 Parcelas Subdividas Desvantagem A análise estatística é mais complexa, já que há dois tamanhos diferentes de unidades experimentais e, em consequência, dois diferentes componentes do erro

190 Parcelas Subdividas Análise de variância Fontes de Variação GL SQ QM F observado Pr > F Bloco (r - 1) Animal (A) (a - 1) Erro A (a - 1) (r - 1) Total A (Parcela) (ar - 1) Horário coleta (HC) (b - 1) A x HC (a -1) (b - 1) Erro B a (b - 1) (r - 1) Total B (Subparcela) abr - 1

191 Associação de Variáveis Quantitativas

192 Correlação A correlação entre duas variáveis poderá ser calculada quando se deseja saber se a variação de uma delas acompanha proporcional ou inversamente a variação da outra A associação entre quantitativas se manifesta sem que seja possível estabelecer efeito causativo de uma sobre a outra

193 Correlação r Coeficiente de correlação Mede o grau de associação entre duas variáveis -1 r 1 r = 1 Correlação perfeita positiva, X acompanha proporcionalmente Y r = -1 Correlação perfeita negativa, X inversamente proporcional a Y r = 0 Não há correlação alguma, X e Y variam independentemente

194 Correlação Cálculo:

195 Análise de Correlação - SAS

196 Correlação Correlação entre a produção de metano, ingestão de matéria seca e digestibilidade ruminal de nutrientes IMS (kg/d) DRMS (%) DRMO (%) DRFDN (%) DREB (%) DRAM (%) Metano (g/d) 0,4895** -0,5078** -0,5446** -0,4127* -0,5479** -0,5542** IMS (kg/d) -0,5341** -0,6390*** -0,6025*** -0,6101*** -0,6596*** DRMS (%) 0,9777*** 0,9236*** 0,9801*** 0,8642*** DRMO (%) 0,9260*** 0,9940*** 0,8664*** DRFDN (%) 0,9203*** 0,7714*** DREB (%) 0,8651*** * P < 0,05; ** P < 0,01; *** P < 0,001.

197 Regressão Ferramenta estatística que possibilita a formulação de equações estabelecendo relações entre variáveis com o objetivo de realizar predições Estabelece relação funcional (regressão), entre tratamento (x) e os dados obtidos como resposta (y) Variável independente Variável dependente

198 Regressão Ferramenta aplicada quando se trabalha com níveis quantitativos Níveis de inclusão de determinado ingrediente Níveis nutricionais em dietas Níveis de fertilização em forragens Teor de PB da dieta Produção de leite X (%) 10% 12% 15% 18% Y (kg) 10,5 13,4 16,1 17,7

199 Regressão A relação entre as variáveis independente (x) e dependente (y) pode ser expressa matematicamente y = a + bx y = a + bx 1 + cx 2 + dx 3 Regressão Linear Simples Regressão Linear Múltipla Linear Os expoentes de x são = 1 Simples = Possui apenas 1 variável independente Linear Os expoentes de x são = 1 Múltipla = Possui mais de 1 variável independente

200 Regressão A relação entre as variáveis independente (x) e dependente (y) pode ser expressa matematicamente y = a + bx 1 + cx 2 y = a + bx 1 + cx 2 + dx 3 Regressão Quadrática Regressão Cúbica

201 Regressão Fontes de Variação GL SQ QM F observado Pr > F Regressão linear Regressão quadrática Cúbica Desvios da regressão Tratamento Blocos Erro experimental Total

202 Regressão r 2 Coeficiente de determinação Mostra a adequação de um modelo em relação ao fenômeno observado Proporção da variação total em y que é explicada pela variação independente x r 2 = SQ Modelo SQ Total 0 r 2 1

203 Regressão Exemplo: Avaliação de níveis de monensina na digestibilidade de nutrientes y Estimativa da digestibilidade recebendo nível x de monensina a Coeficiente linear de regressão (corresponde aovalor de u quando x = 0) b Coeficiente de regressão do nível de monensina sobre a digestibilidade Dig CHO y = 62, ,240x 0,006x 2 r 2 = 0,1328 0u 13,28% Regressão Quadrática