3. (Acafe 2014) Analise as proposições abaixo e classifique-as em V - verdadeiras ou F - falsas.

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1 Semelhança de Triângulos 1. (Uem 014) João dispõe de três pedaços triangulares de palha de aço, sendo a área de cada pedaço diretamente proporcional à massa do mesmo. Um pedaço possui 10,0 g de massa, o segundo possui 1,0 g de massa e o terceiro, 18,0 g. Ele queimou completamente os dois primeiros pedaços e mediu novamente suas massas, tendo obtido, respectivamente, 10,5 g e 1,6 g. Com base na situação exposta, assinale o que for correto. 01) O aumento de massa se deve à reação química que causou uma redução nos átomos de ferro que reagiram. 0) As proporções iguais entre massa final e inicial de cada pedaço de palha de aço queimado se devem à Lei de Proust. 04) Se João queimar completamente o terceiro pedaço, a massa final do mesmo deverá ficar em torno de 18,9 g. 08) Verificou-se um aumento de 0,5 % na massa de cada um dos pedaços de palha de aço queimados. 16) Se, antes do experimento, os pedaços triangulares de 18 g e 10 g constituíam um par de triângulos semelhantes, a razão de semelhança entre eles era de 9/10.. (Espm 014) A figura abaixo mostra a trajetória de um móvel a partir de um ponto A, com BC CD, DE EF, FG GH, HI IJ e assim por diante. Considerando infinita a quantidade desses segmentos, a distância horizontal AP alcançada por esse móvel será de: a) 65 m b) 7 m c) 80 m d) 96 m e) 100 m Página 1 de 9

2 3. (Acafe 014) Analise as proposições abaixo e classifique-as em V - verdadeiras ou F - falsas. ( ) O triângulo ABC é equilátero e seu perímetro é 1cm. Sabendo que temos uma circunferência inscrita e outra circunscrita ao triângulo ABC, então, a razão entre a área da circunferência inscrita e a área da circunferência circunscrita é 1. 4 ( ) Uma das diagonais de um quadrado está contida na reta x y 4 0. Sabendo que a reta suporte da outra diagonal passa pelo ponto de coordenadas (5, 3), pode-se concluir que o perímetro desse quadrado, em unidades de comprimento, é igual a 16. ( ) Na figura abaixo, ABCD, é um quadrado inscrito num triângulo PRQ. Sendo RQ 36cm e a altura relativa a essa base igual a 4cm, então, a área da região hachurada vale, aproximadamente, 5cm. A sequência correta, de cima para baixo, é: a) V - V - F b) V - F - V c) V - F - F d) F - F - V 4. (Ufsc 014) Duas cidades, marcadas no desenho abaixo como A e B, estão nas margens retilíneas e opostas de um rio, cuja largura é constante e igual a,5 km, e a distâncias de,5 km e de 5 km, respectivamente, de cada uma das suas margens. Deseja-se construir uma estrada de A até B que, por razões de economia de orçamento, deve cruzar o rio por uma ponte de comprimento mínimo, ou seja, perpendicular às margens do rio. As regiões em cada lado do rio e até as cidades são planas e disponíveis para a obra da estrada. Uma possível planta de tal estrada está esboçada na figura abaixo em linha pontilhada: Considere que, na figura, o segmento HD é paralelo a AC e a distância HK' 18km. Calcule a que distância, em quilômetros, deverá estar a cabeceira da ponte na margem do lado da cidade B (ou seja, o ponto D) do ponto K, de modo que o percurso total da cidade A até a cidade B tenha comprimento mínimo. Página de 9

3 5. (Cefet MG 014) A figura abaixo tem as seguintes características: - o ângulo Ê é reto; - o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD; - os segmentos AE, BD e DE, medem, respectivamente, 5, 4 e 3. O segmento AC, em unidades de comprimento, mede a) 8. b) 1. c) 13. d) 61. e) (Insper 014) Considere o retângulo ABCD da figura, de dimensões AB b e AD h, que foi dividido em três regiões de áreas iguais pelos segmentos EF e GH. As retas EF, BD e GH são paralelas. Dessa forma, sendo AE a a). 3 x e AF y, a razão x b é igual b) c) d) e) Página 3 de 9

4 7. (G1 - cftmg 014) A figura a seguir apresenta um quadrado DEFG e um triângulo ABC cujo lado BC mede 40 cm e a altura AH, 4 cm. A medida do lado desse quadrado é um número a) par. b) primo. c) divisível por 4. d) múltiplo de (G1 - ifce 014) O valor do lado de um quadrado inscrito em um triângulo retângulo, conforme o esboço mostrado na figura, é a) 10. b) 8. c) 6. d) 4. e). Página 4 de 9

5 9. (Fgv 014) a) Para medir a largura x de um rio sem necessidade de cruzá-lo, foram feitas várias medições como mostra a figura abaixo. Calcule a largura x do rio. b) Demonstre que a distância do vértice B ao baricentro M de um triângulo é o dobro da distância do ponto E ao baricentro M. 10. (Upf 014) O triângulo ABC mostrado a seguir foi dividido em três figuras: I, II e III. Então, é correto afirmar que: a) A área da figura II é maior do que a área da figura I. b) A área da figura II é menor do que a área da figura I. c) A área da figura I é o dobro da área da figura III. d) A área da figura I é igual à área da figura II. e) A área da figura III é 1/3 da área da figura I. 11. (Pucrs 014) Considere a imagem abaixo, que representa o fundo de uma piscina em forma de triângulo com a parte mais profunda destacada. O valor em metros da medida x é a) b),5 c) 3 d) 4 e) 6 Página 5 de 9

6 1. (Fuvest 014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a a) 4 cm b) 13 cm c) 1 cm d) 9 cm e) 7 cm 13. (G1 - cftmg 014) Numa festa junina, além da tradicional brincadeira de roubar bandeira no alto do pau de sebo, quem descobrisse a sua altura ganharia um prêmio. O ganhador do desafio fincou, paralelamente a esse mastro, um bastão de 1m. Medindo-se as sombras projetadas no chão pelo bastão e pelo pau, ele encontrou, respectivamente, 5 dm e 15 dm. Portanto, a altura do pau de sebo, em metros, é a) 5,0. b) 5,5. c) 6,0. d) 6,5. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Potencialmente, os portos da região Norte podem ser os canais de escoamento para toda a produção de grãos que ocorre acima do paralelo 16 Sul, onde estão situados gigantes do agronegócio. Investimentos em logística e a construção de novos terminais portuários privados irão aumentar consideravelmente o número de toneladas de grãos embarcados anualmente. 14. (Uea 014) Suponha que dois navios tenham partido ao mesmo tempo de um mesmo porto A, em direções perpendiculares e a velocidades constantes. Sabe-se que a velocidade do navio B é de 18 km / h e que, com 30 minutos de viagem, a distância que o separa do navio C é de 15 km, conforme mostra a figura: Desse modo, pode-se afirmar que, com uma hora de viagem, a distância, em km, entre os dois navios e a velocidade desenvolvida pelo navio C, em km/h, serão, respectivamente, a) 30 e 5. b) 5 e. c) 30 e 4. d) 5 e 0. e) 5 e 4. Página 6 de 9

7 15. (Ufsc 013) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero e o quadrilátero MNPQ é um quadrado. Então os pontos P e Q são pontos médios dos lados BC e AC, respectivamente. 0) Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero e o segmento DB é paralelo ao segmento CE. Então a área do quadrilátero ABCD é igual à área do triângulo ADE. 04) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo e o ponto M é o ponto médio da hipotenusa AC. A perpendicular à hipotenusa AC pelo ponto M cruza o segmento BC no ponto E, que está entre B e C. Então a área do triângulo MEC é menor do que a metade da área do triângulo ABC. 08) Considere um octaedro regular inscrito em uma esfera de raio 6cm. O volume do octaedro é 88cm 3. 16) Se em um quadrilátero as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos, então o quadrilátero é um losango. Página 7 de 9

8 16. (Uem 013) Considere um triângulo ABC com medidas AB 5cm, AC cm e BC 4cm. Sejam D o ponto médio de BC e E o ponto médio de AB. Assinale o que for correto. 01) Os triângulos ABC e EBD são congruentes. 0) A área do triângulo ABC é menor do que 4 cm. 04) O triângulo EBD é obtusângulo. 08) O centro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC está no interior desse triângulo. 16) A área do quadrilátero AEDC é o triplo da área do triângulo EBD. 17. (Ufmg 013) Nos séculos XVII e XVIII, foi desenvolvida no Japão uma forma particular de produzir matemática. Um dos hábitos que a população adotou foi o de afixar em templos placas contendo problemas, em geral de geometria. Essas placas, conhecidas como sangaku, apresentavam o problema com ilustrações e a resposta, sem registrar a solução dos autores. O seguinte problema foi adaptado de um desses sangakus: considere ABCD um retângulo com AB 160 e AD 80; tome uma circunferência de centro O tangente aos lados AB, BC e CD do retângulo, e seja BD uma de suas diagonais, interceptando a circunferência nos pontos P e Q. Considerando essas informações, a) DETERMINE o raio QO da circunferência. b) DETERMINE o comprimento do segmento PQ. 18. (Fgv 013) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 4 cm, e M é ponto médio de CD. Sabe-se ainda que BD é arco de circunferência de centro A e raio 4 cm, e CD é arco de circunferência de centro M e raio cm, sendo P e D pontos de intersecção desses arcos. A distância de P até CB, em centímetros, é igual a a) 4 b) 19 c) 3 d) e) Página 8 de 9

9 19. (Enem 013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados. Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? a) 1m b) m c),4 m d) 3m e) 6 m TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Suzana quer construir uma piscina de forma triangular em sua casa de campo, conforme a figura abaixo (ilustrativa). Ela deseja que: as medidas s e t sejam diferentes; a área da piscina seja 50 m ; a borda de medida s seja revestida com um material que custa 48 reais o metro linear; a borda de medida t seja revestida com um material que custa 75 reais o metro linear. 0. (Insper 013) Ao conversar com o arquiteto, porém, Suzana foi informada de que já foi construída uma saída de água que fica a uma distância de 3 m da borda de medida t e a 7 m da borda de medida s. Para que a terceira borda da piscina passe por esse ponto, t deve ser aproximadamente igual a a) 10,00 m. b) 13,33 m. c) 16,67 m. d) 0,00 m. e) 3,33 m. Página 9 de 9

10 1. (Uerj 01) Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadrilátero ABCD, foram utilizadas duas varetas, linha e papel. As varetas estão representadas pelos segmentos AC e BD. A linha utilizada liga as extremidades A, B, C e D das varetas, e o papel reveste a área total da pipa. Os segmentos AC e BD são perpendiculares em E, e os ângulos ABC ˆ e ADC ˆ são retos. Se os segmentos AE e EC medem, respectivamente, 18 cm e 3 cm, determine o comprimento total da linha, representada por AB BC CD DA.. (Insper 01) Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300 km de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R10, também retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do estado. A nova rodovia interceptará a R10 no ponto P, distante 10 km da cidade Z. O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade Y até a R103. A menor extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é a) 50. b) 40. c) 5. d) 00. e) Página 10 de 9

11 3. (Espm 01) A figura abaixo mostra o paralelogramo BMNP inscrito no triângulo retângulo ABC, onde AB = 5cm e BC = 13cm. Sabe-se que o paralelogramo tem área máxima quando M é ponto médio de BC. Então, a maior área que o paralelogramo pode ter é igual a: a) 1 cm b) 18 cm c) 15 cm d) 7,5 cm e) 9 cm TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Considere um triângulo ABC cuja base AB mede 7dm. Traçando-se uma reta t, paralela à base, ela determina sobre os lados AC e BC, respectivamente, os pontos D e E. Sabe-se que DC mede 14dm, BE mede 8dm e DE mede 18dm. 4. (G1 - ifal 01) Assinale a alternativa falsa. a) Os triângulos ABC e DEC são semelhantes. b) Os triângulos ABC e CDE são semelhantes. c) CD.AD. d) A razão de semelhança é 3. e) O lado BC mede 4dm. 5. (Ufpe 011) Na figura abaixo AB AD 5, BC 15 e DE 7. Os ângulos DEA, ˆ BCA ˆ e BFA ˆ são retos. Determine AF. Página 11 de 9

12 6. (G1 - epcar (Cpcar) 011) A figura abaixo representa o logotipo que será estampado em 450 camisetas de uma Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do Colégio Alfa. Essa figura é formada por um círculo de centro O inscrito num triângulo isósceles cuja base BC mede 4 cm e altura relativa a esse lado mede 16 cm O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é necessário, exatamente, 1 pote de tinta cinza para pintar 5400 cm. Adote π 3 Com base nesses dados, é correto afirmar que o número de potes necessários para pintar o círculo em todas as camisetas é igual a a) 9 b) 10 c) 11 d) 1 7. (G1 - ccampos 011) Na figura abaixo, O é o centro de uma circunferência que tangencia o segmento BQ no ponto T. Considerando também que o segmento BA é perpendicular ao segmento AO, que M é o ponto médio do segmento AO e que BM = 4.MT, determine a medida ^ do ângulo TMO Página 1 de 9

13 8. (Unemat 010) No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são respectivamente pontos médios dos lados AB e AC. O segmento MNmede 6 cm. A área do triângulo ABC mede: a) 18 3 cm b) c) d) e) 4 cm 30 cm 30 3 cm 36 3 cm 9. (Fuvest 010) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3, então a área do paralelogramo DECF vale a) 63 5 b) 1 5 c) 58 5 d) 56 5 e) Página 13 de 9

14 30. (Ufg 010) As Regras Oficiais de Voleibol, aprovadas pela Federação Internacional de Voleibol (FIVB), definem que a quadra para a prática desse esporte deve ser retangular, medindo 18 m de comprimento por 9 m de largura. A rede, colocada verticalmente sobre a linha central da quadra, deve ter uma altura de,43 m para jogos profissionais masculinos. Em cada campo da quadra há uma linha de ataque, desenhada a 3 m de distância da linha central, marcando a zona de frente, conforme a figura a seguir. Durante um jogo profissional masculino, um jogador fez um ponto do seguinte modo: estando sobre a linha de ataque de seu campo, saltou verticalmente batendo na bola no ponto H, fazendo-a descrever uma trajetória retilínea, passando rente ao topo da rede, no ponto R, tocando a quadra exatamente num ponto B, pertencente à linha de fundo do campo adversário. Segundo as condições descritas, calcule a altura, AH, que o jogador alcançou para conseguir fazer o ponto. Página 14 de 9

15 Gabarito: Resposta da questão 1: = 06. [Resposta do ponto de vista da disciplina de Química] [0] As proporções iguais entre massa final e inicial de cada pedaço de palha de aço queimado se devem à Lei de Proust (proporções fixas). [04] Se João queimar completamente o terceiro pedaço, a massa final do mesmo deverá ficar em torno de 18,9 g. Pr imeiro pedaço (10,0 g) : mapós a queima 10,5 g 10,5 10,0 0,05 5 % 10 Segundo pedaço (1,0 g) : mapós a queima 1,6 g 1,6 1,0 0,05 5 % 1 Terceiro pedaço (18,0 g) : mapós a queima m m 18,0 0,05 18 m 18,9 g [Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática] [16] Falsa, pois a razão de semelhança será Resposta da questão : [C] Pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo ABC, encontramos facilmente AC 0 m. Os triângulos ABC, CDE, EFG, são semelhantes por AA. Logo, como a razão de semelhança é igual a CD 1 3, segue-se que AC 0 m, CE 15 m, AB EG m, constituem uma 4 0 progressão geométrica cujo limite da soma dos n primeiros termos é dado por 80 m Página 15 de 9

16 Resposta da questão 3: [B] Sejam r e R, respectivamente, o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. Sabendo que r 1, vem R πr r 1 1. πr R 4 Com os dados fornecidos podemos encontrar apenas a equação da reta suporte da outra diagonal. Portanto, nada se pode afirmar sobre o perímetro do quadrado. Seja a medida do lado do quadrado ABCD. Como os triângulos PRQ e PAB são semelhantes por AA, tem-se que 4 7 cm Por conseguinte, a área hachurada é dada por cm. Resposta da questão 4: Considere a figura. O trajeto ACDB tem comprimento mínimo quando B, D e H são colineares. Com efeito, se D' é um ponto da reta DK e C' é o pé da perpendicular baixada de D' sobre a reta HK ', então, pela Desigualdade Triangular, BD' D'H BD' AC' BD DH BH. Portanto, como os triângulos BDK e DHC são semelhantes por AA, segue-se que DK BK DK 5 CH CD 18 DK,5 DK 1km. Página 16 de 9

17 Resposta da questão 5: [E] Desde que os triângulos ACE e BCD são semelhantes por AA, vem CD BD CD 4 CE AE CD 3 5 CD 1. Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACE, encontramos AC AE CE AC 5 15 AC Resposta da questão 6: [E] Seja (AEF) S. Pela simetria da figura, temos (EBDF) (BDHG) S. Além disso, os triângulos AEF e ABD são semelhantes por AA. Portanto, como (ABD) (AEF) (EBDF) 3S, tem-se (AEF) x S x (ABD) b 3S b x 6, b 3 que é o resultado pedido. Resposta da questão 7: [D] Seja a medida do lado do quadrado DEFG. Os triângulos ABC e AEF são semelhantes por AA. Portanto, cm, que é um múltiplo de 5. Página 17 de 9

18 Resposta da questão 8: [D] Considere a figura. É fácil ver que os triângulos BFE e DGC são semelhantes por AA. Portanto, se do lado do quadrado, temos é a medida Resposta da questão 9: a) Supondo que CAB BED 90, é fácil ver que os triângulos ABC e EBD são semelhantes por AA. Desse modo, temos AC AB x 4 ED BE,5 x 19, m. b) Queremos mostrar que BM ME. De fato, sabendo que D e E são pontos médios de AB e AC, respectivamente, tem-se que 1 DE é base média do triângulo ABC e, portanto, DE BC e DE BC. Em consequência, os triângulos DEM e BCM são semelhantes por AA. Daí, BM BC BM BC ME DE ME 1 BC BM ME. Resposta da questão 10: [D] Δ I ~ Δ III z y x z y x Página 18 de 9

19 Calculando a área de cada figura, temos: z x AI xy A x y A II III x y Portanto, a área da figura I é igual à área da figura II. Resposta da questão 11: [C] O triângulo ADE é isósceles, logo AD = 8m. O triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE, portanto: x 8x 4 x 3m 8 1 Resposta da questão 1: [C] Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre BC, e D é o ponto em que o lado AC tangencia a circunferência de centro em O. Como OH OD 3cm e AH 8cm, segue que AO 5cm. Logo, AD 4cm. Além disso, os triângulos AHC e ADO são semelhantes por AA e, assim, AD DO 4 3 AH HC 8 HC HC 6cm. Portanto, como H é o ponto médio de BC, segue-se que BC 1cm. Página 19 de 9

20 Resposta da questão 13: [A] Sabendo que a altura é proporcional ao comprimento da sombra projetada, segue-se que a altura h do pau de sebo é dada por h 1 h 5 m Resposta da questão 14: [C] y 18 0,5 9km Logo, x 9 15 x 1km Depois de uma hora de viagem as distâncias serão dobradas, portanto, a distância entre os navios B e C será de 30km. A velocidade do navio C é de 1km a cada meia hora, ou seja, 4km / h. Resposta da questão 15: = ) Falsa. Seria possível se a altura do triângulo tivesse a mesma medida que sua base. 0) Verdadeira, pois A AECD AEDC A AECD ABEC AADE A AECD AEDC como A BEC A EDC, temos AAECD AADE 04) Verdadeira. Área do triângulo MEC é menor do que a metade da área do triângulo ABC (área do triângulo MBC). Observe na figura: Página 0 de 9

21 8) Verdadeira. O volume do octaedro é o dobro do volume da pirâmide V =.(1/3).x.h V =.(1/3).7.6 V = 88 cm 3 16) Verdadeira, pois esta propriedade define um losango. Resposta da questão 16: =. [01] Incorreto. Como DE é uma base média do triângulo ABC, é fácil ver que os triângulos ABC e EBD são semelhantes, com razão de semelhança igual a. [0] Correto. Pela Fórmula de Heron, temos (ABC) cm. [04] Correto. Como ABC e EBD são semelhantes, basta mostrar que ABC é obtusângulo. De fato, AB BC AC 5 4. [08] Incorreto. Do item [04] sabemos que ABC é obtusângulo. Portanto, segue-se que o circuncentro de ABC não está no seu interior. [16] Correto. Do item [01], temos (ABC) 4. (EBD) Daí, como (ABC) (EBD) (AEDC), segue que (AEDC) 3 (EBD). Página 1 de 9

22 Resposta da questão 17: a) O raio da circunferência é b) Admita PQ = x BQ BQ 40 5 ΔPOM ~ ΔMQB, logo: MQ MQ 80 MQ 16 5 Logo, MQ Página de 9

23 Resposta da questão 18: [A] Considere a figura. Sejam Q, S e H, respectivamente, o pé da perpendicular baixada de P sobre BC, a interseção de AM com DP e o pé da perpendicular baixada de M sobre CP. Queremos calcular PQ. Como AB AP 4cm, MD MP cm e AM é lado comum, segue-se que os triângulos ADM e APM são congruentes por LLL. Desse modo, AM é mediatriz de DP. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo APM, vem AM AP MP AM 4 AM 5 cm. Além disso, temos MP AM MS 5 MS MS cm. 5 É fácil ver que o triângulo CPD é retângulo em P. Logo, HP MS. Por outro lado, CM MP e 4 HM CP implica em CH HP. Daí, CP HP cm. 5 Finalmente, como os triângulos HMP e QCP são semelhantes, encontramos 4 PQ CP PQ 5 HP MP 5 4 PQ. 5 Página 3 de 9

24 Resposta da questão 19: [C] É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo, AF AC AF 4 BF BD BF 6 AF BF 3 AF AF. AF BF 5 Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, vem AF EF AF EF AB BD AF BF 6 EF 6 5 EF,4 m. Resposta da questão 0: [E] Considere a figura. Sabendo que BE DF 7 m e BF DE m 3, segue que AE t 7 e CF s 3. Logo, como os triângulos AED e DFC são semelhantes, vem CF DF s 3 7 DE AE 3 t 7 3t s. t 7 Além disso, como a área da piscina é 50 m e s t, encontramos 3t s t 100 t 100 t 7 3t 100t t 3,33. Página 4 de 9

25 Resposta da questão 1: Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360 e que os ângulos ABC e ADC são retos, temos que o quadrilátero ABCD é inscritível. Além disso, como AC BD, segue que DE EB e, portanto, DE EB AE EC DE 18 3 DE 9 3 DE 3 8 DE 4cm. Desse modo, como AE e DE 4 4 6, vem que AD Por outro lado, como EC e DE 4 3 8, obtemos CD Portanto, como os triângulos ABE e ADE são congruentes, bem como os triângulos BCE e CDE, vem AB BC CD DA cm. Resposta da questão : [E] Determinando o valor de k no triângulo XZP: K = K = 00 km. ΔXZP Δ XDY d 360 d 180km 300 d Página 5 de 9

26 Resposta da questão 3: [C] Como os triângulos ABC e APN são semelhantes, conclui-se que AP = PB = 5/. AC = 13 5 AC = 1 1 senα 13 Cálculo de h, 1 senα 13 h 1 30 h Portanto, a área do paralelogramo é A = Resposta da questão 4: [B] 14 CE 18 ΔCDE ~ ΔCAB AC 1 e CE 16. AC CE Página 6 de 9

27 Resposta da questão 5: Considere a figura. Como AB e BC , segue que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo retângulo de lados 5, 3 e 4. Logo, AC Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADE, vem AD DE AE AE 5 7 AE 576 AE 4. Como os triângulos ADE e BGC são semelhantes por AA, temos que GC BC GC. DE AE Logo, AG AD GC Por outro lado, os triângulos ADE e AGF também são semelhantes por AA. Desse modo, 15 4 AF AG AF AE AD 5 Página 7 de 9

28 Resposta da questão 6: [A] AC 16 1 AC 0 R 16 R ΔAOD ~ ΔACM R Área que será pintada. A = A 450. π.r cm Número de potes = Resposta da questão 7: k a Os triângulos MTO e MAB são semelhantes, logo: a 4k a k. a 4k k 1 o Logo, no triângulo MTO, temos: cosα α 60. k Página 8 de 9

29 Resposta da questão 8: [E] AMN ~ ABC logo, BC =.6 = Área do ABC = = 36 3 cm 4 Resposta da questão 9: [A] (AC) = AC = 5 DBE ~ ABC 3 x y x = 1, e y = 0,9 A base do paralelogramo será 3 0,9 =,1 e sua altura será x = 1, Logo sua área será A =,1. 1, = Resposta da questão 30: Como AC PD, pelo Teorema de Tales segue que AP CD AP 3 1. PB DB PB 9 3 Os triângulos HAB e RPB são semelhantes. Portanto, HA AB HA AP PB HA 4 HA 3,4 m. RP PB RP PB, Página 9 de 9