SEL Controle Não Linear Profa. Vilma A. Oliveira Natache S. D. Arrifano Renato Nascimento Rosa Junho 2008

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1 SEL Contole Não Lnea Pofa. Vlma A. Olvea Natache S. D. Afano Renato Nascmento Rosa Junho 008 Contolado fuzzy baseado no modelo akag-sugeno Sumáo. Intodução.... Modelo akag-sugeno.... Constução de modelos fuzzy -S po seto...4. Apoxmação local Contoladoes fuzzy -S Condções báscas de establdade Establdade paa sstemas fuzzy -S autônomos Establdade paa sstemas fuzzy -S Pojeto de contoladoes fuzzy com LMIs Establdade axa de decamento Exemplo: Modelo -S paa o pendulo nvetdo...6 Refeêncas bblogáfcas...9. Intodução Uma altenatva de pojeto empegando a lógca fuzzy consste na utlzação da modelagem fuzzy do tpo akag-sugeno (S). Nesta aula seá apesentado o desenvolvmento e análse de um contolado fuzzy baseado no modelo -S. Um exemplo de pojeto é apesentado paa um sstema de contole do nível de aço no pocesso de lngotamento contínuo de tas.. Modelo akag-sugeno O modelo -S ncopoa em sua estutua uma descção matemátca e heuístca do pocesso. Isso pemte que seja pojetado um contolado com base no conhecmento expemental do pocesso, onde a análse da establdade do sstema de contole pode se descta como uma solução de desgualdades matcas lneaes, em nglês, Lnea Matx Inequaltes (LMI),

2 que podem se esolvdas efcentemente po técncas de pogamação convexa (baseadas na teoa de conjuntos convexos []). O modelo fuzzy poposto po -S é descto po egas SE e ENÃO que epesentam uma elação entada saída local tpcamente lnea. As egas de um sstema fuzzy contínuo e dsceto são epesentadas como em (5.) e (5.) a segu []. Sstemas fuzzy contínuo (SFC) Rega da planta : Se z () t é M e... e z () t é M xt &() = Axt () + But () Então yt () = Cxt () =,,...,. p p (.) Sstemas fuzzy dsceto (SFD) Rega da planta : Se z () t é M e... e z () t é M xt ( + ) = Axt ( ) + But ( ) Então yt ( + ) = Cxt ( ) =,,..., p p (.) onde M p coesponde ao conjunto de temos lngüístcos assocados às vaáves pemssas z () p t, epesenta o númeo de egas SE-ENÃO, n m x() t R é o veto de estado, ut () R é o veto de entada, A R nxn e BB R nxm são as matzes do sstema. Cada equação lnea local epesentada po

3 () t = Ax() t + Bu() t yt () = Cxt () é efeencada como modelo local do sstema não-lnea. Dado o pa ( x( t), u( t)), o sstema fuzzy esultante é tdo como a méda pondeada dos modelos locas, e tem a foma: SFC { + } w( z()) t Ax() t Bu() t = xt &() = (.3) = w( z( t)) h( z()) t { Ax () t Bu () t } = + = (.4) w( z( t)) C x( t) = () = = ( ()) () h = w ( z( t)) = y t z t C x t (.5) SFD xt ( + ) = = = { + } w( z()) t Ax() t Bu() t w( z( t)) = h( z()) t { Ax() t + Bu() t } = (.6) (.7) w( z( t)) C x( t) = ( + ) = = ( ( )) = w ( z( t)) ( ) = y t h z t C x t (.8) sendo 3

4 zt () = [ z() t z() t... z ()] t (.9) p p w( z( t)) = M ( zj ( t)) j= j w ( z( t)) 0 =,,... w ( z( t)) > 0 = (.0) h( z( t)) = w( z( t)) = w( z( t)). (.) Vefca-se que, h ( z( t)) 0 =,,..., h ( z( t)) = = (.) Paa o modelo fuzzy -S quanto mao o númeo de modelos locas melho seá a epesentação da equação dfeencal não-lnea da planta.. Constução de modelos fuzzy -S po seto Consdee o sstema não lnea = f ( x), f (0) = 0. (.3) A epesentação po seto é da foma x & = f x) [ a a ] x paa d < x( t) < d. ( Esta abodagem po seto gaante a constução de um modelo fuzzy exato paa o sstema (.3) na egão defnda po d < x( t) < d. Exemplo [anaka e Wang]. Consdee o sstema não lnea 3 = x + x x = x + (3 + x. ) x 3 4

5 Obte o modelo fuzzy que apoxma exatamente o sstema. Suponha que x [ ] e x [ ] e eesceva as equações acma da foma x x = x. Paa os temos não lneaes defna z = xx e (3 + x) x z ( + x x = 3 ). Assm, tem-se z = x z. Agoa, calcula os valoes mínmos e máxmos de e z z paa x nos ntevalos defndos anteomente. A pat dos máxmos e mínmos paa e z em < x ( t) < z max z ( t) =, max z ( t) = x ( t), x ( t) x ( t), x ( t) max z ( t) = 4, mn z ( t) = 0 x ( t), x ( t) pode-se esceve x ( t), x ( t) z z = x x = (3 + x = M ( z ).+ M ) x = N ( z ( z ).( ) ).4 + N com M z ) + M ( z ) e N z ) + N ( z ). Potanto, as funções de ( = ( = petnênca nomeadas Postvo, Negatvo, Gande e Pequeno podem se calculadas como segue: ( z ).0 + M ( z) = z, M z z z) =, N ( z) =, N 4 ( 4 z z ) =. 4 ( M (z ) M (z ) N (z ) N (z ) Negatvo Postvo Pequeno Gande - 0 z (t) 0 4 z (t) 5

6 O modelo fuzzy paa o sstema não lnea pode se então descto pelas 4 egas a segu. Rega : Se z Então Rega : Se z Então Rega 3: Se z Então Rega 4: Se z Então é Postvo e z = A x é Postvo e z = A x é Negatvo e z = A x 3 é Negatvo e z = A x 4 é Gande é Pequeno é Gande é Pequeno A =,, 4 A = 0 A 3 =, A 4 =. 4 0 A defuzfcação é obtda a pat de = 4 = em que h ( z) A x h z) = M ( z ) N ( ), h z) = M ( z ) N ( ) ( z ( z h z) = M ( z ) N ( ), h z) = M ( z ) N ( ). 3( z 4( z 6

7 . Apoxmação local Outa abodagem que leva a um númeo eduzdo de egas paa obte modelos fuzzy -S é a chamada apoxmação local em espaços de patções fuzzy. Neste caso, o modelo devado é uma apoxmação do sstema não lnea. A obtenção dos modelos lneaes pode se feta a pat da escolha adequada de pontos de lneazação paa o sstema não lnea..3 Contoladoes fuzzy -S No pojeto do contolado fuzzy -S utlza-se o conceto de compensação dstbuída paalela (CDP). A compensação dstbuída paalela consttu uma técnca de contole paa sstemas fuzzy -S onde, cada contolado é dstbutvamente pojetado paa as coespondentes egas de um modelo fuzzy -S. A teoa de contole lnea pode se usada neste pojeto, poque as pates conseqüentes dos modelos fuzzy -S desctos em (.) e (.) são modelos lneaes. O contolado compatlha os mesmos conjuntos fuzzy na pate pemssa do modelo descto po (.) e (.). Suponha um modelo lnea local () t = Ax() t + Bu() t (.3) n m onde x() t R, u() t R e o pa ( A, B) é contolável. Adotando ut () = Fxt () (.4) tem-se uma le de contole denomnada ealmentação de estado. A matz F é chamada de matz de ganho de ealmentação de estado. Utlzando o conceto CDP e consdeando o modelo fuzzy (.) o contolado fuzzy paa a ega pode se pojetado como segue: Rega do contolado : 7

8 Se z () t é M e... e z () t é M Então u( t) = F x( t), =,,..., p p (.5) O contolado fuzzy consste na detemnação dos ganhos de ealmentação F na pate conseqüente de cada modelo lnea local. Consdeando (.), o contolado fuzzy -S global descto em (.5) é dado pela méda pondeada dos contoladoes de cada ega do modelo lnea local, ou seja: ut () = = w( z( t)) Fx( t) = w( z( t)) = h( z( t)) Fx ( t). = (.6) Substtundo (.6) em (.5) e (.8) obtém-se (.7) e (.8), espectvamente. = j= { } ( t) = h( z( t)) h ( z( t)) A BF x( t ). (.7) = j= j j { } x( t+ ) = h( z()) t hj( z()) t A BF j x(). t (.8) As Equações (.7) e (.8) podem se esctas como (.9) e (.0) espectvamente. Gj + Gj () t = h( zt ()) hj( zt ()) Gxt () + h( zt ()) hj( zt ()) xt () = < j (.9) Gj + Gj x( t+ ) = h( zt ()) hj( zt ()) Gxt () + h( zt ()) hj( zt ()) xt (). = < j (.0) onde 8

9 Gj = A BF j. 3. Condções báscas de establdade A establdade de sstemas de contole fuzzy -S pode se analsada utlzando o método deto de Lyapunov paa sstemas lneaes. Os pncpas esultados paa o caso contínuo estão desctos abaxo [3]. Análse de establdade segundo Lyapunov Consdee o sstema autônomo = Ax sendo x o veto de estados e A uma matz constante. Se A é nãosngula, então o únco estado de equlíbo é a ogem x = 0. Paa este sstema, defna uma função de Lyapunov do tpo V( x) = x Px> 0 (postva defnda) cuja devada em elação ao tempo é V& ( x) = Px + x P = ( Ax) Px + x P( Ax) = x ( A P + PA) x Como V( x) fo escolhda postva defnda, paa se te establdade assntótca é necessáo que V& ( x) V& ( x ) < 0 (negatva defnda) seja negatva defnda, ou seja, Estas condções são esumdas no segunte eoema: eoema : Consdee o sstema autônomo = Ax sendo x o veto de estados e A uma matz constante e não-sngula de dmensões apopadas. Uma condção necessáa e sufcente paa que o estado de equlíbo x = 0 exsta uma matz AP+ PA< 0. P seja assntotcamente estável é que smétca postva defnda, tal que Análse de establdade usando LMIs Baseado no eoema, paa se vefca se um sstema autônomo é 9

10 estável, pecsamos vefca se as seguntes desgualdades são vedadeas: AP+ PA< 0 P= P > 0 Utlzando o módulo LMI do Matlab podemos esceve um pogama paa vefca estas desgualdades smultaneamente. (Ve exemplo) % Exemplo de estudo de establdade usando LMIs A=[0 0; 0 0 ; ]; setlms([]); % Incco da montagem das LMIs P=lmva(,[length(A) ]); % Declaacao que P e uma matz smetca lmtem([ P],,A,'s'); % LMI #: P*A+A'*P<0 lmtem([- P],,); % LMI #: P >0 lmestabldade=getlms; % emno da montagem das LMIs [tmn,xfeasp]=feasp(lmestabldade); % este da factbldade da lm. % Se tmn<0: a LMI e factvel f tmn<0 Pf=decmat(lmestabldade,xfeasp,P); dsp('sstema estavel'); dsp('p= '), dsp(pf) dsp('autovaloes de P'), dsp(eg(pf)) dsp('autovaloes de A'), dsp(eg(a)) else dsp('sstema nstavel') end Análse de establdade usando LMIs Consdee o sstema dnâmco = Ax + Bu sendo x o veto de estados, u o veto de entadas, A e B matzes constantes. O objetvo agoa é pojeta uma le de contole po ealmentação de estados do tpo u = Fx 0

11 que establze o sstema dnâmco. O sstema dnâmco com ealmentação de estados é dado po = Ax BFx = ( A BF) x Podemos então utlza o eoema paa enconta os ganhos de ealmentação de estado F. Po analoga, as condções que devem se checadas agoa são ( A BF) P+ P( A BF) < 0 P= P > 0 Note que a pmea desgualdade não é uma LMI, pos apaece o poduto ente as vaáves P ef. No entanto, usando de uma manpulação algébca, podemos eesceve esta desgualdade como A P F B P + PA PBF < 0 P [ A P F B P + PA PBF] P P A P F B + AP BFP e defn X XA M B = P e M = FP + AX BM < 0 <0 < 0, que esulta em Agoa baseado no eoema, paa vefca se obte os ganhos de ealmentação de estado F paa o sstema dnâmco seja assntotcamente estável, pecsamos vefca se as seguntes desgualdades são vedadeas: XA M B + AX BM < 0 e X = X > 0 Poblema poposto: Utlzando o módulo LMI do Matlab esceva um pogama paa obtenção dos ganhos de ealmentação de estado paa o sstema dnâmco epesentado po: 0 0 A= 0 0 ; B= Dcas: -O pogama Matlab tem a mesma estutua do pogama anteo, paa

12 o sstema autônomo. -Declae as vaáves X e G como vaáves LMI, utlzando o comando lmva. -A pmea LMI tem que se dvdda em duas, uma paa epesenta a vaável X e outa paa epesenta a vaável M. Utlze os comandos lmtem([ X],A,, s ) e lmtem([ M],B,-, s ), espectvamente. -Paa ecupea as vaáves X e M, utlze o comando decmat paa ambas. O contolado pode então se obtdo como F = M*nv(X). O complemento de Schu Pemte esceve uma desgualdade matcal não-lnea em uma foma equvalente que é uma LMI. Seja a desgualdade matcal não-lnea Q(x)-S(x)R(x) - S(x) > 0, R(x) > 0 sendo que Q(x) = Q(x), R(x) = R(x) e S(x) são funções afns em x. Esta desgualdade é equvalente a Q( X ) S( X ) > 0 ( ) ( ) S X R X 4. Establdade paa sstemas fuzzy -S autônomos eoema : Um sstema fuzzy contínuo descto po (.) é globalmente assntotcamente estável no ponto de equlíbo (x=0) se exst uma matz P, smétca e defnda postva tal que AP+ PA< 0 (.) paa todo =,..., coespondendo ao modelo lnea local. Pova: Vde [4].

13 4. Establdade paa sstemas fuzzy -S eoema 3: Um sstema de contole fuzzy descto po (.9) é assntotcamente estável no ponto de equlíbo se exst uma matz P, smétca e defnda postva tal que G P+ PG < 0 (.a) paa todo =,..., e Gj + Gj Gj + Gj P+ P 0 (.b) paa todo, j =,..., exceto os paes (, j) tas que h( zt ( )) h( zt ( )) = 0 zt ( ) com h( z( t)) j epesentando o gau de petnênca da ega e G := A B F. j j Pova: Segue detamente do eoema.. A análse da establdade de sstemas de contole fuzzy se esume em enconta uma matz P que satsfaça a condção do eoema.. Entetanto, sto pode não se possível paa sstemas que apesentam um elevado númeo de egas. Vsando faclta a análse da establdade em sstemas de contole fuzzy são apesentadas no eoema.3 condções de establdade mas elaxadas que as apesentadas anteomente [5]. eoema 4: Suponha que o númeo de egas que estão atvas paa todo t seja meno ou gual a s, sendo < s. O sstema de contole contínuo (.9) é globalmente assntotcamente estável no ponto de equlíbo (x=0), se exst uma matz P, smétca, defnda postva e uma matz Q, smétca e defnda sem-postva tal que: 3

14 G PG P< 0 paa todo =,..., e (.3a) G j + G j G j + G P j P 0 < j (.3b) paa todo, j =,..., exceto os paes (, j) tas que h( zt ( )) h( zt ( )) = 0 zt ( ). Pova: Vde [4]. j 5. Pojeto de contoladoes fuzzy com LMIs As condções de establdade paa sstemas de contole fuzzy -S, vsta nos eoemas..3 podem se vefcadas matematcamente atavés da solução de desgualdades matcas lneaes, LMIs. Além dsso, pojetos baseados em LMIs pemtem o desenvolvmento sstemátco de contoladoes com estções nas vaáves de estado, snal de contole e taxa de decamento, etc. Desta foma o poblema de pojeto paa obtenção dos ganhos de ealmentação F, paa =,,..., pode se fomulado po meo de LMIs. 5. Establdade O pojeto paa detemnação dos ganhos de ealmentação F de um sstema de contole fuzzy -S, obedecendo a condção de establdade apesentado no eoema.3, pode se fomulado como segue Enconte X > 0 e M paa, j =,,..., satsfazendo e XA A X + M B + B M > 0 (.4) 4

15 XA AX XA A X + M B + BM + M B + B M 0 < j (.5) j j j j j j onde X = P M = FX., As condções acma podem se fomuladas em temos de LMIs com espeto às vaáves X, Y e M. Pode-se enconta uma matz defnda postva X e M satsfazendo as LMIs ou detemna que X e M não exstem. Este é um poblema de factbldade. Se o sstema é factível os ganhos de ealmentação F e uma P comum podem se obtdos como P= X F = M X, a pat das soluções X e M. 5. axa de decamento Em um pojeto de sstema de contole não se deve analsa apenas a condção de establdade, mas também outos equstos de desempenho do sstema de contole tas como velocdade de esposta, estções nas vaáves de estado e no snal de contole. Neste tabalho seá analsada a velocdade de esposta do sstema de contole. A velocdade de esposta está elaconada com a taxa de decamento, sto é, o mao expoente da equação de Lyapunov. A condção que V& ( x( t)) αv( x( t)) paa toda a tajetóa é equvalente a: e G P+ PG + α P<0, com=,..., (.6a) Gj + Gj Gj + Gj P+ P + αp 0 < j α > 0 (.6b) com α a taxa de decamento. 5

16 Potanto, o mao lmte nfeo paa a taxa de decamento pode se encontado usando a função quadátca de Lyapunov, consttundo o segunte poblema de otmzação dos autovaloes genealzado em maxmze α e enconte X, Y e M sujeto a P eα : X > 0, Y 0 (.7) XA AX + M B + BM α X > 0, =,..., (.8) XA AX XA AX+ BM+ MB+ BM+ MB 4αX 0, < j (.9) j j j j j j onde X = P M = FX., 6. Exemplo: Modelo -S paa o pendulo nvetdo Paa a constução do modelo fuzzy -S é necessáo à obtenção dos modelos lneaes locas, que modelos descevem o compotamento da dnâmca da planta em dfeentes pontos de opeação. Estes modelos podem se obtdos atavés de uma lneazação feta em tono de dvesos pontos de opeação escolhdos de acodo com o sstema. Nesta aula seão utlzadas de foma compaatva duas técncas de lneazação, a lneazação poposta po exea e Zak [6] e a lneazação po aylo, também conhecda po jacobano. O pêndulo nvetdo pode se descto pelas seguntes equações [anaka e Wang, 00]. = x gsen( x ) amlx sen( x )/ a cos( x ) u 4 l/3 amlcos ( x ) = 6

17 Supõe-se que todas as vaáves de estado são acessíves paa o pojeto. Assm, epesentação espaço de estado do sstema de lngotamento contínuo completo, é dada po: = f( x, u) onde x f( x) = gsen( x) amlxsen( x)/ a cos( x) u ; 4 l/3 amlcos ( x ) abela : Paâmetos da planta. g 9.8[m/s ] l 0.5[m] m.0[kg] a /( m + M ) M 8.0kg O objetvo de contole é poscona o pêndulo na posção vetcal paa x ( π /, π / ). Paa utlza a abodagem é necessáo obte um modelo fuzzy paa epesenta a dnâmca do sstema não lnea. Uma apoxmação do sstema po um modelo fuzzy com egas é como segue Rega : SE x ( t) está em tono de 0 ENÃO ( t) = Ax( t) + Bx( t) Rega : SE x ( t) está em tono ± π / ( x < π / ) ENÃO xt &( ) = Axt ( ) + Bxt ( ) com 0 A = g, 0 4l / 3 aml B 0 = a 4l / 3 aml 0 = g π (4l / 3 amlβ ) 0 A, B 0 = aβ 4l / 3 amlβ 7

18 e β = cos(88). Obsevação : A técncas de lneazação apesentada pode se faclmente constuída com o módulo Symbolc do Matlab. O gadente é dado pelo comando jacoban e as demas vaáves podem se declaandas como sendo símbolos, utlzando o comando syms. Como exemplo, seja a função F( x) = k x o códgo com paa a lneazação desta função utlzando aylo e a fómula de exea e Zak é dado po % Lneazação aylo syms f k x nomax % declaação de símbolos f = k*sqt(x) gadf = jacoban(f,x) % cálculo do gadente at = gadf % Lneazação exea e Zak az = gadf - (f-x*gadf)*x/nomax % cálculo da fómula O pojeto do contolado fuzzy -S consste em enconta os ganhos de ealmentação locas F, =,,...,, paa a pate conseqüente de (.5), tal que o sstema fuzzy -S ealmentado (.7), seja estável e atenda aos equstos de desempenho estabelecdos. A Fg. apesenta o dagama de blocos paa o contole pêndulo usando o modelo fuzzy -S. Refeênca Contolado Fuzzy u Planta x Fgua : Dagama de bloco do contole do pêndulo nvetdo sobe um canho. 8

19 A le de contole esultante é da foma Rega do contolado : SE x ( t) esta em tono de 0 ENÃO u( t) = Fx( t) Rega : SE x ( t) está em tono ± π / ( x < π / ) ENÃO ut ( ) = Fxt ( ) As funções de petnênca utlzadas foam geadas atavés do módulo Fuzzy do MatLab, utlzando os comandos tmf Rega Rega x 90 gaus Fgua : Funções de petnênca egas e contolado fuzzy -S. A solução pode se obtda va as seguntes LMIs dadas em (.7) a (.9) e a establdade vefcada va ( A BF ) P+ P( A BF ) < 0 Gj + Gj G j + Gj ( ) P+ P( ) < 0, < j. As LMIs podem se mplementadas utlzando o módulo LMI do Matlab e os ganhos de ealmentação de estados foam obtdos utlzando os modelos lneaes locas. Refeêncas bblogáfcas [] COLANERI, P., GEROMEL, J. C., LOCAELLI, A. Contol heoy and Desgn. Academc Pess, London,

20 [] PIEROBOM, H. C. Contole de sstemas não-lneaes baseados em LMI utlzando modelos fuzzy. Dssetação de mestado, Faculdade de Engenhaa de Ilha Soltea, UNESP, 999. [3] ANAKA, K.; SUGENO, M. Stablty analyss and desgn of fuzzy contol systems. Fuzzy Sets and Systems, v. 45, n., p.35-56, 99. [4] CHEN, C. Lnea system theoy and desgn. 3.ed. New Yok Oxfod, Oxfod Unvesty, 998. Cap. 5, p. -4: Stablty. [5] IKEDA,.; ANAKA, K.; WANG H. Fuzzy egulatos and fuzzy obseves: elaxed stablty condtons and LMI-based desgns. IEEE tans. On fuzzy systems, v. 6, n., p , 998. [6] EIXEIRA, M.; ZAK, S. Stablzng contolle desgn fo uncetan nonlnea systems usng fuzzy models. IEEE tans. On fuzzy systems., v. 7, n., p. 33-4, 999. [7] ANAKA, K.; WANG H O. Fuzzy contol systems desgn and analyss: a lnea matx nequalty appoach. John Wley and Sons, 00. 0