UM MODELO DE PROGRAMAÇAO LINEAR ESTOCÁSTICO PARA O PROBLEMA DE PLANEJAMENTO DA EXPANSÃO DOS SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA

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1 Anas do XLVIII SBPO Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setembro de UM MODELO DE PROGRAMAÇAO LINEAR ESTOCÁSTICO PARA O PROBLEMA DE PLANEJAMENTO DA EXPANSÃO DOS SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA Nataly Bañol Aras, Alejandra Tabares Pozos Laboratóro de Planejamento de Sstemas de Energa Elétrca LaPSEE Departamento de Engenhara Elétrca UNESP Ilha Soltera Av. Brasl, 56, Centro, , Ilha Soltera - SP, Brasl natycanta@gmal.com, tabares.1989@gmal.com Marna Lavorato, Crstano Torezzan Faculdade de Cêncas Aplcadas - Uncamp Rua Pedro Zaccara, 1300 Jd. Sta Luza Lmera, SP CEP mlavorato@gmal.com, torezzan@gmal.com RESUMO Neste trabalho apresenta-se uma nova metodologa, baseada em um modelo estocástco de programação lnear ntera msta, para resolver o problema de planejamento estátco da expansão dos sstemas de dstrbução de energa elétrca consderando a ncerteza da demanda. O modelo matemátco consdera a construção de novas subestações e crcutos, a repotencação de subestações e o recondutoramento de crcutos já exstentes no sstema. O modelo vsa mnmzar os custos ntegrados de nvestmento na expansão do sstema e de operação. Além dsso consdera-se o custo do valor esperado da energa não suprda como uma penalzação, vsando tratar o comportamento ncerto das demandas convenconas. A efcênca e robustez da metodologa proposta são avaladas usando um sstema teste de 24 nós e os resultados obtdos são comparados com um modelo estocástco de dos estágos com recurso baseado em um modelo exstente na lteratura. PALAVRAS CHAVE. Planejamento da expansão dos sstemas de dstrbução. Programação estocástca lnear ntera msta. Energa não suprda. Área prncpal: EN - PO na Área de Energa ABSTRACT In ths work, a new methodology based on a mxed nteger lnear programmng model s presented n order to solve the statc plannng for electrcal dstrbuton system expanson problem, consderng demand uncertanty. The formulaton takes nto account new substatons and crcuts constructons, exstng substatons repowerng and exstng crcuts reconductorng. The approach ams to mnmze the expanson nvestment cost and the system operatonal cost. In addton, the model also consders the cost due to the expected energy not suppled, amng to deal wth the conventonal demands uncertan behavor. The effcency and robustness of the proposed methodology was tested on a 24-node dstrbuton system; the results were compared wth those obtaned from a two-stage stochastc model wth recourse based on an exstng model found n the specalzed lterature. KEYWORDS. Electrcal dstrbuton expanson plannng. Stochastc mxed nteger lnear programmng. Energy not suppled. Man area: EN - OR Area of Energy. 994

2 Anas do XLVIII SBPO Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setembro de Introdução O problema do planejamento da expansão dos sstemas de dstrbução de energa elétrca (SDEE) consste em determnar o plano de expansão ótmo para o SDEE vsando atender as demandas de energa futuras respetando as restrções operaconas do sstema [Gonen, 1986]. O crescmento contínuo da demanda de energa elétrca obrga as empresas de dstrbução de energa elétrca (EDs) a expandrem seus sstemas a partr da construção e/ou repotencação de subestações assm como a construção e/ou recondutoramento dos crcutos necessáros para suprr as demandas de energa de forma efcente e confável. Neste contexto, dversos modelos matemátcos tem sdo propostos, onde os dferentes tpos de nvestmento e/ou nstalação de subestações e crcutos com dferentes característcas cada um são, usualmente, representados por varáves bnáras dentro do modelo matemátco elevando seu custo computaconal de solução. Este tpo de problema representado por um modelo matemátco de natureza combnatóra é reconhecdo na lteratura como um problema NP-hard. O problema de planejamento da expansão dos SDEE (PESDEE) pode ser, numa prmera abordagem, modelado como um problema estátco, no qual o planejamento é feto consderando a demanda de energa que exstrá no fnal do período do horzonte de planejamento, ou como um problema mult-período ou dnâmco onde as decsões de nvestmentos são executadas nos dferentes períodos do horzonte de planejamento de acordo com a demanda de energa em cada um dos períodos [Fletcher e Strunz, 2007]. O problema de PESDEE tem sdo amplamente estudado na lteratura e métodos de solução tas como técncas clásscas de otmzação como branch and bound, modelos de programação lnear ntera msta (PLIM), algortmos heurístcos e metaheurístcas, vem sendo utlzados para resolver tal problema. Um resumo completo e detalhado dos trabalhos desenvolvdos para resolver o problema de PESDEE pode ser encontrado em [Tabares et al., 2015]. Por outro lado, em stuações prátcas, o problema de PESDEE está sujeto ao comportamento estocástco das demandas futuras do sstema durante o horzonte de planejamento. Assm, a taxa de crescmento da demanda é de natureza ncerta e nfluenca fortemente nas decsões de expansão do SDEE. Portanto, se as ncertezas assocadas às demandas de energa não são consderadas na solução do problema do PESDEE pode acontecer do sstema ser sobrestmado, dexando custos desnecessáros para as EDs ou pelo contráro, que o plano de nvestmento não seja sufcentemente flexível (robusto) para atender todas as demandas dexando energa não suprda (ENS) no sstema e ncorrendo em custos de multas para as EDs pelo não atendmento das demandas. Dferentes metodologas têm sdo desenvolvdas dentro da lteratura para ldar com a natureza ncerta das demandas de energa elétrca. Em [Gorenstn et al., 1993], [Carron et al., 2007], [Jruttjaroen e Sngh, 2008] e [Montoya-Bueno et al., 2015] são estudadas metodologas baseadas em programação estocástca. Modelos de programação robusta são apresentados em [Dehghan et al., 2016], [Franco et al., 2015]. Metodologas de otmzação avessa ao rsco são apresentadas em [López et al., 2015], [Cano et al., 2016], e [Bruno et al., 2016]. Em [Dehghan et al., 2016], os autores apresentam um modelo de decomposção de três níves para o problema de planejamento da expansão dos sstemas de potênca consderando a ncerteza correlaconada entre a demanda de energa, a geração eólca que são modeladas através de ntervalos lmtados e a dsponbldade de equpamentos do sstema é modelada através de dstrbuções de probabldade. Como resultado, obtem-se um modelo híbrdo de programação estocástca e robusta vsando satsfazer uma restrção probablístca de confabldade relaconada é apresentado. Em [Montoya-Bueno et al., 2015] é proposto um modelo estocástco de dos estágos para alocação ótma de fontes de geração renováves como parte do problema de PESDEE multperíodo. É proposto um modelo de PLIM vsando mnmzar os custos de nvestmento e operação e um custo de penalzação pela ENS no sstema. As ncertezas estão relaconadas com as demandas e na produção de energa das fontes renováves que são representadas como uma dstrbução de probabldade a partr de dados hstórcos do sstema. 995

3 Anas do XLVIII SBPO Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setembro de No trabalho de [Franco et al., 2015] é proposto um modelo de programação cônca de segunda ordem ntera msta para resolver o problema de planejamento da expansão de subestações mult-período. A ncerteza na demanda é consderada através de um modelo robusto que usa restrções probablístcas garantndo que os lmtes na capacdade das subestações sejam satsfetos com um dado nível de confança. O modelo vsa mnmzar o custo total esperado do plano de expansão defndo pelos custos fxos de nvestmentos, custos varáves de operação e perdas de potênca e pelo custo esperado da ENS relaconado com um custo de penalzação pela energa não suprda devdo a falhas nas subestações e nos crcutos. Um modelo de otmzação avessa ao rsco baseado em condtonal value at rsk (CVaR) é apresentado em [López et al., 2015]. Os autores desenvolveram um modelo estocástco ntero msto convexo, mult-período para resolver o problema de planejamento de reatvos. A função objetvo mnmza todos os custos de nvestmento no prmero estágo, e no segundo estágo mnmza o custo esperado dos novos nvestmentos e o custo esperado da desconexão de carga reatva. As demandas de potênca atva e reatva são modeladas por funções de dstrbução de probabldade usando a técnca de Amostragem por hpercubo latno. Uma metodologa smlar a anteror é apresentada em [Cano et al., 2016]. Em [Bruno et al., 2016] um modelo de programação estocástca mult-estágo é apresentado para resolver o problema de planejamento de fontes de energa renovável orentado aos mercados de energa. O modelo proposto é resolvdo através de um método de programação dnâmca dual estocástca consderando parâmetros aleatóros. CVaR fo ncluído dentro da metodologa vsando consderar o rsco. Nos trabalhos anterormente apresentados foram usadas metodologas clásscas de programação estocástca [Brge e Louveaux, 2011], programação robusta [Ben-Tal et al., 2009] e aversão ao rsco [Krokhmal et al., 2011] para ldar com a natureza ncerta de algumas varáves pertencentes ao problema de PESDEE. Neste trabalho, desenvolve-se uma nova metodologa para resolver o problema de PES- DEE baseada em um modelo estocástco de PLIM que consdera aspectos estocástcos da demanda. O modelo proposto fo mplementado na lnguagem de programação matemátca AMPL e é resolvdo através do solver comercal CPLEX. Os resultados foram avalados usando um sstema teste de 24 nós e consderando 3, 10 e 50 cenáros de demanda e comparados com um modelo clássco usado na lteratura. 2. Modelo Determnístco de Programação Não Lnear Intero Msto A forma mas realsta de representar matematcamente o planejamento da expansão de um SDEE é através de um modelo de PNLIM [Ganguly et al., 2011]. O modelo matemátco apresentado nesta seção é baseado nos trabalhos apresentados em [Franco et al., 2014] e [Tabares et al., 2014] com a preocupação de reduzr a complexdade do problema. A equações do modelo são apresentadas a segur: 2.1. Função Objetvo A função objetvo (1) consdera os custos de nvestmento e operação dos SDEE. A função de f(τ,λ) = (1 (1+τ) λ )/τ é usada para calcular o valor presente líqudo do custo anualzado: Custo total: mn c f j,a xl j,a + c s cx s,c+ αφ l c e P S + αφ s c v Sg sqr f(τ,λ) (1) c Ω c Ω s Ω s j Ω l Ω s 2.2. Estado de operação O conjunto de equações (2) - (5) representam a prmera e a sugunda les de Krchhoff. Como os fluxos de potênca atva e reatva e a magntude de corrente estão assocados a cada tpo de condutor (P j,a,q j,a ei sqr j,a ), se faz necessáro escrever as restrções em termos das somas totas dos fluxos de corrente, potênca atva e reatva do crcutoj, usando as equações (6), (7) e (8). 996

4 Anas do XLVIII SBPO Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setembro de P k,a k Ω l ( Q k,a k Ω l V sqr V sqr j j Ω l 2.3. Lmtes nos Investmentos ( j Ω l Q j,a +X a l j I sqr j,a P j,a +R a l j I sqr j,a ) ) +P S = P A Ω b (2) +Q S = tan(cos 1 (F d ))P A Ω b (3) = [2(R a P j,a +X a Q j,a )l j +Zal 2 ji 2 sqr j,a ]+b j j Ω l (4) V sqr j Î sqr j = P j 2 + Q 2 j j Ω l (5) Î sqr j = I sqr j,a j Ω l (6) P j = P j,a j Ω l (7) Q j = Q j,a j Ω l (8) O quadrado da potênca aparente fornecda por cada subestação é calculado usando (9) e é lmtado por (10). A restrção (11) permte a seleção de um e somente um tpo de subestação para o nó. Para os crcutos, (12) permte a seleção de somente um tpo de condutor para o crcuto j, enquanto (13) permte apenas uma dreção do fluxo em um crcutoj se este for construído. Sg sqr ( P S ) 2 + ( Q S ) 2 Ω s (9) Sg sqr = (Sg o + c Ω c S c x s,c) 2 Ω s (10) 2.4. Lmtes Operaconas do Sstema c Ω c x s,c 1 Ω s (11) x l j,a 1 j Ω l (12) z + j +z j x l j,a j Ω l (13) Os lmtes para a magntude da tensão nas barras são estabelecdos em (14). A restrção (15) estabelece os lmtes para a magntude do fluxo de corrente do crcuto j relaconada a cada tpo de condutoraeseu estado de operação (lgado ou deslgado). A restrção (16) lmta a varável b j em termos do estado operaconal do crcuto j. As restrções (17), (18) e (19) lmtam o fluxo de potênca atva e reatva no crcutoj dependendo do seu estado de operação. As restrções (20), (21) e (22) defnem os lmtes para a magntude do fluxo de corrente, de potênca atva e reatva do crcutoj relaconada com cada tpo de condutora. V V sqr V Ω b (14) ( ) 0 I sqr j,a I2 a z j + +z j j Ω l, a Ω a (15) b j b(1 z j + z j ) j Ω l (16) ( ) P j,a VI z j + j Ω l, a Ω a (17) ( ) P j,a VI zj j Ω l, a Ω a (18) 997

5 Anas do XLVIII SBPO Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setembro de Condção de Radaldade Q j,a VI ( ) z j + +z j j Ω l, a Ω a (19) 0 I sqr j,a I2 ax l j,a j Ω l, a Ω a (20) P j,a VIx l j,a j Ω l, a Ω a (21) Q j,a VIx l j,a j Ω l, a Ω a (22) A topologa radal é garantda pelo conjunto de restrções (2) - (3) e (23). Em que a equação (23) é uma adaptação da restrção de radaldade apresentada em [Lavorato et al., 2012]. ( ) z j + +z j = Ω b Ω s (23) j Ω l 3. Modelo Estocástco de Programação Lnear Intero Msto Nesta seção será apresentado o modelo matemátco proposto neste trabalho com aspectos estocátcos da demanda. O modelo proposto consdera o cálculo do valor esperado da energa que o sstema dexara de suprr caso decda atender a uma demanda menor que a demanda máxma que pode ocorrer no sstema. Desta forma a energa não suprda é penalzada e representa uma multa que a ED pagara por não atender a demanda. Por outro lado quando o dmensonamento do sstema é feto de forma que no futuro a demanda seja menor que a estmada, então é consderada uma bonfcação pela energa excedda, o que representa uma bonfcação para a ED caso esta sobredmencone o sstema. A característca estocástca da demanda é representada aqu por cenáros de demanda. Os cenáros de demanda devem ser gerados através de dados hstórcos, os quas representem o comportamento da demanda durante todo o ano, estes cenáros se mantém nalterados ano a ano, fcando a ncerteza dretamente assocada à taxa de aumento anual da demanda [López et al., 2015] e [Dehghan et al., 2016]. Levando em conta que sstemas testes não possuem dados hstórcos da demanda, os cenáros de demanda foram obtdos através da técnca de Amostragem Latn Hypercube (ALH), onde a demanda é representada por uma dstrbução normal como mostrado na seção Característca Estocátca da Demanda A característca estocátca da demanda é modelada pelas restrções (24) - (29) e penalzada na função objetvo. O lado dreto da equação (24) representa a dferença entre a potênca demandada do cenáro w e a potênca que será atendda pelo sstema, quando a potênca atendda é menor que a potênca demandada então P,w ens é gual a esta dferença, caso contráro, será gual a P,w esob, sto é garantdo pelas restrções (25) e (26) que garantem também que esses valores sejam postvos. A restrção (27) representa os lmtes da potênca atendda pelo sstema. As restrções (28) e (29) representam a dscretzação da potênca atendda pelo sstema. P ens,w P esob,w = P D,w P A Ω b,w Ω w (24) 0 P ens,w P D,wx esto,w Ω b,w Ω w (25) 0 P,w esob P,w(1 x D esto,w ) Ω b,w Ω w (26) P mn P A P max Ω b (27) P A =,wx ds,w Ω b (28) w Ω w P D w Ω w x ds,w 1 Ω b (29) 998

6 Anas do XLVIII SBPO Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setembro de Função Objetvo A função objetvo representada pela equação (1) recebe agora duas novas parcelas referentes ao custo esperado da energa elétrca não suprda e o custo esperado da capacdade nstalada excedente dados pelas equações (30) e (31). Custo esperado da energa elétrca não suprda (CENS) αφ l c ens Ω b w Ω W P ens Custo esperado da capacdade nstalada excedente (CEE) αφ l c esob Ω b w Ω W P esob Logo o custo total será dado por: Custo total:,w ρ,w (30),w ρ,w (31) mn( (1)+CNS CEE)f(τ,λ) (32) Neste caso fo atrbudo um custo pela energa que o operador do sstema dexou de atender quandop,w D PA é podtvo. QuandoP,w D PA é negatvo então o operador do sstema recebe um bonus por ter sobrestmado a demanda do sstema Lnearzações do Modelo Matemátco Determnstco Note que as restrções (5), a restrção (9) e a restrção (10) são expressões não lneares. Nesta seção será apresentada a lnearzação dessas restrções com o objetvo de obter um modelo de PLIM para o problema de planejamento dos SDEE. O método é o mesmo proposto em [Tabares et al., 2014] e pode ser resumdo da segunte forma: A lnearzação do produto V sqr j Î sqr j pode ser realzada utlzando uma tensão constante como é apresentado em (33): V sqr j Î sqr j Vj nom Î sqr j (33) Esta smplfcação é uma aproxmação que possu um erro pequeno, o que fo verfcado expermentalmente após a realzação de dversas smulações, devdo à gama lmtada de varação da magntude de tensão [ V,V ]. Adconalmente, para obter um valor adequado para Vj nom, uma versão do modelo em que as varáves bnáras são relaxadas é resolvdo e os valores de tensão para cada nó na solução encontrada são utlzados paravj nom. Aprovetando as varáves bnáras em (10) e consderando que é permtdo apenas um tpo de nvestmento (uma condção de planejamento modelado em (11)), o lmte operaconal das subestações pode ser substtuído por (34): (Sg o + S c x s,c) 2 = (Sg o ) 2 +2Sg o S c x s ( ) 2x s,c + Sc,c Ω s (34) c Ω c c Ω c Os termos (5) e (9) podem ser aproxmados usando uma função lnear por partes ( ) P S 2 ( ) + Q S 2 f(p S,max{c Ω c }S c,γ)+f(q S,max{c Ω c }S c,γ) Ω s (35) ) 2 ) 2 ( Pj + ( Qj f( Pj,max{a Ω a }I a,γ)+f( Q j,max{a Ω a }I a,γ) j Ω l (36) c Ω c A função lnear por partes f(y,y,γ) usada em (35) e (36) é defnda como segue: 999

7 Anas do XLVIII SBPO Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setembro de Γ f(y,y,γ) = σ y,γ δ y,γ (37) γ=1 y = y + +y (38) Γ y + +y = δ y,γ (39) γ=1 0 δ y,γ y/γ γ = 1,...,Γ (40) σ y,γ = (2γ 1)/Γ γ = 1,...,Γ (41) As expressões não-lneares (5), (9) e (10) são substtuídas pelas seguntes expressões lneares: Vj nom Î sqr j = f( P j,max{a Ω a }I a,γ)+f( Q j,max{a Ω a }I a,γ) j Ω l (42) Sg sqr Sg sqr = f(p S,max{c Ω c }S c,γ)+f(q S,max{c Ω c }S c,γ) Ω s (43) = f(p S Sg sqr,max{c Ω c }S c,γ)+f(q S,max{c Ω c }S c,γ) Ω s (44) = (Sg o ) 2 +2Sg o S c x s ( ) 2x s,c + Sc,c Ω s (45) c Ω c Assm, o modelo PLIM para o problema de PESDEE é dado por: Mn (32) Subjeto a: (2) - (4), (6) - (29), (11)- (23) and (42) - (45). A vantagem de um modelo PLIM é ser resolvdo usando técncas de otmzação clásscas que garantem encontrar a solução ótma, que é mas robusta em comparação com a solução de formulações não lneares. 4. Geração dos cenáros de demanda Segundo o apresentado em [Montoya-Bueno et al., 2015], [Franco et al., 2015] o comportamento das demandas de energa seguem uma curva de dstrbução normal, N(µ,σ 2 ). Segundo esse suposto, os cenáros de demanda de potênca atva e reatva durante o horzonte de planejamento são gerados através da técnca de ALH [Olsson et al., 2003] consderando o valor da méda (µ ) gual ás demandas nomnas de cada nó e o desvo padrão (σ 2 ) gual á 15% como apresentado em [Franco et al., 2015]. A técnca de ALH permte gerar números aleatóros de forma tal que seja explorada toda a curva de dstrbução, evtando amostras repetdas no processo de geração. 5. Testes e Resultados O modelo proposto fo mplementado em AMPL [Fourer et al., 2003] e resolvdo utlzando o solver comercal CPLEX [ILO, 2008] usando um computador com processador Intel Core de 3,2 GHz e com 4 GB de memóra RAM. Para valdar a metodologa proposta, foram realzados testes em um sstema teste de 24 barras, apresentado a segur Sstema Teste O sstema utlzado possu 24 nós como se observa na fgura 1. O sstema é composto por 4 subestações, 2 exstentes (1021 e 1022) que podem ser repotêncadas a 15 e 17 (MVA), com um costo de 120 e 135 (kus) respetvamente e duas propostas (1023 e 1024) que podem ser nstaladas com 50 e 15 (MVA) com um costo de e (kUS), 20 nós de carga e 33 lnhas, sendo 4 exstentes e 29 propostas. A. Os dados das potêncas nomnas e dos condutores usados são apresentados na tabela 1. c Ω c 1000

8 Anas do XLVIII SBPO Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setembro de Fgura 1: Confguração ncal do sstema teste Tabela 1: Codções geras e Demanda Nomnal Condções Geras Dado Nó Demanda Nomnal Nó Demanda Nomnal Tensão nomnal (kv) , , Lmte máxmo da tensão (p,u) 1, , , Lmte mínmo da tensão (p,u) 0, , ,99739 Horzonte de planejamento , ,99585 Taxa de juros 0, , , Fator de carga 0, , , Fator de perda 0, , , Fator de demanda 0, , , Custo energa das subestações ( US/kWh) 0, , Fator de custo da operação nas subestações , Custo bonfcação ( US/kWh) 0, , Custo penalzação ( US/kWh) 0, , Parâmetros dos condutores Tpo R a(ω/km) X a(ω/km) I a (A) c f j,a (kus) 1 0,614 0, ,02 2 0,407 0, ,03 3 0,308 0, , Resultados Três testes foram realzados vsando avalar a mportânca de consderar aspectos estocástcos da demanda dentro do problema de PESDEE e vsando verfcar o alcance da metodologa proposta em relação com uma metodologa clássca de otmzação estocástca apresentada na lteratura especalzada. Os testes consstem em obter soluções para o problema de PESDEE determnístco (Caso A), onde as demandas de energa são guas às demandas máxmas do sstema, (Geralmente o problema é resolvdo desta forma); obter soluções para o problema de PESDEE estocástco proposto neste trabalho (Caso B), onde as demandas de energa são consderadas como parâmetros ncertos do sstema usando 3 cenáros de demanda; e fnalmente, comparar os casos anterores com a solução obtda por um modelo estocástco de dos estágos com recurso (Caso C) baseado no modelo proposto em [Montoya-Bueno et al., 2015]. A tabela 2 mostra um resumo dos custos dos planos de nvestmento encontrados pelo modelo proposto neste trabalho para cada um dos testes propostos. Na tabela 2 é possível observar que o custo total do plano de nvestmento para o caso determnístco é maor do que os custos nos casos em que é consderada a ncerteza na demanda de energa. As prncpas dferenças são dadas pelo custo de nvestmento em crcutos e pelo custo da energa comprada do sstema de transmssão. Neste caso, o sstema está se preparando para atender a demanda máxma o qual pode ncorrer em nvestmentos desnecessáros para as EDs, o que pode ser conferdo comparando os custos totas 1001

9 Anas do XLVIII SBPO Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setembro de dos planos de nvestmento obtdos para os casos B e C, onde é consderada ncerteza na demanda. Um outro aspecto mportante é a comparação entre os modelos estocástcos casos B e C, onde é possível observar que exstem algumas dferenças nos resultados obtdos. Note que o plano de nvestmento para ambos os casos é o mesmo; ou seja, custos de nvestmentos em subestações e crcutos. No entanto, exste um custo de energa não suprda de $183 para o Caso B e também exste um valor de bonfcação pela energa não comprada de $356,43. Alem dsso, o custo da energa comprada do sstema de transmssão no caso B fo maor do que o obtdo no caso C ($54980,24 e $54513,27, respectvamente). Essas dferenças são devdo à natureza dscreta da varável P A, pos de acordo com as equações (24) e (11) o modelo proposto somente pode atender um valor de demanda pertencente ao conjunto de cenáros, enquanto que no modelo apresentado em [Montoya- Bueno et al., 2015] a varável P A pode tomar valores entre o cenáro de mínma e máxma demanda. Outra dferença mportante entre os modelos é que no modelo proposto o custo da energa nao suprda representa uma escolha entre nvestr para atender uma possível demanda alta com a possbldade de não pagar uma multa por sso ou nvestr menos no sstema e atender uma carga menor e correr o rsco de pagar uma multa por sso mas que por outro lado ganha no valor do nvestmento e nos custos de operação. No modelo baseado em [Montoya-Bueno et al., 2015] o custo da energa não suprda é o custo baseado na potênca fctíca njetada no sstema caso o plano de nvestmento não seja sufcente para atender todos os cenáros. Desta forma podemos dzer que os dos modelos são comparáves pos ambos constroem sstemas smlares. Os custos computaconas para o modelo proposto neste trabalho e o modelo estocástco proposto em [Montoya-Bueno et al., 2015] foram de 46,45 e 1289,78 segundos respectvamente e o erro percentual entre os dos modelos fo de 0,53%. Os resultados mostraram que a metodologa proposta consegue resultados de boa qualdade na solução do problema de PESDEE consderando ncerteza na demanda de energa com um custo computaconal muto menor, e os resultados são comparáves com os resultados obtdos usando metodologas clásscas usadas para resolver o mesmo problema. Tabela 2: Custos do plano de expansão (kus): 3 Cenáros de demanda Custos Caso A Caso B Caso C Custo total 57194, , ,81 Investmento em subestações 780,57 780,57 780,57 Investmento em crcutos 758,99 748,97 748,97 Energa comprada pela subestação 55655, , ,27 Bonfcação energa não comprada 0 356,43 0 Esperado energa não suprda Operação subestações Com o objetvo de verfcar o alcance do modelo proposto neste trabalho, foram realzados três novos testes, varando a quantdade de cenáros de demanda de energa. A tabela 3 mostra um resumo dos custos dos planos de expansão obtdos para cada um dos testes. Na tabela 3 é possível observar que os custos dos nvestmentos em subestações e crcutos é o mesmo, ndependentemente da quantdade de cenáros usados para representar o comportamento estocástco da demanda de energa elétrca. Alem dsso, os custos totas do plano de expansão são muto parecdos um do outro; exstem pequenas dferenças dadas pelo custo da energa comprada pela subestação, bonfcação pela energa não comprada e o custo de energa não suprda devdo à varação própra das demandas. Esses resultados permtem conclur que a quantdade de cenáros consderados para resolver o problema de PESDEE, não nfluenca muto na solução. Assm, um número reduzdo de cenáros podera ser usado para resolver este tpo de problema consderando varáves ncertas, melhorando substancalmente o desempenho do modelo proposto em relação ao custo computaconal. Foram regstrados tempos computaconas de 46,45; 54,02; e 71,38 segundos para os casos com 3, 10 e 50 cenáros de demanda, respectvamente. Pode-se notar que os tempos computaconas para resolver os cenáros maores aumentaram lgeramente mas anda contnuaram totalmente acetáves. Por outro lado, como fo menconado na Seção 3.3 o modelo proposto é um modelo 1002

10 Anas do XLVIII SBPO Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setembro de lnearzado através da técnca de lnearzação por partes como apresentado em [Tabares et al., 2015]. Os erros de aproxmação regstrados em cada um dos testes realzados para os dferentes números de cenáros foram de 1,13%, 1,09% e 1.09% usando 10 blocos na lnearzação. Note que estes valores são desprezíves demonstrando a precsão do modelo proposto. Tabela 3: Custos do plano de expansão (kus): Dferentes cenáros de demanda Custos 3 cenáros 10 cenáros 50 cenáros Custo total 56336, , ,15 Investmento em subestações 780,57 780,57 780,57 Investmento em crcutos 748,97 748,97 748,97 Energa comprada pela subestação 54980, , ,23 Bonfcação energa não comprada 356,43 360,11 387,03 Esperado energa não suprda ,12 77,4 Operação subestações Conclusões Neste trabalho apresentou-se uma nova metodologa, baseada em um modelo estocástco de programação lnear ntera msta, para resolver o problema de planejamento estátco da expansão dos sstemas de dstrbução de energa elétrca consderando a ncerteza da demanda. Conforme descrto na Seção 3, o modelo admte a possbldade de não se nstalar a demanda máxma que pode ocorrer no sstema, mpondo uma penalzação pela demanda eventualmente não suprda. Por outro lado, se o dmensonamento feto exceder a demanda, é prevsto uma bonfcação nos custos de operação. Após a realzação de uma sére de lnearzações, o modelo é formalmente escrto como um problema de programação lnear ntera msta, o qual fo mplementado em AMPL e resolvdo utlzando o solver comercal CPLEX para um sstema teste de 24 barras. Os testes computaconas mostraram que o modelo proposto obtém resultados smlares a modelos clásscos da lteratura, com a vantagem de ter custo computaconal substancalmente nferor, permtndo, assm, um ganho de escala na magntude dos problemas consderados. Outro aspecto testado fo o aumento no número de cenáros de prevsão de demanda, algo desejável na prátca. Novamente o modelo proposto mostrou-se consstente e resolveu os casos propostos com tempo nferor a 72 segundos. Os resultados obtdos corroboram para afrmar que o modelo proposto neste trabalho representa uma contrbução relevante para a área de Planejamento da expansão dos sstemas de dstrbução, uma vez que permte atngr resultados smlares a modelos clásscos da lteratura com custo computaconal sgnfcatvamente menor. Nomenclatura P A,PS,c,QS,c Potênca atva atendda no nó, Potênca atva e reatva fornecda pela subestação no nó α, λ Numero de horas no ano (8760 h), Numero de anos no horzonte de planejamento P max,p mn Magntude máxma e mínma da demanda de potênca atva no conjunto de cenáros Γ,σ y,s Numero de dscretzações usadas na função f, Inclnação do blocoγth na dscretzação de y Ω a,ω c,ω w Conjunto de condutores, Conjunto de alternatvas de nvestmento para subestações, Conjunto de cenáros Ω b,ω l,ω s Conjunto de nós, Conjunto de crcutos, Conjunto de subestações Sg o,s c Magntude máxma de potênca aparente da subestação exstente no nó, Magntude máxma de potênca aparente para el tpo de subestaçãoc y,δ y,γ Valor máxmo de y, Valor daγth varável auxlar usada na dscretzação de y 1003

11 Anas do XLVIII SBPO Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal Vtóra, ES, 27 a 30 de setembro de I a,r a,x a,z a Magntude máxma de fluxo de corrente, Resstênca, Reatânca e Impedânca do contutor tpoa φ l,φ s,f d Fator de carga, Fator de perda, Fator de demanda τ, b,l j Taxa de juros, Lmte para a varávelb j, Comprmento do crcutoj c e,c v Custo da energa das subestações, Custo de operação da subestação no nó c s c,c f j,a Custo de nvestmento para cada tpo de subestação, Custo de nvestmento do crcut j usando o tpo de condutora I sqr j,a,îsqr j Quadrado da magntude do fluxo de corrente no crcuto j assocado com o tpo de condutora,quadrado da magntude do fluxo de corrente no crcutoj P,w D,Pens,w,Pesob,w Sgt sqr,v sqr Potênca atva demandada, não suprda, adconal no nó, no cenáro w,b j Quadrado da potênca aparente fornecda pela subestação no nó, Quadrado da magntude da tensão no nó, Magntude da queda de tensão x s,c,xc j,a Investmento na subestação de tpo c, Investmento no crcuto j usando o condutor tpoa x esto,w,xds,w Varável auxlar que ndca a presença de potenca adconal ou não suprda, Varável auxlar no calculo da demanda atendda no nó, no cenarow z + j,z j Dreção de subda e de descda no fluxo do crcutoj V,V Magntude máxma e mínma da Tensão P j,a, ˆP j Fluxo de potênca atva no crcuto j assocado com o tpo de condutor a,fluxo de potênca atva no crcutoj Q j,a, ˆQ j Fluxo de potênca reatva no crcuto j assocado com o tpo de condutor a, Fluxo de potênca reatva no crcutoj Referêncas Ben-Tal, A., Ghaou, L. E., e Nemrovsk, A. (2009). Robust Optmzaton. Prnceton Unv. Press. Prnceton, NJ, USA:. Brge, J. R. e Louveaux, F. (2011). Introducton to Stochastc Programmng. Sprnger New York. Bruno, S., Ahmed, S., Shapro, A., e Street, A. (2016). Rsk neutral and rsk averse approaches to multstage renewable nvestment plannng under uncertanty. European Journal of Operatonal Research, 250(3): Cano, E. L., Moguerza, J., e Alonso-Ayuso, A. (2016). A mult-stage stochastc optmzaton model for energy systems plannng and rsk management. Energy and Buldngs, 110: Carron, M., Phlpott, A. B., Conejo, A. J., e Arroyo, J. M. (2007). A stochastc programmng approach to electrc energy procurement for large consumers. IEEE Transactons on Power Systems, 22(2): Dehghan, S., Amjady, N., e Conejo, A. J. (2016). Relablty-constraned robust power system expanson plannng. IEEE Transactons on Power Systems, 31(3):

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