APLICAÇÃO DE INTERFERÊNCIA LÓGICA EM PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO DE PRODUÇÃO

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1 APLICAÇÃO DE INTERFERÊNCIA LÓGICA EM PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO DE PRODUÇÃO Edlson de J. Santos Cento de Cêncas Fomas e Tecnologa Unvesdade Tadentes (UNIT) Aacau SE E-mal: conde@untnet.com.b M.T.M. Rodgues Faculdade de Engenhaa Químca UNICAMP v.7 n.2 p ago L. Gmeno Late Faculdade de Engenhaa Elétca UNICAMP Resumo A Pogamação de Podução de plantas flexíves tem meecdo cescente atenção no âmbto da Engenhaa Químca nos últmos anos. O obetvo pncpal da Pogamação de Podução é a alocação tempoal de ecusos tas como dsponbldade de matéa-pma utldades e mão-deoba pocuando otmza um ctéo de desempenho. Este tpo de poblema é computaconalmente dfícl de se esolvdo e as dfeentes abodagens popostas têm se mostado nadequadas no que se efee ao tempo paa a obtenção da solução ótma. No pesente tabalho a abodagem MILP (Mxed Intege Lnea Poblem) baseada em uma dscetzação unfome do tempo de podução é utlzada untamente com uma abodagem de ntefeênca lógca extena esta últma desenvolvda utlzando elações lógcas envolvendo ecusos compatlhados as quas são mplementadas no sstema OSL (Optmzaton Suboutne Lbay). Palavas-chave: sstemas químcos pocessos batelada pogamação de podução pogamação matemátca nfeênca lógca. 1. Intodução Q uando se pate paa a fomulação matemátca de um detemnado poblema dfeentes modelos podem sug pncpalmente quando esta fomulação exge vaáves nteas sendo que cada um dos modelos apesenta uma detemnada dfculdade de solução assocada.

2 96 Santos Rodgues Late Aplcação de Intefeênca Lógca Neste fato esde um dos pncpas obetvos de pesqusadoes que atuam na áea de modelagem matemátca que é a obtenção de modelos de baxo custo de solução possbltando assm a solução de poblemas cada vez mas póxmos dos poblemas eas que no caso patcula da pogamação de podução esta ealdade é epesentada pelo elevado númeo de estções envolvdas (as quas podem se de fomulação complexa) e/ou pelo gande númeo de taefas habltadas aos equpamentos. Esta últma caacteístca é taduzda em um aumento no númeo de vaáves bnáas fato detemnante e ncontestável paa o aumento do custo computaconal de solução dos poblemas de pogamação de podução. Buscando dmnu o custo de solução de poblemas de síntese de pocessos RAMAN & GROSSMANN (1991) mostam como elações lógcas podem se obtdas e aplcadas duante a solução dos modelos no sstema OSL (Optmzaton Suboutne Lbay) dmnundo assm o tempo de solução dos mesmos. Posteomente RAMAN & GROSSMANN (1992) mostam como estções lógcas na foma de nequações podem melhoa o custo de solução de poblemas de síntese de pocesso. HOOKER (1994) mosta que a déa básca da utlzação desse conhecmento lógco (logc cuts) é a substtução de elementos essencas e cucas de otmzação po elementos de natueza lógca. O uso de conhecmento lógco duante a solução do poblema mplca que de alguma foma o pacote a se utlzado pemta tas ntefeêncas. Neste ponto o poeto de mplementação do OSL pemte que o usuáo em detemnados pontos da busca em ávoe possa ntefe e nova os pocedmentos padões das sub-otnas do efedo pacote (BROOKE et al. 1988). Centado nesta caacteístca este tabalho exploa ntefeêncas lógcas envolvendo ecusos compatlhados neentes aos poblemas de pogamação de podução na tentatva de dmnução do custo de solução. 2. Apesentação da Modelagem Matemátca paa a Pogamação de Podução em Sstemas Flexíves A s estutuas de pocessamento podem segundo BAKER (1973) se classfcadas como estutuas multestágos em sée (planta multpoduto) e multestágos (planta multpopósto) que são as estutuas mas comuns nos pocessos químcos. Em mutos poblemas envolvendo estas estutuas uma das estções a se consdeada é a ofeta lmtada de ecusos compatlhados assm como mão-de-oba água enega e outas utldades. Neste tabalho a modelagem de sstemas flexíves de manufatua é desenvolvda utlzando a epesentação Rede-Estado-Taefa (STN State Tas Netwo) poposta po KONDILI et al. (1993). A fomulação va Rede-Estado-Taefa é aplcada na pogamação de podução de cuto pazo em estutuas de podução flexíves. Uma das caacteístcas dessa fomulação é a utlzação da epesentação da estutua de podução atavés do detalhamento das ecetas de manufatua dos podutos como mosta a Fgua 1. A Fgua 2 mosta uma epesentação de sstema flexível de podução. Os nós que smbolzam os estados podem epesenta: matéas-pmas mateas em pocesso (podutos ntemedáos) e podutos fnas; á os nós smbolzadoes das taefas (os etângulos) dentfcam a seqüênca das taefas (as quas são habltadas paa seem desenvolvdas em dfeentes equpamentos detemnando assm as opeações de podução) necessáas paa a manufatua dos podutos (ntemedáos ou fnas). Nota-se que po meo desta epesentação todos os mateas necessáos paa o desenvolvmento de uma opeação fcam pefetamente defndos. 2.1 Modelagem de Sstemas Flexíves de Podução va Conceto Rede-Estado-Taefa Quando se pate paa a solução de poblemas de pogamação de podução va fomulação

3 GESTÃO & PRODUÇÃO v.7 n.2 p ago Fgua 1 Repesentação da Estutua de Podução va Rede-Estado-Taefa (KONDILI et al. 1993). Fgua 2 Repesentação de pocessos va Rede-Estado-Taefa. matemátca obsevamos duas estções são báscas paa a modelagem: A estção de odenação das opeações de dfeentes taefas em cada equpamento; A estção de pecedênca tecnológca estabelece que uma opeação de uma detemnada taefa só pode se desenvolvda depos do témno da opeação anteo. A modelagem poposta po KONDILI et al. (1993) utlza a dscetzação unfome do tempo pevamente fxada. Neste caso o hozonte de podução (H) estpulado paa o témno de toda a podução é dvddo em um númeo de ntevalos de gual duação denomnados de peíodo de tempo ou slot. O detalhamento da modelagem aqu abodada é apesentada po KONDILI et al. (1993). Assm sendo neste tabalho são mostadas estções báscas paa solução dos poblemas. A estção de não-coexstênca de opeações em um detemnado equpamento é poposta po SHAH et al. (1993). Esta estção envolve vaáves bnáas de alocação. TP + 1 W 1 I = : índce de taefas; : índce de equpamentos; : índce de peíodo de tempo; H: hozonte de tempo;

4 98 Santos Rodgues Late Aplcação de Intefeênca Lógca A B H-1 H H+1 Fgua 3 Repesentação da alocação das taefas A e B. tempo (h) TP : tempo de pocessamento da taefa ; I : conunto de taefas habltadas ao equpamento. A estção de não-coexstênca de opeações em um detemnado equpamento é epesentada na Fgua 3 onde duas opeações não podem se executadas no mesmo peíodo de tempo em um detemnado equpamento. W 1 = 0 se a opeação ( ) nca seu pocessamento no peíodo de tempo caso contáo A vaável bnáa W detemna ou não a alocação de uma taefa em um equpamento no níco do peíodo de tempo. A estção de pecedênca tecnológca que detemna a odenação das dvesas opeações de uma taefa é gaantda nesta fomulação po meo de uma equação de balanço de mateal em tono de cada estado em cada peíodo de tempo como é mostado a segu. S s = Ss 1 + qo B( -TP ) - Tos J s Ts qe J B s s: índce de estados; S s : quantdade de mateal no estado s em estoque no níco do peíodo de tempo ; B : quantdade de mateal da opeação em pocessamento no equpamento no níco do peíodo de tempo ; qo s : pecentagem de mateal da opeação que gea mateal no estado s; qe s : pecentagem de mateal da opeação povenente do estado s; TP s : tempo de pocessamento da opeação que poduz mateal no estado s; TP : tempo de pocessamento da opeação (max Tp s ); J : conunto de equpamentos habltados paa o desenvolvmento da taefa ; T s : conunto de taefas que consomem mateal no estado s; To s : conunto de taefas que geam mateal no estado s. A estção de pecedênca tecnológca é epesentada pela Fgua 4. Uma opeação de uma detemnada taefa só pode se desenvolvda depos do témno das opeações anteomente ncadas. As condções ncas de estoque de cada mateal ntemedáo e/ou podutos (S s0 ) quantdade de cada estado s no níco da podução (peíodo de tempo gual a 1) devem se conhecdas. A quantdade de mateal a se pocessada em um detemnado equpamento deve obseva a dsponbldade de amazenagem paa o espectvo mateal. Esta estção é dada po: 0 S C s s s C s : capacdade de amazenagem dsponível paa o estado s. O consumo de ecusos em um detemnado peíodo é dado po: Q J = = TP + 1 CR W Q : quantdade total do ecuso necessáo no peíodo de tempo ; CR : quantdade de ecuso exgda pela taefa quando é desenvolvda no equpamento.

5 GESTÃO & PRODUÇÃO v.7 n.2 p ago Fgua 4 Restção de pecedênca tecnológca. tempo (h) A lmtação de consumo é dada pela expessão abaxo: Q Of Of : quantdade de ecuso dsponível na planta. Esta estção gaante que a lmtação de ecuso não sea volada mpedndo assm a confguação mostada na Fgua 5 na qual a ofeta de ecuso é 10 u.. (undades de ecuso). No peíodo 18 a ofeta do detemnado ecuso enconta-se volada. As estções que contemplam o consumo de ecusos compatlhados contbuem de modo sgnfcatvo paa o aumento de complexdade de solução dos poblemas. No caso de estutuas de podução com pocessadoes em paalelo e que nem todas as taefas seam habltadas a todos equpamentos é necessáo algumas efomulações nas estções vstas anteomente. Em cada estágo de podução (que pode compota váos equpamentos em paalelo) cada opeação só pode se pocessada em um dos equpamentos. Esta caacteístca de podução é dada po: E J W =1 E E: índce de estágos de pocessamento; E : conunto de equpamentos em paalelo no estágo E. Adotando-se o tempo de execução total das taefas (maespan) como função obetvo tem-se M W E J + TP -1 E = NE NE: númeo de estágos de pocessamento; M : tempo de execução da taefa no últmo equpamento.

6 100 Santos Rodgues Late Aplcação de Intefeênca Lógca Fgua 5 Pogama pacal de podução nfactível. tempo (h) 3. Relações Lógcas Envolvendo Recusos Compatlhados A s elações lógcas que envolvem a quantdade de ecuso consumdo em um detemnado peíodo de tempo são desenvolvdas abaxo. ( of QC ) Ρ = < CR W ( ( ): CR + QC > of ( ) ) P NA P: conunto de opeações que não podem se alocadas em devdo à falta de ecuso ;. A: conunto de opeações () alocadas; NA: conunto de opeações não alocadas; W : vaável bnáa de alocação da opeação () no peíodo ; C : quantdade do ecuso exgda pela opeação (); QC : quantdade consumda de ecuso no peíodo de tempo das opeações alocadas. Esta quantdade de consumo é avalada pelas opeações alocadas anteomente a um detemnado ponto da ávoe de busca. Isto é possível pos o OSL pemte o acesso a seu pocesso de busca banch and bound. A estção lógca dada pela expessão mpede que novas opeações seam alocadas duante o desenvolvmento da ávoe de banch and bound se não houve ecusos dsponíves paa a execução dessas opeações evtando assm volação de estções e conseqüentemente nós da ávoe de busca nexoáves. Logo o sstema de nfeênca lógca desenvolvdo fxa as vaáves bnáas (W ) em 0 (zeo) quando não exste ecuso dsponível em um detemnado peíodo de tempo esta análse é feta duante o pocesso de busca em ávoe.

7 GESTÃO & PRODUÇÃO v.7 n.2 p ago Mstuado Reato Sepaado C tempo (h) Fgua 6 Stuação da estutua de podução com a alocação da opeação (C Sepaado) no peíodo 15. A segu as expessões lógcas povenentes de toda a análse feta anteomente envolvendo o compatlhamento de ecusos são ncopoadas à metodologa banch and bound. O OSL é um sstema que pemte ntefeêncas duante o desenvolvmento da ávoe de busca paa tanto são fonecdas as chamadas sub-otnas use ext que possbltam que o usuáo altee seus pocedmentos. Dente as sub-otnas use ext utlzadas neste tabalho estão: EKKBRNU: pemte que egas de seleção da vaável a se amfcada seam mplementadas pelo usuáo. EKKCHNU: pemte que a ega padão de escolha do nó do sstema OSL sea modfcada. EKKEVNU: pemte que seam fetas análses em cada nó da ávoe banch and bound. Nesta sub-otna é mplementada a expessão lógca que fxa vaáves bnáas em 0 quando estas não pudeem mas assum o valo 1 ou sea quando opeações não pudeem mas se alocadas po falta de ecusos. Na dentfcação de vaáves bnáas que quando fxadas em 1 podem gea nós nfactíves devdo a não-satsfação da estção de lmtação de ofeta de ecuso dos conuntos de peíodos de tempo que podem leva a esta stuação de nfactbldade são estabelecdos. Paa estabelece o pmeo conunto (conunto I) de peíodos nfactíves consdee a stuação em que a opeação (C sepaado) sea alocada no peíodo 15 e que esta opeação necesste de 5 undades de ecusos (u.). a) Estabelecmento do conunto I de vaáves não canddatas à amfcação. Analsando a Fgua 6 nos peíodos po exemplo a opeação (A eato) não pode se alocada consdeando que esta necessta de 8 u. pos a opeação (C sepaado) enconta-se consumndo 5 u.. Logo é pefetamente possível elmna do pocesso de busca as vaáves bnáas que epesentam a alocação da opeação (A eato) nos peíodos de 15 a 18. Consdeando a Tabela 1 po exemplo nota-se que as vaáves bnáas epesentantes da alocação da taefa A no eato nos peíodos de 15 a 18 apesentam valoes faconáos e potanto são canddatas à amfcação (as vaáves da Tabela 1 podem se fxadas em 1) sto poque não há como o esolvedo (que neste tabalho coesponde ao OSL) detecta que tal escolha vola ofeta de ecuso. Dgamos po exemplo que a vaável W A(2)(18) sea escolhda pelo OSL paa gea um novo nó sto leva o sstema de podução à stuação mostada na Fgua 5. No peíodo 18 o consumo de ecuso extapola a ofeta estpulada conseqüentemente a

8 102 Santos Rodgues Late Aplcação de Intefeênca Lógca Tabela 1 Valoes das vaáves bnáas da opeação (A eato) em um detemnado ponto da ávoe. Peíodos Vaáves bnáas de alocação Valoes das vaáves 15 W A(2) W A(2) W A(2) W A(2) opeação (A eato) não deve se alocada nos peíodos e 18 sgnfcando que as vaáves bnáas de alocação dadas na Tabela 1 devem se fxadas em 0 evtando assm a fxação em 1. Consdeando a alocação dada pela Fgua 5 em que a opeação (C sepaado) fo alocada no peíodo 15 a detemnação de peíodos nfactíves é mostada a segu. S1 = { + 1 h + TP 1} : taefa alocada; : taefa não alocada; : pocessado onde fo alocada; : pocessado convenente ao pocessamento da taefa ; : peíodo de alocação; S1 : conunto de peíodos de alocação nfactíves paa alocação das opeações ( ); Tp : tempo de pocessamento de em. Consdeando o tempo de pocessamento da opeação (C sepaado) gual a 4 h tem-se que o conunto I de peíodos nfactíves é dado po: S 1 A( 2) = { } As vaáves bnáas de alocação coespondentes à alocação da opeação (A eato) nestes peíodos de tempo podem então se elmnadas do pocesso de busca ou sea podem se fxadas em 0. A Fgua 7 mosta a fxação destas vaáves em 0. A mesma análse é feta paa as demas opeações que tem seu níco de pocessamento devdo à alocação da opeação da taefa C no sepaado. b) Estabelecmento do conunto II de vaáves não canddatas à amfcação. De acodo com as caacteístcas de pocessamento da planta onde as opeações são desenvolvdas sem nteupção uma vez ncado o seu pocessamento pode-se a pat de um peíodo de alocação de alguma opeação detemna um conunto de peíodos onde opeações que consomem quantdades de ecuso além da ofeta não podem se ncadas. Este conunto de peíodos nfactíves paa uma detemnada opeação ( ) é dado abaxo. S2 = { TP } < S2 : conunto de peíodos de alocação nfactíves paa a opeação ( ); : taefa alocada; : taefa anda não alocada; : pocessado onde fo alocada; : pocessado onde seá alocada; : peíodo de alocação; TP : tempo de pocessamento da taefa no pocessado. A Fgua 8 mosta as vaáves sendo fxadas a pat do conunto II. Estas vaáves epesentam o níco da opeação (A eato) em peíodos de tempo que podem leva a execução smultânea com a opeação (C sepaado) a qual se enconta alocada.

9 GESTÃO & PRODUÇÃO v.7 n.2 p ago tempo (h) Fgua 7 Fxação de vaáves bnáas em 0 pela análse do conunto S2 A1. Fgua 8 Fxação de vaáves bnáas em 0 pela análse do conunto S2 A2.

10 104 Santos Rodgues Late Aplcação de Intefeênca Lógca Tabela 2 Resultados em função do númeo de nós geados. Poblema GAMS/OSL OSL com Intefeênca Lógca Poblema 1 Taefas Pocessadoes Restções Vaáves Vaáves Bnáas Não zeos Nós CPU (s) Poblema 2 Taefas Pocessadoes Restções Vaáves Vaáves Bnáas Não zeos Nós CPU (s) Poblema 3 Taefas Pocessadoes Restções Vaáves Vaáves Bnáas Não zeos Nós CPU (s) (+) SPARC/SOLARIS (*) RISC/ Dscussão de Resultados e Conclusão E ste tabalho tem como pncpal obetvo mosta que ente a solução devdamente apesentada dento de um ctéo de satsfação admssível po pate do usuáo e o pocesso que se desenvolve paa se alcança esta solução exstem pontos que podem e devem se exploados. Este tabalho utlza a modelagem va Rede-Estado-Taefa como uma foma fácl de epesentação das caacteístcas de pocesso em sstemas flexíves como po exemplo as que envolvem ecusos compatlhados estabelecmento. No entanto mesmo apesentando esta facldade de modelagem o estudo detalhado do pocesso de solução elatvo à ávoe de busca nseta nos pacotes destnados à solução desses modelos como é o caso do OSL mosta defcêncas oundas da unção de elementos matemátcos (epesentados pela função obetvo e pelas estções que gaantem a fenomenologa do poblema) com o elemento de ntelgênca atfcal (epesentado pela metodológca banch and bound que busca satsfaze as estções de ntegaldade das vaáves bnáas as quas devem apesenta valoes 0 ou 1 na solução). Se tas defcêncas não foem devdamente elmnadas do pocesso de busca tem-se um aumento excessvo na dfculdade computaconal e mutas vezes mpossblta a solução do poblema. Como apesentado na Tabela 2 em todos os poblemas analsados o sstema que utlza o

11 GESTÃO & PRODUÇÃO v.7 n.2 p ago conhecmento lógco geou menos nós que o GAMS (Geneal Algebac Modellng System). Este pacote fo utlzado paa solucona os poblemas sem nfeênca lógca. Nota-se que a dmnução do númeo de nós quando se utlza o sstema com nfeênca lógca é sgnfcatva e esta dmnução va depende po exemplo da lmtação do ecuso. Quando se tem mutas opeações que competem pelo mesmo ecuso a possbldade de fxa vaáves duante a busca seá mao se a ofeta do mesmo fo pequena. Refeêncas Bblogáfcas BAKER K.R.: A Compaatve Study of Flow-Shop Algothms BROOKE A.; KENDRICK D. & MEERAUS A.: GAMS A Use s Gude Release 2.25 The Scentfc Pess Sees Boyd & Fase Publshng Company Danves Massachusetts HOOKER J.N.: Logc-Based Methods Fo Optmzaton: A Tutoal. ORSA Compute Scence Techncal Secton Confeence Wllamsbug VA USA Januay KONDILI E.; PANTELIDES C.C. & SARGENT W.H.: A Geneal Algothm Fo Shot-Tem Schedulng Of Batch Opeatons I: MILP Fomulaton Computes Chem. Eng. 17 pp RAMAN R. & GROSSMANN I.E.: Relaton Between MILP Modellng and Logcal Infeence fo Chemcal Pocess Synthess Computes Chem. Eng. Vol. 15 No. 2 pp RAMAN R. & GROSSMANN I.E.: Integaton of Logc and Heustc nowledge n MILP Optmzaton fo Pocess Synthess Computes Chem. Eng. Vol. 6 No. 3 pp SHAH N.; PANTELIDES C.C. & SARGENT W.H.: A Geneal Algothm fo Shot- Tem Schedulng of Batch Opeatons II: Computatonal Issues Computes Chem. Eng. 17 pp APPLICATION OF LOGICAL INFERENCE PRODUCTION SCHEDULING PROBLEMS Abstact Poducton schedulng of flexble plants has ecevng gowng nteest n the last yeas because of ts economcal mpotance. The man obectve s to allocate the shaed esouces as avalablty of equpments utltes and manpowe n ode to mnmze some pefomance ctea as fo example maespan tadness etc. That poblem s classfed as computatonally had to handle and dffeent appoaches poposed n the lteatue ae unable to solve lage poblems. Ths pape ntoduces anothe appoach usng a Mxed Intege Lnea Poblem (MILP) fomulaton based on the State Tas Netwo (STN) epesentaton and the soluton s obtaned by usng logcal nfeence based on shaed esouces. Key wods: chemcal systems batch pocesses poducton schedulng mathematcal pogammng logcal nfeence.