HIPÓLITO ALAN ARREDONDO CHAMPI PROJETO E MODELAGEM DE METAMATERIAIS ACÚSTICOS E ELÁSTICOS POR RESSONÂCIAS MIE

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1 HIPÓLITO ALAN ARREDONDO CHAMPI PROJETO E MODELAGEM DE METAMATERIAIS ACÚSTICOS E ELÁSTICOS POR RESSONÂCIAS MIE São Pauo

2 HIPÓLITO ALAN ARREDONDO CHAMPI PROJETO E MODELAGEM DE METAMATERIAIS ACÚSTICOS E ELÁSTICOS POR RESSONÂCIAS MIE Disstação apsntada à Escoa Poitécnica da Univsidad d São Pauo paa obtnção do títuo d Mst Ciências. Áa d concntação: Micotônica Ointado: Pof. Liv-Docnt Wat Jais Sacdo São Pauo

3 FICHA CATALOGRÁFICA Adondo Chapi, Hipóito Aan Poto odag d taatiais acústicos ásticos po ssonâncias Mi / H.A. Adondo Chapi. -- São Pauo,. 6 p. Disstação (Mstado) - Escoa Poitécnica da Univsidad d São Pauo. Dpatanto d Engnhaia d Sistas Etônicos.. Espahanto. Matiais copósitos 3. Ondas sísicas 4. Fqüência do so I. Univsidad d São Pauo. Escoa Poitécnica. Dpatanto d Engnhaia d Sistas Etônicos II. t.

4 DEDICATÓRIA Ddico st tabaho a u Dus, aos us pais, Dina Miton, as inhas iãs, Eika Sthfani, po su ao t confiado sp i.

5 AGRADECIMENTOS Piiant a Dus, po todas as coisas boas uins qu vivi po iuina u cainho da foças paa sgui sp fnt. Ao Pof. D. Wat Jais Sacdo, pa sua ointação, paciência, stíuo, apoio ao ongo dsta onada. A inha aada sposa Rina, po t sp stado ao u ado audado a supa inhas faquzas spiituais acadêicas. Aos us aados pais, Dina Miton, as inhas iãs Éika Sthfani po su ao t confiado sp i, so tanto tpo distant po s a inha font d inspiação. Aos us aigos cogas d tabaho, Bois, Wiingthon, Victo, Danio, Mauo, Fip, Kth, Fátia, Dani, Caudia, Vicnt, Ado, Rnata Osca pos insqucívis dias d convivência, o u quido aigo ião d iga, Fdi, qu à distância, sp antivos a nossa aizad, a todos os pofssos funcionáios do dpatanto d Engnhaia Eética qu dita ou inditant, audaa na xcução dst tabaho. E finant ao CNPq, Consho Naciona d Dsnvovinto Cintífico Tcnoógico, po supot financio dst tabaho.

6 EPÍGRAFE "A dscobta consist v o qu todo undo viu pnsa o qu ningué pnsou." A. Sznt-Gyogyi

7 RESUMO Os taatiais acústicos/ásticos são atiais qu apsnta caactísticas ásticas difnts dos atiais couns ncontados na natuza, sndo o índic d fação ngativo a pincipa caactística dsts novos atiais. A itatua pota qu sta popidad é atingida paa ua faixa uito stita d fquências, sndo u fito uito ocaizado,, adicionant, as stutuas popostas são idais xto, o qu dificuta sua apicação pática dispositivos acústicos. O obtivo do psnt tabaho foi pota taatiais acústicos ásticos tidinsionais co índic d fação ngativo nua faixa d fquência ais onga ação ao potado na itatua, utiizando gotias atiais qu ton viáv sua ipntação pática paa a fabicação d dispositivos. Co st popósito foi dsnvovido u foaiso da toia d io ftivo (TME), no iit d copinto d onda onga baixas façõs d pnchinto. Co a TME dsnvovida foi studado o spahanto d incusõs sféicas sips, vstidas dupant vstidas difnts atizs hospdias. Os sutados ostaa a xistência d bandas ssonants nos coficints da atiz T acionadas aos odos onopoas, dipoas quadupoas. Matiais copósitos constituídos po sfas sips, vstidas ou dupant vstidas foa anaisados utiizando o foaiso TME. Os sutados ostaa qu os vaos ngativos dos paâtos ásticos nsts atiais stão coptant acionados aos fitos ssonants das incusõs sféicas. Mtaatiais ásticos acústicos foa potados sobpondo dois ou ais copósitos difnts, cada u co difnts popidads, d ta foa qu o fito tota no taatia apsnt as caactísticas dfinidas no poto inicia. O taatia ástico foi potado utiizando a sobposição d tês copósitos d incusõs sféicas difnts. Est taatia apsntou índic d fação ngativa na gião d khz, nua faixa d agua igua a 8 Hz. O taatia acústico foi potado sobpondo dois copósitos d incusõs sféicas difnts. Est atia apsntou índic d fação ngativa na gião d 7 khz, nua faixa d 5 Hz. As gotias atiais utiizados no poto dsts taatiais são acssívis d fáci anipuação, o qu faciitaá sua futua fabicação aboatóio. Os sutados obtidos nst tabaho sug a possibiidad d fabica sts taatiais no aboatóio pgá-os no conto d ondas acústicas, ásticas sísicas, assi coo tabé no poto d u anto d invisibiidad acústica/ástica. Paavas-chav: Mtaatiais Acústicos Eásticos, Toia do Mio Eftivo, Índic d Rfação Ngativo

8 ABSTRACT Th acoustic/astic taatias a atias that show diffnt astic fatus fo coon atias found in natu and thi ain chaactistics a thi ngativ factiv indx. Th itatu pots that this popty is achd fo a vy naow ang of fquncis, as a vy ocaizd phnonon, and additionay, th poposd stuctus a xty idas, which aks its pactica appication difficut on acoustic dvics. Th obctiv of this wok was to dsign acoustic/astic th-dinsiona Mtaatias with ngativ factiv indx in a wid fquncy band than that potd in th itatu, and using gotis and atias that ak it possib thi pactica ipntation fo anufactuing acoustic/astic dvics. With this pupos a foais of th ffctiv diu thoy (EMT) was dvopd, in th iit of wavngth and ow fi factions. With th dvopd EMT, th scatting of sip sphica incusions, coatd and douby coatd in diffnt host substats w studid. Th suts showd th xistnc of sonant bands in th cofficints of th T atix atd to onopoa, dipoa and quadupoa ods. Coposit atias consisting of sip, coatd o doub coatd sphs w anayzd using th EMT foais. Th suts showd that th ngativ vaus of astic paats in ths atias a copty atd to sonant ffcts of th sphs of incusion. Eastic and acoustic Mtaatias w dsignd by ovaying two o o diffnt coposits, ach with diffnt poptis, such that th ova ffct on th taatia shows th dsid fatus dfind in th initia poct. Th astic taatia was dsignd by ovapping th diffnt coposits of diffnt sphica incusions. This taatia shows ngativ factiv indx in th gion of khz, in a band of width of 8 Hz. Th acoustic taatia was dsignd by ovapping two coposits of diffnt sphica incusions. This atia shows ngativ factiv indx in th gion of 7 khz, in a band of width of 5 Hz. Th gotis and atias usd in th dsign of ths Mtaatias a affodab and asy to hand, which wi faciitat thi futu fabication in th aboatoy. Th suts obtaind in this study suggst th possibiity to anufactu ths taatias in th aboatoy and us th in th conto of acoustic, astic and sisic wavs, as w as in th dsign of invisib coak. Kywods: Mtaatias Acoustic and Eastic, Effctiv Mdiu Thoy, Ngativ Rfactiv Indx

9 SUMÁRIO Capítuo Intodução.... Obtivos Obtivos Espcíficos...5. Justificativas Contibuiçõs do Tabaho Oganização do Txto...8 Capítuo Rvisão Bibiogáfica.... Espahanto po ua Sips Incusão Esfica.... Espahanto po ua Incusão Esfica Muti-vstida....3 Toia do Espahanto Mútipo paa as Ondas Eásticas Toia do Mio Eftivo Mtaatiais Acústicos Eásticos Apicaçõs dos Mtaatiais Acústicos Eásticos Lnts Rftos pfitos Dispositivos d Invisibiidad...5 I Fundantos Tóicos...8 Capítuo 3 Equação d Movinto paa Ondas Eásticas Equaçõs Básicas Equação d Onda Escaa Souçõs da Equação d Onda Estado Estacionaio Constução das Funçõs Esféicas Bas Capos tos d Funçõs Esféicas Bas Capos tos d Haônicos Esféicos Escaas Capos tos d Haônicos Esféicos Vtoiais...44 Capítuo 4 Espahanto po ua Incusão Esféica: Matiz T Equaçôs d Continuidad do Capo d Dsocanto Equaçôs d Continuidad do Capo d Taçâo Soução das Equaçõs d Continuidad Convsõs d Modo...54

10 4.4 Matiz T paa ua Incusão Esféica Sips Matiz T paa ua Incusão Esféica Muti-vstida...58 Capítuo 5 Toia do Mio Eftivo Capos Incidnts Espahados Toia do Espahanto Mútipo: Apoxiação d piia od Toia do Mio Eftivo no iit do Copinto d Onda Longa...65 II Rsutados Nuéicos Discussõs...7 Capítuo 6 Rssonâncias Mi das Unidads Estutuais Incusão Esféica Sips Incusão Esféica Rvstida Incusão Esféica dupant Rvstida...85 Capítuo 7 Paâtos Eásticos Eftivos Matiais co óduo vouético ngativo Matiais co dnsidad d assa ngativa Matiais co óduo d cisahanto ngativo... Capítuo 8 Mtaatiais Acústicos Eásticos Mtaatia Acústico co Ngativos co ua Unidad Estutua Mtaatia Acústico co E Ngativos co duas Unidads Estutuais Mtaatia Eástico co E, Ngativos co tês Unidads Estutuais... Capítuo 9 Considaçõs Finais Concusõs Pspctivas Futuas...7 Apêndic A Funçõs gais d Pao Mow...9 Apêndic B Cácuo dos coficints d spahanto Mi D ( s, o) paa ua sips incusão sféica...

11 Apêndic C Cácuo dos coficints d spahanto Mi D (, o) paa ua incusão sféica vstida...3 Apêndic D Cácuo dos paâtos ftivos constitutivos dos taatiais...6 Rfências Bibiogáficas...8

12 LISTA DE FIGURAS Figua. Copotanto spcta dos ntos da atiz T d spahanto Mi paa ua stutua EABA (a), paa ua stutua EOBD (b) póxi. [6]...3 Figua. (a) Scção tansvsa da unidad stutua, (b) MSRL aanado CS 8x8x8. (c) Coficint d tansissão dido (cícuos ptos) siuado (inha sóida) coo função da fquência. (d) Estutua d bandas do MSRL utiizando a TEM. [48].... Figua.3 (a) Ração d dispsão, (d) Paâtos acústicos ftivos xtaídos da ipdância ftiva. [5]... Figua.4 (a) Estutua d bandas paa o MA cacuado usando a TEM, (b) Estutua d bandas do MA utiizando os paâtos ftivos. [6]... Figua.5 (a) Unidad stutua uti-assa, (b) Estutua d bandas do ME usando Entos Finitos [9]...3 Figua.6 Diagaa squático d ua pça d MA qu atua coo nt pfita, (a) nt qu concnta todos os aios divgnts d u obto ua iag focada, (b) nt qu foça as ondas vanscnts, (c) iag pfita ciada pa supnt. [86]....4 Figua.7 Sção tansvsa do pocsso d caufag acústica, (a) caufag co taatiais anisotópicos [], (b) caufag co taatiais isotópicos [5] Figua 3. Icosupfícis das FEBs R R const. : Zona, Tssa Sctoia Figua 3. Icosupfícis das FEBs S R const. : Zona, Tssa Sctoia Figua 4. Diagaa squático do pocsso d spahanto d ondas ásticas po ua incusão sféica (spahado)...49 Figua 4. Sção tansvsa da incusão sféica uti-vstida...58

13 Figua 5. Rpsntação squática do pocsso d spahanto útipo...64 Figua 5. A Rpsntação squática do pocsso d spahanto po u conunto d incusõs sféicas Figua 6. Diagaas squáticos das unidads stutuais básicas. (a) sips incusão sféica, (b) incusão sféica vstida (c) incusão sféica dupant vstida. U, X, Y Z psnta os divsos atiais..7 Figua 6. A Entos d atiz ( LL ) paa ua sips EBM incopoada póxi: (a) Diagaa squático da EBM póxi, E psnta o póxi S paa a boacha M. (b) Rssonâncias Mi onopoa,, (c) Rssonâncias Mi dipoa,, (c) Rssonâncias Mi quadupoa,...75 Figua 6.3 (a) Rssonânica Mi onopoa( ) paa ua BA agua. O intio da figua osta squaticant a BA agua, A psnta o a W a água. (b) Dpndência da fquncia d ssonância co o aio da BA...76 Figua 6.4 (a) Rssonâncias Mi onopoa ( ) dipoa ( ) paa ua EBM água. O intio da Figua osta squaticant a EBM água, W psnta a água S a boacha M. (b) Dpndência das fquências d ssonância onopoa dipoa co o aio da EBM...77 Figua 6.5 (a) Rssonâncias Mi onopoa ( ) paa ua EABA póxi. O intio da Figua osta squaticant a EABA póxi, E psnta o póxi, W a água A o a. (b) Dpndência da fqüência d ssonância onopoa co o aio da sfa d água paa u aio fixo da BA d, Figua 6.6 (a) Rssonâncias Mi onopoa ( ) paa ua EABA nua atiz d poistino. O intio da Figua osta squaticant a EABA poistino, F psnta o poistino, W a água A o a. (b) Dpndência da fqüência d ssonância onopoa co o aio xtno da sfa d água paa u aio fixo da BA d Figua 6.7 (a) Rssonâncias Mi dipoa ( ) paa ua EOBD póxi. O intio da figua osta squaticant da EOBD póxi, E

14 psnta o póxi, H a boacha dua G o ouo. (b) Dpndência da fquência d ssonância dipoa co difnts tipos d ta, a azão do aio da sfa d boacha dua ao aio da sfa d ouo é /....8 Figua 6.8 Rssonâncias Mi dipoa ( ) (a) quadupoa ( ) (b) paa ua EABM poistino. O intio da figua osta squaticant a EABM poistino, F psnta o poistino, W a água S a boacha acia...84 Figua 6.9 (a) Rssonâncias Mi onopoa ( ) paa ua EABLA incopoada póxi (b) Rssonância Mi dipoa ( ) paa ua sfa d ouo dupant vstida co boacha D sguidant d poistino incopoada póxi. O intio das Figuas osta squaticant as unidads stutuais, E psnta o póxi, W a água, S a boacha M, A o a, F o poistino, H a boacha D G o ouo Figua 6. Rssonâncias Mi quadupoa ( ) paa ua EAEBM poistino. (a) Rssonâncias dos ntos LL NL. O intio da figua osta squaticant a EAEBM poistino, F psnta o poistino, S a boacha acia, E o póxi W a água. (b) Rssonâncias do nto LN. (c) Rssonâncias do nto MM (d) Rssonâncias do nto NN Figua 7. Pat a dos óduos vouéticos ftivos obtidos da quação 5.8a paa (a) u copósito d BAs (b) u copósito d EBMs água....9 Figua 7. Pat a dos óduos vouéticos ftivos cacuados da Equação 5.7a. (a) u copósito d EABAs póxi (b) u copósito d EABAs poistino...9 Figua 7.3 Pat a do óduo vouético ftivo noaizado obtido da Equação 5.7a paa u copósito d EABLAs póxi Figua 7.4 Pat a da dnsidad d assa ftiva noaizada obtida a pati da quação 5.8b paa u copósito d EBMs água...96

15 Figua 7.5 Pat a da dnsidad d assa ftiva noaizada obtida a pati da quação 5.7b paa copósitos d EMBDs póxi, cada ua das cuvas psnta u ta difnt Figua 7.6 Pat a da dnsidad d assa ftiva noaizada obtida da quação 5.7b paa u copósito d BLAs poistino, paa difnts aios da sfa d água Figua 7.7 Pat a do óduo d cisahanto ftivo obtido a pati da quação 5.9c paa u copósitos d BLAs poistino, co =5 paa vaios aios d sfa d agua Figua 7.8 Pat a do óduo d cisahanto ftivo obtido a pati da quação 5.7c paa u copósitos d BLAs poistino, co =7 paa vaios aios d sfa d agua Figua 8. (a) Diagaa squático do MA fuido-bas, (b) supposição dos paâtos acústicos ftivos, (c) índic d fação ftivo ngativo, (d) ação d dispsão usando os paâtos ftivos...7 Figua 8. (a) Diagaa squático do MA póxi-bas, (b) supposição dos paâtos ftivos, (c) índic d fação ftivo ngativo, (d) ação d dispsão usando os paâtos ftivos... Figua 8.3 (a) Diagaa squático do ME poistino-bas, (b) supposição dos paâtos ftivos, (c) índic d fação ngativo, (d) ação d dispsão usando os paâtos ftivos...3

16 LISTA DE TABELAS Taba Paâtos Eásticos dos Matiais Utiizados...73

17 LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS A BA B B APC BGs BLAs CFC CS CCC E EABAs EABLAs EBMs ECBDs EOBDs ECBMs EOP f F FEBs G H HEV L M M MAs A Boha d A Banda d Dispsão Positiva Banda d Dispsão Ngativa Apoxiação Potncia Cont Bang Gaps Baõs d Água Cúbica d Fac cntada Cúbica Sips Cúbica d Copo Cntado Vto unitáio Epóxi Esfas d Água contndo ua Boha d A Esfas d Água contndo u Baão d A Esfas d Boacha Macia Esfas d Chubo vstidas co Boacha Dua Esfas d Ouo vstidas d Boacha Dua Esfas d Chubo vstidas co Boacha Macia Expansão Ondas Panas Foça Extna Poistino Funçõs Esféicas Bas Ouo Boacha Dua Haônicos Esféicos Vtoiais Modo Longitudina Núo d Counas d ua Matiz Piia Função d Onda Esféicas Vtoia d Statton Piio Modo Tansvsa Mtaatiais Acústicos

18 MEs MSLR N N S T TEM TME W D 3D Mtaatiais Eásticos Matia Sônico Locant Rssonant Núo d Incusõs Esféicas Sgunda Função d Onda Esféicas Vtoia d Statton Sgundo Modo Tansvsa Boacha M Matiz d Tansfência Toia do Espahanto Mútipo Toia do Mio Eftivo Água Duas Dinsõs Tês Dinsõs Função Gaa

19 LISTA DE SÍMBOLOS a Coficints d Expansão do Capo Incidnt b Coficints d Expansão do Capo Espahado B A, B, C * * * Coficints d Expansão ftivos do Capo Espahado Haônicos Esféicos Vtoiais A, B, C Haônicos Esféicos Vtoiais Conugados c L c T Vocidad Longitudina Vocidad Tansvsa c Lo Vocidad da onda Longitudina no io Hospdio c To Vocidad da onda Tansvsa no io Hospdio D ( s, o) Coficints d Espahanto Mi paa ua sips Incusão D D E D E o E s E f (, o), (, o) k, o Esféica Coficints d Espahanto Mi paa ua Incusão Esféica Rvstida Coficints d Espahanto Mi ftivo Constant Eástica Coficints d Espahanto Mi paa ua sips co k vstintos Constant Eástica no io Hospdio Constant Eástica da Sips Incusão Esféica Constant Eástica Eftiva Pissividad Eética Fquência K L Vto d onda Longitudina Eftivo K T Vto d onda Tansvsa Eftivo o s Móduo Vouético Móduo Vouético no io Hospdio Móduo Vouético da Sips Incusão Esféica Móduo Vouético Eftivo c Móduo Vouético Eftivo d ua Incusão Esféica k Vto d Onda no io Hospdio

20 ks N i E Vto d Onda na incusão Esféica Cana d spahanto d od Núo d Incusõs Esféicas Índic d Rfação paa as ondas Ectoagnética Índic d Rfação paa as Ondas Longitudinais Índic d Rfação paa as Ondas Tansvsais L Índic d Rfação ftivo paa as Ondas Longitudinais T Índic d Rfação ftivo paa as Ondas Tansvsais p s o Fação d Pnchinto Dnsidad d Massa Dnsidad d Massa da Sips Incusão Esféica Dnsidad d Massa no io Hospdio Dnsidad d Massa Eftiva c Dnsidad d Massa ftiva d ua Esfa Copósita p. s Pat Singua s 3 i V k Raio d ua Incusao Esfica Sips Raio d ua incusão sféica sips Raio xtno do Piio Rvstinto Raio xtno do Sgundo Rvstinto Raio Eftivo Raio as i -ésia Incusão Esféica Raio da Esfa ftiva Raio xtno do k -ésio Rvstinto xt Raio xtno d ua incusão sféica co k vstintos s o u Móduo d Cisaha Móduo d Cisaha da Sips Incusão Esféica Móduo d Cisaha no io Hospdio Móduo d Cisaha Eftivo Pabiidad Magnética t Entos d t t t z Matiz T d Espahanto Mi Capo d Tação Supficia Matiz d Tansissão

21 z Entos d z Convsão do odo, co L, M, N... Vao Absouto Espssua do Baão Cupinto d Onda Fato d Noaização: paa. q J Função d Onda Esféica Vtoia Rgua ( q ) H Função d Onda Esféica Vtoia Singua R Conugado d ( q ) ( q ) q J S Conugado d R q pf q Funçõs d Mow Pao Potncia Escaa paa L, M, N st xy Opado difncia spito d x y d od s+t Y Haônicos Esféicos Escaas R S k L k T Função Esféica Bas Rgua Função Esféica Bas Singua Móduo do Vto d Onda Longitudina Móduo do Vto d Onda Tansvsa R Coponnt Radia da Onda Eástica Coponnt Angua da Onda Eástica Coponnt Aziuta da Onda Função d Bss Esféica d Piia Espéci () h Função d Hank Esféica d Piia Espéci P E Poinôios Associados d Lgnd Fquência Angua Dnsidad d Massa do Rvstinto Móduo d Cisaha do Rvstinto Constant Eástica do Rvstinto Tnso d Tnsão Tnso d Dfoação u( t, ) Vto d Dsocanto i Coponnts d i Coponnts d

22 t u i f i Divada Pacia no Tpo Coponnts d u Coponnts d f i, Divada Pacia spito à Coodnada d i i Tnso dta d Konck u, i Divada Pacia spito à Coodnada i d u i L Opado Gadint Potncia d Dsocanto Longitudina Escaa T Potncia d Dsocanto Tansvsa Vtoia u L u T T T Coponnt Longitudina do Vto Dsocanto Coponnt Tansvsa do Vto Dsocanto Raio Vto Piio Potncia d Dsocanto Tansvsa Sgundo Potncia d Dsocanto Tansvsa Opado Lapaciano

23 Capítuo Intodução Os taatiais óticos ou acústicos dv suas popidads a pocssos d intação ssonant nt o atia as ondas toagnéticas ou acústicas. O pocsso ssonant acontc quando o atia apsnta caactísticas spciais acionadas co o taanho das patícuas constituints sua oganização. E 98, Gustav Mi pubicou u tabaho intituado Contibuiçõs paa a ótica do io tuvo, paticuant d souçõs cooidais d ta []. Nss tabaho Mi dscv o spahanto da adiação toagnética po ua sfa hoogêna. A soução d Mi das quaçõs d Maxw (conhcida atuant coo toia do spahanto Mi) pitiu-h xpica a cooação d patícuas sféicas d ouo stado cooida quando subtido à iuinação. Ests sutados da início ao studo d fnônos d absoção d ssonância pasônica das patícuas d ouo. Fouaçõs ais cnts da toia Mi paa o poba d spahanto po ua sfa hoogêna foa potadas po váios autos [-5]. Usando as idias d Mi o foaiso da toia d spahanto tônico, studado na física do stado sóido, Modinos coaboados [6,7] apsntaa u étodo coputaciona paa cacua o capo spahado d ondas ctoagnéticas po u pano d sfas táicas incopoadas nu io diético. Postiont, st étodo foi xtndido [8] paa o cácuo dos coficints d tansissão absosão d atiais copósitos co stutuas piódicas, assi coo tabé no cácuo da stutua d bandas d cistais fotônicos [9-]. Os odos fouaçõs no studo da popagação d ondas toagnéticas stutuas piódicas d sfas táicas, na década

24 passada, tê sido xtndido ao studo d ondas acústicas ásticas ios copósitos piódicos d incusõs sféicas [3,4]. É ipotant nciona qu nst tipo d stutua, as popidads ásticas d atiais copósitos qu são ocant hoogênos isotópicos, são coptant caatizados po sua constant ástica E (sta constant stá dfinida função do óduo vouético,, o óduo d cisaha,, atavés da ação E 4 / 3 ) a sua dnsidad d assa. Já as suas popidads acústicas são caatizadas po óduo vouético a dnsidad d assa. Os sutados tóicos no studo d ondas acústicas ios piódicos d incusõs sféicas ssonants, pitiu osta a xistência dos chaados taatiais acústicos (MAs) co ua [5] duas [6] stutuas ssonants. Os MAs apsnta o su óduo vouético dnsidad d assa ftivos siutanant ngativos. A dupa ngatividad acústica stá acionada ditant co a xistência d fitos ssonants ta qua o óduo vouético ngativo a dnsidad d assa ngativa são induzidas pas ssonâncias d tipo onopoa dipoa das incusõs sféicas, spctivant. A ssonância onopoa cia ua sposta ngativa no sntido d qu a diatação do vou da incusão sféica stá foa d fas co o capo d pssão hidostática. No ntanto, a ssonância dipoa cia ua sposta ngativa no sntido d qu o ovinto do cnto d assa da incusão sféica sta foa d fas co o capo d pssão incidnt [7]. Os ios acústicos dupo-ngativos, tê gado gand intss dvido à possibiidad d fabica atiais co índic d fação ngativa, b coo o no studo d fnônos d tanspaência, invisibiidad confinanto acústico [8- ]. A históia dos taatiais t sua oig no tabaho potado po Vsago [] qu toicant sugiu a possív xistência d u atia co pissividad ( ) pabiidad (u ) siutanant ngativas. É b conhcido qu u dtina a caactística da sposta ética agnética d u atia sob a ação d u capo toagnético. Potanto sts paâtos cotivant govna a popagação d ondas toagnéticas dnto do atia. E paticua, o índic d fação ctoagnética d u atia stá dada po u, ond d acodo co a cobinação dos sinais

25 3 dsts paâtos podos spa quato possívis tipos d popagação d ondas toagnéticas. Po xpo, s ou u é ngativo, ntão, s tona iagináio a onda não s popaga. S abos, u, são siutanant ngativos (taatiais toagnéticos), ntão, as ondas pod s popaga dnto do atia. Os taatiais toagnéticos são caactizados po fnôno qu as ondas toagnéticas s popaga nua dição oposta ao fuxo d ngia [3].Ta caactística ocasionou cto núo d fnônos pcuias, incuindo o fito Dopp a adiação Chnkov invsa [4]. Matiais co ngativo pod s ncontados atiais natuais (fios táicos), á atiais co u ngativo noant são fabicados atificiant usando unidads stutuais ssonants snsívis a capos agnéticos. Foi potada a fabicação d u atia co u ngativo usando ssonados tipo anéis anhuados [5] sts atiais são chaados d taatiais agnéticos. U taatia toagnético foi poposto cobinando u aano d stutuas táicas d anéis fios, ond a ssonância dos anéis anhuados pod induzi pabiidad ftiva ngativa, nquanto a ssonância dos fios táicos pod induzi pissividad ftiva ngativa [6,7]. Potanto, abos os casos, tanto paa MAs coo paa taatiais toagnéticos, a ssonância dos ntos stutuais é o ingdint chav paa obt paâtos d atia co vaos ngativos. No caso dos taatiais ásticos (MEs) co constant ástica dnsidad d assa siutanant ngativos, paa agua faixa d fquência, a fação ngativa paa ondas ásticas podia s spada d foa shant aos taatiais toagnéticos. Nst caso, o índic d fação é dado po: X / X, ond X E paa ondas ongitudinais X paa ondas tansvsais. Aqui, os paâtos E govna cotivant a popagação d ondas ongitudinais (acústicas). Enttanto, os paâtos govna a popagação d ondas tansvsais. Assi, pod s dfinidos dois índics d fação: ua paa ondas ongitudinais, E / E, outo paa ondas tansvsais, /. Considando a dfinição dsts índics d fação, a cobinação d

26 4 sinais nos paâtos ásticos E, pod poov oito possívis odos d popagação d ondas ásticas ME. O to "taatia acústico ou ástico" sá usado paa aqus atiais copósitos atificiais cuas popidads acoscópicas inusuais advnha do copotanto ssonant das suas unidads stutuais qu, nosso caso, são incusõs sféicas qu po nos dois d sus paâtos ftivos constitutivos sa ngativos. Rcntnt, foa potados MEs duas dinsõs utiizando incusõs ciíndicas [8] ssonados uti-assa [9] coo unidads stutuais. No ntanto, não foi potado nnhu tabaho d agu ME tês dinsõs co sus tês paâtos ásticos ngativos ( E, ). Isso é dvido ao poba d s nconta unidads stutuais capazs d xibi útipas ssonâncias quadupoas, assi, induzi óduo d cisahanto ngativo na sa faixa d fquência ond as outas constants ásticas são ngativas. Dst odo, o dsafio do psnt tabaho é a poposta d u ME tidinsiona co todos sus paâtos ftivos ngativos. Outo poba a s abodado é pota u MA co E siutanant ngativos na sa faixa d fquência, d ta foa qu possa s constuido aboatoio. Nst contxto, o psnt tabaho popõ stutuas tidinsionais d taatiais qu possa s xpintant ipntadas. Paa ta fi, foa popostas incusõs sféicas sips, vstidas dupant vstidas coo unidads stutuais, capazs d oigina as ssonâncias dsadas. As contibuiçõs do nosso tabaho visa taz apicaçõs na áa d atiais avançados, sugindo a possibiidad d fabica taatiais aboatóio, pgá-os no conto d ondas acústicas, ásticas sísicas, b coo no poto d u anto d invisibiidad acústica/ástica tês dinsõs.

27 5. Obtivos O pincipa obtivo do tabaho foi popo stutuas tidinsionais ocant ssonants d dois taatiais cuas unidads stutuais possa s fabicadas no aboatóio. A piia stutua poposta, ME tidinsiona, foi potada paa apsnta constant ástica, dnsidad d assa óduo d cisaha siutanant ngativos. A outa stutua, MA tidinsiona, foi potada paa qu sus paâtos acústicos, constant ástica dnsidad d assa sa siutanant ngativos, no sntido stito da toia do io ftivo (TME). Ests sutados foa obtidos paa cupintos d onda onga baixas façõs d pnchinto, ond a anisotopia das stutuas piódicas pod s ngignciada na popagação das ondas ásticas... Obtivos Espcíficos Basado na toia d spahanto Mi paa ua sips incusão sféica nu io hoogêno, st foaiso foi stndido paa stutuas co incusõs sféicas uti-vstidas. Foi dsnvovido u foaiso d TME paa taatiais acústicos ásticos tidinsionais no iit d copinto d onda onga baixas façõs d pnchinto ( 3%), ond a anisotopia das stutuas piódicas pod s ngignciada na popagação das ondas acústicas ásticas. Foi potada ua stutua tidinsiona paa u MA fuido-bas co óduo vouético dnsidad d assa siutanant ngativos na faixa d fquência d,7 a,7 khz, no sntido stito da TME paa cupintos d onda onga.

28 6. Justificativas Atuant, o poto, fabicação caactização d novos atiais é obto d intnsa psquisa na counidad cintífica, isso s dv a qu tais atiais apsnta popidads inusuais não ncontadas na natuza, ta coo s apsnta no caso dos taatiais acústicos/ásticos. Ests taatiais apsnta paâtos acústicos/ásticos ftivos ngativos paa agua faixa d fquência, consquntnt, s pod ga fnônos não obsvados atiais convncionais, tais coo, po xpo, fação ngativa, tanspaência acústica/ástica, invisibiidad acústica/ástica, fito Dopp invtido, adiação acústica/ástica Chnkov invsa, sup-anisotopia popidads d focaização d ondas acústicas/ásticas. Na áa tcnoógica o studo d tais taatiais pitiá apicaçõs na ngnhaia qu vão dsd o poto d ua supnt capaz d ga iagns uta-so no iit da difação qu pod s usadas paa diagnóstico édico até a possív fabicação d u dispositivo d invisibiidad acústica/ástica. Nst sntido, xist ua gand ncssidad d psquisa, anáis poto d tais taatiais possa s ipntados no aboatóio..3 Contibuiçõs do Tabaho A piia contibuição do tabaho foi pota u ME tidinsiona poistino-bas co paâtos ásticos ftivos siutanant ngativos na faixa d fquência d,96 a,4 khz. Est ME stá coposto d tês aanos d incusõs sféicas incopoadas nua atiz d poistino; u aano d sfas d água contndo ua boha d a (EABAs) dois aanos d baõs d água (BLAs) co difnts paâtos goéticos no BLA. Nsta stutua, a ngatividad dos paâtos ásticos ftivos foi divada das ssonâncias onopoa da EABA, dipoa quadupoa do BLA. Adicionant foa dtinadas as açõs d dispsão do ME, bas as sus paâtos ftivos. As cuvas d dispsão ostaa duas aas d dispsão ngativa paa os odos ongitudina ( L ) tansvsa ( N ), acionadas aos índics d

29 7 fação ngativos tanto paa as ondas ongitudinais coo tansvsais, spctivant. A sgunda contibuição foi pota u MA tidinsiona póxi-bas co constant ástica dnsidad d assa ftivos ngativos siutanant na faixa d fquências d 7,6 a 7,76 khz. Est MA stá coposto d dois aanos d incusõs sféicas, sfas d água contndo u baão d a (EABLAs) sfas d chubo vstidas co boacha dua (ECBDs), incopoadas nua atiz d póxi. A ngatividad dos paâtos acústicos ftivos foi divada das ssonâncias onopoa da EABLA dipoa da ECBD, spctivant. O cácuo das cuvas d dispsão paa sta stutua, bas as sus paâtos ftivos, ostou ua aa d dispsão ngativa paa o odo L qu stá acionada ao índic d fação ngativo paa as ondas ongitudinais. É ipotant nciona qu as popidads inusuais nos paâtos ftivos constitutivos dsts taatiais foa induzidas pa ssonância Mi ocaizadas das unidads stutuais. Outas contibuiçõs do tabaho foa: Dsnvov ua xtnsão da todoogia d anáis do spahanto Mi d ondas ásticas (paa ua sips incusão sféica) paa ua incusão sféica uti-vstida. Esta abodag ostou qu ssonâncias Mi intnsas pod s obtidas a pati d incusõs sféicas vstidas dupant vstidas. Basado na toia do spahanto útipo (TEM) d piia od na toia d spahanto Mi po ua incusão sféica, foi dsnvovido u pocdinto do odo d io ftivo apicado a stutuas tidinsionais d incusõs sféicas. Esta apoxiação foi aizada no iit d copinto d onda onga paa baixas façõs d pnchinto ( 3%), ond a anisotopia das stutuas piódicas pod s ngignciada. A toia dsnvovida pdiss popidads inusuais nos paâtos ásticos quando apicado a taatiais. Os sutados osta qu o óduo vouético, dnsidad d assa óduo d cisaha, pditos pa TME, tona-s ngativos pto das ssonâncias onopoa, dipoa quadupoa, spctivant.

30 8.4 Oganização do Txto Est tabaho sta oganizado da sguint foa: O capítuo dscv o stado da at dos taatiais acústicos ásticos, iniciando a discussão co o poba d spahanto Mi po ua sips incusão sféica ostando as apicaçõs ais significativas na ngnhaia. No capítuo 3 são fouados os fundantos tóicos do tabaho. Nst capítuo, s dscv dtahadant a soução da quação d onda ástica stado stacionáio usando a constução dos haônicos sféicos vtoiais (HEV) utiizados no tabaho d Liu Cai [3]. Utiizando o foaiso dos HEV, no capítuo 4, é dscita a soução do poba d spahanto Mi po ua incusão sféica. A todoogia sguida paa a constução da atiz T d spahanto Mi da sips incusão sféica é siia às potadas po Doy Liu [3,3]. Nst so capítuo, stndos a todoogia d anáis do spahanto Mi paa ua incusão sféica utivstida. No capítuo 5, utiizando a TEM d piia od a toia d spahanto Mi po ua incusão sféica, foi fouada ua TME paa stutuas tidinsionais d incusõs sféicas uti-vstidas no iit d copinto d onda onga paa baixas façõs d pnchinto. Sob tais condiçõs, a anisotopia da stutua piódica pod s ngignciada na popagação das ondas ásticas. O capítuo 6 apsnta os sutados nuéicos cospondnts à atiz d spahanto Mi d incusõs sféicas sips, incusõs sféicas vstidas dupant vstidas. O capítuo 7 apsnta os sutados nuéicos obtidos dos paâtos ásticos dinâicos ftivos ( f ), ( f ) ( f ) d atiais copósitos hoognizados. Os sutados dst capítuo basia-s nas Equaçõs 5.7a-c 5.8a-b dscitos no capítuo 5. No capituo 8 são apsntados os sutados do poto d taatiais acústicos ásticos. Na piia pat é discutido o poto d u MA fuido-bas co ngativos na sa faixa d fquência. Na sgunda pat é discutido o poto d u MA póxi-bas co E ngativos na sa faixa d fquência. Na útia pat dst capítuo é discutido o poto d u ME poistino-bas co E, ngativos na sa faixa d fquências. No capítuo 9 são apsntadas as concusõs finais as pspctivas futuas do tabaho. Nos apêndics A, B, C D são dscitos os sguints tópicos: Funçõs

31 9 gais d Pao Mow, Cácuo dos coficints d spahanto Mi D ( s, o) paa ua sips incusão sféica, Cácuo dos coficints d spahanto Mi D (, o) paa ua incusão sféica vstida, Cácuo dos paâtos ftivos constitutivos dos taatiais acústicos ásticos, spctivant. Po útio, são dadas as fências bibiogáficas utiizadas nsta disstação o qu dá supot ao tabaho.

32 Capítuo Rvisão Bibiogáfica Nst capítuo apsnta-s o stado da at dos taatiais acústicos ásticos co suas apicaçõs ais ipotants na ngnhaia. Na piia pat é aizada ua visão do poba d spahanto d ondas ásticas po ua sips incusão sféica ua incusão sféica uti-vstida. E sguida, é apsntada a TEM d u aano odnado d incusõs sféicas sua apicação na pdição da stutua d bandas fonónicas d atiais copósitos. Adicionant, nst capituo é dscito a TME ou étodo d hoognização paa taatiais acústicos/ásticos. Po útio, são apsntadas as apicaçõs ais ipotants dos taatiais acústicos tais coo a fabicação d ua nt pfita u dispositivo d invisibiidad acústica.. Espahanto po ua Sips Incusão Esféica Eboa Gustav Mi é conhcido po t aizado ipotants contibuiçõs na soução do poba d spahanto d ondas toagnéticas po ua sfa hoogêna 98 (, potanto, honag a foi acito o to univsa Espahanto Mi ), outos cintistas notávis coo Lontz, Thopson Dby tiva ipotants contibuiçõs paa o poba d spahanto ants d 9 [33-35]. Postiont, Statton [36] stabcu u foaiso da soução ao poba co o uso d funçõs d onda sféicas vtoiais M N, souçõs qu atuant são utiizadas. No ntanto, ants dsts tabahos outos autos potaa sutados ipotants sob o spahanto d ondas po copos sóidos coo, po xpo, Rayigh qu 87 potou u studo do spahanto d ondas ongitudinais po ua sfa ígida [37]. O tatanto ais ga do spahanto d ondas ásticas po ua incusão foi potado po Szawa [38] 97. Nss

33 tabaho o auto assuiu u io ástico isotópico hoogêno coo atia hospdio contndo ua incusão ciíndica, sféica ou íptica d atia ígido ou vazio. O spahanto d ua onda ongitudina pana po ua sfa ástica foi invstigado 956 po Ying Tu [39] utiizando o foaiso scaa na quação d Hhotz. No ntanto qu o spahanto po ua sfa ígida foi studado 963 po Pao Mow [4]. Nst útio caso a soução poposta cospondia a u caso spcia no qua a dnsidad d assa da sfa foi considada infinita. Po outo ado, o spahanto d ua onda pana tansvsa po ua incusão sféica foi invstigado 96 po Einspuch, Witthot Tu [4] utiizando o foaiso vtoia na quação d Hhotz. Usando HEV, Nois [4], 986, fouou ua soução paa o spahanto d ondas ongitudinais tansvsais po ua incusão sféica, postiont, Hinds [43], 99, divou a soução paa o spahanto d ondas ásticas po ua incusão sféica, usando haônicos sféicos scaas. Paa o studo do spahanto d ondas acústicas po ua incusão co foato abitáio, 969 Watan [44] potou ua toia dnoinada d atiz d tansfência ou atiz T. Esta toia foi stndida paa as ondas ásticas ao do d 98 po Vaathaauu Pao [45], Watan [46] Bostö [47]. A pati dsts tabahos o foaiso da atiz T t sido utiizado no studo do spahanto das ondas ásticas po ua incusão sféica coo caso paticua. Nst odo é possív dtina a distibuição da onda spahada conhcndo a onda incidnt os paâtos ásticos da incusão sféica. O spahanto Mi po ua incusão sféica pod s ntndido coo a intação das ondas ásticas incidnts co a incusão sféica. Ondas ásticas incidnts spahadas (ongitudinais tansvsais) nu io ástico stão divididas tês odos: o odo L paa a onda ongitudina, M N paa os odos tansvsais. Quando a fquência da onda incidnt coincid co u dos odos pópios da incusão sféica, u gi d spahanto ssonant oco, a dscição d coo a ngia ástica é distibuída nt os difnts odos ( L, M, N ) duant o pocsso d spahanto stá contida na atiz T d spahanto Mi. Enconta sta atiz T sá u dos obtivos iniciais do

34 psnt tabaho, psntaá a bas d toda a toia dsnvovida no dco do txto.. Espahanto po ua Incusão Esféica Muti-vstida Eboa, a toia do spahanto Mi po ua sips incusão sféica tv ua contibuição substancia ipotant paa a ciência dos atiais. O poto fabicação d atiais copósitos tais coo os cistais fonônicos 3D sugia a possibiidad d pota novas unidads stutuais (chaadas tabé d taátoos ) co o obtivo d s obt novas popidads físicas acoscópicas do atia copósito. Nst sntido, as incusõs sféicas uti-vstidas coo ntos stutuais dsts atiais copósitos stão sndo utiizadas no poto d novos atiais avançados. Siuaçõs coputacionais ostaa qu sts atiais apsnta popidads físicas não ncontadas atiais convncionais, tais coo, óduo vouético ngativo, dnsidad d assa ngativa óduo d cisaha ngativo [6,7,48,49]. No coço da década passada, Lui t a. [48] potaa u atia sônico ocant ssonant (MSLR) basado nua stutua co incusõs sféicas vstidas coo unidads stutuais. Ests autos ostaa qu as constants ásticas ftivas dst MSLR uda daaticant na gião d ssonância da incusão sféica vstida. E, Liu, Chan Shng [5] ao utiiza o foaiso da TEM studaa as popidads dos Bang Gaps (BGs) d popagação das ondas ásticas atiais copósitos co unidads stutuais foadas d sfas vstidas oganizadas piodicant dnto d ua atiz sóida. Ests autos ostaa qu as popidads dos BGs nsts copósitos podia s austadas continuant d u BG ssonant paa u BG d Bagg, isto a possív vaiando apnas as popidads ásticas do vstinto das sfas. S o atia do vstinto a o ação ao núco a atiz, o BG ástico a ssnciant ssonant, as po outo ado, s o atia do vstinto a duo, o BG ástico a ssnciant u BG d Bagg. Nst so tabaho os autos tabé apsntaa o pocdinto paa s obt a atiz T d spahanto Mi d ua sfa vstida, a pati da qua obtiva

35 3 u sista d quaçõs qu acionava os coficints d fxão d tansissão das ondas L, M N, spctivant. Co o advnto dos MAs [5,6,8,] os cácuos da atiz T d spahanto Mi ssonant d incusõs sféicas sips vstidas s tonaa o foco pincipa no studo no poto d tais taatiais. E 7, Ding coaboados [6] cacuaa a atiz T d spahanto Mi d ua EABA incopoada nua atiz infinita d póxi (a azão dos aios da boha do a da sfa d água foi d /3). Ests autos potaa a xistência da ssonância onopoa dst sista, coo ostado na Figua.a, copovaa qu a ssonância onopoa cospond a u pico do óduo do nto d atiz d od zo ( ) paa a convsão d odo LL. No ntanto, paa nnhua ssonância foi obsvada paa as outas convsõs d odo ( L, N ) [a unidad da fquência sta noaizada coo v t / a, ond v t é a vocidad da onda tansvsa no póxi a é o paâto d d d ua stutua cúbica d fac cntada (CFC)]. Figua. Copotanto spcta dos ntos da atiz T d spahanto Mi paa ua stutua EABA (a), paa ua stutua EOBD (b) póxi. [6] A pai dsts sutados, s concuía qu a coponnt onopoa das ondas ásticas é d natuza puant ongitudina. Potanto a ssonância onopoa pod s induzida só po ondas ongitudinais. Nst so tabaho foi

36 4 potado tabé o spahanto Mi d ua sfa d ouo vstida d boacha dua (EOBD) incopoada nua atiz infinita d póxi (o vstinto da boacha tinha ua azão d aios intno xtno d 5/8). O copotanto spcta dos ntos d atiz dsta stutua, ostada na Figua.b, vidncia a xistência d picos ssonants só paa os ntos d atiz da coponnt dipoa cospondnt às convsõs d odo LL, LN NN. É ipotant sainta qu nos sistas EABA EOBD não foa obsvadas ssonâncias d tipo onopoa dipoa paa a convsão do odo MM, n so na coponnt d atiz quadupoa. Nst cnáio, sug a ncssidad d pota sistas d sfas vstidas dupant vstidas qu induza ssonâncias quadupoas intg pat d sistas co ssonâncias onopoa dipoa. E po isso, pat do dsafio d nosso tabaho staá cntado nconta sistas d sfas vstidas dupant vstidas qu sa capazs d induzi ssonâncias onopoa, dipoa quadupoa na sa faixa d fquência. Po outo ado, Zhou Hu [9] potaa sutados sob o studo do poba d tanspaência acústica d ua sfa sóida uti-vstida co MAs. A xpicação do caniso d tanspaência foi basada no concito d incusão nuta, siia ao caniso qu poov qu os ntos da atiz d spahanto Mi d baixa od (,, ) sa zos. Postiont considaa o poba d tanspaência ástica d ua sfa sóida vstida co MEs [5]. Estudos siias foa aizados paa o poba d caufag acústica po incusõs sféicas uti-vstidas utiizando atiais isotópicos hoogênos [5]. Ua soução anaítica copta do poba do spahanto acústico po duas sfas concênticas foi potado po McNw t a. [53]. Considando os fitos d contast d vocidad, dnsidad, coficints d absoção no iit quando a sfa xtna s tona ua fina casca, sts autos ostaa qu os sutados são shants aos obtido paa ua sfa sips nu fuido. Rcntnt, Cai coaboados [54] popusa u pocdinto coputaciona paa a anáis do spahanto acústico po ua incusão sféica

37 5 uti-vstida incopoada nu io acústico. Utiizando st pocdinto os autos anaisaa o spahanto d ua incusão dupant vstida, na qua o núco a casca a atiais sóidos o atia do io a u tipo d fuido ctohoogica (ua suspnsão cooida d patícuas diéticas nu fuido). E sínts, o obtivo do tabaho d Cai coaboados a studa a infuência da piia caada (fuido ctohoogica) nas caactísticas d dispsão acústica do spahado d odo qu qu sta caada fonça u caniso paa austa as caactísticas físicas d u cista fonônico ocant ssonant. Paa concui, na visão bibiogáfica ostaos qu o poba d spahanto Mi paa ua incusão sféica uti-vstida nu io ástico infinito ainda não foi satisfatoiant soucionado. Cab dstaca tabé qu o pocdinto coputaciona d Cai não sov st poba na sua foa ga, é po isso qu na útia pat do capituo 4, sá apsntado u pocdinto ga paa obt a T-atiz d spahanto Mi paa ua incusão sféica utivstida..3 Toia do Espahanto Mútipo paa Ondas Eásticas Nas décadas passadas houv u cscnt intss no studo da popagação d ondas ásticas atiais copósitos piódicos. O studo dos cistais fotônicos t svido coo inspiação, anaogant, paa o studo das popidads dos cistais fonônicos, pincipant aqus acionados à pvisão tóica a aização xpinta dos BGs fotônicos [55,56]. Ants d, cácuos da stutua d bandas stava basados no nfoqu d xpansão ondas panas (EOP) [57-6]. O étodo d EOP xibia fxibiidad na anipuação d difnts tipos d stutuas piódicas, as apsntava pobas d convgência quando s idava co sistas d ata ou baixa fação d pnchinto das incusõs sféicas. Est étodo tabé a nos ficaz quando s tatava d sistas dsodnados. Po outo ado, a TEM, atavés d su sucsso cácuos da stutua d bandas tônica paa

38 6 sistas odnados dsodnados, s ostou poissóia paa copnta a abodag EOP no studo do spahanto d ondas ásticas ios odnados dsodnados [6]. E, Liu t a. [3] Psaobas t a. [4] stnda o foaiso da TEM paa ondas ásticas 3D vando conta o caát vtoia dos capos. Est foaiso pit cacua a stutua d bandas fonônicas os coficints d fxão d tansissão d u cista fonônico coposto d u aano piódico d sips incusõs sféicas hoogênas caactizadas pas suas constants ásticas (, ). O poba d stnd st foaiso a incusõs sféicas uti-vstidas ainda não foi sovido, dvido à copxidad dos cácuos ao custo coputaciona (óia disponív paa o aaznanto d dados gados duant o cácuo das quaçõs inas do poba). A TEM stá basada no foaiso da atiz T d ania qu, s a atiz T paa u único spahado é tuncada nua atiz d taanho o sista é constituído d incusõs, o taanho da atiz T passa a s igua a. Po consguint, a óia do coputado s sgotaa apidant na dida qu aunta. Paa contona ssas iitaçõs, ua toia d atiz d tansfência basada no étodo d poiização po u dispso abstato [6] foi stndida po Liu Cai [3] apicada na anáis d spahanto útipo d ondas ásticas po u aano d incusõs sféicas 3D. Dsd ntão, o foaiso da TEM paa ondas ásticas t sido apicado na pdição da stutua d bandas fonônicas d váios atiais copósitos, incuindo u MSLR coposto d ua stutua piódica cúbica sips (CS) d sfas d chubo vstias co boacha o [48], u cista cooida CFC d sfas d poistino água [63], sistas bináios 3D d stutua CFC d sfas d aço poistino [64], sistas copósitos d tês coponnts co aano piódico CFC d sfas d ouo vstidas co chubo incopoadas nu io sóido [5], copósito d sfas d boacha acia (EBM) nua stutua CFC suspndidas na água [5], MSLRs coposto d aanos piódicos CS cúbica d copo cntado (CCC) co spssua finita [65], cistais fonônicos co stutua CFC constituídas d sfas d poistino água, sfas d síica a sfas d aço poistino [66] tc. Paa intpta a apaição d ctas bandas spciais na stutua d bandas fonônicas dos atiais

39 7 copósitos, ais spcificant dos taatiais acústicos ásticos, foi ncssáio constui odos físicos contínuos sob ctas condiçõs do copinto d onda ação ao taanho da unidad stutua. Ests odos chaados d io ftivo stão basados na apoxiação potncia cont (APC) [67] sá obto d stúdio na póxia sção..4 Toia do Mio Eftivo Nos útios anos o poba da hoognização, isto é, a dscição d u sista copósito po u conunto único d paâtos acoscópicos ftivos constitutivos t ataído uita atnção da counidad cintifica [68-73]. E spcia os taatiais acústicos ásticos stão sndo apant studados usando stas técnicas d hoognização [9,74-76]. A TME é ua técnica d hoognização qu consist u odo físico qu dscv as popidads acoscópicas d u io co bas nas popidads façõs ativas d sus coponnts ntas. Muitos ivos d Física do Estado Sóido Etoagntiso [77-79] ddica agua atnção às piias tntativas da hoognização d u atia copósito co pissividad ética ftiva (ação d Causius-Mossotti). Outa ação d hoognização apant utiizada é a ação d Maxw-Gantt [8] qu é considado coo a piia TME tadiciona [8]. E 98, Byan [8], utiizando étodos auto-consistnts, dtinou os paâtos ásticos acoscópicos ftivos (,, ) d atiais copósitos d duas fass, constituídas d incusõs sféicas. É ipotant nciona qu a apoxiação da TME só é possív quando o copinto d onda é uito aio do qu o diâto das incusõs sféicas do copósito, condição conhcida coo iit d copinto d onda onga tadiciona. Paa patícuas sóidas dispsas nu fuido, as fóuas d Byan paa, no iit d copinto d onda onga paa baixas façõs d pnchinto ( p ), stão xpssas pas sguints quaçõs:

40 8 p p (.a) s o o s o p o s o (.b) ond os subscitos "s" "o" dnota as popidads da sfa da atiz fuídica, spctivant. A pati das quaçõs.a.b pod s facint vificada qu são positivos stão iitadas pas condiçõs d Hashin- Shtikan [83]. As xpssõs.a.b unto co as condiçõs d Hashin- Shtikan não s apica s as incusõs sféicas do atia copósito apsnta odos d vibação ssonants na condição d baixas fquências. Efitos ssonants d ua sfa ástica no gi utassônico foa potados po Bi and Gaunaud [84]. O spahanto d ua onda acústica po ua sfa d poistino água gi ssonant foi potado po Psaobas [63]. Utiizando fitos ssonants incusõs sféicas sips, Li Chan [5] potaa u io dupo-ngativo foado d EBMs água, ond tanto coo são siutanant ngativos, no sntido stito igooso da TME. Paa ta fi, sts autos utiizaa o étodo APC paa obt ua soução auto-consistnt, gaantindo qu ua incusão sféica vstida incopoada dnto d u io ftivo não g spahanto no iit d baixas fquências. Sob ta condição, as quaçõs.a.b foa gnaizadas atavés das sguints xpssõs: o 3p LL Do ( s, o) (.a) i k 3 o s o 3p i k o o s 3 D LL ( s, o) (.b) LL ond D ( s, o ) são os coficints d spahanto Mi d od da sfa d boacha o co aio s, k é o oduo do vto d onda no io água. Dvido a qu u fuido só supota ondas ongitudinais, o síboo LL significa qu ua onda ongitudina incidnt é tansfoada ua onda ongitudina spahada.

41 9 Nsta fouação, apsnta vaos ngativos nua faixa d fquência LL ond os coficints Mi D ( s, o ) são ssonants. E 7, Mi coaboados [7] divaa xpssõs xpícitas paa a dnsidad d assa ftiva d váios atiais copósitos D utiizando o étodo APC. Nstas stutuas as unidads stutuais bi-dinsionais apsnta ssonâncias ocaizadas shants aos potados po Liu t a. [48,49]. Po outo ado, Wu, Lai Zhang [74] fouaa ua todoogia TME (basado no APC) qu podia s stndido paa situaçõs foa da condição quasstática d odo qu co sta abodag sts autos dtinaa os tês paâtos ásticos ftivos (, ) d ctos taatiais ásticos D. Os paâtos ftivos podia apsnta vaos ngativos paa cta faixa d fquências ond acontcia a xcitação ssonant d odos d osciação das unidads stutuais. Atuant, sta abodag t sido utiizada paa pdiz a stutua d bandas d ctos taatiais acústicos ásticos D 3D apnas utiizando paâtos ásticos ftivos [6,8,9,75,76]. Na atuaidad, poucos tabahos tê sido potados acionados ao dsnvovinto d ua todoogia TME tês dinsõs. Dnto dst cnáio, no psnt tabaho é dsnvovido ua todoogia TME paa tês dinsõs qu sá discutido ais dtahadant no capítuo 5..5 Mtaatiais Acústicos Eásticos O piio taatia co dnsidad d assa ftiva ngativa foi fabicado caactizado po gupo do pofsso Shng [48]. Est tipo d taatia chaado tabé d MSLR apsnta ua unidad stutua sips qu consist d ua ECBM, coo ostado na Figua.a. As sfas vstidas foa oganizadas ua stutua CS 8x8x8 co ua constant d d d,55 c (Figua.b), tndo sido fixadas nua atiz d póxi. Mdidas d tansissão sônica paa o MSLR, utiizando u tubo d ipdância acústica Bu & Ka, ostaa duas qudas na tansissão do so ao do d Hz, co u pico após cada quda (Figua.c). Utiizando o foaiso TME

42 os autos atibuía sts picos d absoção à xistência d dois BGs absoutos (Figua.d) acionadas as ssonâncias ocaizadas nas incusõs sféicas vstidas [48]. ác Figua. (a) Scção tansvsa da unidad stutua, (b) MSRL aanado CS 8x8x8. (c) Coficint d tansissão dido (cícuos ptos) siuado (inha sóida) coo função da fquência. (d) Estutua d bandas do MSRL utiizando a TEM. [48] Po outo ado, 4, Li Chan [5] potaa pa piia vz a xistência d u MA coposto d EBMs oganizados nua d CFC água. A Figua.3a osta as cuvas d dispsão dst MA fuido-bas na dição () paa ua stutua co fação d pnchinto igua a,4. Nsta figua tabé pod s obsvada a xistência d ua banda d dispsão ngativa na faixa d

43 , a,65 khz qu stá acionada ditant co os vaos ngativos dos paâtos acústicos xtaídos da ipdância ftiva (Figua.3b). Figua.3 (a) Ração d dispsão, (d) Paâtos acústicos ftivos xtaídos da ipdância ftiva. [5] O copotanto da stutua acia dscita (dupo-ngativo) foi intptado da sguint foa: paa aguas fquências o sista s xpand sob a ação d ua copssão (oduo vouético ngativo) sof u dsocanto na dição contáia sob ação da pssão (dnsidad d assa ngativa). O pogsso ais significativo no poto d u MA foi aizado 7 [6] quando o gupo do Pofsso Liu potou u taatia co óduo vouético dnsidad d assa ftivos ngativos na sa faixa d fquência. Est taatia stava coposto d dois aanos d incusõs sféicas vstidas, foando ua stutua zinc bnd, coo ostado no intio da Figua.4a. As unidads stutuais dst atia stava constituídas d EABAs EOBDs isas nua atiz d póxi. O óduo vouético ngativo a dnsidad d assa ngativa dst taatia foa coacionados à coxistência d ssonâncias d tipo onopoa da EABA dipoa da EOBD. As Figuas.4a.4b, obtidas spctivant pos étodos TEM APC, osta

44 a stutua d bandas dst taatia ond é possív obsva a xistência d ua banda pitida dnto do BG nt as fquências noaizadas ( a / vt ) d,373,44. Esta banda apsnta ua vocidad d gupo ngativo acionado co o vao ngativo do índic d fação do taatia. Figua.4 (a) Estutua d bandas paa o MA cacuado usando a TEM, (b) Estutua d bandas do MA utiizando os paâtos ftivos. [6] Rcntnt, foi potado u ME bidinsiona [9] cua unidad stutua stá constituída d ua incusão uti-assa ocant ssonant (Figua.5a) qu pod oigina ssonâncias onopoa, dipoa quadupoa na sa faixa d fquências. A unidad stutua foi constituída d ciindos d boacha o boacha dua d 4 c, pças tanguas d aço d,6x,4c. Os sutados das siuaçõs, utiizando o étodo d ntos finitos, ostaa qu quando stas unidads stutuais stão oganizadas nua stutua CS co constant d d d c, a stutua d bandas dst taatia (Figua.5b) apsnta duas bandas d dispsão ngativa (pontos vhos A azuis B ). Ua das bandas ( A ) xist na gião d fquências ond o óduo vouético a dnsidad d assa são siutanant ngativos d odo qu apnas ondas acústicas pod s popaga nquanto qu u dcnto xponncia das ondas tansvsais acontc. A outa banda ( B ) xist na gião d fquências ond a dnsidad d assa o óduo d cisaha

45 3 são siutanant ngativos, po consguint, apnas as ondas tansvsais são pitidos. Poistino (a) Boacha Mo Aço Boacha Dua (b) Figua.5 (a) Unidad stutua uti-assa, (b) Estutua d bandas do ME usando Entos Finitos. [9] Ests novos fnônos são chaados d copotanto fuido-ik sup-anisotopia, spctivant. U tabaho shant foi potado po Wu coaboados [8], ais nst caso s utiizaa u aano tiangua d incusõs ciíndicas vstidas fuido-sóido coo unidads stutuais incopoadas nua atiz d poistino. E abos os casos, os copintos d onda ongitudina tansvsa da onda no poistino são aios do qu as dinsõs da unidad stutua. Potanto, stas bandas d dispsão ngativas não foa induzidas po pahanto d Bagg, assi, as bandas d dispsão ngativa foa atibuídas a fitos d hibidação nt os difnts tipos d ssonâncias da unidad stutua..6 Apicaçõs dos Mtaatiais Acústicos Eásticos Muitas apicaçõs novas potnciais dos taatiais acústicos ásticos foa popostas discutidas pa counidad cintífica. Aqui apsntaos bvnt aguas das pincipais apicaçõs potadas nos útios anos.

46 4.6. Lnts Rftos pfitos O índic d fação ngativo apsntado pos MAs ofc a possibiidad d constui nts acústicas pfitas (supnts acústicas) anaogia co as supnts toagnéticas constuídas usando taatiais toagnéticos [85]. Ua supnt acústica é ua pça d MA co índic d fação ngativo qu poov a foação d duas iagns ua das no intio do MA a outa na pat xtna do MA (Figua.6a) [86]. Est fnono acontc poqu as ondas vanscnts, ao invéz d dcai xponnciant, intnsifica os odos adiativos da onda dvido ao índic d fação ngativo do MA (Figua.6b). Isto ofc a possibiidad d cupa as ondas "vanscnts pdidas" oiginando ua iag pfita (Figua.6c), s abação ou astigatiso. Estas pvisõs tóicas ousadas novaa as spanças d supa o iit d difação nos dispositivos ópticos ou acústicos o qu hoaia significativant a dtcção d sonas subaquáticos d iagns d uta-so paa diagnóstico édico. (a) (b) A -n A A -n A Obto (c) Obto Iag Iag Ondas qu s popaga Ondas vanscnts Figua.6 Diagaa squático d ua pça d MA qu atua coo nt pfita, (a) nt qu concnta todos os aios divgnts d u obto ua iag focada, (b) nt qu foça as ondas vanscnts, (c) iag pfita ciada pa supnt. [86] Os taatiais acústicos ásticos tabé pod s utiizados na constução d ftos pfitos (sup-ftos) d so ou vibação qu pod s pgados sistas d potção acústica ou ástica, spctivant [48,87,88]. É conhcido qu o óduo vouético a dnsidad d assa govna a popagação d ondas ongitudinais nu atia, nquanto a

47 5 dnsidad d assa o óduo d cisaha govna a popagação d ondas tansvsais. Dst odo, quando o óduo vouético ou a dnsidad d assa ftiva d u MA s tona ngativo, o índic d fação paa as ondas ongitudinais s tona iagináio ipossibiitando a popagação d ondas acústicas atavés do MA. Assi, sob tais condiçõs, ua pça d MA podia s utiizada coo u spho acústico. Po outo ado, s a dnsidad d assa ou óduo d cisaha ftivo tona-s ngativo, o índic d fação paa as ondas tansvsais tona-s iagináio ipossibiitando a popagação d ondas tansvsais no ME. Po consguint, a possív fabicação d sup-ftos pitiia novas apicaçõs no conto d ondas acústicas, ásticas sísicas..6. Dispositivos d Invisibiidad Nos útios anos váios autos sugia apicaçõs ais xóticas dos MAs coo, po xpo, a fabicação d antos d invisibiidad acústica. O concito d caufag acústica foi inspiado dos odos popostos sistas ópticos atavés d pocdintos d tansfoaçõs confos a fabicação d u dispositivo d caufag toagnético na fquências d icoondas [89-9]. No caso d caufag acústica, u gand núo d pubicaçõs t sido potado. Miton coaboados [93] invstigaa as popidads d tansfoação das quaçõs astodináicas difnts sistas d coodnadas cuviínas d ta foa a ant suas popidads invaiants. A tansfoação do sista d coodnadas pod svi d auxíio no poto d dispositivos d caufag ástica acústica. Cu Schuig [94] donstaa a quivaência nt as quaçõs acústicas nu fuido as quaçõs d Maxw d poaização sips apicado na siuação d caufag acústica. Cai Sanchz-Dhda [95] tabé potaa studos sob caufag acústica sistas D concuindo qu a caufag suta ficaz quando a onda incidnt é ua onda pana. Chn Chan [96] potaa qu a quação acústica pod s tansfoada quação d fuxo d condutividad d cont dita tês dinsõs, pitindo ntão pota u dispositivo d invisibiidad acústica tidinsiona usando a técnica d tansfoação d coodnadas (tansfoação acústica).

48 6 Exist duas abodagns paa pota u anto d invisibiidad: o anto pod possui paâtos acústicos/ásticos ftivos anisotópicos ou o anto pod sta coposto d ua, duas o ais caadas fitas d taatiais isotópicos. A Figua.7a osta o sutado d siuaçõs coputacionais d ua concha d caufag sféica (vista tansvsa) qu vita o spahanto acústico dvido ao obto abitáio no intio da concha. Utiizando a toia d spahanto acústico, Cu coaboados [] confiaa qu os capos d pssão vocidad são suavnt dfoados xcuídos da gião cnta, paa qu isto sa possív o anto sféico dv possui ua dnsidad assa anisotópica u óduo vouético adiant dpndnt. Po útio, a Figua.7b osta ua onda pana incidnt sob u spahado sféico ígido (d aio ) co paâtos ásticos s,, vstido po ua concha d caufag sféica (d aio xtno ) co paâtos ásticos,,. O io ond a onda d copssão stá s popagando tê paâtos ásticos, o,. Usando o concito d incusão nuta, Zhou coaboados [9,5] o o ostaa qu quando os paâtos ásticos da concha sféica satisfaz as açõs, 3,,8 o,, s ou s, 47 o, s, 4o,,3 s, sta canca o capo spahado po obto no intio da concha d caufag. s s Figua.7 Sção tansvsa do pocsso d caufag acústica, (a) caufag co taatiais anisotópicos [], (b) caufag co taatiais isotópicos [5]

49 7 A visão bibiogáfica sob taatiais acústicos ou ásticos nos conduz às sguints concusõs: A toia do spahanto Mi po ua sips incusão sféica nu io infinito stá b ntndida coptant sovida. Ua xtnsão da toia do spahanto Mi qu consid incusõs sféicas uti-vstidas é ncssáia visando à gação d útipas ssonâncias Mi. Das obsvaçõs tóicas xpintais potadas na itatua pcbs qu o caniso da ssonância é innt a u sista qu apsnta odos d vibação, podndo assi induzi BGs absoutos na condição d baixas fquências contáio aos BGs d Bagg. Nst sntido, ua TME xpícita paa taatiais acústicos/ásticos tidinsionais no iit d cupinto d onda onga, ainda não foi dsnvovido co sucsso. Eboa foss toicant potada a xistência dos taatiais acústicos ásticos tês dinsõs, pouco ou nnhu pogsso foi acançado no poto fabicação dst tipo d taatiais. Nst contxto, xist ua fot ncssidad na counidad cintífica atiaiza sts taatiais, assi, apicá-os nas ais divsas áas do conhcinto huano.

50 8 Pat I Fundantos Tóicos

51 9 Capítuo 3 Equação d Movinto paa Ondas Eásticas Nst capítuo, apsnta-s ua visão ga das quaçõs básicas da astodináica, concitos notaçõs acionadas ao ovinto d ondas ásticas. Usando a constução dos haônicos sféicos vtoiais dados po Liu Cai [3], sovos satisfatoiant o poba d spahanto d ondas ásticas po ua incusão sféica nua vsão odna. 3. Equaçõs Básicas E u io ástico ida, as açõs tnsão-dfoação ( ) dfoação-dsocanto ( u ) na notação d Einstin pod s scitas coo [97]: (3.a) i kk i i ond os subscitos i ui, u, i (3.b) i, pco os vaos d, 3, dnotando os ixos u sista d coodnadas gnaizadas, i i são as coponnts dos tnsos tnsão ( ) dfoação ( ) sob ua supfíci noa ao ixo i ao ongo da dição do ixo, u i é a coponnt do vto d dsocanto u ao ongo da dição do ixo i, são as constants ásticas d Laé do atia, i é o tnso dta d Konck kk coodnadas sféicas.

52 3 A quação d ovinto nu io ástico stá dada po [97]: u f (3.) t i i, i ond é a dnsidad d assa f i é ua foça xtna po unidad d vou apicada ao copo ao ongo da dição do ixo i. Usando as quaçõs 3.a 3.b, a Equação 3. pod s scita coo: u, i ui fi t ui, (3.3) ou, foa vtoia u u f t u (3.4) A quação 3.4 pod tabé s scita coo u u f u (3.5) t No caso d f, a quação 3.5 s duz na conhcida quação d onda ástica ou quação d Navi paa ondas ásticas: u u u (3.6) t 3.. Equação d Onda Escaa D acodo co o toa d Hhotz da dcoposição d u capo vtoia, o vto dsocanto u( t, ) pod s scito tos d dois potnciais vtoiais, da foa: u( t, ) L T (3.7) Ond L é chaado d potncia d dsocanto ongitudina scaa, T é chaado d potncia d dsocanto tansvsa vtoia. O piio to do ado diito da quação 3.7, u L, cospond à coponnt ongitudina do L

53 3 vto dsocanto u( t, ), o sgundo to, u T T, cospond à coponnt tansvsa do vto d dsocanto. Exist dois capos d dsocanto tansvsais utuant ppndicuas indpndnts u do outo, assi o potncia vtoia T pod s scito coo: T (3.8) T T ond é o aio vto, as novas funçõs scaas T T são chaadas d piio potncia d dsocanto tansvsa sgundo potncia d dsocanto tansvsa, spctivant. Substituindo a quação 3.8 na quação 3.7 obtos o capo d dsocanto tos d tês potncias scaas: u( t, ) L T T (3.9) As ondas ongitudinais, ntanto, as ondas tansvsais, L, são fquntnt chaadas d ondas L. No T T, são chaadas d ondas M N (ondas d cisahanto), dnotando as ondas tansvsais hoizontant poaizadas vticant poaizadas, spctivant. Utiizando a dcoposição do vto dsocanto u( t, ) (quação 3.9) na Equação 3.6 obté-s as quaçõs d onda scaas dsacopadas das coponnts L, T T, spctivant: t c L L (3.a) t c T T (3.b) t c T T (3.c)

54 3 As Equaçõs 3.a-c osta qu as coponnts ongitudinais tansvsais da onda ástica s popaga no sóido indpndntnt, co vocidads d popagação, c L c T spctivant. Paa atiais natuais,, são todos os núos ais positivos; assi tos qu c c. L T 3.3 Souçõs da Equação d Onda Estado Estacionáio iwt Assuindo ondas haônicas d ua só fquência f t f,, as Equaçõs 3.a-c apsnta a foa d u conunto d quaçõs d Hhotz k (3.a) L T L k (3.b) T T k (3.c) T ond k L, c L k T são os óduos dos vtos d onda paa os odos c ongitudina tansvsa, spctivant. T Co o obtivo d obt ua soução unificada paa as quaçõs d Hhotz 3.a-c, aqui faos o sguint convnio: utiizaos à notação paa psnta cada u dos potnciais L, T, T ond L, M, N, spctivant. Esta notação sá uito úti no dco do txto pitiá sipifica quaçõs uito xtnsas. Co sta notação, as Equaçõs 3.a-c pod-s scv d foa copacta coo: k ; L, M, N (3.)

55 33 ond k, L psnta a onda ongitudina, M psnta a piia c onda tansvsa N a sgunda onda tansvsa cm cn. No psnt tabaho os taatiais são potados utiizando incusõs sféicas, assi é convnint utiiza a quação d Hhotz (quação 3.) coodnadas sféicas: sn k sn sn (3.3) Assuindo ua soução dada po étodo d spaação d vaiávis,, R (3.4) co [,, [, ] [, ], a quação 3.3 divid-s tês quaçõs difnciais fundantais paa R, [98]: d d d d k q R d d q sn d d sn sn q d d q (3.5a) (3.5b) (3.5c) ond q q são as constants d spaação. A soução da quação 3.5a cospond à coponnt adia da onda pod s xpssa pa sguint quação: () R A k B h k,,,,3,... (3.6)

56 34 ond () A B são constants dtinadas pas condiçõs d fontia, z h z são chaadas d função d Bss sféica d piia spéci função d Hank sféica d piia spéci, spctivant. Nsta soução apac o paâto d quantização " " qu dfin o iit d quantização do nuo quântico " " divada a pati da quação 3.5b 3.5c. E fito considando a udança d vaiáv Equação 3.5b pod-s scv coo: z cos, paa z, a d d q dz dz z z z (3.7) A soução dsta quação apsnta a sguint foa: C P cos,,,,3,... (3.8) ond P (cos) são os poinôios associados d Lgnd constants d noaização dfinidas po: C são as ( ) ( ) C (3.9) ( ) ond a função gaa. A soução paa a quação 3.5c pod s xpssa atavés da sguint quação: i D,,,, 3,..., (3.) ond a constant sta quantizada pa sguint condição,...,,...,, as constants D s obtidas da condição d noaização D (3.)

57 35 Finant ua soução copta da Equação d Hhotz 3. coodnadas sféicas pod s xpssa po ua cobinação ina das funçõs R : (3.) () cos i A k B h k P ond a ação nt os coficints stão dados po: A A CD B B C D. Po outo ado, usando a dfinição dos haônicos sféicos scaas, Y, C P cos i, a Equação 3. pod s scita coo: (3.3) () a k b h k Y, co a A / C b B / C. A constant d noaização C dos haônicos sféicos scaas stá dada po: C 4 (3.4) 3.4 Constuçõs d Funçõs Esféicas Bas Os sutados antiont dscitos, paticua a quação 3.3, osta () qu as funçõs k Y,, h k Y, pod s intoduzidas coo ua bas paa psnta souçõs da quação d Hhotz sféica. Estas funçõs conhcidas coo funçõs sféicas bas (FEBs) stão dfinidas coo [99]:, R k Y,,,,3,...,...,,..., (3.5a) (), S h k Y,,,,3,...,...,,..., (3.5b)

58 36 As funçõs R S às souçõs gua singua. E anaogia co os haônicos sféicos scaas, o subscito é chaado d gau, o sobscito od da FEB, spctivant. Paa stados paticuas, stas funçõs são chaadas d FEBs zona quando, FEBs stoia quando, FEBs tssa quando. () Dvido a qu as funçõs h k apacão todo o txto, sá ais convnint xcui o sobscito "" paa sipifica a notação. Po outo ado, é conhcido qu as funçõs k h k popidads d coência siias, assi as funçõs R apsnta S pod s psntadas po ua notação gnaizada paa faciita na scita d quaçõs qu dpnd dstas funçõs., F f k Y, f, h F R, S (3.6) As Figuas osta a pat a das funçõs Tssa Stoia, spctivant. R S Zona, Figua 3. Icosupfícis das FEBs RR const : Zona, Tssa Sctoia.

59 37 Figua 3. Icosupfícis das FEBs RS const : Zona, Tssa Sctoia. Co stas dfiniçõs, agoa pod s xpssas as quaçõs cospondnts à soução ga da quação d Hhotz sféica tos das FEBs:. a R p s (3.7) co p. s psntando a pat singua da soução, isto é, p. s b S. 3.5 Capos tos d Funçõs Esféicas Bas scaas Dos itns , o vto dsocanto L, M, N foi dfinido coo: u tos dos potncias u (3.8) L M N Po outo ado, o so vto xpsso coo: u coodnadas sféicas, pod s u u u u (3.9)

60 38 Assi, as funçõs d dsocanto u, u u função dos potnciais scaas, pod s xpssas coo []: N N L u (3.3a) N M L sn u (3.3b) N M L sn sn u (3.3c) U paâto ipotant ncssáio no studo d ondas cânicas é o capo d tação sob a supfíci sféica qu stá dfinida po: i t (3.3) As coponnts do capo d tação, i, função das coponnts do capo d dsocanto, i u, nu sista d coodnadas sféicas, stão dadas pas sguints açõs: u u u u sn u u u cot (3.3a) u u u u u sn u u u cot (3.3b) u u u sn u u u sn u u u cot cot (3.3c) u u u (3.3d)

61 39 u u u sn (3.3) u u u sn cot (3.3f) A sitia sféica do poba conduz a qu:,,. Substituindo as coponnts do capo d dsocanto, quaçõs 3.3a-c, nas açõs tnsão-dsocanto, quaçõs 3.3a-f, obtos as açõs nt i : N N L L ) ( (3.33a) M L L L sn N N N 3 ) ( ) ( (3.33b) L L L L sn cot 3 ) ( cot sn sn M M M M M M ) ( cot ) ( (3.33c) sn M M L L N N N N ) ( ) ( ) ( (3.33d)

62 4 sn M M L L sn N N N ) ( ) ( (3.33) cot cot M M M L L sn sn sn N N ) ( cot ) ( 3 (3.33f) ond. a R p s paa,, L M N. Potanto, as coponnts do capo d dsocanto i u tação i tos das FEBs, pod s xpssas po: N N L L s p R a R a u. ) ( (3.34a) N N M M L L s p R a R sn a R a u. (3.34b) N N M M L L s p R sn a R a R sn a u. (3.34c) s p R a R a N N L L. (3.34d) L L R a

63 4 a M sn cot R a R p. s M N N (3.34) a L sn a cot R cot M R M sn L a N sn cot R ps N (3.34f) a L R a L M sn R M a R p s N N. (3.34g) al RL am sn R M a R p s N N. sn (3.34h) a L cot R a cot L M sn sn R M a N N. sn cot R p s (3.34i) 3.6 Capos tos d Haônicos Esféicos Escaas As dfiniçõs antios sob os capos d dsocanto tação tos d FEBs, quaçõs 3.34a-i, são dfiniçõs gais contndo tos co opados atuando sob as FEBs st xy F. Assi, paa pod xpssa as

64 4 quaçõs 3.34a-i tos dos haônicos sféicos scaas, as funçõs suas divadas scaas Y, st xy F F dv s xpssas tos d haônicos sféicos. Co stas açõs, as coponnts dos capos d dsocanto tação tos dos haônicos sféicos scaas, pod s xpssas coo: () ( ) u kl kl al kn an Y p s ( ) ( ),. (3.35a) kl u al Y, km am Y, sn () kn kn kn an Y, p. s (3.35b) kl u al Y, km am Y, sn () kn kn kn an Y, p. s sn (3.35c) () () kl kl kl kl kl a L () kn kn kn an Y, p. s (3.35d) () () kl kl kl kl kl Y,,, cot kl Y al km Y Y, am sn

65 43 () kn kn kn Y, kn Y, an p. s (3.35) () () kl kl kl kl kl Y, kl Y, cot Y, al sn km Y, cot Y, am sn () kn kn kn Y, cot Y, sn kny, an p. s (3.35f) k k k a Y, () L L L L () km km km am Y, sn () kn kn kn an Y, p. s (3.35g) () L L L L sn k k k a Y, () km km km am Y,

66 44 () kn kn kn an Y, p. s sn (3.35h) kl Y, cot Y, a L sn,, cot km Y Y Y, am sn () kn kn kn Y, cot Y, an p. s sn (3.35i) Nstas quaçõs 3.35a-i suta ua tafa difíci dtina as açõs nt os coficints a b o anais das condiçõs d continuidad nas giõs d fontia nt dois ios, isso é dvido poqu as funçõs não apsnta st xy Y popidads d otonoaidad. 3.7 Capos tos d Haônicos Esféicos Vtoiais E 935, Hansn [] intoduziu as funçõs chaadas d HEVs qu são ua xtnsão dos haônicos sféicos scaas. Atnativant, as coponnts dos capos d dsocanto tação pod s scitos tos dos HEVs. Ua das vantagns d usa os HEVs é qu pit anipua facint pobas d continuidad dos capos d dsocanto tação sob supfícis sféicas, isto é dvido às popidads d otonoaidad dos HEVs. Adicionant, as popidads d otonoaidad dstas funçõs, pit nconta ua tansfoação ina nt os coficints a b da quação 3.7. Co o obtivo d intoduzi os HEVs nas quaçõs 3.35a-i, a sguint notação sipificada paa as coponnts dos capos d dsocanto tação são aizadas:

67 45 u a a Y p. s (3.36a) u u ql L qn N ql aly qm am Y qn an Y p. s (3.36b) sn ql al Y qm am Y qn an Y p. s (3.36c) sn sn 4 4 a a Y p. s (3.36d) ql L qn N a a a p. s (3.36) ql L q M q3 N a a a p s ql L qm M qn N. (3.36f) ql a LY qm am Y qn an Y p. s (3.36g) sn ql a L Y qm am Y qn an Y p. s (3.36h) sn sn a a a p. s (3.36i) ql L qm M pf pf ond as funçõs, q q qn N foa intoduzidas co o obtivo d constui a atiz d tansfência T do spahanto Mi po ua incusão sféica. Expssõs gais das funçõs pf q são dscitas no apêndic A. Estas funçõs são shants às funçõs dfinidas po Mow Pao []. O sobscito p qu pco d até 9 é utiizada paa dsigna as coponnts do vto dsocanto tação. Isto é, p paa u, p paa u, p 3 paa u, p 4 paa, p 5 paa, p 6 paa, p 7 paa, p 8 paa p 9 paa, spctivant. O sobscito f dnota o tipo d função d Bss sféica; paa f psnta a função d Bss sféica d piia spéci paa f h psnta a função d Hank sféica d piia spéci. O

68 46 subscito q f-s ao io ond a onda ástica sta-s popagado. Po útio o subscito, dnota o tipo d onda ástica: L paa à onda ongitudina, M paa a piia onda tansvsa N paa a sgunda onda tansvsa. Po outo ado, stas funçõs apsnta aguas idntidads:, 3 f f q q (3.37a) 8 f 7 f q q 3 f f q q, 8 f 7 f q q (3.37b), 3 f f q3 q3 (3.37c) 8 f 7 f q3 q3 Co todas stas notaçõs, agoa s pod xpssa os capos d dsocanto tação paa ua sitia sféica função dstas funçõs: u( ) qlal qnan Y ql al qnan Y Y sn qm am Y Y p. s (3.38a) sn t( ) ql al qn an Y ql al qnan Y Y sn 7 qm am Y Y p. s (3.38b) sn Nsta disstação, utiizaos as dfiniçõs dos HEVs noaizados potados po Matin []:, A, Y (3.39a) B, Y, sn, Y (3.39b)

69 47 C, Y, sn, Y (3.39c) Ests HEVs satisfaz as sguints popidads d oto-noaização: * * * d d B B C C d A A (3.4a) * * * A B d A C d B C d (3.4b) ond é u fato cuos vaos pod s d paa. Po consguint, os capos d dsocanto tação supficia tos dos HEVs, sguindo os tabahos d Liu Cai [3], pod s xpssos po: u( ) qla ql B al qm C am A B a p s (3.4a) qn qn N t( ) ql A ql B al qmc am 4 A 7 B a p s (3.4b) qn qn N. Obsv-s qu os capos a L a N u ), piia tansvsa (associado a a M ), spctivant. t apsnta pat ongitudina (associado a ) sgunda tansvsa (associado a Potanto, usando as notaçõs d Liu [3,5] Sainidou [3], os capos u t pod s xpssos foa copacta coo: q u a J p. s (3.4a)

70 48 q t a R p. s (3.4b) ond b H q p. s paa o capo d dsocanto, b S q p. s paa o capo d tação supficia, as funçõs (q) J (q) R são dfinidas coo: J ( q) L ql B A (3.43a) ql J ( q) M C (3.43b) qm J ( q) N qn B A (3.43c) qn R ( q) L 4 ql 7 B A (3.44a) ql R ( q) M 7 C (3.44b) qm R ( q) N 4 qn 7 B A (3.44c) qn É ipotant nciona qu no dsnvovinto do capítuo 4, utiizaos as souçõs 3.4a 3.4b paa sov o poba d spahanto Mi d ondas ásticas po ua incusão sféica.

71 49 Capítuo 4 Espahanto po ua Incusão Esféica: Matiz T Nst capítuo stndos, a todoogia d anáis do spahanto Mi d ondas ásticas po ua incusão sféica sips, paa ua incusão sféica uti-vstida. A todoogia sguida paa a constução da atiz T d ua incusão sféica sips é siia à potada [3-3], á a atiz T paa a incusão sféica uti-vstida sá ua xtnsão das potadas [6,5]. Paa o studo do spahanto Mi d ua onda ástica ( L, M, N ) po ua incusão sféica sips s consida duas giõs, a gião cospondnt ao io hospdio (Mio " o ") ond a incusão sféica sta isa, a gião cospondnt à pópia incusão sféica (Mio " s "). A Figua 4. osta ua psntação squática das difnts giõs nvovidas no pocsso d spahanto. Figua 4.. Diagaa squático do pocsso d spahanto d ondas ásticas po ua incusão sféica (spahado).

72 5 pf No capítuo 3 foa dfinidas as funçõs q ond o subscito q indicava o io ond a onda ástica s popaga. No caso do spahanto po ua incusão sféica sips (spahado), xist dois ios ond à onda ástica s popaga, assi q o indica o io hospdio ou substato q s indica a gião da incusão sféica. Os paâtos ásticos qu caactiza cada io são dnotados po o, o, o paa o io o s, s, paa o io s. Nos cácuos s consida qu a incusão sféica sta ocaizada na oig d u sista d coodnadas sféicas. s Os capos d dsocanto tação no io hospdio stão dados po o o a b u J H (4.a) o o o a b t R S (4.b) o os capos d dsocanto tação no io cospondnt à incusão sféica stão dados po: ( s) u J (4.a) s c ( s) t R (4.b) s c ond a, b c são as constants a s dtinadas pas condiçõs d continuidad dos capos u( ) t( ). As funçõs d onda vtoiais J ( q ) R ( q) stão dfinidas pas Equaçõs 3.43a-c 3.44a-c, spctivant. As funçõs H ( q ) S são funçõs singuas cuas xpssõs são siias às das ( q ) quaçõs 3.43a-c 3.44a-c co a difnça qu ao invés das funçõs d Bss sféicas d piia spéci apac às funçõs Hank sféicas d piia spéci h. As quaçõs 4.a 4.b são intptadas da sguint ania: os tos guas, a J o a R o, cospond às ondas d dsocanto tação incidnts ( L, M, N ), á os tos singuas, b H o

73 5 b S o cospond às ondas spahadas ( L, M, N ). Po outo ado, dvido a qu à incusão sféica sta ocaizada na oig do sista d coodnadas, a popagação da onda no io " s " é xpssa sont coo contibuição das coponnts guas dos capos, posto qu a soução dv s finita. ( s) c J ( s) d R, Assuindo qu a incusão sféica sta pfitant igada ao io hospdio, isto é, a supfíci sféica ag coo ua intfac pfita nt os ios " o " " s ". As condiçõs d continuidad qu qu os capos d dsocanto u( ) tação t( ) na supfíci sféica, dadas pas quaçõs 4.a-b 4.a-b sa continuas na intfac ataticant isso pod s xpsso coo: s (aio da incusão sféica), u s s s u (4.3a) t s s s t (4.3b) 4. Equaçõs d Continuidad do Capo d Dsocanto Os capos d dsocanto u( ) nos ios q q s função dos HEVs pod s scitos utiizando as dfiniçõs das funçõs d onda vtoiais J ( q ) R ( q), quaçõs 3.43a-c 3.44a-c do capítuo 3, adota a foa: u A B A C A L L L M M h A B A A N N N L h L B B L h h C B A h B B (4.4a) M M N N N u s B C A sl sl L sm C C M

74 5 A B C sn (4.4b) sn N Apicando a condição d continuidad paa u( ) (quação 4.3a) s, obtés: E F B G C A (4.5) Ond: E c (4.6a) h h LaL N an LbL NbN sl cl sn N F c (4.6b) h h L al N an L bl NbN sl cl sn N G c (4.6c) h M am M bm sm M As funçõs pf q são agoa avaiadas s. Mutipicando a quação 4.5 po * A, * B ou * C (HEVs conugados) paa foa podutos intnos co A, C, ogo intgando sob ua supfíci sféica unitáia apicando as condiçõs d otonoaização dos HEVs, obtê-s as sguints açõs duzidas: B E (4.7a) F (4.7b) G (4.7c)

75 53 4. Equaçõs d Continuidad do Capo d Tação Os capos d tação t( ) nos ios q q s função dos HEVs são xpssos po: t ( ) A B A C A o L L L M M 4 7 4h A B A A N N N L 7h L B B L 7h 4h C B A 7h B B (4.8a) M M N N t ( ) A B C C C s sl sl L sm M 4 7 A B C sn (4.8b) sn N N Apicando as condiçõs d continuidad paa t( ) s, obté-s: ~ ~ ~ E F B G C A (4.9) Ond: ~ E a a b b c c (4.a) 4 L L 4 N N 4h L L 4h N N 4 sl L 4 sn N ~ F a a b b c c (4.b) 7 L L 7 N N 7h L L 7h N N 7 sl L 7 sn N ~ G a a c (4.c) 7 M M 7h M M 7 sm M Siiant, utipicando pos conugados copxos dos HEVs, intgando apicando as condiçõs d oto-noaização dos HEVs na quação 4.9, obté-s as sguints açõs duzidas: ~ E (4.a)

76 54 ~ F (4.b) ~ G (4.c) 4.3. Soução das Equaçõs d Continuidad Convsõs d Modo Os sistas d quaçõs inas 4.7a-c 4.a-c pod s scitas função dos coficints a, b c sutando no sguint sista d quaçõs: N N L L N sn L sl N h N L h L a a c c b b M M sm M h M a c b N N L L N sn L sl N h N L h L a a c c b b N N L L N sn L sl N h N L h L a a c c b b M M M sm M h M a c b N N L L N sn L sl N h N L h L a a c c b b (4.) Est sista d quaçõs pod s oganizado foa aticia: N M L N L M N L N L M N L N M L N M L sn sl h N h L sm h M sn sl h N h L sn sl h N h L sm h M sn sl h N h L a a a c c c b b b (4.3) Utiizando as sguints notaçõs paa as atizs:

77 55 h h L N sl sn h M sm h h L N sl sn, 4h 4h 4 4 L N sl sn 7h 7 M sm 7h 7h 7 7 L N sl sn n L N M L N 4 4 L N 7 M 7 7 L N a a L a a a, b b b, c c c M N b b L M N c c L M N A quação aticia 4.3 adota a foa b na c (4.4) ond o síboo psnta o poduto aticia. Da ação nt os coficints a, b c, sinttizada na quação 4.4, é possív dtina as atizs b c função da atiz a : b c n a (4.5) fazndo * t n, sndo sta ua atiz 6x3, a ação ina nt os z coficints b c co a pod s xpssas pas sguints quaçõs: b t * a (4.6a) c z * a (4.6b) ond às tansfoaçõs inas t t z são atizs 3x3, z são chaadas d atizs d dispsão tansissão da incusão sféica, spctivant.

78 56 Paa intpta fisicant as convsõs d odo L, M N na intfac sféica da incusão, a quação aticia 4.3 dv s xpssa na sguint foa: M N L M M N L N L N L N L sm h M sm h M sn s h N h L sn sl h N h L sn sl h N h L sn sl h N h L a a a c b c c b b (4.7) Assi, sta quação aticia pod s dsdobada duas quaçõs aticiais spaadas: N L N L N L N L N L N L N L sn s h N h L sn s h N h L sn sl h N h L sn sl h N h L a a c c b b (4.8) M M M M M sm h M sm h M A c b (4.9) A quação 4.8 osta qu ua onda spahada L pod s gada d ua onda incidnt L ou N, assi so ua onda spahada N pod s gada d ua onda incidnt L ou N, st fnôno d convsõs d onda L N é conhcido coo convsão d odo nt as ondas L N. S a quação aticia 4.8 não pod s dsacopada duas atizs indpndnts, tanto paa L coo paa N, ntão dios qu os odos L N stão acopados. Po outo ado, a quação aticia 4.9 osta a convsão do odo M a sa, é diz, não xist convsão do odo M a pati dos outos odos, potanto, dios qu st odo sta dsacopado.

79 Matiz T paa ua Incusão Esféica Sips. Paa ua incusão sféica ástica, o capo d dsocanto spahado, dtinado pos coficints coficints dispsão d xpansão b, stá coptant dtinado pos a do capo d dsocanto incidnt atavés da atiz d t (quação 4.6a). Potanto, a ação nt os coficints t a b sta dada pa ação: b t a (4.) aqui t é chaada d atiz T d spahanto Mi d ua sips t incusão sféica. A sitia sféica do poba poov qu os ntos d atiz t sa indpndnts d diagonais, co sts quisitos os ntos da atiz d spahanto Mi paa ua incusão sféica ástica pod s xpssa po:, t D s o (4.) Nst caso, sont cinco ntos d D s, o são difnts d zo. Po consguint, a atiz T duzida do spahanto Mi pod s scita coo: D LL LN D D MM s, o D (4.) NL NN D D ond os ntos d atiz D, obtidas a pati das condiçõs d continuidad dos capos, são funçõs qu dpnd do oduo dos vtos d onda no io hospdio ( k ) na incusão sféica ( k s ) tabé do aio s da incusão sféica. Expssõs xpícitas d dadas no apêndic B. D paa ua incusão sféica sips stão

80 58 Os sobscitos nos coficints D ( s, o) são intptados da sguint foa: o piio sobscito,, psnta a onda spahada o sgundo sobscito,, psnta a onda incidnt. Po xpo, o nto NL D é o coficint d spahanto Mi cospondnt à convsão do odo L paa o odo N Matiz T paa ua Incusão Esféica Muti-vstida Agoa fouaos u pocdinto ga paa obt a atiz T do spahanto Mi paa ua incusão sféica co n vstintos, cua sção tansvsa é ostada na Figua 4..,, n, n, n,, 3 3 3,,,,,, s s s s n k Figua 4.. Sção tansvsa da incusão sféica uti-vstida.

81 59 O aio do vstinto concêntico k -ésio é dnotado po k, cada gião da sfa copósita k s,,,... n stá caactizada pas suas constants ásticas: as giõs dos vstintos stão caactizadas pa sua dnsidad d assa k constants d Laé k paâtos ásticos são psntados po paa o io hospdio são psntadas po o, o k, á paa a gião do núco, os,,. As constants ásticas s s s o. Os capos d dsocanto tação cada gião "k" da incusão sféica copósita pod s scitos coo: k k k k c d u J H (4.3a) k k k k k c d t R S (4.3b) k os capos d dsocanto tação no io d hospdio stão dadas pas quaçõs 4.a 4.b antiont dscitas. H s s Na gião do núco, ond k s, d dvido à singuaidad das funçõs s S no ponto. As condiçõs d continuidad cada intfac sféica,,..., n qu qu os capos d dsocanto tação sa continuas cada supfíci. Potanto, paa todo k,,..., n, dv s k satisfitas as sguints condiçõs: k u k k k u (4.4a) k t k k k t (4.4b) Na intfac xtna da sfa vstida dv s satisfita a sguint condição: un uo tn to a sguint condição: u u s s, na intfac do núco, dv s satisfita s t t. s s s

82 6 As condiçõs d continuidad, quaçõs 4.4a-b, conduz a u sista d 6( n ) quaçõs inas nvovndo os coficints a, b, n c d, d, 3 d,..., n d. Após iina as constants ina pod s ncontada paa os coficints a b, k c s c, c, c,..., k d, ua ação b t a (4.5) ond t t é a atiz T do spahanto Mi paa à incusão sféica utivstida. Esta atiz dpnd do óduo dos vtos d onda no io hospdio, núco sféico giõs d vstinto. D foa shant ao poba d spahanto po ua incusão sféica sips, a atiz T d spahanto Mi da incusão sféica uti-vstida é indpndnt d, diagona, sont cinco coficints d spahanto são difnts d zo, potanto, a atiz T Mi duzida toa a foa: co D D k, o D LL LN D D MM k, o D, paa k s,,,... n (4.6) NL NN D D. Dvido à xtnsão copxidad atática dsts coficints d spahanto, xpssõs xpícitas só paa D, o no apêndic C. são dados

83 6 Capítuo 5 Toia do io Eftivo A TME taatiais acústicos/ásticos é u odo físico qu dscv as popidads acoscópicas do taatia bas às popidads ásticas (acústicas) configuação goética da sua icostutua. Basado na toia do spahanto Mi paa ua incusão sféica uti-vstida, no psnt capítuo é apsntado o dsnvovinto d u foaiso TME tês dinsõs paa taatiais ásticos acústicos no iit d copinto d onda onga paa baixas façõs d pnchinto. Nssa apoxiação a anisotopia das stutuas piódicas pod s ngignciada. Os taatiais studados nsta disstação stão copostos d incusõs sféicas distibuídas andoicant nua atiz hospdia. A stutua da incusão da atiz hospdia é assuida coo sndo hoogênos isotópicos. Nst sntido, o odo dsnvovido popociona os paâtos ftivos constitutivos dos LL taatiais a pati da atiz d spahanto Mi D, sféica uti-vstida. k o da incusão 5. Capos Incidnts Espahados. Considos ua incusão sféica nu io hoogêno isotópico qu s stnd no infinito. Os capos d dsocanto no io hospdio na incusão sféica stão dados pas quaçõs 4.a 4.a, spctivant. Quando os coficints b do capo spahado são zos, o vto dsocanto u psnta ua onda incidnt vinda do infinito, as quando os coficints a, do capo incidnt são zos, u psnta ua onda spahada. Assi, o vto d dsocanto tota no io hospdio infinito stá coposto d ua onda incidnt ua onda spahada, xpssas po:

84 6 u J (5.) inc a u sp b H (5.) Ua onda ástica pana qu s popaga nu io infinito stá b dfinida po su núo d onda k sua apitud a foa funciona: ond u k u k o o u k ik u o qu ga copxa t uinc o xp (5.3). Aqui é u vto unitáio qu psnta a poaização da onda ástica. Paa o caso d ua onda pana ongitudina (acústica) k k L co k, á paa o caso d ua onda pana tansvsa podos scv k co k. Paa a onda pana a quação 5.3 pod s scita coo k k k T u ( ) u ( k) 4i Y k k Y (5.4) inc o Assi iguaando as Equaçõs , os coficints da onda incidnt a pod s xpssos coo [4]: a o A k u k (5.5) ond A L k 4 i Y k k (5.6a) 4i cos Y sny cos Y A M k i i k k k i i i Y k Y k (5.6b) 4 i i Y Y cos Y N i i i A k k k k

85 63 cos sny k Y k (5.6c) i, dnota as vaiávis Nstas quaçõs / anguas do vto k no sista d coodnadas sféicas. Co a psnça da incusão sféica no io infinito, os coficints da onda spahada b stão agoa acionados inant co a atiz d spahanto Mi atavés da quação 4. do capítuo 4. Potanto, o capo spahado stá coptant dtinado po capo incidnt. 5.. Toia do Espahanto Mútipo: Apoxiação d piia od Considos u atia copósito d foa abitaia coposto d N incusõs sféicas (as incusõs sféicas pod s uti-vstidas) aatoiant distibuídas situadas nas posiçõs R i d ua atiz hospdia infinita. A Figua 5. osta ua psntação squática do atia copósito ond são indicadas as coodnadas d posição das difnts sfas ação à fência do aboatóio. Ipotant nciona qu o aio d cada incusão sféica é psntado po i. No odo da TEM [3], a onda incidnt u sob a i ésia incusão o i sféica é a contibuição d ua onda pana incidnt xtna ( o ) uinc i a J i das ondas spahadas pas outas incusõs sféicas i u. sp Considando qu cada incusão sféica pod s vista coo ua font pontua pusant scundaia, a onda spahada pa ésia incusão sféica pod s xpssa po: ( o) b u H (5.7) sp

86 64 ond b são os coficints d spahanto Mi da ésia incusão sféica. 3 Matiz infinita o u sp 3 u sp N u sp u inc i u sp i u sp u o i i i P R z R i o y x Figua 5.. Rpsntação squática do pocsso d spahanto útipo. Assi a onda incidnt tota sob a i ésia incusão sféica considando todos os spahantos d piia od pod s xpsso coo: ( o) b u u H (5.8) o i inc i i Os vtos d posição i cospond às posiçõs da i ésia ésia sfas ação a u ponto cou d obsvação. Os vtos R i R

87 65 dnota as posiçõs das incusõs sféicas i co spito a u sista d fncia O. Na Figua 5. pod tabé s obsvado qu R R. i i A ação nt os coficints a spahanto Mi d cada incusão sféica t t b sta dada pa atiz T d, atavés da quação: b t a (5.9) co t D k o, (, ). Nst foaiso as incusõs pod s sfas utivstidas Toia do io ftivo no iit do copinto d onda onga. Nst foaiso, o atia copósito qu cont N incusõs sféicas andoicant distibuídas é considado co sndo ua sfa d vou finito V (co aio V ), coo ostado na Figua 5.. Consida-s qu o cnto da sfa acoscópica do atia copósito sta situado no ponto R, a fação d pnchinto do copósito é dado po p 3 V N 3 i i, sndo N i o núo d incusõs sféicas co aio i. É ipotant nciona qu a sitia sféica d V foi scohida co obtivo d utiiza os odos d spahanto Mi paa ua sfa. Considando a sfa aio qu cont as incusõs sféicas pqunas coo ua incusão sféica abstata (ou incusão sféica ftiva), o capo d dsocanto obsvado nu ponto P foa do vou V pod s xpsso coo: ( ) o u u H (5.) o inc B ond u inc é a onda incidnt sob a incusão sféica ftiva B dfin os coficints d spahanto Mi da incusão sféica ftiva qu tê as sas

88 66 popidads d spahanto po ua sfa individua fouada nos capítuos antios. L, M, N Mio o V P Ondas Incidnts i z R V L, M, N o y Ondas Espahadas x Figua 5.. Rpsntação squática do pocsso d spahanto po u conunto d incusõs sféicas. Assi a pati das quaçõs s vifica qu: B b (5.) A quação 5. indica qu os coficints d spahanto Mi da sfa ftiva são obtidos a pati da contibuição dos coficints d spahanto Mi d cada ua das incusõs sféica icoscópicas aatoiant distibuídas. Potanto, o conunto d incusõs sféicas pod s apoxiado po ua sfa ftiva d aio V, o qu pit qu o poba do io ftivo sa tatado d igua foa do qu poba d spahanto d ua sfa sips. Nsta