Planejamento e Pesquisa 1 - Análise de variância

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1 Planejamento e Pesqusa - Análse de vaânca Um Fato Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0

2 Duabldade de 4 tpos de capetes: exh_aov.mtw Eu tnha 4 tpos de capetes e coloque cada tpo em quato casas (um tpo em cada casa). Após 60 das fo medda a duabldade. Vaável esposta: duabldade Fato: Capete 4 Níves do fato 4 Réplcas Objetvo: compaa a duabldade dos 4 tpos de capetes Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0

3 E se tve mas que dos gupos? A análse de vaâncas (ANOVA) é apopada paa esse tpo de expemento A ANOVA fo desenvolvda po Fshe nos anos 0, e aplcada ncamente em expementos agícolas Agoa tem dvesas aplcações Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 3

4 Caactezação do poblema Em geal, tenho níves do fato (vaável explcatva categóca), ou tatamentos, e n éplcas, sendo que as undades amostas que ecebeão cada tatamento não são escolhdas em função de cada tatamento: Planejamento completamente aleatozado (completely andomzed desgn) N total de obsevações Consdeaemos efetos fxos, efetos aleatóos seão consdeados posteomente Objetvo ncal: Testa a gualdade das dstbuções da vaável esposta nos váos tatamentos Assumndo dstbução nomal, ndependênca e homocedastcdade paa a vaável esposta obsevada nas váas undades amostas, o objetvo tona-se: Objetvo: Testa a gualdade das médas da vaável esposta nos váos tatamentos Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 4

5 Dados y j coesponde à vaável esposta do tatamento e undade amostal j. Esse fomato paa os dados é chamado de wde (ou unstacked) em alguns pogamas. Se todas as vaáves espostas y j estvessem na mesma coluna, podeíamos te uma segunda coluna ndcando qual o tatamento coespondente a cada y j. Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 5

6 Qual capete você compaa? 0 Duabldade 5 0 Capete 3 4 Po enquanto emos assum homocedastcdade, o que não paece vale nesse exemplo. Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 6

7 An Example (See pg. 6) Mudando a potênca muda a taxa em méda? Qual o nível de potênca ótmo? Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 7

8 Lay-out dos dados Em geal, tenho níves do fato (vaável explcatva categóca), ou tatamentos, e n éplcas, sendo que as undades que ecebeão cada tatamento não são escolhdas em função de cada tatamento: Planejamento completamente aleatozado (completely andomzed desgn) N total de obsevações Consdeaemos efetos fxos, efetos aleatóos seão consdeados posteomente Objetvo: Testa a gualdade das médas da vaável esposta nos váos tatamentos Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 8

9 Análse de vaânca O nome vem da patção da vaabldade total da vaável esposta em componentes de acodo com o modelo poposto O modelo básco paa um fato é y j + e j, j,...,,..., n sendo a méda de cada tatamento e e j os eos expementas. Assumemos que os eos são ndependentes e e j ~N(0,σ ) Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 9

10 Análse Desctva O que faze desctvamente paa esponde ao objetvo ncal? Como fca no exemplo? Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 0

11 Potênca Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0

12 Modelos Paametzações Paa os níves do fato de nteesse e paa as n obsevaçoes de cada nível, temos o modelo de médas y + j De modo equvalente, podemos defn o modelo de desvos médos y + τ + j Qual a ntepetação dos paâmetos? Esse modelo é dentfcável? e j e j Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0

13 Modelos Paametzações Podemos escolhe um dos níves do fato como sendo uma categoa de efeênca. Po exemplo escolhendo a categoa obtemos y j + ej, + + e j, Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 3

14 Notação y. n j y j, y. y n.. y.. a n j y j, y.. y N.. Paa,.., a, j,,n e N total de obsevações Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 4

15 Estmação O modelo básco paa um fato é y j + e sendo a méda de cada tatamento e e j os eos expementas. Assumemos que os eos são ndependentes e e j ~N(0,σ ) Quas métodos de estmação podemos utlza? Qual os estmadoes dos paâmetos? j, j,...,,..., n Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 5

16 Análse de Vaânca Vaabldade Total é medda como a soma de SST Note que: y n ( ) yj y.. j j y.. yj y. + y. y.. O patconamento (pg. 69) é: n ( ) y y n ( y y ) ( y y ) j j. j j SST SStat + SSE ente dento dos tatamentos n Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 6

17 Gaus de lbedade (posto) gl total N- Há N dfeenças, mas gau é peddo dado que a n ( y ) j y.. 0 j gl tat -, a desvos com gl eo N-, pos paa cada temos ( y y ) coespondendo a n - gaus, logo temos n n - N- n... 0 Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa n ( y ) j y. j

18 Análse de Vaânca SST SStat + SSE Um alto (baxo) valo de SS tat eflete gandes (pequenas) dfeenças ente as médas dos tatamentos As hpóteses são H H 0 :... : há ao menos alguma dfeença Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 8

19 Análse de Vaânca Enquanto as somas de quadados não podem se detamente compaadas, os quadados médos podem. O quadado médo é a soma de quadados dvdda pelo coespondente gaus de lbedade: gl N + N MS total tat gl SS tat + tat, gl eo MS eo SS N eo Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 9

20 Útl SSE n ( ) y j y j ( n ) s Um estmado não vesado paa a vaânca σ é n ( y y ) j SSE j MSE N N pg. 696 Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 0

21 Útl E ( MSTR) σ + n (. ). n N Detalhes na pg. 696 Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0

22 Tabela de Análse de Vaânca Fonte de vaação Soma de quadados Gaus de lbedade Quadado médo F Ente tatamentos SStat - MStat FMStat/MSE Eo SSE N- MSE Total SST N- Altos valoes de F ndcam dfeenças ente as médas. Como ealza o teste? Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0

23 Resultados As somas de quadados apesentadas podem se esctas de modo matcal como Fomas quadátcas. Utlzando os esultados apesentados, po exemplo em Seale, temos que: SStat ~ χ σ SSE ~ χ gleo σ gl tat, sob MStat e MSE são ndependentes H 0 Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 3

24 Resultados Utlzando os esultados anteoes, temos que H 0 F ~ F gltat, gl eo MStat MSE Sob H, obtemos uma dstbução F não cental. Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 4

25 Tabela de Análse de Vaânca Fonte de vaação Soma de quadados Gaus de lbedade Quadado médo F Ente tatamentos SStat a- MStat FMStat/MSE Eo SSE N-a MSE Total SST N- Assm, ejetamos H0 se F>F α,gltat,gleo Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 5

26 Exemplo: Etch Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 6

27 Dstbução de F sob H 0 Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 7

28 Suposções do modelo É mpotante checa a valdade da Nomaldade Homocedastcdade Independênca Se o modelo ajustado está de acodo com os dados: omssão de vaáves elevantes, pesença de valoes dscepantes Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 8

29 Model Adequacy Checkng n the ANOVA Nomal Q-Q Plot Resíduos eˆ j y ˆ y Gáfco QQ p k (k-0,5)/n Pocua quants p k na dst nomal. j j y Bussab e Moettn (0). Sample Quantles Theoetcal Quantles Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 9

30 Outos gáfcos Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa

31 Mas dagnóstcos Resíduos padonzados Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 3

32 Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa Teste de Battlet Assume que as amostas são ndependentes e nomalmente dstbuídas. Teste de Battlet 0 : H σ σ σ K + T T n n S n MSE n ) 3( ) )ln( ( ) )ln( ( B 0 ~ H B χ

33 Teste de Levene O teste de Battlet assume nomaldade dos dados. Uma altenatva, que não pecsa dessa suposcão é o teste de Levene Modfcado. Utlza as medanas em cada gupo. Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa

34 Teste de Levene H 0 : σ σ K σ O teste de Levene (960) se nspa em uma ANOVA paa os desvos absolutos z L j Y j n Y. ( z z) 0 ~ F j, j sob H, N 0 ( z z ) N z n n zj j z j j n z N Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa

35 Outos testes de gualdade de vaâncas Teste F paa duas populações ndependentes. Teste de Bown-Fosythe Pesqusa em Paa-Futos, I The behavou of the modfed Levene s test when data ae not nomally dstbuted. Comput Stat (009) 4: DOI 0.007/s z Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa

36 Quando as suposções não são váldas No caso de outles > nvestga o dado Faltando vaáves explcatvas > fácl Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa

37 Heteocedastcdade Quando nn, o efeto da heteocedastcdade no teste F é meno. Modelos com fato aleatóo apesenta séos poblemas com heteocedastcdade, mesmo com nn. Melho utlza testes que não assumem homocedastcdade, como os não paamétcos e ajuste de modelos heteocedástcos. Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa

38 Não nomaldade O teste F é pouco afetado. O nível de sgnfcânca seá um pouco mao que o especfcado. Com efeto aleatóo, há maoes poblemas. Os testes não paamétcos não exgem nomaldade, mas em geal pecsam de gandes amostas. Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa

39 Estmação dos efetos A pat do modelo Y j + e j, j,...,,..., n O estmado de é Y ( ) Y ( ) j Y. E mplca E Va ( ) Y. σ n Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa

40 Compaações de Médas Assuma que a análse de esíduos é satsfatóa Testamos a gualdade das médas Se a hpótese fo ejetada, não sabemos quas médas são dfeentes Paa detemna quas médas dfeem ente s, temos um poblema de compaações múltplas Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa

41 Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa Contastes 0 : 0 : : : H H H H 0 : 0 : : : H H H H Igualdade das taxas médas paa as maoes potêncas Igualdade das taxas médas das menoes e das maoes potêncas

42 Contastes Paa as constantes c, c a, que somam zeo, as hpóteses podem se esctas usando os contastes L Estmado Devdo à ndependênca H H 0 Lˆ : L : L c y c 0 c 0 Va( Lˆ) σ. c n Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa - 0 4

43 Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa Contastes Estmado Estmado da Va Tem dstbução t-student com N- gaus de lbedade c y L. ˆ n c MSE L Va ˆ) ( ˆ n c MSE L y c L Va L L t. 0 ˆ) ( ˆ ˆ

44 Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa Teste e ntevalo de confança Se H 0 é vedadea N t n c MSE y c t ~. 0

45 Compaações múltplas O coefcente de confança γ-α se efee a um só ntevalo e não a váos. Podemos esta nteessados em todas as compaações a, ou po exemplo, paa a4, somente ente e, e 3 e e 4. Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa

46 Método de Tukey Quando estamos nteessados em todas as compaações a. Quando todos os gupos tem n obsevações, o coefcente de confança conjunto seá γ-α. Quando os tamanhos dfeem o γ seá mao, ou seja, é um pocedmento consevatvo. Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa

47 Dstbução Studentzed ange Sejam Y,...,Y obsevações ndependentes da dstbução N(,σ ). wmax{y }-mn{y }, s estmado de σ coespondente a v gaus de lbedade q é chamado de studentzed ange q(, v) A dstbução de q enconta-se em tabelas po exemplo em Nete et al. (996). w s Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa

48 Método de Tukey O ntevalo paa D - k, paa e k dfeentes, é D ˆ m T Va ˆ { Dˆ}, Dˆ Y. Y k. Va ˆ { Dˆ} MSE + n n k T q( α; ; N a) Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa

49 Outos Métodos Em sala Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa

50 Why Does the ANOVA Wok? We ae samplng fom nomal populatons, so SS SS χ f H s tue, and χ σ σ Cochan's theoem gves the ndependence of Teamtents E a 0 a( n ) these two ch-squae andom vaables So F 0 SSTeatments /( a ) χa /( a ) SS /[ a( n )] χ /[ a( n )] E a( n ) a, a( n ) n n τ E MSE σ Fnally, E( MSTeatments ) σ + and ( ) a Theefoe an uppe-tal F test s appopate. Lane Alenca - Planejamento e Pesqusa F