JONY LAUREANO SILVEIRA MODELAGEM NUMÉRICA 3D DE PROBLEMAS DE COMPATIBILIDADE ELETROMAGNÉTICA UTILIZANDO O MÉTODO TLM-TD

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1 JONY LAUREANO SILEIRA MODELAGEM NUMÉRICA 3D DE PROBLEMAS DE COMPATIBILIDADE ELETROMAGNÉTICA UTILIZANDO O MÉTODO TLM-TD FLORIANÓPOLIS 00

2 UNIERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA MODELAGEM NUMÉRICA 3D DE PROBLEMAS DE COMPATIBILIDADE ELETROMAGNÉTICA UTILIZANDO O MÉTODO TLM-TD Tese submetda à Unvesdade Fedeal de Santa Catana como pate dos equstos paa a obtenção do gau de Douto em Engenhaa Elétca. JONY LAUREANO SILEIRA Floanópols, Outubo de 00

3 MODELAGEM NUMÉRICA 3D DE PROBLEMAS DE COMPATIBILIDADE ELETROMAGNÉTICA UTILIZANDO O MÉTODO TLM-TD Jony Laueano Slvea Esta Tese fo julgada adequada paa obtenção do Título de Douto em Engenhaa Elétca, Áea de Concentação em Compatbldade Eletomagnétca, e apovada em sua foma fnal pelo Pogama de Pós-Gaduação em Engenhaa Elétca da Unvesdade Fedeal de Santa Catana. Pof. Adoaldo Raze, D. Oentado Pof. Edson Robeto de Pe, D. Coodenado do Pogama de Pós-Gaduação em Engenhaa Elétca Banca Examnadoa: Pof. Adoaldo Raze, D. Pesdente Pof. Lonel Pchon, D. Co-Oentado Pof. Jame Atuo Ramíez, PhD. Relato Pof. James Roudet, D. Relato Pof. Walte Capes J., D.

4 (...) O fato é que o capacto e o nduto são a cosa eal e seus modelos matemátcos são a apoxmação não-deal. P. B. Johns

5 Dedco este tabalho aos meus pas, Zefeno e Daua, po me mostaem que ensna só não é mas mpotante que apende; aos meus mãos, James e Jane Daua, Po teem me conceddo a hona de apendemos juntos; e à mnha esposa Lucana, po me lemba, a cada da de exílo, que longe é um luga que não exste... v

6 Agadecmentos Duante a concetzação deste tabalho tve a gata satsfação de conta com os esfoços de mutos, o apoo ncondconal de alguns e a dedcação (mutas vezes beando a enúnca) dos mas póxmos. A todos estes gostaa que os esultados po mm obtdos, bem como a ajuda que eles possam epesenta a outos desta áea, svam, mas que mnhas palavas, como foma de agadecmento. Nunca goste de lstas. Po mas elaboadas e mnucosas, elas sempe são ncompletas e conseqüentemente njustas. Tentae, no entanto, cta algumas pessoas e nsttuções que compatlhaam comgo desta mesma camnhada. Incalmente, gostaa de agadece ao Pofesso Adoaldo Raze, pela oentação e sobetudo pela confança em mm depostada. Espeo snceamente te atenddo às suas expectatvas. J ameas emece également à Monseu Lonel Pchon, Chagé de Recheche au CNRS, qu a encadé mes tavaux de thèse en Fance. J a beaucoup apps avec ses consels et ses emaques. Qu l touve c l expesson de ma pofonde econnassance. Gostaa de expessa mnha gatdão aos colegas da Geênca Educaconal de Eletônca, do CEFET de Santa Catana, que tomando paa s pate de mnhas atvdades, pemtam que este tabalho logasse êxto. Gostaa de agadece especalmente aos Pofessoes Golbe de Salvado Feea, Paulo Robeto Wollnge, Danel Feea Coutnho e Paulo Rcado Telles Rangel, pelo apoo e amzade sncea. Agadeço pofundamente ao pessoal do GRUCAD e do GEMCO, laboatóos da UFSC, onde sempe fu tão bem acolhdo e onde pude desfuta de ótmos momentos de convívo e pecosas dscussões centífcas. Gostaa de agadece especalmente aos Pofessoes João Pedo Assumpção Bastos e Patc Kuo-Peng; também aos companheos: Mauíco alênca Feea da Luz, Celly Dulcema Melo, Hugo Amando Domnguez, Muel Bttencout de Lz, Mlton Bley e Alexande Dalla Rosa. v

7 Je tens à expme toute ma econnassance à Monseu Adel Raze, Decteu de Recheche au CNRS, qu m a accuell dans son équpe de echeche et qu a dgé mes tavaux de thèse em Fance. Pelo nteesse e pelas excelentes sugestões, agadeço aos pofessoes que patcpaam do exame de qualfcação e da banca de tese, Pofessoes Walte Capes J, James Roudet, Jame Atuo Raméz, Gulheme Alfedo Dentzen Das e Macos Telló. Gostaa de expessa meu agadecmento à CAPES que tonou possível o desenvolvmento de pate deste tabalho na Fança. Gostaa de expessa anda, mnha pofunda consdeação pelas pessoas que fazem esta entdade funcona com tamanha efcênca, em especal à Sa. Mata Elas Rbeo de Olvea, sempe atenta às mnhas dúvdas com pesteza etocável. J assoce à ces emecements les pesonnes que j a encontées e qu m ont suppoté au LGEP et à Supélec. J ameas expme patculèment ma gattude à Lauent Santandéa, Salah Benhassne, Mloud Tafeguent, Kan Azoum, Ncolas Caea, Andés Tejena et Fancesco Malavenda, qu malgé la dstance, je consdèe comme mes ams. Enfm, a todos aqueles que começaam esta camnhada comgo e po um motvo ou outo não pudeam chega até aqu. Mas do que pate de uma lsta, eles fazem pate do que eu sou e snto. Obgado! v

8 Resumo da Tese apesentada à UFSC como pate dos equstos necessáos paa a obtenção do gau de Douto em Engenhaa Elétca. MODELAGEM NUMÉRICA 3D DE PROBLEMAS DE COMPATIBILIDADE ELETROMAGNÉTICA UTILIZANDO O MÉTODO TLM-TD JONY LAUREANO SILEIRA Outubo/00 Oentado: Adoaldo Raze Áea de Concentação: Eletomagnetsmo e Dspostvos Eletomagnétcos Palavas-chave: Compatbldade Eletomagnétca, Modelagem Numéca, TLM-TD (Tansmsson-lne Modelng Method) Númeo de Págnas: 44 RESUMO: Este tabalho está voltado ao estudo de fenômenos lgados à compatbldade eletomagnétca atavés do uso de modelos numécos de dscetzação no domíno do tempo. O texto pode se dvddo em duas pates pncpas. A pmea apesenta uma compaação dos pncpas métodos empegados paa a solução numéca de poblemas da áea e apofunda-se na fomulação do método TLM-TD (Tansmsson-lne Modelng Method Tme Doman). Este método é detalhado em suas vesões undmensonal, bdmensonal e tdmensonal. Especal cudado é dedcado à fomulação tdmensonal, onde são abodados poblemas como a heteogenedade do meo, pesença de pedas e tatamento de malhas egulaes. Uma segunda pate deste tabalho é dedcado à mplementação, valdação e aplcação de um algotmo baseado na fomulação tdmensonal do método TLM-TD paa a análse de poblemas lgados à compatbldade eletomagnétca. A valdação pelmna do algotmo desenvolvdo é feta atavés da compaação com valoes analítcos paa poblemas de popagação de ondas em meos homogêneos e heteogêneos com pedas. O algotmo assm valdado, é então empegado na análse da efetvdade de blndagem de gabnetes metálcos dotados de fendas (slots) e abetuas. Fnalmente, são analsadas váas confguações de ateamento mpulsvo, nvestgando-se fluxos de coente e potencas nos condutoes e na supefíce do solo. áos destes casos têm seus esultados compaados com outas efeêncas. v

9 Abstact of Thess pesented to UFSC as a patal fulfllment of the equements fo the degee of Docto n Electcal Engneeng. 3D NUMERICAL MODELLING OF ELECTROMAGNETIC COMPATIBILITY PROBLEMS USING THE TLM-TD METHOD JONY LAUREANO SILEIRA Octobe/00 Advso: Adoaldo Raze, D. Aea of Concentaton: Electomagnetc Compatblty. Keywods: Electomagnetc Compatblty, Numecal Modelng, Tansmsson-lne Modelng Method - Tme doman (TLM-TD) Numbe of Pages: 44. ABSTRACT: Ths thess addesses the phenomena elated wth the Electomagnetc Compatblty though the use of numecal dscete models n the tme doman. The contbuton of ths thess can be pesented n two man pats. Fstly, the common numecal methods used fo solvng Electomagnetc Compatblty poblems ae compaed and a specal attenton s gven to the TLM-TD (Tansmsson-lne Modellng Method - Tme Doman) method. Ths technque s ntoduced n ts one-dmensonal appoach. In the sequel, the two- and thee-dmensonal vesons ae then studed. In patcula, fo the t-dmensonal case seveal poblems ae addessed stessng the nhomogeneous meda, pesence of loss and egula meshes. Secondly, a numecal algothm based on the theedmensonal TLM-TD method s desgned, valdated and appled to some Electomagnetc Compatblty poblems. The valdaton s done by compang the obtaned numecal esults wth analytcal solutons of wave popagaton n homogeneous and nhomogeneous lossy mateals. Aftewads, the poposed algothm s used fo analyzng the sheldng effectveness of enclosues wth multple slots and apetues. Fnally, seveal confguatons of mpulsve goundng systems ae analyzed tang nto account the electc cuent and voltages on the suface of the sol and goundng conductos. These esults ae then compaed wth othe appoaches fom the Electomagnetc Compatblty lteatue. v

10 SUMÁRIO RESUMO... v ABSTRACT... v SUMÁRIO... x INTRODUÇÃO MODELAGEM NUMÉRICA DE PROBLEMAS DE COMPATIBILIDADE ELETROMAGNÉTICA INTRODUÇÃO MODELAGEM NUMÉRICA MÉTODOS INTEGRAIS E DIFERENCIAIS DOMÍNIO DO TEMPO E DA FREQÜÊNCIA MÉTODOS NUMÉRICOS PARA APLICAÇÃO EM EMC MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (FEM) MÉTODOS DE DIFERENÇAS FINITAS NO DOMÍNIO DO TEMPO (FDTD) MÉTODO DOS MOMENTOS (MOM) MÉTODO DE MODELAGEM POR LINHAS DE TRANSMISSÃO (TLM) CONCLUSÃO DESTA SEÇÃO FORMULAÇÃO TRIDIMENSIONAL DO MÉTODO TLM-TD INTRODUÇÃO FORMULAÇÃO BIDIMENSIONAL DO TLM-TD NÓ SÉRIE DO TLM NÓ PARALELO DO TLM FORMULAÇÃO TRIDIMENSIONAL DO TLM-TD NÓ CONDENSADO SIMÉTRICO (SCN) MATRIZ DE ESPALHAMENTO CONEXÃO COM O INSTANTE DE TEMPO SEGUINTE CONDIÇÕES DE CONTORNO DETERMINAÇÃO DO TEMPO DE PROPAGAÇÃO NO SCN EXCITAÇÃO NO TLM-TD TRIDIMENSIONAL CÁLCULO DE CAMPOS CÁLCULO DE CORRENTES MODELAGEM DE MATERIAIS CONDUTORES MODELAGEM DE CASOS NÃO-HOMOGÊNEOS CÁLCULO DE CAMPOS EM MEIOS NÃO-HOMOGÊNEOS MODELAGEM DE PERDAS ERRO DE DISPERSÃO TOPOLOGIAS ESPECIAIS MALHA ARIÁEL MALHA MULTI-GRADE CONCLUSÃO DESTA SEÇÃO x

11 3 - DESENOLIMENTO DO ALGORITMO 3D INTRODUÇÃO ETAPA DE PRÉ-PROCESSAMENTO ETAPA DE PÓS-PROCESSAMENTO ETAPA DE PROCESSAMENTO PROGRAMA PRINCIPAL ROTINA DE INICIALIZAÇÃO ROTINA DE EXCITAÇÃO ROTINA DE CÁLCULO DAS TENSÕES, CORRENTES E CAMPOS ROTINA DE ESPALHAMENTO ROTINA DE CONEXÃO ERIFICAÇÃO DO NÚMERO DE ITERAÇÃO ROTINA DE GRAAÇÃO DOS RESULTADOS ALIDAÇÃO DO CÓDIGO MODELAGEM DE UM MEIO HOMOGÊNEO MODELAGEM DE UM MEIO HETEROGÊNEO COM PERDAS CONCLUSÃO DESTA SEÇÃO ANÁLISE DA EFETIIDADE DE BLINDAGEM DE UM GABINETE METÁLICO INTRODUÇÃO GABINETE BLINDADO EFETIIDADE DE BLINDAGEM RESULTADOS NUMÉRICOS RESULTADOS COM FENDAS RESULTADOS COM ABERTURAS RESULTADOS DE INTERFERÊNCIA CONCLUSÃO DESTA SEÇÃO ANÁLISE DE SISTEMAS DE PROTEÇÃO CONTRA DESCARGAS ATMOSFÉRICAS INTRODUÇÃO SURTO ATMOSFÉRICO DESCARGA NUEM-SOLO DESCARGA INTRANUEM MODELAGEM DE DESCARGAS ATMOSFÉRICAS MODELAGEM DE SISTEMAS DE ATERRAMENTO TESTE DE MODELAGEM DE UM SISTEMA DE ATERRAMENTO SIMPLES MODELAGEM DE UM SISTEMA DE ATERRAMENTO EM ANEL MODELAGEM DE UM SISTEMA DE ATERRAMENTO EM GRADE MODELAGEM DE UM SISTEMA DE ATERRAMENTO EM SOLO ESTRATIFICADO MODELAGEM DE UM SISTEMA DE ATERRAMENTO HÍBRIDO CONCLUSÃO DESTA SEÇÃO... 9 CONCLUSÕES GERAIS... 3 ANEXO ARTIGOS PUBLICADOS E EM APROAÇÃO REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS x

12 Intodução Quando um sstema eletônco é capaz de funcona compatvelmente com outos sstemas eletôncos sem poduz, ou se susceptível a ntefeêncas, ele é dto eletomagnetcamente compatível com seu ambente. O ambente eletomagnétco, pate ntegal do mundo em que vvemos, é fomado po fontes ntenconas e não-ntenconas que ntefeem no funconamento de váos equpamentos elétcos e eletôncos. Esta ntefeênca pode se da tanto de foma adada como de foma conduzda atavés dos cabos de almentação, contole e/ou dados. áas fontes emtem enega eletomagnétca de foma ntenconal, é o caso das antenas de ádo, televsão, telefona celula, sstemas de navegação, ada, etc. Emboa a emssão destas fontes seja estta a cetas faxas de feqüênca bem defndas e padonzadas, a enega efetvamente emtda na pátca pelos oscladoes, amplfcadoes e tansmssoes destes equpamentos se estende paa além das janelas de feqüênca defndas paa o seu funconamento. Exemplos típcos deste poblema são os hamôncos geados nos pocessos de modulação. As fontes pncpas de uído eletomagnétco são os tansentes decoentes do chaveamento e/ou mudança busca na ampltude e deção da coente elétca. Fomam-se desta manea as fontes não-ntenconas como é o caso dos elés, nteuptoes, motoes e geadoes com comutação, fontes chaveadas de potênca ente outos.

13 Intodução Exstem anda as fontes natuas de petubação eletomagnétca como são os casos das tempestades atmosfécas, descagas eletostátcas e uídos celestes [,]. Neste contexto, o aumento das tansmssões va ádo, a utlzação extensva de componentes eletôncos cada vez mas ápdos e o desenvolvmento de sstemas opeando com coentes cada vez mas baxas, consttuem fatoes agavantes paa o aumento da vulneabldade dos sstemas eletôncos em elação à polução eletomagnétca. Po outo lado, as nomas e ecomendações elatvas à compatbldade eletomagnétca (EMC), edtadas e evstas peodcamente po entdades como a CISPR (Comté Intenatonal Spécal pou les Petubatons Radoélectques), FCC (Fedeal Communcatons Commsson), BSI (Btsh Standads Insttuton), DE (eband Deutsche Eletotechne) ente outas, estão se tonando cada vez mas esttvas [,3,4]. A aplcação destas nomas tona bastante dfícl a busca po soluções efcazes e compettvas em um númeo cescente de setoes tas como: telecomuncações, nfomátca, tanspotes, nstumentação, etc. Pojeta consdeando a compatbldade eletomagnétca não é, potanto, somente uma questão de desempenho funconal, mas também de sobevvênca mecadológca. Paa seem comecalzados, os podutos devem atende aos equstos legas mpostos em quase todos os países do mundo. Neste contexto, a nseção de técncas e metodologas de pojeto EMC tona-se tão essencal quanto o pópo pojeto funconal [3-5]. Desde janeo de 996, a expotação de podutos basleos mplca numa vefcação de seus níves de emssão em laboatóos devdamente cedencados. Em beve, espea-se que estas nomas sejam aplcadas também no mecado nteno. Po outo lado, a qualdade de um equpamento eleto-eletônco também defne sua compettvdade no mecado. Se fo de má qualdade, ntefendo nos demas apaelhos ou sendo suscetível às mínmas ntefeêncas, podeá pede espaço e sofe edução nas vendas. Sendo assm, estas questões tonam-se de gande elevânca paa as empesas e os pofssonas de eletônca.

14 Intodução 3 O assunto está tomando popoções tas, que a maoa das empesas de médo e gande pote já estão nclundo engenheos com expeênca em EMC no seu quado pofssonal. Destacam-se aqu, as montadoas de automóves, fábcas de eletodoméstcos, ndústa aeonaval, ndústa de nstumentação eletônca e eleto-médca, ndústa de telecomuncações, empesas dedcadas ao pojeto e nstalação de cabeamentos estutuados e fonecedoes de equpamentos mltaes. Novos podutos devem ncopoa esta peocupação com a compatbldade eletomagnétca em todas as etapas de seu desenvolvmento. Se os aspectos lgados à EMC foem consdeados duante a fase de pojeto do poduto, pevenndo ou mnmzando as emssões e a suscetbldade a uídos, o custo total seá eduzdo. Isto ocoe poque na fase de pojeto há uma gande dsponbldade de técncas específcas paa esolve poblemas deste tpo. Contudo, se a peocupação com a compatbldade fo levada em conta somente na fase de podução ou até mesmo depos desta, poucas altenatvas estaão à dsposção e os custos totas deveão aumenta, como mosta a fgua I.. Fase de Pojeto Fase de Testes Fase de Podução Técncas Dsponíves e Custos Relatvos paa Resolve os Poblemas de Compatbldade Custos Técncas Dsponíves Tempo de Desenvolvmento do Equpamento Fg. I. - Custos do pojeto consdeando aspectos de EMC [3]. Desta foma, tona-se mpeatvo que a análse de poblemas de EMC seja consdeada já nas fases de concepção e pototpagem do poduto. A modelagem computaconal em casos como este vem se tonando uma feamenta podeosa paa peve e mnmza futuos poblemas de compatbldade eletomagnétca. Atavés deste tpo de análse pode-se peve pontos de emssão e suscetbldade, evtando a ntefeênca com a aplcação de técncas adequadas.

15 Intodução 4 Desta foma, ealmenta-se o pocesso de concepção, mnmzando os custos com pototpagem. Este tabalho tem seu foco voltado paa a solução de poblemas de compatbldade eletomagnétca utlzando paa tanto modelos numécos de dscetzação no domíno do tempo. Ele está oganzado em duas pates, a pmea apesenta o embasamento teóco necessáo paa a utlzação do método numéco que seá usado como pncpal feamenta de nvestgação neste tabalho. Uma segunda pate mosta os esultados obtdos paa poblemas lgados à EMC. Dento da pmea pate, o capítulo aboda a modelagem numéca sob uma vsão geal, compaando os pncpas métodos dsponíves paa a solução de poblemas de compatbldade eletomagnétca. Este capítulo ntoduz a abodagem undmensonal do método TLM (Tansmsson-lne Modelng Method), ponto de patda paa uma melho compeensão do método em suas vesões bdmensonal e tdmensonal. No capítulo apesentamos uma descção mas detalhada do método TLM paa tatamento de poblemas tdmensonas no domíno do tempo (TLM-TD). Nele, seão apesentadas as fomulações empegadas paa a modelagem de ambentes não homogêneos com pedas, usando malha cúbca egula. Uma ntodução ao tatamento de malhas egulaes também é apesentada neste capítulo. O capítulo 3 apesenta uma mplementação computaconal do método descto e os esultados paa um exemplo de popagação e eflexão de onda plana são compaados com os valoes analítcos e utlzados na valdação do códgo. A segunda pate deste tabalho é dedcada à aplcação do método TLM tdmensonal na esolução de poblemas mas complexos, dfclmente soluconados de foma analítca. Os casos de compatbldade eletomagnétca ecaem quase sempe sobe outos campos de estudo do eletomagnetsmo. Assm, não são ncomuns tabalhos vesando sobe domínos como os de mcoondas, antenas e lnhas de tansmssão.

16 Intodução 5 Além destes, exstem anda os poblemas mas específcos do estudo de compatbldade, como são os casos dos sstemas de poteção conta sutos atmosfécos, sstemas de poteção conta sobetensões tanstóas, estutuas de ateamento e blndagem eletomagnétca. Dento desta pespectva, o capítulo 4 elata os esultados obtdos paa a análse da efcênca de blndagens eletomagnétcas em gabnetes metálcos dotados de fendas e abetuas. E fnalmente, o capítulo 5 é dedcado à modelagem de váos sstemas de poteção conta sutos atmosfécos, mas especfcamente, à etapa de ateamento mpulsvo. Os valoes de tensão e campo elétco paa estas aplcações são compaados com os valoes encontados em outas efeêncas.

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18 CAPÍTULO MODELAGEM NUMÉRICA DE PROBLEMAS DE COMPATIBILIDADE ELETROMAGNÉTICA. Intodução De foma geal, a solução de poblemas físcos eas, e mas especfcamente aqueles lgados ao eletomagnetsmo, ecaem sobe tês possbldades de tatamento: Utlzação de métodos expementas; Utlzação de fomulação analítca (solução fechada); Utlzação de métodos numécos (ou computaconas). Os métodos expementas, bastante empegados no passado, fazem uso de equpamentos de medda em laboatóos especalzados ou anda em áeas abetas não contamnadas po campos eletomagnétcos extenos (OATS - Open-Aea Test Stes). A exgênca de equpamentos de alto custo e a dfculdade de enconta ambentes solados da polução eletomagnétca tonam este tpo de solução nacessível à maoa dos casos. Po outo lado, a solução po meo de técncas analítcas dos poblemas de cálculo de campos fca estta aos casos mas smples, como as confguações homogêneas de geometa smplfcada onde as condções de contono podem se mpostas de manea smples. Paa a esolução de poblemas mas ealstas, como aqueles envolvendo geometas complexas, fatoes de escala (pesença de elementos com dmensões extemamente dfeentes), meos heteogêneos e paâmetos

19 Capítulo Modelagem Numéca 8 vaáves com a feqüênca, a aplcação de fomulações analítcas tona-se uma altenatva nvável. Fnalmente, as feamentas numécas têm agegado, ao longo destas tês últmas décadas, um sem númeo de funconaldades. Alavancados pelos avanços da nfomátca, os métodos numécos dsponíves, alguns em escala comecal, podem esolve uma nfndade de poblemas consdeando suas geometas mas ealstas, composção heteogênea e dvesdade de condções de contono. Este pmeo capítulo tem como pncpal objetvo da uma vsão geal aceca dos métodos numécos cuja aplcação é ndcada ou ecomendada paa a esolução de poblemas de compatbldade eletomagnétca.. Modelagem numéca A modelagem numéca de poblemas eletomagnétcos consste numa apoxmação da solução exata das equações fundamentas de Maxwell, sob as condções de contono mpostas pelo poblema. A dvesdade de stuações em que sso pode ocoe levou ao desenvolvmento de uma gande vaedade de técncas computaconas. A geometa do poblema, a dvesdade de mateas envolvdos, as vaáves de nteesse e as condções de contono são algumas das caacteístcas que detemnam as equações epesentatvas do poblema e a melho abodagem ou método a se utlzado na análse. De qualque manea, a escolha de um método específco paa cada tpo de aplcação não é uma taefa smples e nomalmente só pode se defnda após testes pelmnaes com os métodos canddatos. As vantagens e desvantagens de cada fomulação vão esta lgadas à natueza do poblema que se deseja esolve. Paa o caso específco envolvendo a popagação de ondas, os pncpas métodos de modelagem numéca empegados atualmente são [6-0]: Método de Elementos Fntos (FEM - Fnte Element Method); Método de Momentos (MoM - Moments Method); Método de Elementos de Fontea (BEM - Bounday Element Method);

20 Capítulo Modelagem Numéca 9 Método de Dfeenças Fntas no Domíno do Tempo (FDTD - Fnte Dffeence Tme Doman); e Método de Modelagem po Lnhas de Tansmssão (TLM - Tansmssonlne Modelng Method). A classfcação destes métodos pode se feta de váas maneas. Antes que possamos dscoe sobe alguns dos métodos numécos ctados, é nteessante comenta sobe estas classfcações:.. Métodos dfeencas e ntegas A pmea classfcação que pode se feta é quanto à fomulação matemátca empegada pelo método numéco. Os métodos ntegas tatam os casos cujas equações estão na foma ntegal e que são manpuladas analtcamente paa ncopoa as condções de contono. Neste caso, a gandeza de nteesse é um ntegando. Os métodos dfeencas, po sua vez, exploam as equações de Maxwell, defnndo equações dfeencas paa epesenta o poblema e equações adconas paa modela as condções de contono. Os métodos ntegas caactezam-se pela fomulação complexa, possundo fote manpulação analítca. Poém, sua mplementação é bastante smplfcada. Opeam faclmente os poblemas de popagação de ondas em contonos abetos e exgem apenas a modelagem de supefíces e não de todo o volume analsado. Esta últma caacteístca eduz de foma sgnfcatva a quantdade de nós, segmentos ou elementos necessáos à dscetzação do poblema. A pesença de mateas nãohomogêneos no domíno de nteesse epesenta um poblema delcado paa esta modaldade. O Método dos Momentos (MoM) e o Método de Elementos de Fontea (BEM) são bons exemplos de métodos ntegas. Os métodos dfeencas são caactezados po teem uma fomulação mas smples, onde a manpulação analítca não é tão ntensa como nos métodos ntegas. Poém, a mplementação destes métodos pode tona-se mas complcada. A aplcação em poblemas de popagação de ondas em contonos abetos é complcada pela necessdade de dscetza todo o volume a se analsado, geando

21 Capítulo Modelagem Numéca 0 um aumento do númeo de nós, segmentos ou elementos de dscetzação. Pemtem modela com ceta facldade mateas não-homogêneos e não-lneadades no domíno do tempo que poventua ocoam. Os métodos de Dfeenças Fntas no Domíno do Tempo (FDTD), de Elementos Fntos (FEM) e de Modelagem po Lnhas de Tansmssão (TLM), são exemplos de métodos dfeencas... Métodos no domíno do tempo e da feqüênca Os métodos numécos de modelagem podem se classfcados anda segundo o domíno escolhdo paa epesentação do poblema. Os métodos de análse no domíno do tempo podem obte a esposta do dspostvo paa exctação mpulsva, que contém nfomações em todas as feqüêncas. Os métodos de análse no domíno da feqüênca podem obte as funções de tansfeênca de uma detemnada estutua, paa uma feqüênca específca, consdeando o egme pemanente. Se as vaáves de saída do sstema são equedas paa uma únca feqüênca de exctação ou se os paâmetos dependem da feqüênca, o sstema seá melho analsado no domíno da feqüênca. Mas, se o poblema possu não-lneadades no domíno do tempo ou se as vaáves de saída são equedas paa uma ampla faxa de feqüênca, ou anda, paa exctações não-senodas, a melho abodagem seá usa métodos de análse no domíno do tempo..3 Métodos numécos paa aplcações em EMC A detemnação do valo e da confguação de campos eletomagnétcos é um objeto de estudo muto feqüente em poblemas de compatbldade eletomagnétca. Os métodos numécos, bem como as otnas computaconas neles baseadas, vêm evolundo no sentdo de pemt uma estutua genéca paa a análse, com pecsão, de váos poblemas. Contudo, aplcações mas ealstas exgem caacteístcas específcas do método e conseqüentemente das otnas usadas paa análse.

22 Capítulo Modelagem Numéca A análse de um poblema pode se feta no domíno do tempo ou da feqüênca, dependendo se os esultados espeados devem consdea a exctação em uma feqüênca específca ou em detemnado nstante de tempo. Dependendo da geometa do poblema sob análse ou das necessdades do usuáo, podem exst vesões undmensonas (D), bdmensonas (D) ou tdmensonas (3D) paa um mesmo método ou algotmo. Dos métodos numécos dsponíves paa aplcação em casos de compatbldade eletomagnétca, alguns se destacam pelo volume de aplcações, pela vesatldade, pela flexbldade e/ou pela pecsão obtda nos esultados [6-]. Estes métodos seão abodados sucntamente a segu:.3. Método de Elementos Fntos (FEM) Este método consste em dvd o domíno de estudo em um númeo fnto de pequenas egões (elementos), gealmente tângulos, etângulos, tetaedos ou hexaedos, que ão pemt a detemnação dos valoes de campo nos pontos de nteesse (vétces ou aestas destes elementos). Natualmente, a escolha do tpo de elemento a se utlzado seá nfluencada po questões como dmensão (D, D, ou 3D), apdez no cálculo, pecsão e flexbldade ente outas. A solução global é obtda a pat da eunão das soluções de cada um destes subdomínos [-3]. Cada um dos elementos gea uma matz chamada Matz de Contbuções, cuja foma depende do elemento fnto utlzado. Estas matzes levam em conta a geometa do poblema, os mateas envolvdos e as fontes de exctação. O FEM pemte análses no domíno do tempo e no domíno da feqüênca, nas vesões D ou 3D e apesenta bons esultados com mateas de compotamento não-lnea e casos não-homogêneos. Alguns fatoes devem se consdeados paa que se possa utlza este método com boa efcênca:

23 Capítulo Modelagem Numéca Gealmente quanto menoes as egões, mas pecso é o esultado do cálculo, poém, mao a necessdade de espaço de memóa dsponível e mao o tempo de pocessamento. Pode-se utlza elementos menoes (efnamento da malha) nas áeas de mao nteesse ou nas egões onde alguma gandeza vaa de foma mas ápda; Cada elemento deve possu apenas um tpo de mateal. Poém, elementos adjacentes podem apesenta popedades dfeentes; No nteo dos elementos pode-se detemna o valo das vaáves desejadas atavés de uma ntepolação polnomal, tomando como base os valoes encontados paa os nós, aestas ou faces; y Nó n 4 n 7 n 3 (x 3,y 3 ) n (x,y ) Elemento n 0 Malha n (x,y ) x Fg.. Elemento fnto tangula de pmea odem. Um exemplo de elemento fnto tangula de pmea odem é mostado na fgua.. Este elemento é utlzado paa análses bdmensonas de poblemas de eletomagnetsmo, de foma que o domíno de cálculo seja consttuído de um númeo fnto destes elementos. Os vétces (nós) têm uma posção elatva a um sstema de coodenadas catesanas. Assm, paa cada elemento, a numeação local dos nós (, e 3) coespondeá a uma numeação global na malha do domíno de cálculo (7, 0 e 4, po exemplo) []. Dependendo do poblema a se esolvdo, a fomulação numéca pode apesenta-se bem mas complexa. Uma das dfculdades povem do fato que as ntegações a seem efetuadas dependem do sstema de coodenadas utlzado paa

24 Capítulo Modelagem Numéca 3 poscona os nós. Assm sendo, é comum a utlzação de um sstema de efeênca altenatvo de tal foma que as opeações algébcas possam se esolvdas de foma mas smplfcada. A fgua. mosta como um dos elementos da malha é mapeado de seu sstema de coodenadas ognal (Oxy) paa o sstema altenatvo (Ouv) []. Funções de tansfomação geométcas gaantem a consstênca do mapeamento do elemento eal (n, n, n 3 ) paa o elemento de efeênca (,, 3 ). y v n 3 (x 3,y 3 ) n (x,y ) (0,) Elemento de efeênca O n (x,y ) x 3 (0,0) O (,0) u Fg.. Mapeamento do elemento de efeênca. À medda que se equaconam as contbuções de cada elemento (Matz de Contbuções S ), estas são nsedas na Matz de Contbuções Global SS obedecendo ao mapeamento ente a numeação local e a numeação global de cada nó do elemento. A estutua da Matz de Contbuções S paa um elemento tangula de pmea odem pode se vsta na equação.: F F F S = S S (,) (,) (3,) S S S (,) (,) (3,) S S S (,3) (,3) (3,3) 3 Q Q Q 3 (.) Depos de calculadas e condensadas todas as contbuções de todos os elementos, chega-se ao sstema matcal global. A equação. mosta a nseção da Matz de Contbuções S na Matz de Contbuções Global SS paa o elemento da fgua..

25 Capítulo Modelagem Numéca 4 = Q Q Q Q Q Q S S S S S S S S S M M M M M M M M M M M M M M L L L L L L L M M M L L L L L L L M M M L L L L L L L M M M M M M M M M M M M M L L L L (3,3) (3,) (3,) (,3) (,) (,) (,3) (,) (,) (.) Nomalmente o sstema matcal global é smplesmente denotado como: Q SS = (.3) Onde: SS é a matz de contbuções global; é o veto de potencas ncógntos; e Q é o veto de fontes (que modela as cagas elétcas, coentes e ímãs pemanentes pesentes no poblema). Como na maoa dos métodos numécos, deve-se aplca condções de contono ao poblema, que são valoes de potencal (ou campo) defndos paa a fontea do domíno analsado. Assm, antes de passa à esolução da equação.3, deve-se nse as condções de contono de Dchlet (potencas mpostos). Feto sto, a esolução da matz global pode então faze pate de um sstema computaconal com o fm específco de ealza o cálculo das vaáves de nteesse. Pode-se dze que com o FEM, um caso dvddo em um númeo fnto de elementos pode te sua solução global a pat da solução de cada um dos elementos. Esta solução global seá obtda atavés da esolução da Matz de Contbuções Global, que po sua vez é obtda a pat da condensação das matzes de todos os elementos. Na esolução de poblemas po elementos fntos exste a necessdade de se aplca um método de ntegação paa tansfoma as equações dfeencas, que egem o compotamento do poblema, em equações ntegas. Após a aplcação do

26 Capítulo Modelagem Numéca 5 método de ntegação, passa-se à aplcação do método de elementos fntos popamente dto. Dente os métodos de ntegação utlzados pelo FEM, pode-se cta o Método Resdual de Galen e o Método aaconal. O método vaaconal necessta de um funconal, que em alguns casos é de dfícl detemnação. Já no método esdual de Galen não exste a necessdade de detemna um funconal. Neste caso, defne-se um esíduo que é a dfeença ente uma solução apoxmada e a solução exata. No lmte, quando o esíduo tende a zeo, pode-se admt que a solução apoxmada é gual à solução exata do poblema [,]. A maoa dos uídos e ntefeêncas eletomagnétcas pode se popaga pelo a em todas as deções caso não exstam baeas físcas. Isto dfculta a defnção de condções de contono atavés da mposção foçada de campos nos lmtes do poblema analsado. É o caso de métodos como o de Elementos Fntos, onde a necessdade de dscetza todo o domíno de cálculo obga o uso de fonteas atfcas que smulem o espaço abeto. Algumas opções são o uso de Condções de Contono Absoventes (ABC - Absobng Bounday Condton) [4,5] ou de Camadas Pefetamente Casadas (PML - Pefectly Matched Laye), esta últma ognalmente desenvolvda paa o método Dfeenças Fntas (FDTD) [6,7]. Poém, paa cetas aplcações pncpalmente aquelas tdmensonas, as condções absoventes podem se tona complcadas a ponto de nvablza o uso do FEM. O método enconta-se num estágo bastante avançado de desenvolvmento, contando com dvesos pacotes computaconas nas vesões D e 3D. Emboa seja hstocamente uma feamenta no domíno da feqüênca, ndcado paa análse de poblemas de máqunas elétcas onde as condções de contono são bem defndas e os valoes de feqüênca não são altos, exstem atualmente númeos tabalhos que aplcam o FEM a fenômenos lgados à popagação de ondas, bem como vaações adaptadas à análse tempoal [8-0].

27 Capítulo Modelagem Numéca 6.3. Método de Dfeenças Fntas no Domíno do Tempo (FDTD) Este método apesenta soluções detas paa campos elétcos e magnétcos nos pontos de uma malha egula fomada pela dscetzação de uma supefíce ou volume de um objeto. A déa básca é dscetza as equações de Maxwell no espaço e no tempo, obtendo-se os campos a pat da esolução contínua das mesmas, com base nos valoes dos campos adqudos em teações anteoes de manea altenada (leapfog ou saute-mouton) [-3]. Consdee o sstema de equações vetoas de Maxwell: H E = µ t E H = ε t (.4) Usando o sstema de coodenadas catesanas podemos expand o sstema (.4) em ses equações a devadas espacas e tempoas (.5): dh dh dh de de de x y z x y z / dt = µ / dt = µ / dt = µ / dt = ε / dt = ε / dt = ε ( de / dz de / dy) ( de / dx de / dz) ( de / dy de / dx) x ( dh / dy dh / dz) z y ( dh / dz dh / dx) x ( dh / dx dh / dy) y z z x y y z x (.5) As técncas de FDTD são baseadas em apoxmações numécas, pemtndo tansfoma equações dfeencas em equações po dfeenças fntas. A obtenção destas equações é efetuada a pat da expansão em sées de Taylo. Na pátca, a sée é tuncada, o que mplca na nseção de um eo de apoxmação. Consdee-se, po exemplo, uma função qualque dento de um espaço catesano dscetzado (,j,)=(. x,j. y,. z), dscetzada também no tempo (n. t): F n n ( j, ) = F ( x, j y, z, n t), (.6)

28 Capítulo Modelagem Numéca 7 Onde: x, y e z são os ncementos espacas; t é o ncemento tempoal; e n o númeo da teação. Usando a apoxmação.7 mostada abaxo e demonstada na fgua.3, df dx x x ( x) f ( x ) f ( x ) = 0( x) x (.7) f(x) f(x o x/ ) f(x o ) f(x o - x/ ) x x o - x/ x o x/ x x o Fg..3 Apoxmação po dfeenças fntas. Teemos: F F F n n n [ ]/ 0( ) [ ]/ 0( ) [ ]/ 0( ) n ( ) ( n, j, / x = F ) (, j, F, j, ) n (,, )/ (, n j y = F j ) (, F, j, ) n (, j, ) / z = F (, j, n ) F (, j, ) Onde: 0( ) é o eo ntoduzdo po tuncagem. E paa o tempo: F n n (, j, ) / z = F (, j, ) F (, j, ) [ ]/ 0( t) n (.8) (.9) Paa aplca as equações.8 e.9 tem-se que dscetza a egão com elementos egulaes. O sstema de coodenadas pode se catesano ou pola, e os elementos quadados, etangulaes ou hexagonas. A fgua.4 lusta a célula ntoduzda po Yee [] paa dscetzação tdmensonal.

29 Capítulo Modelagem Numéca 8 Fg..4 Dsposção dos campos E e H na célula de Yee. É mpotante nota que além de estaem defasados no espaço, as componentes de campo elétco e magnétco seão, po foça da equação.9, calculadas em passos de tempo altenados. Assm, o campo magnétco seá calculado a cada ( ) t n, enquanto o campo elétco seá calculado a cada t n [,]. A aplcação das equações.8 e.9 na célula de Yee é mostada abaxo paa a componente x do campo magnétco (.0) e elétco (.). As demas componentes podem se encontadas de manea smla, aplcando a mesma apoxmação po dfeenças fntas às demas equações do sstema (.5). ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ],,,,,,,,,,,, = µ j E j E j E j E j H j H n z n z n y n y d dt n x n x (.0) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ],,,,,,,,,,,, = ε j H j H j H j H j E j E n y n y n z n z d dt n x n x (.) H x x z y E x E x E x E x E y E y E y E y E z E z E z E z H x H z H y H y H z

30 Capítulo Modelagem Numéca 9 O método de dfeenças fntas pemte ealza cálculos em geometas complexas e mateas com confguações não homogêneas e não lneaes. No entanto, exstem alguns nconvenentes lgados a esta técnca []: Paa gaant a establdade do método devemos gaant que: t l, 3 υ max onde: υ max é a máxma velocdade da fase; As condções de fontea devem se usadas convenentemente paa smula a extensão da solução no nfnto. Exstem, poém,váas técncas aplcáves às fonteas de modo a smula o espaço abeto [4,6,7,3]. O método de dfeenças fntas é um dos mas populaes na análse de poblemas no domíno do tempo. Dente as váas aplcações do método, em engenhaa elétca, destacam-se[]: Obtenção das caacteístcas de espalhadoes (scatteng); Análse de antenas e mcostps; Avalação dos efetos da adação de mcoondas em ogansmos vvos; Análse de poblemas de ntefeênca eletomagnétca (EMI); Análse de popagação em cavdades essonantes, guas de onda, etc..3.3 Método dos Momentos (MoM) O Método dos Momentos (MoM) é uma técnca numéca utlzada paa esolve equações ntegas complexas atavés da edução destas paa um sstema de equações lneaes smplfcado. Este método aplca a técnca de Contbuções Resduas. Uma solução ncal é estabelecda paa os paâmetos envolvdos e o esíduo (dfeença ente a solução ncal e a solução eal) deve se mnmzado, de manea que a apoxmação seja sufcentemente boa. O Método dos Momentos tem sdo usado duante mutos anos paa uma gande vaedade de aplcações. É uma das técncas numécas mas populaes na esolução de equações ntegas aplcadas aos casos de eletomagnetsmo, especalmente

31 Capítulo Modelagem Numéca 0 aqueles cujas estutuas envolvam geometas smples como fos, cabos e placas metálcas. A facldade em esolve poblemas de popagação de ondas, sem a necessdade de lmtações na abangênca dos campos, ou seja, com contonos abetos, leva à gande utlzação do MoM na detemnação de caacteístcas de antenas e outos equpamentos de mcoondas. De uma manea geal, pode-se dze que mutos poblemas de espalhamento e adação podem se esolvdos obedecendo aos seguntes passos [4]: Desenvolve as equações ntegas que epesentam o poblema físco; Incopoa as condções de contono às equações ntegas; Utlza o método dos momentos paa tansfoma as equações ntegas em equações matcas; Solucona as equações matcas usando pacotes computaconas. Po sua vez, o pocedmento paa aplca o MoM nas equações ntegas, tonando-as matzes que epesentam: a foma geométca do poblema; as fontes de enega e as ncógntas; gealmente pecoe os seguntes passos [8]: Devação da equação ntegal epesentatva do poblema em questão; Convesão da equação ntegal em uma equação matcal, atavés da dscetzação das fomas geométcas envolvdas, utlzando funções de base (ou de expansão) e funções de teste (ou de peso); Detemnação dos elementos das matzes. O MoM é uma técnca utlzada pncpalmente no domíno da feqüênca, sendo possível gea teações no pocesso de cálculo paa faze a vaedua em uma egão de nteesse do especto de feqüêncas. O método eque que a estutua sob análse seja modelada atavés de fos e/ou placas metálcas que devem se subdvddos em segmentos cuja dmensão é muto meno do que o compmento de onda do snal ao qual estão sujetos. Desta foma, pode-se consdea que a coente é constante em cada segmento de fo ou de supefíce [5,7]. As equações ntegas que podem se esolvdas pelo MoM são nomalmente funções do campo elétco (f E ) ou funções do campo magnétco (f H ), como mostam

32 Capítulo Modelagem Numéca as equações. e.3. Em alguns casos, os campos elétco (E) e magnétco (H) adados podem se obtdos em função da densdade de coente (J) sobe uma supefíce condutoa, ou vce-vesa [6]. E = f (J ) (.) E H = f (J ) (.3) H Paa o caso de espalhamento, o pmeo passo é expand a densdade de coente (J) como uma soma fnta de funções de base: J = n = J b (.4) Onde: b é a -ésma função de base; J é coefcente desconhecdo elatvo à densdade de coente; e n é o númeo de segmentos no qual fo dscetzado o poblema. Na seqüênca, devem se defndas n funções de teste, também chamadas funções de peso (w j ), que sejam lneamente ndependentes. Um poduto nteno com cada função de teste é aplcado em ambos os lados da equação. ou.3. Tomando, po exemplo,.3: < w j, H > = < w j, fh ( J ) > j =,,3,..., n (.5) Aplcando (.4) em (.5), obtêm-se: n < w j, H > = < w j, fh ( J, b ) > j =,,3,..., n = (.6) Escta na foma matcal: H = Z J (.7) Onde: H é o veto de campos magnétcos ncdentes; J é o veto de coentes em cada elemento da supefíce condutoa; Z é a matz de geometa do poblema; Z =< w f ( b ) > são os temos da matz Z; j j, H

33 Capítulo Modelagem Numéca H w, H > são os elementos do veto H; j =< j nc H nc são os valoes de campo ncdentes. O veto H contém os campos ncdentes de valoes conhecdos, gealmente consdeados como de uma onda plana. Os temos da matz Z dependem apenas da geometa do poblema e os temos desconhecdos do veto J epesentam as coentes nduzdas e podem se obtdos atavés da esolução da equação matcal. Com os valoes conhecdos de J, tona-se possível detemna os campos elétco e magnétco espalhados, geados po estas coentes nduzdas na supefíce condutoa. Um equaconamento smla ao apesentado paa o campo magnétco pode se desenvolvdo paa o campo elétco. Este método mosta sua mao efcênca em poblemas com contonos abetos, já que é necessáo malha apenas os objetos de nteesse; e sua pncpal defcênca na dfculdade em modela poblemas não-homogêneos, que utlzam mateas com dfeentes pemeabldades magnétcas e pemssvdades elétcas. Algumas caacteístcas mpotantes que devem se levadas em conta quando da utlzação do método são: Po se um método ntegal, sua fomulação gea matzes densas e conseqüentemente um gande esfoço computaconal; Uma estção paa pemt esultados sufcentemente pecsos é que o ao dos condutoes seja muto meno do que a meno dstânca ente cada um deles [5]..3.4 Método de Modelagem po Lnhas de Tansmssão (TLM-TD) O método de Modelagem po Lnhas de Tansmssão (TLM-TD - Tansmssonlne Modelng Method - Tme Doman) é um método dfeencal utlzado paa esolução das equações de Maxwell no domíno do tempo detamente no espaço dscetzado. O método basea-se no uso de edes de ccutos elétcos paa a solução de poblemas de espalhamento segundo o modelo de Huygens.

34 Capítulo Modelagem Numéca 3 No século XII, dos modelos dstntos paa o fenômeno da luz foam desenvolvdos: o modelo copuscula, po Isaac Newton; e o modelo ondulatóo, po Chstaan Huygens. Em 690, Huygens ctaa em seu Taté de la Lumèe [8]: No estudo da popagação destas ondas, deve-se consdea que cada patícula do meo atavés do qual a onda evolu, não só tansmte o seu movmento à patícula segunte, ao longo da eta que pate do ponto lumnoso, mas também às patículas que a odeam e que se opõem ao movmento. O esultado é uma onda em tono de cada patícula e que a tem como cento. Rgoosamente falando, ambos os modelos são ncoetos. Entetanto, a teoa quântca modena demonstou que as adações eletomagnétcas (e em patcula a luz) possuem ambas as popedades: copuscula (fótons) e ondulatóa. Desta foma, dependendo do fenômeno sob estudo, um destes aspectos complementaes pedomna sobe o outo. Assm, nas feqüêncas de mcoondas e ondas mlmétcas, a natueza copuscula da adação eletomagnétca não é elevante (manfestando-se apenas em cetas nteações com a matéa), enquanto o aspecto ondulatóo pedomna em todas as stuações envolvendo popagação e espalhamento. Isto sugee que o modelo poposto po Huygens, e mas tade efnado po Fesnel e Young, podea foma a base paa um método geal de tatamento de poblemas de popagação e espalhamento em mcoondas [9]. O modelo mecânco de Huygens paa o compotamento da luz consste bascamente de um encadeamento múltplo de choques elástcos que obedecem aos seguntes pncípos: A quantdade de movmento é espalhada gualmente em todas as deções; A quantdade de movmento é consevada no pocesso de espalhamento; e A enega é consevada no pocesso de espalhamento, o que mplca na consevação de massa.

35 Capítulo Modelagem Numéca 4 A fgua.5(b), extaída do tatado de Huygens, lusta os pncípos ctados acma. Numa vsão mas macoscópca, a fgua.5(b) mosta como cada fente de onda sea o esultado da supeposção de nfntas fontes puntfomes adando ondas esfécas. Desta foma, sea possível peve uma posção futua da fente de onda a pat de sua posção atual. A C B C C t 0 t t (a) Fg..5 O Pncípo de Huygens: (a) Seqüênca de choques mpulsvos [8]; (b) Fentes de onda de Huygens. Incalmente, pode paece que este modelo é mas apopado paa a descção do som do que de uma onda eletomagnétca. Entetanto, a quantdade de movmento não está estta necessaamente a mpulsos mecâncos. Qualque gandeza físca pode se modelada po este pocesso desde que cetas les de consevação sejam obedecdas. Assm, campos eletomagnétcos podem se desctos pelo modelo de Huygens, desde que o espalhamento sga cetas egas: Campos tangencas devem se contínuos nos pontos de espalhamento; A caga elétca deve se consevada no pocesso de espalhamento; e A enega deve se consevada no pocesso de espalhamento. Assm, em 97, Johns e Beule [30] desceveam uma nova técnca numéca paa a solução de poblemas de espalhamento bdmensonas, o método TLM-TD. Em sua vesão mas usual, a epesentação do espaço dscetzado neste método empega uma malha catesana de nós, sendo cada nó uma junção ente lnhas de tansmssão. Impulsos de tensão, espalhando-se sotopcamente sobe esta malha, epesentam a popagação das ondas eletomagnétcas. Petende-se com o modelo (b)

36 Capítulo Modelagem Numéca 5 enconta as tensões efletdas e ncdentes em cada nó e, a pat daí, as componentes de campo elétco e magnétco, utlzando paa tanto as equvalêncas ente tensão e campo elétco, e ente coente e campo magnétco [3,3]. A fgua.6 mosta como sea a aplcação do pncípo de Huygens em um modelo numéco, pevendo a dscetzação do espaço. l l t 0 t t Fg..6 Dscetzação do Modelo de Huygens. Quando compaado com outos métodos numécos, o TLM-TD destaca-se pela smplcdade de fomulação e mplementação computaconal. Além dsso, apesenta anda a vantagem de se muto mas ntutvo paa pofssonas de engenhaa elétca, pos a teoa de lnhas de tansmssão é um tema básco e fundamental da áea, o que o tona um método de fácl entendmento e aplcação. O método TLM-TD é smla ao método de Dfeenças Fntas (FDTD) em temos de fomulação e capacdade de smulação, contudo a foma como os pulsos se popagam sobe a malha dscetzada é dfeente. Enquanto o método FDTD é um modelo matemátco usando dfeenças fntas, o método TLM-TD consste num modelo físco usando lnhas de tansmssão. Uma das vantagens do TLM-TD sobe o FDTD é a capacdade de epesenta todas as ses componentes de campo em um únco ponto do espaço. P. Johns mostou em [33] que um nó TLM tdmensonal expanddo [38] pode se manpulado de foma a gea esultados numecamente equvalentes àqueles geados pela célula FDTD de Yee []. Resultados equvalentes podem se encontados em outas efeêncas [34,35].

37 Capítulo Modelagem Numéca 6 O TLM é econhecdo hoje como uma mpotante feamenta paa smulação de complexos poblemas do eletomagnetsmo em uma, duas e tês dmensões. O método pode se utlzado em poblemas não-lneaes, não-homogêneos e de popagação de ondas no domíno do tempo ou da feqüênca. A análse de lnhas de tansmssão a dos fos é a base do método TLM-TD em uma dmensão e a pat desta teoa é possível desenvolve as vesões bdmensonal e tdmensonal. Assm, com o ntuto de ntoduz a teoa básca do método TLM-TD, tata-se-á neste capítulo, o caso undmensonal. As fomulações bdmensonal e tdmensonal seão abodadas no póxmo capítulo. Consdee-se uma lnha de tansmssão a dos fos e paâmetos dstbuídos, como mosta a fgua.7. A lnha de tansmssão é dscetzada em n elementos magnáos. l R s R L v s (t) l L N- N- N Fg..7 Lnha de tansmssão a dos fos dvdda em segmentos. Onde: s é a fonte de tensão, aplcada no níco da lnha; Z L é a mpedânca da caga, acoplada ao fm da lnha (R L jωl 0 ); N é o númeo de segmentos no qual fo dvdda a lnha de tansmssão; l é o compmento de cada segmento; l é o compmento total da lnha. Os segmentos da lnha são consdeados dêntcos e, assm, cada segmento tem um tamanho l gual a: l l = (.8) N

38 Capítulo Modelagem Numéca 7 Cada segmento pode se modelado po um equvalente do tpo T, como o que é mostado na fgua.8. Nele, R d, L d, C d e G d são paâmetos dstbuídos da lnha. Assm, R d e L d são, espectvamente, a esstênca e a ndutânca sée especfcadas po undade de compmento. Da mesma foma, C d e G d são, espectvamente, a capactânca e a condutânca paalela especfcadas po undade de compmento. Tensões e coentes no segmento são funções de x e t. l l l Ld L d l Rd R d (x,t) l (x,t) (x l,t) v(x,t) Cd l G d l v(x l,t) l Fg..8 Segmento tpo T genéco da uma lnha de tansmssão. O segmento de lnha de tansmssão mostado na fgua.8 é a célula básca paa a aplcação do método TLM-TD undmensonal [8]. Aplcando as les de Kchhoff de tensões e coentes, teemos ( l 0 ): v( x, t) ( x, t) = Ld Rd ( x, t) (.9) x t ( x, t) v( x, t) = Cd Gdv( x, t) (.0) x t Dfeencando a equação.9 em elação a t e.0 em elação a x, podemos elmna a tensão e obte uma equação paa a coente na lnha: ( x, t) x = C d L d ( x, t) t ( x, t) t ( C R G L ) G R ( x, t) d d d d d d (.)

39 Capítulo Modelagem Numéca 8 Smplfcando paa o caso em que R d =0, teemos: t t x L G t t x C L x t x d d d d = ), ( ), ( ), ( (.) De foma smla, dfeencando a equação.9 em elação a x e.0 em elação a t, podemos elmna a tensão; fnalmente, consdeando o caso em que R d =0, obteemos a segunte equação paa a tensão na lnha: t t x v L G t t x v C L x t x v d d d d = ), ( ), ( ), ( (.3) Po outo lado, se patmos das equações de Maxwell em sua foma local: t J t = = D H B E (.4) Como o poblema está sendo analsado em sua foma undmensonal, assumese apenas vaações ao longo da deção x. Podemos, então, smplfca as equações.3 e.4 paa a sua foma catesana: t B x E z y = (.5) t D J x H y y z = (.6) Aplcando-se as elações complementaes coespondentes ao meo de popagação: B µ H = E D ε = E J σ = (.7) pode-se eesceve a equação.6 da segunte foma: t E E x B y y z µε = µσ (.8) Dfeencando a equação.5 em elação a t e a equação.8 em elação a x, podemos elmna E y, esultando:

40 Capítulo Modelagem Numéca 9 H x z H = µε t z H µσ t z (.9) De foma smla, dfeencando a equação.5 em elação a x e a equação.8 em elação a t, podemos elmna B z, esultando: E y x y E = µε t E y µσ t (.30) Fnalmente, compaando as equações. e.3 com as equações.9 e.30, pode-se constata que as mesmas são equvalentes e que algumas analogas ente os paâmetos do meo de popagação da onda eletomagnétca e os paâmetos dstbuídos da lnha de tansmssão podem se fetas (tabela.): Tab.. Equvalênca ente paâmetos de ccutos elétcos e campos eletomagnétcos. Teoa de lnhas Teoa de campos E y I H z L d = L l µ C = C d l ε G = G d l σ Baseado nesta analoga, estabelece-se a modelagem de poblemas de popagação de campos atavés do método TLM-TD. Paa mosta a fomulação matemátca do método usaemos um modelo equvalente smplfcado paa os segmentos da lnha de tansmssão (fgua.8). Nele são substtuídas a ndutânca sée e a capactânca paalela de cada segmento pelo valo da mpedânca caacteístca da lnha (Z 0 ) defnda como: L Z d l = L 0 = (.3) C l C d

41 Capítulo Modelagem Numéca 30 A fgua.9 mosta a nova confguação paa o segmento de lnha. R d l (x,t) Z 0 l G d l Fg..9 Segmento utlzando a mpedânca caacteístca da lnha (Z 0 ). Admtndo a popagação de uma tensão ao longo da lnha, cada segmento á epesenta um ponto de análse, onde se pode calcula tensões ncdentes e efletdas, e assm, detemna o valo eal da tensão e da coente nestes pontos. Segundo a teoa de lnhas de tansmssão, cada segmento onde ncde uma fente de onda ogna uma fente de onda efletda cujo valo depende do coefcente de eflexão: Z Γ = Z Z Z (.3) Onde: Z é a mpedânca do meo de onde se ogna a fente de onda; Z é a mpedânca do meo que eflete a fente de onda. Consdeando as tensões ncdentes e efletdas po cada segmento, pode-se aplca o teoema de Thévenn paa smplfca a análse e detemna equações epesentatvas do fenômeno em questão. A fgua.0 mosta o ccuto equvalente de Thévenn de um segmento genéco (< n <N) da lnha consdeando a pesença dos segmentos adjacentes [3].

42 Capítulo Modelagem Numéca 3 I n R. E n En G n Dn. D n Z 0 Z 0 Fg..0 Equvalente de Thévenn de um segmento da lnha [3]. Onde: I n é a coente no segmento genéco n, no nstante ; n é a tensão em n, no nstante ; n E é a tensão que ncde à esqueda de n, no nstante ; n D é a tensão que ncde à deta de n, no nstante ; E n é a tensão à esqueda de n, no nstante ; D n é a tensão à deta de n, no nstante. Aplcando o teoema de Mllman ao ccuto da fgua.0, obtém-se: n = En Dn Z0 R Z0 G Z R Z 0 0 (.33) deta: A coente pode se obtda aplcando a le de tensões de Kchhoff à malha da I n n. Dn = (.34) R Z 0 As tensões nos lados esquedo e deto do segmento são obtdas, espectvamente, po: D E = (.35) n n =. Dn I n.z 0 (.36) n

43 Capítulo Modelagem Numéca 3 De acodo com a teoa de lnhas de tansmssão, as tensões que ncdem em um segmento genéco n são efletdas po ele e etonam à lnha. Essas tensões efletdas podem se obtdas po: E n n n n = E E (.37) n n D = D D (.38) Onde: E n é a tensão efletda paa a esqueda do segmento n, no nstante ; D n é a tensão efletda paa a deta do segmento n, no nstante. Conhecdas as elações ente as tensões ncdentes e efletdas em um segmento, pode-se, a pat das tensões ncdentes em um segmento, detemna as tensões efletdas paa os segmentos adjacentes. O TLM-TD, po se um método mplementado no domíno tempo, deveá ealza a segu o cálculo das tensões ncdentes em cada segmento paa um nstante de tempo segunte. O mecansmo é consdea que as tensões ncdentes em um segmento genéco n, no momento segunte, coesponde às tensões efletdas pelos segmentos adjacentes, detemnadas no momento medatamente anteo. Assm: En Dn = (.39) n = n D E (.40) Ou seja, a tensão ncdndo à esqueda do segmento n em um nstante é justamente a tensão efletda pelo lado deto do segmento que fca à sua esqueda (n-), no nstante anteo (). Da mesma foma, a tensão ncdndo à deta do segmento n em um nstante coesponde à tensão efletda pelo lado esquedo do segmento que fca à sua deta (n), no nstante anteo (). As equações.33 a.40 elaconam os valoes das tensões ncdentes e efletdas paa um segmento genéco. O mesmo acocíno pode se usado a fm de obte as elações paa o segmento ncal (n=) e o segmento fnal (n=n).

44 Capítulo Modelagem Numéca 33 Com base na da lnha de tansmssão da fgua.7, o ccuto equvalente de Thévenn paa o segmento ncal (acoplado à fonte) é mostado na fgua.. I R S D. D R s Z 0 Fg.. Equvalente de Thévenn paa o segmento ncal: Paa este segmento ncal, teemos: S R R S. D R Z R Z S 0 = (.4) 0 I. D = (.4) R Z0 D. D I.Z0 = (.43) = D D (.44) D D = E (.45) No caso do ccuto equvalente de Thévenn paa o segmento fnal (acoplado à caga), analsaemos duas possbldades: pmeamente uma caga ndutva e em seguda uma caga capactva. Ambos os casos seão tatados com seus equvalentes do tpo stub (techos adconas de lnha), de foma a equacona a ntodução destes novos componentes. Esta técnca é bastante nteessante pos seá usada posteomente paa modela a exstênca de meos não-homogêneos e/ou com pedas [8,3].

45 Capítulo Modelagem Numéca 34 A fgua. mosta a o acoplamento de uma caga ndutva ao fnal da lnha (a), e a modelagem atavés de um stub ndutvo (b). O modelo stub ndutvo nada mas é do que um techo adconal de lnha de tansmssão com seus temnas cuto-ccutados (shot-ccut stub), onde a onda ncdente deve se efletda num tempo t. R L R L Z 0 G d l G d L Z 0 l Z L (a) Fg.. Segmento fnal: (a) Caga ndutva; (b) Stub ndutvo. (b) Deste modo, Z L é a mpedânca sée de lnha stub que modela o nduto. Z L L = (.46) t O ccuto equvalente de Thévenn paa o segmento fnal (acoplado à caga ndutva) é mostado na fgua.3. I L. N E R L Z 0 G N Z L. Fg..3 Equvalente de Thévenn paa o segmento fnal (caga ndutva)

46 Capítulo Modelagem Numéca 35 E o cálculo das tensões ncdentes e efletdas paa o segmento fnal com caga ndutva (n=n): N =.. N Z0 RL Z L (.47) G Z R Z 0 L L I L = N R L. Z L (.48) =. I L.Z L E N = N D N = DN E N (.49) (.50) (.5) Se a caga acoplada ao fnal da lnha fo do tpo capactva teemos a stuação mostada na fgua.4. O modelo contendo um stub capactvo paa este caso é fomado po um techo adconal de lnha de tansmssão com seus temnas abetos (open ccut stub). Z C é a mpedânca da lnha stub que modela o capacto. t Z C = (.5) C Z 0 RL C Z 0 RL Z C (a) Fg..4 Segmento fnal: (a) Caga capactva; (b) Stub capactvo. (b)

47 Capítulo Modelagem Numéca 36 O ccuto equvalente de Thévenn paa o segmento fnal (acoplado à caga capactva) é mostado na fgua.5.. N E R L N. Z 0 Z C Fg..5 Equvalente de Thévenn paa o segmento fnal (caga capactva) E o cálculo das tensões ncdentes e efletdas paa o segmento fnal com caga capactva (n=n): N.. N Z Z Z R Z 0 C = (.53) 0 L C =. I L.Z L E N = N D N = DN E N (.54) (.55) (.57) Paa completa a análse da lnha, é pecso detemna o passo de tempo t, ou seja, a dfeença ente e em segundos. Este deve se gual ao tempo de popagação da onda na dstânca de um segmento ( l ). Desta foma: l t = (.58) u u = (.59) L.C Onde: u é a velocdade de popagação da onda na lnha; L é a ndutânca dstbuída da lnha; C é a capactânca dstbuída da lnha.

48 Capítulo Modelagem Numéca 37 Assm: t= LC (.60) De uma foma geal, pode-se dentfca as seguntes etapas dento de cada teação no tempo paa o método TLM-TD: Detemnação das tensões que ncdem em cada segmento; Cálculo dos campos assocados aos segmentos de nteesse; Cálculo das tensões efletdas po cada segmento; Aplcação das condções de contono paa os segmentos ou nós que se localzam nas extemdades do domíno de cálculo; Detemnação das novas tensões ncdentes paa o póxmo passo de teação, baseadas nas tensões efletdas..4 Conclusões deste capítulo A modelagem numéca de estutuas sujetas a poblemas de compatbldade eletomagnétca tem se tonado uma mpotante feamenta paa a solução antecpada destes poblemas. Quando utlzada na concepção de novos podutos, eduz consdeavelmente os custos de pojeto e pototpagem. A pat do estudo de algumas técncas numécas, suas vantagens e desvantagens em elação à análse de casos de popagação e espalhamento de ondas eletomagnétcas, obsevou-se ncalmente que o MoM apesenta claeza e smplcdade na análse de detemnadas estutuas, como fos, cabos, e placas condutoas. Ele pevalece sobe outos métodos que exgem condções de contono bem defndas, como o FEM, FDTD e TLM-TD. Contudo, po se um método ntegal, sua pncpal desvantagem é a dfculdade em modela poblemas que envolvam mateas com dfeentes caacteístcas elétcas e magnétcas. Os snas de ntefeênca adados e mesmo os sutos atmosfécos e de manobas, poblemas que seão abodados neste tabalho, apesentam constantes de tempo muto pequenas. Estes tanstóos extemamente ápdos, na maoa dos casos, nvablzam o uso de pogamas no domíno da feqüênca.

49 Capítulo Modelagem Numéca 38 Os métodos tpcamente usados no domíno tempoal, como o TLM-TD e FDTD, apovetam-se desta abodagem paa a obtenção de esultados numa ampla faxa do especto de feqüênca. Ambos apesentam poblemas com a modelagem de geometas mas complexas (stacasng), já que ambos usam nomalmente malhas etangulaes ou cúbcas. Exstem poém váas fomulações altenatvas paa cada um dos métodos, tas como malhas múltplas ou vaáves, que em mutos casos mnmzam esta defcênca. A fomulação do método TLM-TD mostou-se elatvamente smples e as efeêncas apontam paa esultados bastante confáves. Com a vesão undmensonal, apenas os casos mas smples de análse de lnhas de tansmssão podem se tatados. Contudo, as vesões bdmensonal e tdmensonal podem faclmente se mplementadas quando a vesão undmensonal é conhecda. O póxmo capítulo seá dedcado a esta taefa: apesenta a fomulação tdmensonal do TLM-TD.

50 CAPÍTULO FORMULAÇÃO TRIDIMENSIONAL DO MÉTODO TLM-TD. Intodução A análse de lnhas de tansmssão a dos fos, vsta no capítulo anteo, é a base do método TLM-TD em uma dmensão. A pat desta teoa fo possível desenvolve as vesões bdmensonal e tdmensonal. A exemplo da fomulação undmensonal, estas últmas apesentam segmentos ou nós coespondentes que também foam baseados na teoa de lnhas de tansmssão e utlzam o mesmo pocedmento de cálculo. Este capítulo á dedca-se ao estudo da fomulação matemátca tdmensonal do TLM-TD. Antes, poém, é convenente apesenta sucntamente a fomulação do TLM bdmensonal já que o elemento básco de dscetzação tdmensonal ognou-se das células báscas utlzadas na vesão bdmensonal.. Fomulação bdmensonal do TLM-TD O TLM pemte a dscetzação de espaços bdmensonas atavés da utlzação de dos tpos de células báscas: o nó sée e o nó paalelo. Cada um destes nós é aplcável a uma classe de poblemas, mas em ambos os casos, assm como no TLM undmensonal, os mateas pesentes no caso sob análse são modelados atavés de mpedâncas [3,3].

51 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 40.. Nó sée do TLM O nó sée é apesentado na fgua 3.; ele é o esultado da conexão de dos segmentos de lnha de tansmssão a 90 o. Esta confguação é usada paa epesenta as dmensões catesanas x e y. 3 l l C l Ld d 4 L d 4 l L d 4 l L d 4 C l d I C l d 4 l L d 4 l L d 4 l L d 4 l C d l L d 4 y z x Fg.. Nó bdmensonal sée. Neste estudo ntodutóo são desconsdeadas as pedas, motvo pelo qual não apaecem no modelo a esstênca sée e a condutânca paalela. Os demas paâmetos da lnha (capactânca paalela e ndutânca sée) foam dstbuídos gualmente pelos quato baços do nó. O nó sée possu como ncógntas as tensões,, 3 e 4, dspostas nas suas quato extemdades (comumente denomnadas potas ) e a coente I, que ccula no nteo do mesmo. A pat destes valoes é possível detemna o campo elétco na deção x (elaconado com as tensões nas potas e 3), o campo elétco na deção y (elaconado com as tensões nas potas e 4) e o campo magnétco na deção z (elaconado com a cculação da coente I). Devdo a estas caacteístcas de mapeamento dos campos elétco e magnétco, esta topologa de nó é patculamente ndcada paa esolução de poblemas em modo TE.

52 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 4 O modelagem do espaço bdmensonal é feta pela conexão dos nós localzados acma, abaxo, à deta e à esqueda, atavés das suas potas. A malha de nós toma então uma foma semelhante àquela mostada na fgua y z x Fg.. Malha de nós bdmensonas sée. Assm, da mesma foma que na vesão undmensonal do TLM, exstem equações que defnem de que manea as tensões que ncdem nas quato potas do nó são tansfomadas em tensões efletdas paa foa dele, num detemnado nstante de tempo. Estas equações são nomalmente epesentadas po um sstema matcal que dá ogem a uma matz chamada Matz de Espalhamento. A equação matcal paa o nó sée que contém os vetoes de tensões ncdentes e efletdas bem como a matz de espalhamento é mostada abaxo [3]:

53 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 4 = (.) Onde: p é a tensão ncdente na pota p num nstante de tempo ; p é a tensão efletda pela pota p num nstante de tempo. Paa cada teação do pocesso de cálculo, detemnam-se os valoes nstantâneos de campo, coente ou tensão em cada nó, com base nas tensões ncdentes. As tensões efletdas paa os nós adjacentes são obtdas aplcando-se a matz de espalhamento. A fgua.3 mosta um exemplo da aplcação da matz e espalhamento em uma malha bdmensonal após a exctação mpulsva de um dos seus nós. (a) (b) (c) Fg..3 Espalhamento pela malha bdmensonal do TLM: (a) Exctação mpulsva; (b) Pmeo espalhamento; (c) Segundo espalhamento Fnalmente o pocesso de conexão gaante que a tensão efletda po uma pota do nó, num detemnado passo de tempo, seja a tensão ncdente na pota coespondente ao nó adjacente, no póxmo passo de tempo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x y x y x y x y x y x y x y x,,,,,,,, = = = = (.) ½ -½ -½ -½ -½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ -¼ ¼ -½ -½ -½ -½ -¼ -¼ -¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½

54 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 43 Onde: n é a tensão ncdente na pota n, no nstante ; n é a tensão efletda na pota n, no nstante... Nó paalelo do TLM A outa célula que pode se utlzada paa análses bdmensonas com o TLM é o nó paalelo, mostado na fgua.4. l L d l l Ld L d l (z- 3,t) l (x-,t) l L d C d l l (x,t) 4 l (z,t) l l z y x Fg..4 Nó bdmensonal paalelo. O nó paalelo possu como ncógntas as coentes (fgua.4), que cculam em cada uma das quato potas, e a tensão sobe o capacto, no cento do nó. A pat destes valoes é possível detemna o campo magnétco na deção x (elaconado com as coentes nas potas e 3), o campo magnétco na deção z (elaconado com as coentes nas potas e 4) e o campo elétco na deção y (elaconado com a tensão sobe o capacto). Devdo a estas caacteístcas de mapeamento dos campos elétco e magnétco, esta topologa de nó é ndcada paa esolução de poblemas em modo TM. A equação matcal que contém os vetoes de tensões ncdentes e efletdas é mostada abaxo [3]:

55 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 44 = (.3) Como esultado da dualdade ente as topologas dos nós, a otna de conexão do nó paalelo é dêntca àquela vsta paa o nó sée equação.. Em ambos os nós exstem cetas exgêncas que devem se espetadas paa que o eo pesente neste método numéco esteja dento de lmtes acetáves, como tamanho da malha, passo de tempo e velocdade de popagação. Estes paâmetos seão detalhados na fomulação tdmensonal do método TLM, que é o objeto pncpal deste tabalho..3 Fomulação tdmensonal do TLM-TD O desenvolvmento do TLM-TD tdmensonal teve nco em 974 [36], com a cação do Nó Expanddo (Expanded Node), que contava com a junção de tês nós sées e tês paalelos (fgua.5). Fg..5 Nó Expanddo. x y z E x E y E z H z H y H x

56 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 45 Desta foma, podea epesenta smultaneamente polazações em modo TE e TM [37-40]. Duante váos anos uma gande quantdade de poblemas de popagação eletomagnétca fo estudada com sucesso usando o nó expanddo. Esta estutua, poém, ea bastante complexa. As componentes de campo de dfeentes polazações eam calculadas em pontos fscamente dfeentes, dfcultando a aplcação de condções de contono e manea smples e coeta [3]. Uma vesão mas evoluída fo descta em 980, fcando conhecda como Nó Condensado Assmétco (Asymmetcal Condensed Node). Sua pncpal vantagem ea taze todas as componentes de campo paa o cento do nó. Contudo, apesentava a dfculdade de se anda assmétco, já que as conexões ente nós deveam se sée ou paalelo dependendo da deção e do campo a modela [4]. Outas topologas foam popostas no níco da década de 80, destacando-se o Nó de Yoshda, Fua e Fuuoa [4], smla ao Nó Expanddo, mas fomado apenas po nós paalelos e usando conceto de gadoes paa epesenta ambos os campos, elétco e magnétco; e o Nó Escala [43], que emboa seja bastante efcente computaconalmente, é aplcável apenas a poblemas escalaes. A estutua mas utlzada atualmente paa modela poblemas com TLM-TD é o Nó Condensado Smétco (SCN - Symmetcal Condensed Node). Descto pmeamente po Johns em 986 [44,45], o SCN epesenta um avanço sgnfcatvo paa o método TLM. Dfeente das demas estutuas, apesentadas como uma ede de lnhas de tansmssão passvas, o SCN é essencalmente um objeto algébco, uma epesentação físca das equações dscetzadas de Maxwell [46]. Outas topologas de nós tdmensonas mas modenas foam, ou estão sendo desenvolvdas. Ente elas destacam-se o Hybd Symmetc Condensed Node (HSCN) que eduz o númeo de stubs de ses paa apenas tês [47], e os Symmetc Supe-Condensed Node (SSCN) [48,49] e Condensed Cubod Node [50], que não necesstam de stubs paa modela pedas e/ou não-homogenedades.

57 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD Nó Condensado Smétco (SCN) O SCN é um segmento tdmensonal do espaço modelado po lnhas de tansmssão nas tês deções do sstema de coodenadas catesanas (fgua.5). Cada lnha possu uma coente e quato tensões ncógntas, como na vesão sée do nó bdmensnal do TLM-TD I z 6 I y 0 I x 9 z y x 8 5 (a) (b) (c) Fg..5 Decomposção do SCN em nós bdmensonas sée: (a) Plano xy; (b) Plano xz; (c) Plano yz O efeto da consdeação das tês células bdmensonas num únco elemento tdmensonal gea o SCN, mostado na fgua.6 [45]. As doze tensões, que confguam doze potas nas extemdades do SCN, podem defn o campo elétco e o campo magnétco pesentes em cada nó, paa cada deção do espaço catesano (x,y,z). Dfeentemente de seus pedecessoes, o SCN possu uma topologa centalzada, podendo desta foma epesenta todas as ses componentes de campo num mesmo ponto do espaço. Contudo, é mpotante salenta que emboa estas lnhas possuam gandezas ntedependentes, elas não estão conectadas atavés de mpedâncas dscetas, como nas topologas undmensonal, bdmensonal e no Nó Expanddo (fgua.5). Neste sentdo, o SCN caece de uma vsão mas físca. Analsando-se atentamente a fgua.6, pode-se nota que cada pota do SCN está assocada a uma componente de campo elétco e uma componente de campo

58 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 47 magnétco. Exemplfcando, as potas 4 e 8 são esponsáves pela detemnação das tensões ncdentes e efletdas na deção y, estando potanto, assocadas ao cálculo do campo elétco na deção y (Ey) e ao cálculo do campo magnétco na deção x (Hx). As potas e 9 defnem as tensões na deção x e estão assocadas ao cálculo de Ex e Hy. E assm po dante paa todas as potas. A tabela. taz o mapeamento completo de potas e componentes de campo y 5 z x Fg..6 Nó Condensado Smétco (SCN)..3. Matz de espalhamento Assm como nas fomulações undmensonal e bdmensonal, a sstemátca usada paa o SCN consste em obte uma matz de espalhamento que convete as tensões ncdentes em tensões efletdas. Estas tensões efletdas seão então usadas num passo de tempo segunte como tensões ncdentes nas potas dos nós adjacentes. Como fo comentado anteomente, o SCN é essencalmente um objeto algébco, uma epesentação físca das equações dscetzadas de Maxwell. Assm,

59 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 48 ao contáo dos nós undmensonal e bdmensonal, a matz de espalhamento do SCN não pode se obtda atavés do equvalente de Thévenn. Paa tanto, é usada uma abodagem mas ntutva [3,3]. Tab.. Mapeamento de potas e campos elétcos e magnétcos. Pota Campos Assocados E x e H z E x e H y 3 E y e H z 4 E y e H x 5 E z e H x 6 E z e H y 7 E z e H x 8 E y e H x 9 E x e H y 0 E z e H y E y e H z E x e H z Supondo a exctação da pota, na extemdade nfeo do SCN, como um pulso de tensão de. Esta únca tensão ncdente, após chega ao nteo do nó, efletá tensões paa todas as ses extemdades do nó, nclusve paa a extemdade nfeo. Este fato é mostado na fgua.7. Como fo vsto na tabela., a pota está elaconada com as componentes Ex e Hz. Tomando as equações de Maxwell paa estas duas gandezas: H y z H z y E = ε t x (.4) E y x E y x H = µ t z (.5)

60 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 49 efca-se que a pota possu acoplamento com as potas e (elaconadas com Ex e Hz), com as potas e 9 (elaconadas com Ex e Hy) e com as potas 3 e (elaconadas com Ey e Hz). c d 6 3 d 7 b c b -d 4 b 0 -d b 9 8 y 5 z x a Fg..7 Espalhamento no nteo do SCN. Assm, as potas e 9 ecebeão uma mesma quantdade de tensão efletda b, a pota ecebeá uma quantdade c, a pota 3 uma quantdade d, a pota uma quantdade -d e fnalmente a pota, ecebeá de volta uma quantdade a. Consdeando que todas as potas podem possu pulsos de tensão ncdentes, num mesmo nstante de tempo e aplcando as equações de Maxwell paa elacona os campos elétco e magnétco paa cada caso, é possível monta a equação de espalhamento:

61 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 50 = a d b d b c d a b b c d a d b c b d b d a d c b b a d d c b b d a b c d c d b a b d b d c b a d b c d d a b d c b b a d b d c d a b c d b d b a (.6) Onde: n é a tensão efletda pela pota n ; n é a tensão ncdente na pota n ; e é o nstante de tempo. É pecso agoa detemna os valoes de a, b, c e d. Então, assumndo que a popagação acontece num meo sem pedas, o SCN deve conseva a enega ndependente da combnação de pulsos de exctação que podem ncd sobe qualque uma das potas do nó, pode-se então dze que: I S S = T (.7) Onde: S é a matz de espalhamento; S T é a tansposta da matz de espalhamento; I é a matz dentdade. A pat desta consdeação, obtém-se o segunte sstema de equações: = = = = d b ac cd ad bc ab d c b a (.8)

62 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 5 Exstem váas soluções paa este conjunto de equações. Assm, é necessáo detemna equações auxlaes paa obte a esposta coeta paa o caso eletomagnétco. Isso é detemnado atavés das equações de Maxwell (.4) e (.5), usando as analogas ente tensão e campo elétco, e coente e campo magnétco, como vsto paa o caso undmensonal. Patndo, então das equações, temos: = = c d a c b a (.9) Resolvendo o sstema fomado po.8 e.9, obtém-se: a = 0; b = 0.5; c = 0; d = 0.5 E a equação de espalhamento toma a foma fnal: = (.0) Depos de defndo como ocoe o espalhamento, é necessáo defn como as tensões efletdas se popagam paa os nós adjacentes. Esta etapa caacteza a conexão paa o póxmo passo de tempo..3.3 Conexão com o nstante de tempo segunte Uma vez conhecdo o compotamento de cada nó, quando sujeto a tensões ncdentes, outo ponto mpotante é detemna como ocoe a popagação das

63 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 5 ondas eletomagnétcas foa do SCN. A exemplo das fomulações undmensonal e bdmensonal, a modelagem de um volume do espaço usando o SCN mplca na junção das extemdades dos nós adjacentes. Isto po sua vez, pemte o acoplamento ente as tensões efletdas po um nó num dado nstante e as tensões ncdentes nos nós adjacentes, no nstante de tempo segunte. A fgua.8 mosta uma fação do espaço modelado onde a conexão ocoe. Pode-se obseva que a tensão efletda pela pota 4 do nó localzado na posção (x,y,z), no nstante de tempo, deveá coesponde à tensão ncdente na pota 8 do nó adjacente que fca em (x,y,z-), no nstante de tempo. Da mesma foma, a tensão efletda pela pota 8 do nó em (x,y,z-), no nstante, coesponde à tensão ncdente na pota 4 do nó em (x,y,z), no nstante. O que acontece ealmente é uma toca ente tensões de potas adjacentes. Assm, matematcamente, pode-se esceve: 8 4 ( x, y, z ) = ( x, y, z) ( x, y, z) = ( x, y, z ) 8 4 (.) Onde: ( x, y, ) é a tensão ncdente na pota 8 do nó (x,y,z-), no 8 z ( x, y z), nstante de tempo ; 4 é a tensão efletda pela pota 4 do nó (x,y,z), no ( x, y, z ) 8 nstante de tempo ; é a tensão efletda pela pota 8 do nó (x,y,z-), no ( x, y z) 4, nstante de tempo ; é a tensão ncdente na pota 4 do nó (x,y,z), no nstante de tempo. O mesmo ocoe paa todas as outas potas do SCN sendo possível detemna expessões matemátcas smlaes a.0 e. paa cada extemdade do nó.

64 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD (x, y, z) (x, y, z-) 4 (x-, y, z) (x, y, z) (x, y, z) y (x, y, z ) z x 9 5 (x, y-, z) Fg..8 Conexão ente as potas dos SCN s adjacentes. Desta foma, paa cada passo de teação no tempo, devem se ealzadas duas mpotantes etapas. A pmea etapa calcula as tensões efletdas no nteo de cada nó, utlzando as tensões ncdentes e a matz de espalhamento. A segunda etapa utlza as tensões efletdas que acabaam de se calculadas paa detemna atavés das tocas (smlaes a. e.), o valo das novas tensões ncdentes, usadas paa enca um novo nstante de tempo. Este pocesso, contudo, não contempla os nós que estão na fontea do domíno de smulação. Estes nós não apesentam contato com nós adjacentes em todas as

65 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 54 extemdades, nvablzando paa algumas potas a etapa de conexão com o momento segunte como vsto anteomente. Potanto é necessáo detemna as condções de contono paa esta classe específca de nós..3.4 Condções de contono Os nós que estão nos lmtes do volume de smulação possuem, dependendo de sua posção, de uma até tês extemdades sem contato com outos nós. Isto faz com que sejam necessáos alguns cálculos extas paa detemna a conexão destas potas com o nstante de tempo segunte, uma vez que a etapa de espalhamento deve se feta gualmente paa todos os nós, sem exceção. Uma vez dentfcados os nós petencentes às fonteas do volume, aplca-se a conexão apesentada no tem anteo paa as potas que possuem nós adjacentes. Às potas que não possuem este contato, aplca-se um coefcente de eflexão paa defn as novas tensões ncdentes do póxmo passo de teação. Este coefcente de eflexão é calculado levando em conta os paâmetos físcos do mateal de peenchmento do volume modelado e do mateal de peenchmento do volume encontado além da fontea. Paa exemplfca, suponha-se que a extemdade deta de um detemnado nó está no lmte do volume smulado, como mostado na fgua.9. Neste caso, as potas 0 e não possuem contato com outos nós e as equações de conexão com o momento segunte passam a se: 0 ( x, y, z) = Γ ( x, y, z) ( x, y, z) = Γ ( x, y, z) 0 (.) Onde: Γ é o coefcente de eflexão, dado po: Z Γ = Z b b Z Z LT LT (.3)

66 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD z 5 y x Fg..9 Potas dos SCN s adjacentes à fontea. Se fo o caso de smula, po exemplo, uma placa condutoa pefeta (Z b = 0) em uma das fonteas, aplca-se o coefcente de eflexão gual a. Assm, tudo se passa como se as potas da efeda extemdade do nó estvessem cuto-ccutadas, sugendo que toda tensão ncdente naquela fontea, etona nvetda paa o volume modelado. Este tpo de fontea é denomnado paede elétca e também pemte a modelagem de fos e cabos condutoes, desde que as pedas possam se desconsdeadas.

67 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 56 Po outo lado, uma fontea fomada po um mateal de mpedânca bastante elevada (Z b ) necessta da aplcação de um coefcente de eflexão gual a. Assm, tudo se passa como se as potas da efeda extemdade do nó estvessem em ccuto abeto. Este tpo de fontea é denomnado paede magnétca. Se a ntenção é admt o volume modelado meso no espaço abeto, o valo da mpedânca caacteístca da fontea Z b adque o valo Z 0 : µ 0 Z 0 = 377Ω (.4) ε 0 Po se um método no domíno do tempo, o TLM-TD não pemte consdea, de foma deta, o conceto de coefcente de eflexão complexo. Isto lmta o uso desta técnca aos casos de fonteas não-dspesvas (nomalmente dealzadas como aquelas comentadas anteomente) e aos casos de ncdênca nomal. É mpotante fsa que po questão de snconsmo, a fontea deve se acha necessaamente a uma dstânca de l / do últmo nó do volume smulado, já que as tensões efletdas pelas potas lmítofes tem um tempo t paa etonaem ao nó como tensões ncdentes. Paa fnalza o pocesso, é pecso detemna como ocoe a popagação de ondas no nteo de um volume modelado com o SCN, objetvando estabelece uma elação ente o tamanho do nó e o passo de tempo a se utlzado em cada smulação..3.5 Detemnação do tempo de popagação Consdee-se uma onda plana com campo elétco polazado na deção y e popagando-se na deção x. A onda deveá ncd pependculamente sobe a face esqueda de um volume modelado com o SCN. Neste caso, vefca-se que todos os nós desta face ecebeão tensões ncdentes apenas em sua pota 3. Duante o pmeo passo de teação, após o espalhamento, as potas, 4, 8 e de todos os nós desta face ecebeão tensões efletdas, confome estabelece a

68 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 57 equação de espalhamento.0. A popagação da onda na deção x não pode anda se vefcada, pos a tensão na pota de cada nó (coespondente ao campo elétco polazado na deção y ) anda é zeo. No segundo passo de teação poém, os nós da face esqueda ecebeão tensões ncdentes nas potas, 4, 8 e, de acodo com o pocesso de conexão com o nstante de tempo segunte, exemplfcado nas equações. e.. Só depos de aplcada a matz de espalhamento neste segundo passo de teação, é que a pota ecebeá tensões efletdas. Assm, é possível vefca que a popagação da onda ncdente na pota 3 e depos efletda na pota, gastou dos passos de teação. Consdeando o SCN é cúbco de dmensão l, a velocdade de popagação de uma onda plana ncdndo pependculamente em um volume modelado, seá: u = l t (.5) Onde: u é a velocdade de popagação da onda no meo; Conhecdos as bases do método TLM-TD em sua vesão tdmensonal, tonase necessáo vefca como se dá a exctação e a tomada das gandezas de nteesse no SCN..3.6 Exctação no TLM-TD tdmensonal Paa excta qualque componente de campo elétco ou magnétco no SCN, é necessáo dentfca as potas assocadas à gandeza desejada e njeta tensões nestes pontos. As equações paa os componentes de campo elétco são: = = 9 = E0 l = paa E x 3 = 4 8 = = E0 l = paa E y (.6) 5 = 6 = 7 = 0 E0 l = paa E z

69 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 58 E paa as componentes de campo magnétco: 4 = 8 = 7 = 5 = H 0 l Z 0 paa H x 9 = = 6 = 0 = H 0 l Z 0 paa H y (.7) = 3 = = = H 0 l Z 0 paa H z Onde: E 0 e H 0 são os valoes ncas de campo elétco e magnétco a se aplcados nos nós seleconados como nós de exctação; e Z 0 é a mpedânca caacteístca do meo consdeado. Em alguns casos, faz-se necessáa a exctação na foma de coente (em mateas condutoes, po exemplo). Paa sso, basta njeta tensões nos nós adjacentes ao mateal conduto, de foma a ca um campo magnétco ao seu edo deste e satsfaze a le de Ampèe. Este pocedmento seá detalhado posteomente na seção.3.8. A foma da exctação a se aplcada depende do caso em questão. Pode-se aplca qualque foma de onda cuja equação é conhecda, como tensões senodas, sutos atmosfécos ou de manobas, ondas quadadas, etc... Paa sso é pecso modfca os valoes de E 0 e H 0 de acodo com estas equações, a cada passo de teação. Po outo lado, se fo necessáo conhece a esposta no domíno feqüênca, pode-se aplca um pulso ápdo com duação de apenas um passo de teação, smulando assm um mpulso. Deve se notado que quanto meno fo a dmensão do nó l, mao seá a banda de feqüênca exploada, já que esta dmensão é popoconal à lagua do pulso (equação.5). Po se tata de um método tempoal, o TLM-TD foneceá como espostas gandezas no domíno tempo. Desta foma, faz-se necessáo aplca uma tansfomada tempo-feqüênca.

70 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD Cálculo de campos Paa calcula o valo de tensão numa detemnada deção, detemna-se a méda das tensões que estão nesta deção. Deve-se consdea, no entanto, que paa um mesmo nstante de tempo, a tensão em cada pota é defnda pela soma algébca das tensões ncdentes e efletdas. Assm, as tensões nas deções x,y,z podem se calculadas como: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] z y x = = = (.8) Poém, paa mante a consevação da caga em cada nó e em cada nstante de tempo, vefca-se que a soma das tensões ncdentes ao nó é gual à soma das tensões efletdas po ele. Então as expessões acma tonam-se: ( ) ( ) ( ) z y x = = = (.9) Baseado nas equações anteoes, pode-se calcula o valo do campo elétco em qualque nó, aplcando as equações: ( ) ( ) ( ) z y x E E E = = = l l l (.0)

71 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 60 Da mesma foma, os campos magnétcos podem se defndos po: ( ) ( ) ( ) z y x Z H Z H Z H = = = l l l (.) Onde: Z 0 é a mpedânca caacteístca do nó sob análse..3.8 Cálculo de coentes Paa calcula coentes utlzando o TLM-TD, pode-se ecoe à equação obtda a pat da Le de Ampèe. = L d H I l. (.) Fazendo-se H gual ao campo magnétco nos nós adjacentes ao nó onde se deseja calcula a coente, L o camnho ao edo do nó onde se deseja calcula a coente. A fgua.9 lusta este pocedmento. H I H H H x z y Fg..0 Detemnação de coentes atavés da le de Ampèe.

72 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 6 Tomando a fgua.0 como exemplo, pode-se detemna a coente na deção z, que atavessa o nó cental stuado na coodenada (x, y, z): I z = l l H x( x, y, z) l H x( x, y, z) H x( x, y, z) l l H y( x, y, z) l H y( x, y, z) H y( x, y, z) l l H x( x, y, z) l H x( x, y, z) H x( x, y, z) l l H y( x, y, z) l H y( x, y, z) H y( x, y, z) (.3) A equação.3 pode faclmente se expandda paa calcula coentes ao edo de mas de um nó, confguando uma egão de nteesse mao..3.9 Modelagem de mateas condutoes O cálculo de coentes nomalmente eca sobe egões consttuídas po mateas condutoes, fazendo deste tpo de mateal uma ocoênca comum e potanto mpotante. Os mateas condutoes apesentam cetas caacteístcas que os dfeencam dos demas tpos de mateas. Em especal, os condutoes consdeados pefetos apesentam a capacdade de eflet completamente todas as tensões ncdentes, não apesentando esstênca elétca nem, potanto, pedas po efeto Joule. Uma das fomas de modela mateas condutoes pefetos fo vsto na seção.3.4, atavés do uso de um coefcente de eflexão Γ= -. Exste, poém, uma foma mas explcta que faz uso de um nó específco. O Nó de Cuto-Ccuto, mostado na fgua.0, caacteza-se po eflet completamente as tensões ncdentes em suas potas. A composção da matz de espalhamento deste nó apesenta modfcações em elação àquela mostada paa o SCN na equação.9. Paa gaant a eflexão total de todas as tensões ncdentes, é pecso que os elementos da dagonal pncpal da matz de espalhamento sejam guas a ( ), como mosta a equação 3.35.

73 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 6 M = O M (.4) A modelagem de mateas condutoes abange uma extensa categoa de poblemas de eletomagnetsmo. Poém, numa gande pacela deles, é comum a pesença de váos mateas com caacteístcas elétcas e magnétcas dfeentes. Isto nvoca a necessdade de modela meos não-homogêneos y 5 z x Fg.. Nó de Cuto-Ccuto..3.0 Modelagem de casos não-homogêneos A teoa do TLM-TD tdmensonal paa meos homogêneos é baseada na matz de espalhamento defnda na seção.3.. Paa estes casos homogêneos, consdea-se que todo o volume modelado é peenchdo po apenas um tpo de mateal de mpedânca caacteístca Z 0. Adconalmente, pode-se modela também mateas condutoes pefetos, já que sto não mplca em modfcações substancas na dmensão da matz de espalhamento ognal ou anda nos paâmetos de smulação ( l, t e u).

74 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 63 Poém, se exst a necessdade de modela num mesmo caso, dos ou mas mateas com caacteístcas elétcas e/ou magnétcas dfeentes do mateal de peenchmento básco (nomalmente o a), é pecso ealza algumas modfcações. Exstem bascamente duas maneas de mplementa a ntodução de dfeentes mateas num meo: Modfcando a velocdade de popagação no meo; Insendo techos de lnha do tpo stub. A vaação da velocdade de popagação no meo pode se feta vaando-se l ou t, contudo, ambos os pocedmentos acaetam em peda do snconsmo. Assm, opta-se po um modelo estenddo do SCN, que passa a te techos de lnhas com mpedâncas extas (conceto já utlzado paa modela cagas capactvas e ndutvas acopladas ao modelo undmensonal no capítulo anteo) [3]. Dento do SCN, os stubs funconam como potas adconas que ealzam o tabalho de defasagem do snal. Ele deve se aplcado apenas na modelagem de mateas que possuam pemssvdade elétca ε e pemeabldade magnétca µ dfeentes do mateal de peenchmento básco Z 0. A fgua. mosta a nseção de um stub ndutvo na lnha que epesenta o plano xy do SCN. O stub adconado é um segmento de lnha de tansmssão com temnação cuto-ccutada que possu uma mpedânca Ẑ, nomalzada em elação a mpedânca caacteístca do meo. Este stub é dto do tpo ndutvo pos modela a nseção de uma ndutânca adconal vaando a pemeabldade do meo. A nclusão desta ndutânca causa defasagens na coente que ccula no plano xy, nfluencando o cálculo do campo magnétco na deção z. A elação ente a mpedânca Ẑ (nomalzada em elação à Z 0 ) e a pemeabldade elatva do novo mateal µ é expessa como: Z ˆ 4( µ ) (.5) =

75 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD z y x Ẑ Fg.. Stub ndutvo aplcado ao plano xy do SCN. O mesmo acocíno feto paa a dmensão x pode se empegado paa as outas duas dmensões. Em temos de pocessamento numéco, este pocedmento de nseção á adcona tês lnhas à matz de espalhamento ognal. Uma análse dual pode se feta paa modela dfeentes pemssvdades. Desta foma, um stub capactvo com a temnação em ccuto abeto, adcona uma capactânca ao nó e nfluenca no cálculo do campo elétco. O stub capactvo modela a alteação de pemssvdade atavés de sua admtânca nomalzada Yˆ. A elação ente a admtânca Yˆ (nomalzada em elação à Y 0 = Z ) e a 0 pemssvdade elatva do novo mateal ε é expessa como: Y ˆ 4( ε ) (.6) = Admtndo que os mateas podem apesenta os dos tpos de nãohomogenedades smultaneamente e que sto pode ocoe nas tês dmensões, seá pecso adcona, ao todo, ses stubs em cada SCN, de modo a pemt a modelagem de qualque não-homogenedade ou ansotopa. A matz de espalhamento fcaá, então, acescda de mas ses lnhas e colunas, passando a

76 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 65 possu a odem 8 8. Ognalmente, os stubs capactvos são epesentados pelas lnhas e colunas (potas) 3 a 5 e os stubs ndutvos pelas lnhas e colunas (potas) 6 a 8. Paa gaant o snconsmo, os pulsos ncdentes nos stubs são efletdos po suas temnações (ccuto abeto ou cuto-ccuto) em um tempo de t Adotando o mesmo pocedmento usado paa a detemnação da equação espalhamento do SCN ognal, aplca-se um pulso untáo à pota e com base nas equações de Maxwell, vefca-se que potas (nclundo stubs) ecebem que pate desta enega. Este pocedmento é epetdo consdeando a ncdênca do pulso untáo nas outas onze potas do nó ognal. O esultado fnal pode se vsto na equação.7. Os tês stubs capactvos e os tês stubs ndutvos são apenas techos de lnha ntenos ao nó e potanto não atuam detamente sobe os nós adjacentes. A nfluêncas destes stubs ocoe apenas no momento do espalhamento. A conexão destes nós especas com os demas contnua sendo feta atavés das doze potas convenconas. = j f f f f j f f f f j f f f f h e e e e h e e e e h e e e e g a d b d b c g d a b b c d g a d b c b d g b d a d c b g b a d d c b g b d a b c d g c d b a b d g b d c b a d g b c d d a b g d c b b a d g b d c d a b g c -d b d b a (.7) Onde: n é a tensão efletda pela n e n é a tensão ncdente na pota n.

77 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 66 O valo das quantdades a a j pode se detemnado de foma smla à utlzada paa a matz de espalhamento do SCN padão. Assm, se consdeamos um mateal sotópco, esulta: Yˆ Zˆ a = (4 Yˆ) (4 Zˆ) f 4Zˆ = (4 Zˆ) 4 b = (4 Yˆ) Yˆ Zˆ c = (4 Yˆ) (4 Zˆ) 4 d = (4 Zˆ) 4 e = (4 Yˆ) 4Yˆ g = (4 Yˆ) Yˆ 4 h = Yˆ 4 4 = (4 Zˆ) 4 Zˆ j = 4 Zˆ (.8).3. Cálculo de campos em meos não homogêneos Os cálculos dos campos elétcos e magnétcos em nós dotados de stubs devem leva em conta a pesença das potas adconas, passando a se: E E E x y z = l(4 Yˆ) = l(4 Yˆ) = l(4 Yˆ) ( Y ˆ ) ( Y ˆ ) 3 ( Y ˆ ) (.9) H H H x y z = Z l(4 Zˆ) 0 = Z l(4 Zˆ) 0 = Z l(4 Zˆ) 0 ( ) 4 ( ) 9 ( ) (.30)

78 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 67 O cálculo das coentes é feto atavés da Le de Ampèe, como no SCN sem stubs, calculando os campos magnétcos nos nós ao edo da egão de nteesse..3. Modelagem de pedas A modelagem de meos com pedas pode se efetuada atavés da adção de stubs dsspatvos. Nomalmente estes elementos epesentam lnhas nfntas, de foma que a enega é absovda e nenhuma eflexão é obsevada em sua pota [5]. A modelagem completa das pedas exge dos stubs (pedas elétcas e magnétcas) paa cada deção do espaço catesano, o que esultaa na adção de mas ses lnhas e colunas à matz de espalhamento. Desta foma, a modelagem de um mateal dfeente do peenchmento básco apesentando pedas necesstaa, em pncípo, de uma matz de espalhamento de odem 4 4. Contudo, desde que nenhuma tensão ncdente povém destes stubs, a matz de espalhamento adque a foma fnal de 8 4 elementos. Esta matz coba o caso mas geal, ou seja, um meo não-homogêneo e ansotópco. A ocoênca de um nó com estas caacteístcas é, contudo, epesentaa uma gande caga computaconal. Uma outa altenatva é a ntodução de um elemento dsspatvo no pocesso de conexão [5]. Desta foma, pate da enega que sea tansmtda paa a pota do nó adjacente é escoada paa o elemento dsspatvo. A fgua.3 exemplfca o que fo dto paa a conexão das potas 4 e 8 de dos nós adjacentes (x,y,z) e (x,y,z-) espectvamente. 4 R R 8 Z 0 Z 0 Fg..3 Conexão das potas 4 e 8 com a nseção de pedas.

79 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 68 A tensão no elemento dsspatvo pode se escta usando o teoema de Mllman: R 4 8 Z 0 Z 0 = (.3) Z R 0 Levando em consdeação este temo, a conexão com o momento segunte paa o nó com pedas fca sendo: ( x y, z ) = ( x, y, ) 8, R 8 z (.3) ( x y, z) = ( x, y z) 4, R 4, (.33).3.3 Eo de dspesão Um poblema esultante da dscetzação do espaço, é que o modelo dexa de se váldo paa todo o especto de feqüêncas. Isto ocoe poque, em modelos dscetos, a hpótese de que a velocdade de popagação da onda é a mesma em todas as deções só é válda se o passo de dscetzação espacal l é muto meno que o compmento de onda λ. Nestes casos, a popagação é dta sotópca e velocdade dada pela equação.5. Nos casos em que as dmensões do nó são da odem do compmento de onda, a smulação passa a apesenta modos espúos, esultantes da dspesão numéca [9,3]. Assm, é necessáo lmta a áea de atuação do modelo, de foma que possamos detemna paa que feqüêncas as espostas obtdas são váldas. Uma estção bastante comum na lteatua é a de lmta o valo do passo de dscetzação espacal a um décmo do valo do meno compmento de onda desejado (equação.34). Paa o caso específco do nó SCN, esta estção gaante eos menoes que % [3]. λ l (.34) 0

80 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 69.4 Topologas especas A fomulação analsada nas seções anteoes basea-se na geação de uma malha egula. Assm, todos os nós que modelam o volume smulado têm a foma cúbca de mesmas dmensões. Se sto não epesenta um poblema em aplcações mas smples, no caso de gandes volumes ou em poblemas mas ealstas, pode nvablza a aplcação do método. Assm, a necessdade de malhas egulaes se faz nota em poblemas contendo: Regões de ápda vaação dos campos; Supefíces cuvas e contonos cculaes, onde o efnamento da malha pode dmnu o eo po dscetzação; Fonteas que smulam o espaço abeto, onde não exste a necessdade do conhecmento pecso dos valoes de campo. Nestes casos, as dmensões de cada nó devem depende do nível de detalhamento necessáo paa cada estutua. Desta foma, além do ganho em temos da dmnução do tempo de pocessamento e da otmzação de ecusos computaconas, anda pode-se obte uma melho pecsão dos esultados atavés de um efnamento mas seletvo. Com o ntuto de mnmza os poblemas decoentes do uso de malhas egulaes, algumas altenatvas nteessantes vêm sendo desenvolvdas, tas como o uso de coodenadas clíndcas, modelagem de fos fnos e paedes estetas, malhas etangulaes vaáves e mult-gade [50,5,53-59]. A segu, duas popostas paa malha não egula seão analsadas. Cada uma delas apesenta vantagens, desvantagens e lmtações..4. Malha vaável Uma das soluções possíves paa mplementação de uma malha egula é a utlzação da técnca de malha vaável (aable-mesh ou Gaded-mesh). A déa é mostada na fgua.4 paa o caso bdmensonal. É possível nota que podem exst neste caso, váos nós de dmensões dfeentes. De modo geal, os nós

81 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 70 assumem uma foma etangula ( x y). A mesma stuação acontece no modelo tdmensonal, onde de foma geal podemos te x y z. Como no caso de uma malha egula, a fomulação de uma malha egula deve gaant dos equstos báscos: conectvdade e snconsmo. O poblema de conectvdade obsevado em malhas do tpo mult-gd, não exste nesta abodagem, pos como pode se vsto na fgua.4, cada nó só faz conexão com um únco nó vznho em cada deção. A gande peocupação neste caso é a manutenção do snconsmo, já que dfeentes x, y ou z acaetaão em dfeentes passos de tempo t (equação.5). Isto sgnfcaa que os potencas efletdos não alcançaam os nós adjacentes ao mesmo tempo, desespetando assm o pncípo de Huygens. Fg..4 Malha D gadual ou vaável. Como foma de gaant o snconsmo, pode-se compensa as vaações de l com vaações popoconas de t. Esta vaação pode se levada em conta atavés da mudança dos paâmetos dos stubs, já usados paa sup a vaação de pemeabldades e pemssvdades de meos não-homogêneos. Desta foma, todos os nós seam modelados com os mesmos paâmetos báscos (nomalmente o a, Z 0 = 377Ω) e as possíves mudanças de mateas (ε e µ ) e de foma do nó ( x, y e z) seam modeladas pela nseção de stubs.

82 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 7 As equações mostadas a segu pemtem calcula o valo dos stubs capactvos e ndutvos adconados a cada deção. Consdea-se o a como o mateal de peenchmento básco; assm, todas as mpedâncas e admtâncas são nomalzadas em elação à Z 0 e Y 0 [57]. 4 ˆ 4 ˆ 4 ˆ 4 ˆ 4 ˆ 4 ˆ ε = µ = ε = µ = ε = µ = z y x t u Y z y x t u Z y z x t u Y y z x t u Z x z y t u Y x z y t u Z z z y y x x (.35) Onde: u 0 é a velocdade de popagação da onda no meo básco (a); x, y e z são as dmensões catesanas do nó. Contudo, as equações acma podem leva a valoes negatvos de Ẑ e/ou Yˆ. Isto desestablzaa a smulação e, potanto, um valo máxmo de t deve se escolhdo de foma que todos os paâmetos dos stubs se tonem postvos: 0 mn u t ξ δ (.36) Onde: ξ é o valo mínmo ente (ε ;µ ); δ mn é o valo mínmo ente ( ) z y x y z x x z y ; ;. Assm, todos os stubs seão defndos em função deste passo de tempo adotado. Esta estção deve se satsfeta em toda a malha, de foma que o meno passo de tempo de todos os nós seá consdeado o passo da malha [55]. A matz de espalhamento é a mesma usada paa uma malha egula (equação.7), contudo, é mpotante nota que cada elemento da matz deveá utlza o valo de admtânca ou de mpedânca de acodo com as componentes de campo elétco e magnétco envolvdas.

83 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 7 Analsando, po exemplo, o elemento c 5,7 da matz de espalhamento.7: este elemento detemna o acoplamento de enegas ente as potas 5 e 7. Como ambas as pota estão assocadas às componentes E z e H x, o cálculo do paâmeto c atavés da equação.8 deve leva em conta os valoes Yˆ z e Ẑ x (equação.35), tonando-se: c 5,7 Yˆ ˆ z Z x = (.37) (4 Yˆ ) (4 Zˆ ) z x Fnalmente, paa peve o caso mas completo de ansotopa, deve-se eesceve a equação.35 como: Zˆ Zˆ x y µ x y z = 4 u t x 0 µ y x z = 4 u t y 0 Yˆ x Yˆ y εx y z = 4 u t x 0 εy x z = 4 u t y 0 (.38) Zˆ z µ z x y = 4 u t z 0 Yˆ z εz x y = 4 u t z 0 Uma desvantagem desta fomulação é que nela não só os nós não-homogêneos mas também os de geometa dfeente teão sua matz de espalhamento acescda de stubs. Outo poblema é que o fato do passo de tempo depende da elação ente as maoes e menoes dmensões dos nós (equação.36) pode gea a necessdade de um mao númeo de teações paa o mesmo peíodo de smulação. A necessdade de efna todos os nós adjacentes numa mesma deção acaba po efna desnecessaamente cetas egões na malha. Paa melhoa este endmento é aconselhável o uso da fomulação em mult-gade, que seá vsta a segu..4. Malha Mult-gade Uma outa solução paa mplementação de uma malha egula é a utlzação da técnca de gade múltpla ou mult-gade (Multgd). A déa é mostada na fgua 4. paa o caso bdmensonal. Sua pncpal vantagem sobe a abodagem anteo é

84 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 73 a possbldade de te áeas de efnamento completamente localzadas (lhas de efnamento) Fg..5 Malha D tpo gade múltpla. Em pncípo esta abodagem fee os dos pé-equstos báscos do método: o snconsmo e a conectvdade. Contudo, o poblema do snconsmo pode se contonado se gaantmos que o passo de tempo na egão não efnada t seja um múltplo nteo do passo de tempo na egão efnada t (fgua.6). Da mesma foma, o poblema de conectvdade deveá se contonado atavés do coeto pocessamento dos snas nas ntefaces das duas egões, gaantndo a consevação de enega e caga, bem como, a ausênca de eflexões e atasos no tempo. t t t Fg..6 Intefaces numa malha 3D tpo gade múltpla.

85 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 74 Assum a consevação de caga é equvalente a assegua a contnudade de campo atavés da nteface das egões de dfeente esolução. Os campos elétco e magnétco totas na nteface podem se esctos como: ( E ) E = E = ± (.39) E e H Y0 E Onde: E é o campo elétco médo (em elação ao tempo e ao espaço) esultante dos pulsos ncdentes da egão : E = s p t s p t j ( l s ) j= / (.40) Onde: s é o númeo de nós ao longo da polazação consdeada; p é o númeo de nós pependculaes à polazação consdeada; t é o númeo de passos de tempo dento da egão; l é o passo espacal comum às egões. Desta foma, paa que haja contnudade de campo: E (.4) E = E E e E E = E E Onde: E é o campo elétco médo (em elação ao tempo e ao espaço) esultante dos pulsos tansfedos da egão paa a outa egão. A condção.4 só pode se satsfeta se E = E e E = E, ou seja: p t s p t j= j = p t s p t = e p t s p t j= j = p t s p t = (.4) Da mesma foma, a consevação da enega atavés da nteface pode se gaantda se: s p t j= s p t = α e = (.43) j j α = Onde: α é uma constante. s p t j= s p t =

86 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 75 Se tentamos gaant ambos os equstos de consevação de caga e enega sobe uma mesma nteface, não haveá solução paa a tansfomação de váos pulsos da egão mas efnada paa um únco pulso da egão menos efnada, exceto paa o caso tval em que os pulsos da egão mas efnada são guas. Desta foma é necessáo elaxa uma das duas estções. A convesão mas efcente fo obtda em [58] usando apenas o ctéo de consevação da caga. Na pátca sso equvale a gaant que a méda do campo elétco devdo a um conjunto de pulsos ncdentes na nteface seja a mesma daquela devda aos novos pulsos ntoduzdos do outo lado da nteface, ou seja: = j s p t s p t = ( j =,, K, s p t ) (.44) A desvantagem desta smplfcação é que os novos pulsos sendo todos guas não ntoduzão componentes de enega em altas feqüêncas. Em outas palavas, a enega tansfeda da malha mas efnada paa a menos efnada seá sempe meno ou gual àquela pesente na pmea. Pa mnmza as eflexões pode-se sepaa as convesões de pulsos nas ntefaces, ou seja, as convesões da malha mas efnada paa a menos efnadas estaam defasadas no tempo das convesões da malha menos efnada paa a mas efnadas. Estes momentos de conexão seam então sepaados po momentos de espalhamento ntenos em cada egão. Resta anda o poblema dos atasos de tempo. Estes atasos acontecem devdo às dfeentes necessdades de tempo pa executa os espalhamentos em cada egão. Assm, consdeando a popagação de uma onda plana atavés da estutua mostada na fgua.7, uma nteface de duas egões numa malha mult-gade, a popagação na malha menos efnada ( nó) necesstaa de dos passos de tempo (como numa malha egula comum), entetanto, na malha mas efnada (8 nós) necesstaa de tês passos de tempo desta malha paa popaga os oto pulsos geados na nteface (equação.44).

87 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 76 l l Fg..7 Intefaces ente nós numa malha 3D tpo gade múltpla (:). l Este poblema pode se contonado se o mecansmo de conexão e espalhamento fo aanjado da manea vsta na fgua.8 [58]. t=0 t t 3 t Insee Insee Insee Calcula Calcula Calcula Remove Remove Remove Insee Insee Insee Insee Insee Calcula Calcula Calcula Calcula Calcula Remove Remove Remove Remove Remove t 4 3 t 4 5 t 4 7 t 4 9 t 4 t 4 Fg..8 Odenação do cálculo paa uma gade múltpla (:). A otna Insee dz espeto aos pulsos que já foam convetdos na nteface e seão nsedos na egão. A otna Remove dz espeto aos pulsos efletdos pela egão e que seão nsedos na nteface paa futua convesão. Po fm, a otna calcula executa os cálculos nomas de um passo de tempo (conexão, espalhamento, contonos, etc).

88 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 77 Se consdeamos uma malha mult-gade 3D com elação de : ente a egão mas efnada ( fna ) e menos efnada ( gossa ), como aquela mostada na fgua.7, teemos as seguntes convesões na nteface: 8 g = e = ( =,, K,8) 4 f f g (.45) = Onde: g é o pulso convetdo a se nsedo na malha gossa ; f são os pulsos povenente da malha fna ; f são os pulsos convetdos a seem nsedos na malha fna ; g é o pulso povenente da malha gossa ;.5 Conclusões deste capítulo A aplcação de técncas numécas pemte ampla a possbldade de análses de poblemas elaconados à popagação de campos eletomagnétcos. Poém, cetas classes de poblemas de compatbldade eletomagnétca, que são de nteesse neste tabalho, nomalmente envolvem a pesença de múltplos tpos de mateas. Além dsso, feqüentemente exgem a utlzação de fomulação tdmensonal, devdo à geometa complexa. Após a apesentação da fomulação do TLM-TD tdmensonal, fo possível avala melho qual o nível de complexdade que sea possível alcança utlzando esta técnca. Algumas caacteístcas são neentes ao método, outas deveão se apefeçoadas no decoe deste tabalho. Dente as númeas vantagens neentes ao método TLM, cabe essalta: A fomulação paa casos de popagação de ondas com contonos abetos é faclmente esolvda (consdeando ncdênca nomal); Os cálculos de coente, tensão, campo elétco e campo magnétco podem se fetos smultaneamente, na mesma smulação;

89 Capítulo Fomulação tdmensonal do método TLM-TD 78 Podem se smulados váos casos dfeentes com pequenas modfcações na estutua ognal do pogama. A fomulação paa casos de mateas não-homogêneos é elatvamente smples. O capítulo segunte seá dedcado aos detalhes de pogamação envolvdos com a mplementação do método exposto aqu.

90 CAPÍTULO 3 DESENOLIMENTO DO ALGORITMO 3D 3. Intodução Com base no estudo da fomulação tdmensonal do TLM-TD, fo possível mplementa um algotmo paa análse de casos de eletomagnetsmo. Os aspectos elaconados com esta mplementação, bem como os esultados obtdos quando da sua valdação pelmna são os objetvos desta seção. Os pacotes computaconas paa análse de casos de eletomagnetsmo nomalmente apesentam tês blocos pncpas: Pé-pocessamento, onde se ealza a nteface com o usuáo paa a geação dos dados de entada do poblema a se analsado; Pocessamento, onde a fomulação do método empegado deve se aplcada paa gea os esultados desejados; e Pós-pocessamento, onde os esultados obtdos na etapa anteo são exploados, levando a conclusões aceca do assunto estudado. 3. Etapa de Pé-pocessamento Uma das gandes vantagens em utlza a fomulação baseada no método TLM é que poucas mudanças são necessáas paa solução de novos casos. Assm, o copo do algotmo não pecsa se alteado pelo aquvo de entada, que deve nfoma à

91 Capítulo 3 Desenvolvmento do Algotmo 3D 80 etapa de pocessamento apenas alguns paâmetos da geometa e da natueza do poblema: olume a se modelado (defnção do númeo de nós nas deções x,y,z); Númeo de teações (defnção do passo de tempo); Localzação dos mateas delétcos (defnção de ε, µ, σ); Localzação dos mateas condutoes; Localzação dos nós de exctação; Localzação dos nós de saída; Condções de contono. Desta foma, a geometa e a localzação de cada componente smulado deve se nseda em temos de nós. 3.3 Etapa de Pós-pocessamento O pós-pocessamento dos dados obtdos fo feto a pat do MATLAB 6..0 da MathWos. Este pogama de análse gáfca matcal fo escolhdo devdo à sua flexbldade, dsponbldade e capacdade de manpula gandes quantdades de dados. A apesentação gáfca em tês dmensões usando manpulação matcal facltou o tatamento dos dados contdos nos aquvos de saída. Além dsso, o pogama apesenta gande potabldade na medda em que pemte expotação paa quase todos os fomatos gáfcos exstentes. Outo motvo mpotante paa escolha do MATLAB esde na possbldade de tatamento de esultados no domíno da feqüênca atavés de tansfomadas ápdas de Foue e Wavelet. 3.4 Etapa de pocessamento O pmeo ponto a se analsado é a escolha da lnguagem de pogamação, que levou em conta ctéos como a velocdade de pocessamento, expeênca do pogamado, nteface do ambente de pogamação, montagem e execução e a dsponbldade de tabalhos coelatos exstentes pevamente.

92 Capítulo 3 Desenvolvmento do Algotmo 3D 8 Assm, optou-se pela utlzação da lnguagem FORTRAN 90, atavés do ambente do ambente de pogamação sual Fotan da Compaq. O ambente oda sobe platafoma Wndows 000 e apesenta facldades na nteface com o usuáo, pemtndo agldade e flexbldade de pogamação. Paa faclta a manpulação po outos pogamadoes, pequenas alteações na fomulação do método e a futua ntegação com Pé e Pós-pocessadoes, dvduse o pogama em otnas bem defndas. Estas otnas são apesentadas a segu Pogama pncpal (TLM_3D.f90) O Algotmo Pncpal tem sua estutua dvdda em ses blocos como pode se obsevado no fluxogama da fgua 3.. Rotna de Incalzação Rotna de exctação Rotna de cálculo das tensões e campos Rotna de espalhamento Rotna de conexão Fm das teações? Não Sm Gavação dos esultados Fg. 3. Fluxogama do pogama pncpal (TLM_3D.f90).

93 Capítulo 3 Desenvolvmento do Algotmo 3D 8 A smulação começa com a defnção computaconal do poblema na otna de ncalzação. Um gande pocesso cíclco defne as taefas executadas paa cada nó e paa cada teação, e fnalmente a gavação dos dados obtdos. Cada uma destas otnas, que compõem o pogama pncpal, seá defnda a segu: 3.4. Rotna de ncalzação Esta otna deve estabelece o poblema a se esolvdo. Paa sto desempenha as seguntes funções (fgua 3.): Declaação de vaáves: Esta etapa é obgatóa paa todo pogama desenvolvdo na lnguagem FORTRAN. É na declaação que se defne o fomato, a pecsão e a dmensão das vaáves do poblema; Declaação de aáves Letua do aquvo de entadas Incalzação de vaáves Cálculo de t Fg. 3. Fluxogama da otna de ncalzação. Letua do aquvo de entada: Neste passo seão defndas as nfomações paa cada caso a se smulado, tas como: o númeo de nós em cada deção (dscetzação do volume a se modelado); o númeo de teações; a localzação de componentes delétcos, condutoes; a foma e os pontos de exctação; as gandezas e pontos de saída; e as condções de contono (nclusve a exstênca de smetas); Incalzação das vaáves: Esta etapa defne as condções ncas do poblema.

94 Capítulo 3 Desenvolvmento do Algotmo 3D 83 Cálculo de t: Esta etapa defne o valo do passo de tempo do pogama (equação.5) Rotna de exctação Como as teações são espaçadas po um valo de t, podemos faclmente dscetza a função de exctação. Assm, qualque tpo de snal pode se mplementado, desde um mpulso até snas peódcos. Um caso patcula e mpotante é a exctação mpulsva, já que possblta uma análse feqüencal em lago especto do poblema. Ela pode se mplementada pela aplcação do snal desejado nos nós de exctação antes de ncaem as teações no tempo. Emboa a gandeza pmáa manpulada pelo método seja a tensão em cada uma das potas de um nó, outos tpos de gandezas, como coentes e campos podem se obtdos atavés de exctação ndeta. Assm, as potas a seem exctadas devem coesponde ao tpo de exctação que se quea (equações.6,.7 e.3) Rotna de cálculo das tensões, coentes e campos Esta otna calcula as vaáves de saída em função das tensões ncdentes, confome apesentado nos tens.3.7 e.3.8. Se os nós em questão foem do tpo não-homogêneo a otna executaá as opeações apesentadas no tem Rotna de espalhamento A cada teação, as tensões ncdentes em cada nó devem se convetdas em tensões efletdas paa o uso na póxma teação. A otna de espalhamento lê os valoes de tensão ncdentes em cada pota do nó e aplca a matz de espalhamento paa então obte as tensões efletdas. Como a matz de espalhamento tem uma fomulação dfeente paa cada tpo de nó, esta otna deve pmeo detecta se o nó em questão é do tpo básco (bacgound), não-homogêneo ou conduto e então aplca a equação coespondente (fgua 3.3).

95 Capítulo 3 Desenvolvmento do Algotmo 3D 84 A Meo? Não-homogêneo Conduto Equação de espalhamento (.0) Equação de espalhamento (.4) Equação de espalhamento (.7) Fg. 3.3 Fluxogama da otna de espalhamento Rotna de conexão Pmeo, é vefcada a posção do nó dento do volume modelado. Se o nó está localzado na fontea do volume, algumas de suas potas não estão em contato com potas de outos nós. Neste caso, mplementam-se as condções paa aquela fontea segundo os dados de entada do pogama. Sm Nó de fontea? Não Rotna de condção de contono Sm Nó esstvo? Não Rotna de conexão com pedas Rotna de conexão sem pedas Fg. 3.4 Fluxogama da otna de conexão. Se o nó, contudo, não estve num dos lmtes do volume modelado, deve-se pocede a etapa de conexão. Nesta etapa, as tensões das potas dos nós adjacentes são tocadas (confome apesentado no tem.3.3) paa pemt que as tensões

96 Capítulo 3 Desenvolvmento do Algotmo 3D 85 efletdas, calculadas na otna de espalhamento, possam confgua como tensões ncdentes na póxma teação. Na modelagem de meos esstvos (como o solo, po exemplo), a conexão deve consdea as pedas duante a popagação. Neste caso, a mplementação da conexão se dá confome o exposto no tem efcação do númeo da teação Neste momento, vefca-se o númeo da teação paa detemna o fm do pocesso. Se anda não houve sdo atngdo o númeo máxmo de teações defndo nos dados de entada, o pocesso deve etona à otna de exctação novamente. A nova teação ocoeá da mesma foma que a anteo, exceto pelo fato da toca das tensões ncdentes pelos valoes calculados nas otnas de conexão do passo anteo. Paa o caso de exctações lmtadas no tempo, como as cuvas padões paa sutos atmosfécos e de manoba, o pogama pode detemna, sem a ajuda do usuáo, um valo coeente paa o númeo de teações. Este númeo seá baseado na duação do snal de exctação e no valo do passo de tempo t, que po sua vez, depende do valo de l Rotna de gavação dos esultados Esta otna é esponsável pelo amazenamento dos esultados obtdos na memóa de massa do computado. Os dados calculados são gavados juntamente com posção catesana e o tempo da teação. No caso dos dados de tensão e campos paa geação dos gáfcos de supefíce, o amazenamento é feto seqüencalmente de acodo com a posção elatva (x,z) dos nós que compõem o plano de nteesse. Esta dsposção faclta e otmza a letua matcal do MATLAB.

97 Capítulo 3 Desenvolvmento do Algotmo 3D aldação do códgo O desenvolvmento de códgos de computado paa a esolução de poblemas centífcos está sujeta a uma nfndade de eos que mutas vezes fogem ao contole do pogamado. Assm, somente depos de usado paa a esolução de poblemas cuja esposta é conhecda pevamente, seja de foma analítca ou po apoxmações numécas, é que podemos aplcá-lo nos poblemas de nteesse fnal. Nesta seção o códgo desenvolvdo paa aplcação do método TLM-TD tdmensonal seá valdado usando o poblema poposto em [0]. Tata-se do fenômeno de popagação de um snal eletomagnétco num meo de caacteístcas conhecdas. Pmeamente, avala-se a coeção da popagação, eflexão e absoção de um mpulso gaussano num meo homogêneo (vácuo). Posteomente, a popagação em meos heteogêneos com pedas é testada atavés de uma exctação senodal Modelagem de um meo homogêneo A fgua 3.5 mosta a confguação do poblema analsado. O domíno de cálculo é peenchdo com nós de caacteístcas semelhantes a do vácuo. Uma onda plana é nseda em x=0 e se popaga nesta deção até enconta a paede oposta. 500 mm E y H z x 50 mm 50 mm Fg. 3.5 Popagação num meo homogêneo (vácuo).

98 Capítulo 3 Desenvolvmento do Algotmo 3D 87 O snal de exctação tem a foma de um mpulso gaussano, dado po: E 0 ( ) 0 ( 0 t = ) y t e paa t 0 (3.) Dos casos são analsados, pmeamente consdea-se que a paede oposta à nseção do campo é metálca (Γ=-). Desta foma, pode-se valda a eflexão de snas. A fgua 3.6 mosta a evolução do campo elétco ao longo da deção x, tomado num veto de nós centalzado no plano yz. A lnha tacejada epesenta o valo calculado analtcamente e os pontos epesentam o valo do campo em cada nó ao longo da deção x. Pode-se nota uma excelente concodânca dos valoes obtdos com o códgo e aqueles calculados, mesmo depos da eflexão na fontea do domíno de cálculo. (a) (b) (c) Fg. 3.6 Reflexão de um mpulso gaussano numa paede metálca. (a) 0.5ns; (b).5ns; (c).8ns; (d).5ns (d)

99 Capítulo 3 Desenvolvmento do Algotmo 3D 88 Anda usando o mesmo poblema, toca-se a paede metálca po uma paede absosoa (Γ=0). A fgua 3.7 mosta os esultados paa o mesmo veto de nós analsados anteomente. Pode-se nota que neste caso não exste qualque eflexão vsível. É nteessante contasta os gáfcos de campo elétco paa o nstante de tempo t=.8ns (fguas 3.6(c) e 3.7(c)). No pmeo, o valo do campo ca devdo à ntefeênca ente a onda ncdente na paede metálca e a onda de etono (efletda). No segundo, o valo de pco do campo popagado não é alteado compovando a nexstênca de ntefeênca na fontea. (a) (b) (c) Fg. 3.7 Extnção de um mpulso gaussano numa paede absovente. (a) 0.5ns; (b).5ns; (c).8ns; (d).5ns (d)

100 Capítulo 3 Desenvolvmento do Algotmo 3D Modelagem de um meo heteogêneo com pedas Neste segundo poblema, o domíno de cálculo é peenchdo com nós de caacteístcas dstntas, de foma que se possa avala a popagação de snas num meo heteogêneo. Paa faclta a vsualzação dos esultados, escolheu-se uma exctação senodal de feqüênca f=.45mhz, dada po: ( πf t) paa 0 E y ( t) = 0 sn t (3.) A exemplo do poblema analsado anteomente, uma onda plana é nseda em x=0 e se popaga nesta deção até enconta a paede oposta (Γ=0). A fgua 3.8 mosta a confguação analsada. O bloco hachuado epesenta o meo delétco colocado pependculamente à deção de popagação da onda. 67 mm 66 mm 67 mm E y H z x 50 mm 50 mm Fg. 3.8 Popagação num meo heteogêneo. Pmeamente, consdea-se um bloco delétco sem pedas com pemssvdade cnco vezes mao que a do vácuo (ε =5.0). A fgua 3.9 mosta a compaação ente os esultados obtdos numecamente paa um meo homogêneo (a) e paa o meo heteogêneo (b). Pode-se nota vsvelmente a mudança nos paâmetos de popagação. A vaação da ampltude paa os valoes de x anteoes e posteoes ao bloco de pemssvdade dfeente se deve às eflexões natuas devdo à mudança de mpedânca nas ntefaces dos meos.

101 Capítulo 3 Desenvolvmento do Algotmo 3D 90 (a) Fg. 3.9 Popagação de um snal senodal num meo heteogêneo (t=5ns): (a) σ=0/ε=ε 0 ; (b) σ=0/ε=5.ε 0. Um segundo caso exploa a ntodução de pedas no meo de popagação. A fgua 3.0(a) mosta a peda de enega quando a onda passa po um meo de condutvdade não nula. Novamente, notamos um pequeno acéscmo na ampltude do campo devdo às eflexões. (b) (a) Fg. 3.0 Popagação de um snal senodal num meo heteogêneo (t=5ns). (a) σ=5.0/ε =; (b) σ /ε =5.ε 0 Se aumentamos demasadamente o valo da condutvdade (σ= 0 0 S/m), obteemos o esultado da fgua 3.0(b). É nteessante contasta este esultado com aquele obtdo na fgua 3.6(d) paa uma paede pefetamente condutoa. Neste caso, um valo de peda alto, poém anda fnto, mpede que a onda seja totalmente efletda pela nteface dos meos. (b)

102 Capítulo 3 Desenvolvmento do Algotmo 3D Conclusões deste capítulo Este capítulo apesentou os aspectos computaconas envolvdos na aplcação do método TLM-TD paa análses tdmensonas. A escolha da lnguagem de pogamação, a estutua em fluxogama das otnas e a escolha de pacotes comecas paa pós-pocessamento e vsualzação dos esultados foam tens contemplados neste sentdo. A aplcação do algotmo desenvolvdo fo testada na análse de popagação de campos eletomagnétcos em meos homogêneos e não-homogêneos. Deste modo, testou-se o compotamento do fenômeno de popagação de ondas na pesença de mateas solantes, mateas condutoes e condutoes pefetos. Também fo testada a coeênca de algumas fonteas (ntefaces) e condções de contono. Contudo, emboa o códgo mplementado paa o método TLM-TD tenha se mostado bastante efcente nos testes, exstem anda cetas funconaldades que só podem se testadas em aplcações mas elaboadas. Os capítulos seguntes seão dedcados à utlzação do códgo TLM-TD tdmensonal em poblemas mas complexos de compatbldade eletomagnétca. Em cada um deles uma valdação péva dos esultados, com base em outas efeêncas, seá feta de foma a gaant a consstênca das análses.

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104 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DA EFETIIDADE DE BLINDAGEM DE UM GABINETE METÁLICO 4. Intodução Uma das técncas mas empegadas paa gaant padões mínmos de mundade e ntefeênca é a utlzação de blndagens eletomagnétcas. No entanto, a efcênca desta técnca é sgnfcatvamente nfluencada pela exstênca de abetuas, fendas (slots), gades de ventlação, ofícos de passagem de cabos e espaços de conectoes não utlzados. Desta foma, o estudo da penetação de campos em gabnetes e cavdades apesentando abetuas ou fendas tem encontado consdeável nteesse devdo a sua elação com númeos poblemas envolvendo EMC [59-67]. A Efetvdade da Blndagem pode se obtda po solução analítca sob as condções de contono mpostas, modelagem numéca ou anda atavés de fomulações apoxmadas. Cada um destes métodos tem suas lmtações e/ou eos assocados. Uma solução baseada no método vaaconal paa casos bastante específcos fo apesentada em [60]. Uma fomulação devada do método de balanço de potênca fo epotado em [6], com o ntuto de estma o fato Q de essonâncas assocadas com o uso de gabnetes blndados. Em [6] uma fomulação analítca fo poposta paa analsa uma caxa metálca apesentando uma únca fenda fontal. Mas tade esta mesma teoa fo estendda paa pemt a pesença de uma placa de ccuto mpesso em seu nteo [64].

105 Capítulo 4 Estudo da Efetvdade de Blndagem 94 Apesa dessas fomulações analítcas apesentaem uma solução muto mas ápda paa confguações smples, elas são, va de ega, adaptadas apenas a casos bastante específcos. Assm, paa a maoa das aplcações eas, o uso de técncas numécas é mas ndcado. Neste sentdo, gandes esfoços, expementas e de smulação numéca, vêm sendo dgdos ao tema de efetvdade da blndagem. Tabalhos ecentes apesentam o estudo da nfluênca de múltplas fendas na efcênca de uma blndagem usando o método de Dfeenças Fntas no Domíno do Tempo (FDTD) [65,66]. A compaação deste mesmo método numéco e o Método dos Momentos (MoM) fo epotada em [67] vsando o estudo da efetvdade da blndagem de uma caxa metálca. Este capítulo apesenta uma análse tdmensonal da efetvdade da blndagem de um gabnete metálco etangula usando o método TLM-TD. A esposta obtda no domíno do tempo é convetda atavés de uma Tansfomada de Foue (FFT- Fast Foue Tansfom) e os esultados podem se obsevados sobe uma laga banda de feqüênca. 4. Gabnete blndado O gabnete blndado de dmensões mm 3 fo descto pmeamente em [63] e pode se vsto na fgua 4.. Todas as paedes são confecconadas com chapas condutoas de mm. 400 mm 00 mm 500 mm Fg. 4. Gabnete blndado com múltplas abetuas fontas

106 Capítulo 4 Estudo da Efetvdade de Blndagem 95 O panel fontal possu dfeentes padões de abetuas e fendas dependendo da compaação desejada no estudo. Assm, paa a valdação do códgo computaconal, uma fenda únca de 00 0mm fo consdeada de foma a usa os esultados pesentes na bblogafa. Num segundo momento, um conjunto de dfeentes panés fontas (fgua 4.) fo usado paa avala a nfluênca do númeo de abetuas no valo de efetvdade da blndagem. Neste caso, a aesta de cada abetua (a) fo calculada de foma que a áea total fomada pelo conjunto das abetuas fosse mantdo constante (0.0m ) e o espaçamento ente abetuas gual à metade das aestas ( a ). a a a a a a Fg. 4. Dfeentes panés fontas 4.3 Efetvdade da blndagem A Efetvdade da Blndagem (SE) de uma baea é defnda em temos da elação ente o valo do campo obsevado sem a pesença da baea ( E ), e o campo obsevado com a pesença da baea ( E s ). Assm, pode se expesso em decbés, como [3]: SE db 0 log E = 0 (4.) E s

107 Capítulo 4 Estudo da Efetvdade de Blndagem 96 Assume-se, neste estudo, que a condutvdade das paedes do gabnete é sufcentemente alta paa que somente o campo penetado atavés das abetuas seja sgnfcatvo na composção de E s. Desta foma, o campo obsevado dento do gabnete é fomado pela pate do campo ncdente que cuza as abetuas da blndagem. 4.4 Resultados numécos Paa pemt uma análse da efetvdade da blndagem sobe uma ampla faxa de feqüêncas, fo usada uma exctação do tpo mpulsva. No método TLM-TD, sto pode se mplementado de foma smples, aplcando um detemnado valo de tensão no pmeo passo de tempo. A equação 4. detemna o valo da tensão aplcada às potas do SCN de foma a ca um campo elétco E 0, polazado vetcalmente (deção y ). Desta foma, uma onda plana fo smulada exctando todos os nós num plano fontal dstante 00mm do gabnete. 3 = 4 = 8 = = - E 0 l (4.) Paa smula o gabnete de mm 3 fo usado um volume de cálculo de mm 3, dscetzado em nós de dmensões mm 3, como vsto na fgua 4.3 (meddas em mm). As paedes metálcas foam smuladas usando o nó de cuto-ccuto, como defndo no capítulo. Nós de exctação Fg. 4.3 olume de cálculo contendo o gabnete blndado

108 Capítulo 4 Estudo da Efetvdade de Blndagem 97 Este valo de compmento do nó ( l =mm) pemte a obtenção de esultados váldos até a faxa de 7.5 GHz com uma pecsão de λ Resultados com fendas Com o ntuto de valda o códgo desenvolvdo, fo analsada pmeamente uma fenda únca (00 0mm ) dsposta hozontalmente no cento do panel fontal. A assnatua no tempo da componente vetcal do campo elétco calculada no cento do gabnete é mostada na fgua 4.4. Fg. 4.4 Componente vetcal do campo elétco no cento do gabnete Os demas esultados mostados neste capítulo foam obtdos usando a otna de tansfomada ápda de Foue dsponível no pacote matemátco MatLab 6.. Da mesma foma, os gáfcos foam desenhados com auxílo do mesma feamenta. A fgua 4.5 mosta os esultados de efetvdade de blndagem paa feqüêncas abaxo de GHz (lnha chea). Os esultados são compaados com aqueles obtdos analtcamente po Robnson em [6] e de foma analítca e expemental po Pa em [63].

109 Capítulo 4 Estudo da Efetvdade de Blndagem 98 Fg. 4.5 SE no cento do gabnete paa uma fenda de 00 0 mm Pode-se nota uma excelente concodânca ente o esultado obtdo com o método TLM-TD e os esultados teócos apesentados em [6] e [63], sobetudo nas feqüêncas abaxo de 500MHz. Acma desta feqüênca, o esultado numéco apoxmou-se mas dos valoes meddos [63]. Uma vsão mas ampla do especto é mostada na fgua 4.6, paa feqüêncas abaxo de GHz. Desta vez são consdeadas ambas as exctações, vetcal e ~ hozontal. Os pcos de essonânca obtdos numecamente ( f ) podem se compaados com alguns valoes analítcos efeentes a uma cavdade essonante etangula de mesmas dmensões (tabela I). Estes valoes analítcos são obtdos atavés da equação 4.3: 0 0 m n p f ( m, n, p) = (4.3) ε µ a b c

110 Capítulo 4 Estudo da Efetvdade de Blndagem 99 Onde: m, n e p são os índces dos modos de essonânca da cavdade, sendo m, n, p = 0,,,, com somente um deles nulo paa cada modo; e a, b e c são as dmensões da cavdade. Compaando a fgua 4.6 e a tabela 4. pode-se nota que alguns pcos de essonânca obtdos numecamente paa o gabnete não têm coespondentes analítcos. Estas feqüêncas ocoem devdo a fenômenos de dos tpos: essonâncas decoentes da nteação ente cavdade e fenda, denomnadas modos cavdade-fenda [66]; e lgados às dmensões da fenda, denomnados modos de meo-compmento de onda da fenda [67]. Fg. 4.6 SE no cento do gabnete paa uma fenda de 00 0 mm Os pcos de essonânca elatvos aos modos ntínsecos à cavdade e aqueles elatvos às nteações cavdade-fenda podem se dstngudos obsevando a esposta em feqüênca quando o compmento da fenda é alteado. Assm, enquanto os pcos de essonânca devdos aos modos-cavdade pemanecem patcamente nalteados quanto ao valo de feqüênca, os pcos de essonânca devdos aos modos de nteação cavdade-fenda deslocam-se consdeavelmente no especto [66].

111 Capítulo 4 Estudo da Efetvdade de Blndagem 00 Tab. 4. Compaação das feqüêncas de essonânca. ~ Modos "m ", "n " e "p " f (m,n,p ) [MHz] f [MHz] a (400mm) b (00mm) c (500mm) (analítco) (smulado) Eo [%] Este efeto de deva dos pcos de essonânca devdo aos modos cavdade-fenda é lustados na fgua 4.7, que mosta os esultados de smulação paa fendas de dmensões dfeentes na faxa do especto que va de a GHz. Nela, pode se notado que alguns pcos de essonânca, patculamente os de.0 GHz,.57 GHz (modo de meo-compmento de onda da fenda) e.65 GHz, deslocam-se quando as dmensões da fenda são alteadas. Outos pcos de essonânca, contudo, pemaneceam patcamente nalteados Resultados com abetuas Paa lusta a nfluênca da topologa das abetuas fontas na efetvdade da blndagem, dfeentes smulações foam fetas. A fgua 4.8 mosta a efetvdade da blndagem paa confguações como aquelas mostadas na fgua 4.. Fca clao o aumento de SE com o aumento do númeo de abetuas.

112 Capítulo 4 Estudo da Efetvdade de Blndagem 0 Fg. 4.7 SE no cento do gabnete paa dfeentes dmensões da fenda Isto ocoe poque, não obstante o aumento do númeo de abetuas, a áea total fomada po todas as abetuas pemanece constante. Assm, a áea de cada abetua dmnu popoconalmente com o aumento do númeo de abetuas. Fg. 4.8 SE no cento do gabnete paa dfeentes númeos de abetuas

113 Capítulo 4 Estudo da Efetvdade de Blndagem 0 É nteessante obseva o apaecmento de uma nova feqüênca de essonânca devdo ao acoplamento ente os modos de múltplas abetuas (como também evdencado em [65]). Numa segunda sée de smulações, o númeo de abetuas fo dexado constante, vaando-se a áea total fomada pelo conjunto de abetuas. Os esultados podem se obsevados na fgua 4.9. Como ntutvamente pevsto, podese nota que o SE dmnu com o aumento da áea total das abetuas. Fg. 4.9 SE no cento do gabnete paa dfeentes áeas das abetuas Resultados de ntefeênca Investgou-se também como um snal de ntefeênca, geado ntenamente po uma antena omndeconal, é afetado pela vaação na topologa da blndagem. Paa tanto, o snal geado po uma antena de 0mm, dsposta vetcalmente no cento do gabnete, fo coletado num plano fontal exteno, dstando 50mm do panel fontal.

114 Capítulo 4 Estudo da Efetvdade de Blndagem 03 A fgua 8 lusta como, paa uma mesma áea total efetva, o valo de SE aumenta com o aumento do númeo de abetuas. De fato, paa uma mesma áea total, é mas nteessante dspo o mao númeo de abetuas possível. Fg. 4.0 SE à 50mm do panel fontal paa exctação ntena 4.5 Conclusões deste capítulo Este capítulo mostou o uso do TLM-TD tdmensonal paa análse de algumas popedades da blndagem ofeecda po um gabnete metálco etangula. Tata-se de um poblema sgnfcatvo pos abaca um consdeável númeo de equpamentos eleto-eletôncos dsponíves no mecado, em especal os gabnetes usados paa mcocomputadoes. Atavés da esposta tempoal a um snal mpulsvo obteve-se a efetvdade da blndagem paa dfeentes confguações de fendas e abetuas. O estudo da nfluênca do númeo e áea das abetuas mostou como estas devem se dspostas paa aumenta a efcênca da blndagem, de foma a dmnu poblemas de susceptbldade e de ntefeênca eletomagnétca.

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116 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS DE PROTEÇÃO CONTRA DESCARGAS ATMOSFÉRICAS 5. Intodução Como já fo comentado anteomente, o método TLM tem sdo utlzado com gande sucesso na análse de poblemas elaconados à compatbldade eletomagnétca. Contudo, uma áea ntmamente lgada aos fenômenos de ntefeênca eletomagnétca tem sdo pouco exploada pelo método. Tata-se do pojeto e análse de sstemas de poteção conta sutos atmosfécos. Po seem potadoes de gandes quantdades de enega, estes fenômenos podem afeta dspostvos sensíves como computadoes, equpamentos de telecomuncações e sstemas de contole, causando funconamento ndevdo e até a destução dos mesmos. A efcênca de um sstema de poteção conta sutos atmosfécos está fotemente lgada ao pojeto de uma malha de ateamento efcente, que pode se constuída com hastes vetcas, edes de condutoes hozontas ou uma conjunção destes. Neste tem seão mostados alguns esultados obtdos com a aplcação do TLM- TD na smulação de sstemas de ateamento elétco paa poteção conta sutos atmosfécos. A compaação com os dados apesentados em outas efeêncas pocuaá vefca a valdade e a efcênca não só do códgo geado neste tabalho como também da utlzação do TLM-TD paa este tpo de aplcação.

117 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas Suto atmosféco Como esultado do acúmulo de cagas, algumas nuvens adquem dfeença de potencal (ntanuvens ou nuvem-solo) sufcentemente alta paa excede os níves de uptua delétca do a. O esultado é uma descaga elétca que pode lbea enegas da odem de 0 0 J. 5.. Descaga nuvem-solo A descaga elétca ente uma nuvem e o solo dua em méda 0.5s. Ela é fomada po uma sée de pulsos de alta coente com duação méda de ms e ntevalados po um peíodo de 40 a 80ms. Base da nuvem 50ms 70µs 60µs 40ms ms 30ms 3m Líde escalonado Denagem de cagas Solo Aco de etono Pecuso contínuo Tempo Fg. 5. Fomação de um suto atmosféco Incalmente uma quantdade elatvamente pequena de cagas negatvas é canalzada em deção a tea de foma escalonada (fgua 5.). Este canal de cagas pecuso é denomnado líde escalonado e tem uma duação típca de µs. Ceca de 5C são movmentados pelo líde escalonado a uma velocdade méda de 0 5 m/s. O pulso de coente é da odem de A. Os campos elétcos e magnétcos coespondentes têm lagua de pulso de µs e tempos de subda de 0.µs em méda.

118 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 07 Quando o líde escalonado, com potencas da odem de -0 8, se apoxma do solo, este emte um flamento de plasma que va de enconto ao pmeo. O contato dos dos, dezenas de metos acma da supefíce do solo, estabelece um canal onzado pelo qual uma onda de potencal pate do solo e se popaga em deção à nuvem a um teço da velocdade da luz. A coente na base do canal pode chega a 30A. Este evento é denomnado aco de etono e dua apoxmadamente 00µs. Neste peíodo, atnge seu máxmo em poucos mcossegundos e ca à metade desse valo em ceca de 50µs []. Alguns nstantes depos (0 a 70ms), uma nova sucessão de pecusoes e acos de etonos tem luga, desta vez, bem mas ápdos. Esta sucessão de acos de etono é que dá ogem ao claão (ou elâmpago) e ao estondo (ou tovão). 5.. Descaga ntanuvem Mas da metade das descagas atmosfécas acontece po nteações dento das nuvens. Elas decoem das dfeenças de ntensdade ou confguação de cagas. Seu taçado é elatvamente lento (0 6 m/s) e coentes da odem de A não duam mas do que ms. Os tansentes de campo elétco e magnétco, bem como das coentes que poduzem estes campos podem afeta os equpamentos de navegação e contole das aeonaves. Este poblema é especalmente gave em avões de caça mas modenos, devdo ao uso extensvo de compostos de cabono. A caacteístca solante destes compostos dmnu bastante o efeto de blndagem sobe os equpamentos [] Modelagem de descagas atmosfécas A modelagem completa do fenômeno envolvendo uma descaga nuvem-solo típca sea bastante complexa e devea engloba desde as caacteístcas do canal onzado até as ampltudes e nclnações dos acos de etono subseqüentes (fgua 5.). Alguns tabalhos vêm vesando sobe as caacteístcas do canal de descaga usando um modelo TLM undmensonal [68,69]. No entanto, a maoa dos estudos de sstema de poteção conta descagas atmosfécas, mas especfcamente aqueles

119 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 08 dedcados ao sstema de ateamento, usam snas de exctação mas smples. Algumas efeêncas utlzam-se do snal padão de coente de suto poposto pelo IEEE (IEEE C6.4). Tata-se da dupla exponencal 4µs/0µs vsta na fgua 5.. O valo de pco de coente mas empegado é de A. Fg. 5. Smulação de um suto atmosféco (IEEE C6.4). Este snal, no entanto, não epesenta bem o compotamento de um suto atmosféco, po sso pefee-se usa modelos mas específcos. Uma cuva comumente empegada é a dupla exponencal.µs/50µs (lnha tacejada na fgua 5.3). Modelos mas fdedgnos levam em conta as estatístcas de sutos eas paa apoxma os valoes das ampltudes, constantes de tempo e feqüênca do fenômeno. Ente os váos modelos paa a coente de suto atmosféco, destaca-se a cuva desenvolvda po Canos e Pece [70]. Neste modelo leva-se em conta não só o tempo de fente de onda como também a caacteístca de pesstênca do suto (lnha chea na fgua 5.3). Esta cuva é o esultado da supeposção de duas exponencas duplas: I0 () t = [ exp( αt) exp( βt) ] I0 p[ exp( γt) exp( δt) ] (5.) Onde: I 0 = 0A; I 0p = A; α = 0 4 s - ; β = 0 6 s - ; γ = 0 3 s - ; δ = 0 4 s -.

120 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 09 Neste tabalho, aplcamos pefeencalmente este últmo modelo (equação 5.). Exceções são fetas apenas paa os casos nos quas uma análse péva tenha sdo efetuada usando uma exctação dfeente. Nestes casos, a mesma exctação ognal seá empegada na smulação de foma a pemt a compaação. Fg. 5.3 Smulação de um suto atmosféco (IEEE C6.4). 5.3 Modelagem de sstemas de ateamento A função de um sstema de ateamento é descaega o excesso de coente mpulsva geada po sutos atmosfécos, contolando o potencal nos eletodos de tea e na supefíce do solo. Petende-se, desta foma, assegua a ntegdade dos apaelhos conectados a este sstema bem como seus usuáos. O desenvolvmento de um modelo consstente paa o compotamento de sstemas de ateamento elétco deve leva em conta dos aspectos: Compotamento eletomagnétco do solo; e Fenômenos de popagação assocados à confguação de eletodos. Exceto paa campos elétcos muto altos (>400/m), onde pode have uma onzação sgnfcatva, o compotamento eletomagnétco do solo é essencalmente lnea. Contudo, sua condutvdade (σ) e pemssvdade elétca (ε ) apesentam uma gande vaação com o tpo de solo utlzado. A pemeabldade magnétca (µ )

121 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 0 é, em geal, patcamente gual à do vácuo (µ 0 ). No caso da modelagem de tansentes ápdos como sutos atmosfécos, po exemplo, é mpotante que o compotamento do solo consdee uma ampla escala do especto de feqüênca, tpcamente ente 0 e MHz [7]. Mutos tabalhos nesta áea consdeam que o solo é um meo condutvo e, como conseqüênca, desconsdeam a exstênca de coentes de deslocamento. Emboa esta apoxmação seja bastante boa paa baxas feqüêncas, o mesmo não é possível afma paa feqüêncas elevadas, como aquelas envolvdas em fenômenos de descagas elétcas e sutos de manoba. Quando uma coente de suto é ntoduzda em uma haste ateada, a onda eletomagnétca coespondente se popaga como em uma lnha de tansmssão mesa em um meo com pedas. Desta foma, a peda de enega pomove uma atenuação na ampltude da onda. Além dsso, cada componente de feqüênca do snal apesenta sua pópa velocdade de popagação ognando uma dstoção na fente de onda [7]. Uma caacteístca mpotante na análse de sstemas de ateamento é a nãohomogenedade do solo. Devdo à pópa fomação geológca ao longo dos anos, os solos apesentam-se nomalmente estatfcados, fomando camadas hozontas de meos com caacteístcas eletomagnétcas bastante dstntas. Além dsso, não é ncomum a pesença, em solos não tatados, de estutuas como pedas, toncos e outos objetos que alteam anda mas as caacteístcas do meo. Po todos estes detalhes fca clao que a medção e a smulação numéca são as úncas altenatvas váves paa vefca o desempenho deste tpo de poblema. Os pocessos de medda, po sua vez, são nomalmente executados com a nseção de coentes de baxa feqüênca (análse quase-estátca) e ampltudes muto aquém daquelas apesentadas po sutos eas. Estes pocedmentos compometem extemamente os esultados, sobetudo paa aplcações em EMC [73,74]. Po outo lado, as smulações apesentadas na lteatua especalzada empegam nomalmente pacotes especalzados, tas como TRAGSYS, CDGES, GMT ente outos.

122 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas Neste contexto, sugu a déa de modela os poblemas de ateamento elétco usando o método TLM-TD. Os esultados obtdos são apesentados pmeamente paa um sstema mas smples com o ntuto de vefca algumas consdeações mpotantes paa tabalhos futuos e a segu paa algumas das estutuas de ateamento mas pátcas Teste de modelagem de um sstema de ateamento smples Algumas das consdeações nomalmente levadas em conta quando da modelagem de sstemas de gande pote, como é o caso das topologas de ateamento, foam testadas antes da aplcação do códgo desenvolvdo em aplcações eas. É o caso, po exemplo, do uso de exos (ou planos) de smeta e do tuncamento de domíno. Paa tanto, foam utlzados dos sstemas de ateamento fctícos, poém smples o sufcente paa demonstaem a valdade das consdeações ctadas anteomente. O pmeo caso é fomado po uma haste vetcal únca (,4m de compmento) posconada no cento do domíno de cálculo. Paa testa o efeto de tuncamento do domíno smulou-se o mesmo poblema consdeando dos valoes de áea em volta da haste (4 4m e m ). Os esultados paa ambas as stuações, consdeando o mesmo tempo de popagação, podem se vstos na fgua 5.4. (a) (b) Fg. 5.4 Tensão na supefíce do solo (haste únca): (a) 4 4m ; (b) m.

123 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas Apesa da poxmdade das fonteas mpostas na stuação de meno áea, vsta na fgua 5.4(b), pode-se nota uma excelente concodânca ente os dos esultados. Desta foma, pode-se admt que o tuncamento de domíno não é uma consdeação cítca paa este tpo de aplcação. Num segundo caso, consdea-se duas hastes vetcas (,4m) ntelgadas e posconadas a uma dstânca de m uma da outa. Paa testa o efeto de consdeação de smeta do domíno, smulou-se o mesmo poblema consdeando pmeamente o domíno completo (pesença das duas hastes) e posteomente apenas metade do domíno, consdeando uma fontea de smeta (Γ=) a meo camnho ente as duas hastes. Os esultados podem se vstos nas fguas 5.5 e 5.6. (a) Fg. 5.5 Tensão na supefíce do solo (duas hastes ntelgadas): (a) Domíno completo; (b) Consdeando a smeta. (b) Novamente pode-se nota uma poxmdade muto gande ente os esultados. Esta concodânca fca mas evdente quando obseva-se as cuvas de lnhas equpotencas paa as duas stuações (fgua 5.6). As póxmas seções são dedcadas aos esultados obtdos com a smulação de sstemas eas. Alguns dos casos estão assocados à possbldade de compaação dos esultados obtdos com aqueles dsponíves em outas efeêncas. Outos casos foam abodados devdo à demanda duante o desenvolvmento desta tese. De qualque foma, uma atenção fo tomada paa que uma elatva dvesdade de topologas fosse abodada.

124 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 3 (a) Fg. 5.6 Equpotencas na supefíce do solo (duas hastes ntelgadas): (a) Domíno completo; (b) Consdeando a smeta. (b) 5.3. Modelagem de um sstema de ateamento em anel O pmeo sstema de ateamento modelado fo o de anel etangula, devdo à possbldade de compaação com os dados contdos na efeênca [75]. A topologa deste sstema é muto comum em constuções pedas e pode se vsta na fgua 5.7. Po questões de economa de ecusos computaconas e de smeta do poblema decdu-se pela smulação de apenas ¼ da estutua. A fação smulada é stuada na áea hachuada na fgua 5.7(a) e detalhada na fgua 5.7(b). 5m Condutoes de descda 8.5m 4m 5m Haste de ateamento Anel de amotecmento 4m 5m 6m 5m (a) (b) Fg. 5.7 Sstema de ateamento em anel etangula: (a) Planta do sstema global; (b) Pefl do volume modelado. 7.5m

125 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 4 As hastes possuem o compmento de,5m e estão colocadas a uma pofunddade de 0,5m da supefíce do solo, cuja esstvdade é de 000Ω.m. Os quato cantos da estutua são almentados pelos condutoes de descda povenentes do páa-aos. De acodo com a efeênca já ctada, estas hastes seão exctadas com um suto de coente em dupla exponencal de.µs/50µs e uma ampltude máxma de A. O volume de cálculo é fomado po uma malha de nós, espectvamente dspostos nas deções x, y e z. Cada nó fo smulado com a foma cúbca de aesta l = 0cm. 5m 3m 5m m Pefl Dagonal (a) Fg. 5.8 Tensão na supefíce do solo: (a) Compaação com a efeênca [75]; (b) eto de nós na dagonal. Os pmeos esultados mostam a tensão na supefíce do solo, sendo os valoes tomados numa lnha dagonal como mostado na fgua 5.8(b). Consdea-se o cento do sstema como a coodenada zeo. Na fgua 5.8(a), a lnha pontlhada epesenta o esultado obtdo em [75] e os pontos epesentam os valoes obtdos na smulação com o TLM-TD. Nota-se que os esultados são bastante póxmos, exceto paa os valoes sobe a haste. Este poblema está elaconado ao tempo em que os valoes foam tomados, já que po se um ponto de exctação, ele deve esta sujeto a mao quantdade de enega. Outa causa da dscepânca pode esta elaconada ao valo elatvamente elevado das dmensões dos nós. (b)

126 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 5 Um sstema de ateamento bem pojetado deve pemt a descaga da coente de suto em um tempo ápdo o sufcente paa evta danos às nstalações potegdas. Este tempo deve se da odem de mcossegundos e no máxmo algumas undades de mlssegundos [7]. A fgua 5.9 mosta os esultados obtdos paa a tensão obsevada na supefíce do solo de todo o volume modelado (consdea-se ε =0). Os aquvos foam geados a pat dos valoes médos tomados duante cetos ntevalos de teações. Assm, pode-se acompanha a popagação das tensões pelos elementos do sstema de ateamento e destes paa o solo. (a) (b) (c) (d) Fg. 5.9 Popagação das tensões na supefíce do solo: Popagação em: (a) 0.µs; (b) 0.5µs; (c).0µs; (d)5.0µs. O gáfco da fgua 5.9(a) fo obtdo nos pmeos nstantes de exctação do sstema. Patcamente toda a enega cedda ao sstema está concentada nas medações da haste exctada. Num momento posteo (b), obsevam-se as

127 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 6 máxmas tensões nas poxmdades da haste exctada. É nteessante nota que a cuva de exctação usada anda não atngu o seu máxmo. Anda no mesmo gáfco pode-se nota a pesença de mas dos pcos de valoes eduzdos decoentes das hastes secundáas. Nos nstantes seguntes, vê-se a contnudade da popagação com os valoes de tensão já em queda. Na supefíce do solo os níves de tensão nas poxmdades do anel de amotecmento são patcamente nulos. (a) (b) (c) Fg. 5.0 Popagação das tensões no plano do anel de amotecmento: Popagação em: (a) 0.µs; (b) 0.5µs; (c).0µs; (d)5.0µs. (d) A fgua 5.0 mosta os gadentes de tensão não mas na supefíce do solo mas no plano fomado pelos condutoes do anel de amotecmento. A seqüênca de gáfcos mosta a popagação da onda fomada pelo suto de coente. Incalmente, o snal é popagado da haste de exctação paa o anel. Ao atng as hastes

128 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 7 secundáas fomam-se os pmeos ndícos de eflexão da onda. Os gáfcos (c) e (d) mostam claamente que as eflexões nestas hastes dmnuem a efcênca do sstema, que necessta de um tempo mao paa popaga a enega cedda pelo suto. Resultados semelhantes a estes foam encontados paa uma haste hozontal em [76] usando o método FDTD Modelagem de um sstema de ateamento em gade O sstema de ateamento hozontal, com a fomação de gades smples ou múltplas, é muto comum em subestações ubanas de alta tensão [77,78]. A topologa analsada consste de uma gade de 60 60m fomada po condutoes dstantes 0m um do outo. A fgua 5. mosta a planta do sstema de ateamento (a) bem como as dmensões do domíno de cálculo (b). Fo adotada uma malha de nós, espectvamente dspostos nas deções x, y e z. 0m 0m 70m 60m 0m 70m 60m (a) (b) Fg. 5. Sstema de ateamento em gade hozontal: (a) Planta do sstema global; (b) Pefl do volume modelado. Os pmeos esultados mostam a tensão na supefíce do plano fomado pelos condutoes da gade em um solo de esstvdade ρ=00ω.m e pemssvdade elatva ε =36. Os gáfcos da fgua 5.(a) epoduzem a seqüênca de esultados obtdos em [79] e os da fgua 5.(b) a seqüênca obtda paa os mesmos nstantes de tempo com a smulação TLM-TD.

129 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 8 (a) (b) Fg. 5. Seqüênca de popagação nos condutoes da gade: (a) Refeênca [79]; (b) TLM-TD. Em: 0.µs; 0.5µs;.0µs; e 0µs.

130 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 9 Nota-se que novamente os esultados são bastante póxmos, nclundo os valoes de pco. Nota-se que os valoes máxmos de tensão se dão duante o pmeo mcossegundo. A pat deste tempo, o sstema começa a esponde a pate de descda do snal de exctação, compotando-se patcamente como uma malha de ateamento exctada po um snal DC. Adconalmente, avalou-se também a tensão na supefíce do solo (ρ=000ω.m). O gáfco da fgua 5.3(a) fo obtdo nos pmeos nstantes de exctação do sstema. Apenas uma pequena áea cental é exctada. Na seqüênca das fguas 5.3 (b), (c) e (d) pode-se obseva a popagação do suto sobe o esto da gade enquanto o valo de pco sobe o ponto cental dmnu. (a) (b) (c) (d) Fg. 5.3 Seqüênca de popagação nos condutoes da gade: Popagação em: (a) 0.µs; (b) 0.5µs; (c).0µs; (d)0µs.

131 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 0 Resultados bastante smlaes foam encontados usando uma feamenta de smulação no domíno da feqüênca em [80]. Uma pequena dscepânca pode se obsevada no ponto de aplcação da exctação, causada povavelmente pelas eflexões nos cuzamentos dos condutoes adjacentes ao ponto cental onde a exctação é aplcada. Este fato é mas evdente nos gáfcos (c) e (d), quando a tensão sobe estes cuzamentos adjacentes é mas sgnfcatva Modelagem de um sstema de ateamento em solo estatfcado A topologa analsada é mostada na fgua 5.5, abaxo. O sstema de ateamento de hastes em lnha é bastante utlzado em constuções esdencas. Como pode se obsevado, modelou-se o solo em duas camadas de esstvdades dfeentes. A estatfcação do solo é uma das técncas mas ecomendadas pelos pofssonas desta áea paa melho desceve o poblema da não-homogenedade. Dos solos foam consdeados. A camada mas supefcal é fomada po um solo do tpo aenoso (ρ=37ω.m; ε =0). Já a camada mas pofunda é fomada de solo agloso (ρ=45ω.m; ε =36). Uma das facldades do método TLM pode se obsevada neste caso, pos as alteações se estngem ao aquvo de entada, não sendo necessáa nenhuma alteação na fomulação do algotmo poposto. 0.5m 0.5m 7m Solo : ρ= 37 ε= 0.ε 0 µ= µ 0.7m.0m.4m 4.m Solo : ρ= 45 ε= 36.ε 0 µ= µ 0.0m 0.m.0m.5m.5m.0m 4.m (a) (b) Fg. 5.5 Sstema de ateamento em lnha: (a) Dmensões modeladas; (b) Pefl.

132 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas A fgua 5.6 mosta os gáfcos paa dfeentes nstantes de popagação na supefíce do solo. Devdo às eduzdas dmensões do sstema, o tempo de popagação paa um suto padão é bem meno que aqueles obsevados paa os casos anteoes. É especalmente nteessante nota como se dá a tansfeênca de enega da haste pncpal paa as duas adjacentes nos gáfcos (c) e (d). (a) (b) (c) (d) Fg. 5.6 Popagação das tensões na supefíce do solo (estatfcado): Popagação em: (a) 5ns; (b) 50ns; (c) 00ns; (d)50ns. A título de compaação, smulou-se o mesmo sstema sem a estatfcação do solo. Os esultados são mostados na fgua 5.7 consdeando apenas solo agloso. A pmea obsevação é a dmnução genealzada das ampltudes da tensão popagada. Isto ocoe poque o solo empegado na modelagem não estatfcada possu uma esstvdade meno do que aquele usado na camada supeo da

133 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas modelagem estatfcada. Uma outa alteação nos pefs de popagação é a exstênca de um pco mas ponuncado na últma haste do gáfco (d). Este efeto se deve à consdeação de uma pemssvdade mao (ε =36) paa a o solo agloso. Desta foma, obseva-se um aumento da coente de ateamento escoando pela últma haste. (a) (b) (c) (d) Fg. 5.7 Popagação das tensões na supefíce do solo (não estatfcado): Popagação em: (a) 5ns; (b) 50ns; (c) 00ns; (d)50ns. Adconalmente, foam vefcados os valoes de coente paa esse sstema. Tês planos foam defndos: dos hozontas, nas pofunddades de mea haste (y=.7m) e logo abaxo destas (y=3.m); e um vetcal, ente a pmea (haste exctada) e a segunda haste. A fgua 5.8 mosta os esultados paa a popagação da coente atavés do plano vetcal.

134 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 3 (a) (b) (c) (d) Fg. 5.8 Popagação das coentes atavés do plano vetcal (solo estatfcado): Popagação em: (a) 50ns; (b) 75ns; (c) 00ns; (d) 500ns. Os pcos de coente nos gáfcos da fgua 5.8 coespondem à posção do conduto de ntelgação das hastes e ndcam a tansfeênca de enega de uma haste paa a outa. É nteessante obseva as ondulações pesentes nos gáfcos (a) e (b), ndcando a pate da coente que se popaga pelo solo. Pode-se nota a defomação na pate supeo e nfeo da onda, nas ntefaces com o a e com a camada nfeo de agla, espectvamente. Compaando estes esultados de coente com aqueles obtdos paa a tensão na fgua 5.6, pode-se obseva que os maoes valoes de coentes ocoem nos ntevalos em que as tensões nas poxmdades da segunda e tecea haste aumentam.

135 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 4 A fgua 5.9 mosta os gáfcos de coente paa o plano hozontal posconado a mea pofunddade das hastes. Os pcos nos gáfcos de coente se devem à popagação ao logo de cada haste. (a) (b) Fg. 5.9 Popagação das coentes atavés do plano hozontal (mea haste): Popagação em: (a) 50ns; (b) 00ns. A fgua 5.0 mosta os valoes de coente paa o plano hozontal posconado abaxo das hastes. A nexstênca de estutuas metálcas faz com que o pefl de coente seja bem mas dstbuído. Pelo mesmo motvo as ampltudes obsevadas são elatvamente eduzdas. Fg. 5.0 Popagação das coentes atavés do plano hozontal (abaxo das hastes).

136 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas Modelagem de um sstema de ateamento híbdo A últma topologa analsada neste tabalho dz espeto ao sstema de ateamento mpulsvo da Usna Hdoelétca de Heval (UHEH). Este pojeto está nsedo na Flosofa Integada de CEM utlzada no desenvolvmento do sstema de opeação não assstda e supevsão emota da usna [8]. A fgua 5. mosta uma vsta aéea da localzação da usna do Heval, bem como uma uma planta baxa do sstema de ateamento, fomado pelos contapesos adas e o anel submeso no leto do o. Ro Contapesos (5m) Ávoes Edfcação Anel submeso Fta metálca Eletodo de pofunddade Hastes (.5m) (a) (b) Fg. 5. Usna hdoelétca do Heval (UHEH). (a) Planta baxa (foa de escala); (b) sta aéea. O pédo da usna fo constuído sobe um solo ochoso com uma camada de ateo de consttução aglosa. Os valoes de esstvdade do solo foam meddos (apenas na deção longtudnal devdo à mpossbldade físca) e calculados usando o método de otmzação de Hooe-Jeeves [8]. Após a estatfcação (po softwae), chegou-se a um modelo de duas camadas: a pmea (mas supefcal) com esstvdade de 7Ω.m e pofunddade de 0.8m; e a segunda com esstvdade de

137 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas Ω.m. As pemssvdades elétcas elatvas paa a pmea e segunda camada foam modeladas como 36 e 0 espectvamente. O leto do o, estando m abaxo do plano do plano do pédo fo modelado com os mesmos paâmetos da segunda camada (mas pofunda). A água do o fo modelada com uma esstvdade de 50Ω.m e uma pemssvdade elétca elatva de 80. Em função da smeta quase pefeta e das dmensões do sstema decdu-se pela smulação de apenas metade da estutua físca. Desta foma, o poblema fo eduzdo a um volume modelado de 4 5 4m 3. Usando um nó egula de m 3, chega-se a um volume de cálculo fnal fomado po nós. A fgua 5. mosta a dsposção dos pncpas componentes do sstema de ateamento posconados em temos de nó Solo Ro 0 Fg. 5. Planta do volume modelado (em escala). (Posconamento dos nós). Dos pontos do sstema foam usados como locas de ncdênca do suto atmosféco (A;.µs/50µs): o ponto mas dstante da fta ntena (extemdade do contapeso supeo na fgua 5.) e a junção da malha submesa, do anel de amotecmento e da fta ntena. O pmeo fo escolhdo pos teocamente va epesenta os maoes valoes de tensão na supefíce do solo; o segundo, po se

138 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 7 um ponto estatégco de junção de váas malhas e po ecebe almentação de cabos de comuncação, usados paa a supevsão emota da usna [8]. Com o ntuto de dscmna cada um dos elementos do sstema na sua posção modelada, a fgua 5.3 mosta um detalhe amplado do pefl de tensões na supefíce do solo (e do leto do o) quando um suto de coente atnge o ponto de junção das malhas. Aplcação do suto Fta ntena Anel de Amotecmento Contapesos Anel submeso Leto do o Baanco Fg. 5.3 Localzação dos elementos do sstema de ateamento. A fgua 5.4 mosta os gáfcos paa dfeentes nstantes de popagação na supefíce do solo. Pmeamente é possível ve como se dá a tansfeênca de enega po toda a malha de ateamento. Como pevsto, algumas eflexões podem se sentdas nas junções dos dvesos elementos (hastes, anés e condutoes). É mpotante nota que os níves de tensão no anel submeso são nomalmente baxos, decoênca da baxa esstvdade da água. Uma vsão detalhada no entanto, pemte obseva pcos mas ponuncados nos cantos do anel (consdeado etangula). Este fato está lgado ao alto valo de pemssvdade do meo. Este compotamento também é obsevado na fta. Neste caso, os pcos são mas evdentes nos pmeos nstantes do tanstóo, já que o valo de pemssvdade do solo é bem meno. De esto, a fta ntena se compota como uma equpotencal duante todo o suto aplcado, evtando maoes poblemas aos equpamentos a ela lgados.

139 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 8 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Fg. 5.4 Popagação das tensões na supefíce do solo: Popagação em: (a) 0.µs; (b) 0.µs; (c) 0.5µs; (d).0µs; (e).5µs; (f).0µs.

140 Capítulo 5 Análse de Sstemas de Poteção conta Descagas Atmosfécas 9 Fnalmente, o gáfco da fgua 5.5 mosta o efeto da nseção do suto de coente na extemdade do contapeso. Como espeado, os níves de tensão atngdos nas poxmdades do ponto de exctação são maoes, contudo, passado todo o tempo de smulação, as tensões sobe a fta e o anel submeso não ultapassaam umas poucas dezenas de volts. Fg. 5.5 Suto aplcado na haste da extemdade (t=.0µs). 5.4 Conclusões deste capítulo Este capítulo apesentou a aplcação do algotmo desenvolvdo paa o TLM- TD na análse de dfeentes tpos de sstemas de ateamento mpulsvo. A pat dos esultados smulados, fo possível faze algumas compaações com os esultados encontados na bblogafa, chegando-se a um excelente gau de concodânca. Os poblemas foam executados num computado pessoal baseado no pocessado Pentum III de 450MHz e memóa RAM de 8Mbytes. Nesta confguação os tempos de smulação fcaam em tono de.5 hoas paa o meno caso (tês hastes em lnha) e até 5 das paa o poblema mas demoado (gade de 60 60m).