3. VIBRAÇÃO FORÇADA - FORÇA HARMÔNICA
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- Pedro Bardini Van Der Vinne
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1 VIBAÇÕE MECÂNICA - CAPÍTULO 3 VIBAÇÃO OÇADA 8 3. VIBAÇÃO OÇADA - OÇA HAMÔNICA No apíulo aio sudou-s a vibação liv d sisas o u gau d libdad. A vibação liv é obida aavés da solução hoogêa da quação difial do odlo aáio, quação (.). Esa solução foi obida fazdo-s a foça xa f igual a zo. O sudo da vibação foçada ospod à solução da quação ão hoogêa. Há váios odlos aáios paa sa foça, oo po xplo: foças piódias, foças ipulsivas ou foças alaóias. E os váios odlos d foças dsaa-s as foças haôias. Es aso sá viso s apíulo po s aa d u odlo qu psa ua gad quaidad d siuaçõs ais as quais a foça d xiação é piódia. Toda foça piódia pod s doposa sgudo a séi d oui. Nsa séi, a foça piódia é psada po ua soa d foças opos haôias, ada ua o fquêia úlipla da fquêia fudaal - fquêia da foça piódia. Adoado-s u odlo lia paa os sisas físios d u gau d libdad, val o piípio da supposição. Dsa foa, basa suda o aso da foça d xiação haôia, paa qu o aso gal d foça piódia possa s osidado oo ua sipls xsão.
2 VIBAÇÕE MECÂNICA - CAPÍTULO 3 VIBAÇÃO OÇADA 9 3. EPOTA DE EGIME PEMANENTE O odlo apsado a quação (.), o a foça d xiação f = f() d foa haôia, é dado po x x x s (3.) od é apliud da foça d xiação é a fquêia d xiação. f igua 3. - Modlo o u gau d libdad. A solução dsa quação difial pod s sia oo a soa d duas palas: x x h x p (3.) od x h é a solução hoogêa x p é a solução paiula. A solução hoogêa é obida oado ula a foça xa apliada, iso é, fazdo f() = 0. Esa pala já foi, poao, obida o apíulo aio, apsado-s ês foas, quaçõs (.30), (.35) (.39), dpddo do fao d aoio. E qualqu u dss ês asos, a solução hoogêa d a zo o s. Po isso, a solução paiula é idifiada oo sposa d gi pa. Paa ua xiação haôia ofo (3.), a solução paiula é dada po x p A s B os (3.3)
3 VIBAÇÕE MECÂNICA - CAPÍTULO 3 VIBAÇÃO OÇADA 30 ou od x p s (3.4) A B (3.5) B a (3.6) A A quação difial (3.) dv s saisfia pla solução paiula. As divadas da solução paiula (3.3) são dadas po A os B s (3.7) x p x A s B os (3.8) p ubsiuido (3.3), (3.7) (3.8) (3.), obé-s A s B os A os B s A s B os s (3.9) Igualado-s os ofiis so osso d abos os lados, obé-s o sisa A B A B 0 uja solução paa A B é dada po (3.0) A (3.) B (3.) Poao, a solução paiula (3.3) é igual a
4 VIBAÇÕE MECÂNICA - CAPÍTULO 3 VIBAÇÃO OÇADA 3 s x p os (3.3) Eao sa foa é pouo usada. A solução paiula a foa (3.4) é ais ovi po xpliia a apliud a fas da solução paiula lação à xiação. ubsiuido (3.) (3.) (3.5) (3.6), obê-s (3.4) a (3.5) A apliud (3.4) a fas (3.5) pod abé s obidas fução dos paâos: fquêia aual fao d aoio. Divid-s o uado o doiado dsas xpssõs po, obdo-s (3.6) a (3.7) Apliado a dfiição da fquêia aual, dada po (.5), do fao d aoio, dada po (.), (3.6) (3.7) obê-s a (3.8) a (3.9)
5 VIBAÇÕE MECÂNICA - CAPÍTULO 3 VIBAÇÃO OÇADA 3 od a é o fao d aplifiação diâia soidal; é a apliud sáia é u paâo d fquêia adisioal ou d sioia. Poao, a solução paiula (3.4) fia igual a xp a s (3.0) o a dados po (3.8) (3.9), spiva. As figuas ilusa o fao d aplifiação a a fas fução da fquêia d xiação ou do paâo d sioia. Cada uva ospod a u fao d aoio. Obsva-s qu paa aoios baixos há ua faixa d fquêia oo da fquêia aual a qual os faos d aplifiação diâia são alos. Poao sa gião pod oo vibaçõs o gads apliuds, so quado as apliuds das foças xiadoas são pquas. Paa fquêias póxias d zo, o opoao do sisa é do ipo sáio. Paa fquêias uio aia da fqüêia aual há gad dução a apliud d vibação. Esa faixa d fquêias d xiação (po x. paa fquêias aia d duas vzs a fquêia aual) pod s idiada uias apliaçõs. O aoio é uio ipoa quado s abalha o fquêias d xiação póxias da fquêia aual. Na ausêia d aoio (o qu ão oo sisas ais) há o fôo d ssoâia qu pod s osado aavés da solução da quação (3.) fazdo = 0 ω = ω.
6 VIBAÇÕE MECÂNICA - CAPÍTULO 3 VIBAÇÃO OÇADA 33 5 aoio a igua 3. - ao d aplifiação diâia a. 0.0 aoio /p igua as da sposa d gi pa.
7 VIBAÇÕE MECÂNICA - CAPÍTULO 3 VIBAÇÃO OÇADA EONÂNCIA O oio d ssoâia sá assoiado ao oio d isabilidad. Do poo d visa aáio ua solução isávl d ua quação difial sus valos ão liiados. Vaos iiial dia a solução da quação difial do odlo aáio d gl quado o aoio é ulo, ou sja, vaos faz = 0 paa ua foça xiadoa dada po f ( ) s o. f igua Modlo o u gau d libdad o aoio ulo. ivos aoio ulo, a solução hoogêa ão pod s dspzada, pois psa ua vibação a fquêia aual qu s aé assi oo a solução paiula psa ua osilação a fquêia d xiação, ou sja: x C s D os As Bos (3.) od A B são dadas a pai d (3.) (3.), fazdo = 0, po (3.) A B 0 (3.3)
8 VIBAÇÕE MECÂNICA - CAPÍTULO 3 VIBAÇÃO OÇADA 35 As osas C D são diadas a pai das odiçõs iiiais sula C x( 0) (3.4) D x(0) (3.5) Assi a solução (3.) é dada po x( 0) s x 0 s ( ) os x (3.6) pda d galidad a aális do opoao diâio do sisa, podos faz as odiçõs iiiais ulas obos x s s (3.7) Es é u ovio oposo po dois ovios haôios sipls qu pod s piódio ou ão, as sua apliud s aé ao logo do po. Quado as fquêias são póxias, iso é, os o fôo do baio. Obsvos qu quado a fquêia d xiação é igual à aual, iso é, sa solução sá idiada. D fao s aso, a solução (3.) ão sá oa a solução gal paa quaisqu odiçõs iiiais é dada pla sgui foa x C s D os A s B os (3.8) As osas A B da solução paiula são dadas po
9 VIBAÇÕE MECÂNICA - CAPÍTULO 3 VIBAÇÃO OÇADA 36 A 0 (3.9) B (3.30) As osas C D dpd das odiçõs iiiais são dadas po x( 0) C (3.3) D x(0) (3.3) Logo, a solução (3.8) fia igual a x( 0) x s x( 0)os os (3.33) Co as odiçõs iiiais ulas, x s os (3.34) Obsvado o opoao d (3.4) vifiaos qu o dsloao x() psa osilaçõs ss qu d ao ifiio, quado o po s. Esa é a odição d isabilidad ospod à ssoâia d sisas d gl.
10 VIBAÇÕE MECÂNICA - CAPÍTULO 3 VIBAÇÃO OÇADA IOLAÇÃO DE VIBAÇÃO DE EGIME PEMANENTE O oio d isolação d vibação apliado a odlos o u gau d libdad pod s dfiido d duas foas: aavés dos oios d asissibilidad d foça d asissibilidad d dsloao. O piio sá laioado à foça asiida paa o supo, osidado ígido, quao qu o sgudo ao dsloao iposo à assa dado u dsloao o supo, osidado óvl. E piio luga, uiliza-s o odlo d u gau d libdad osado a figua 3.4, osidado o supo ígido, ua foça apliada f ( ) s. f igua Modlo o u gau d libdad: supo ígido. Dfi-s a asissibilidad d foça oo o quoi a apliud da foça o supo a apliud da foça apliada, ou sja, T (3.35) A foça apliada o supo é dada pla soa da foça d ola do aodo, f x x (3.36) Dado o dsloao d gi pa x p s (3.37)
11 VIBAÇÕE MECÂNICA - CAPÍTULO 3 VIBAÇÃO OÇADA 38 a vloidad ospod x p os (3.38) obê-s f os s (3.39) ou s f (3.40) od a Poao a asissibilidad d foça dfiida (3.) é dada po T (3.4) Lbado qu a a, v dfiiçõs após (3.9), subsiuido (3.4) a a T ) ( (3.4) ou T ) ( ) ( ) ( (3.43) A figua 3.6 osa gáfios da quação (3.4) paa difs faos d aoio.
12 VIBAÇÕE MECÂNICA - CAPÍTULO 3 VIBAÇÃO OÇADA 39 5 aoio T igua 3.6 Tasissibilidad d foça T. Todas sas uvas, paa difs faos d aoio, ê asissibidad igual a paa 0. É possívl dividi o gáfio da figua (3.6) duas giõs: a piia gião, od 0, quao aio o aoio o sá a asissibilidad; a sguda, od, quao o o aoio o sá a asissibilidad. Pod-s obsva abé qu há dução a foça asiida apas paa. Dsa foa, os isolados d vibação dv s solhidos d aia al qu as fquêias d abalho sja aios qu a vzs a fquêia aual do sisa. E gal, solh-s o isolado pouado ua baixa asissibilidad, o qu oo duas possibilidads: (i) baixo fao d aoio fquêia aual oo d 50% da o fquêia d abalho (ii) faos d aoios u pouo aios (0,5 a 0,7) fquêia aual oo d 0% da o fquêia d abalho.
13 VIBAÇÕE MECÂNICA - CAPÍTULO 3 VIBAÇÃO OÇADA 40 A sguda dfiição d asissibilidad sá laioada ao dsloao iposo à assa dado u dsloao o supo, osidado óvl. Cosida-s o odlo d u gau d libdad osado a figua 3.7, osidado agoa o supo óvl o dsloao x ( ) s. x () x() igua Modlo o u gau d libdad: supo óvl. Dfi-s a asissibilidad d dsloao oo o quoi a apliud do dsloao da assa a apliud do dsloao do supo, ou sja: T (3.44) A quação do odlo osado a figua 3.7 é dada po ou ( x x ) ( x x ) x (3.45) x x x x (3.46) x ubsiuido (3.46) o dsloao dado do supo x 0 ( ) s a vloidad ospod, obê-s x x x s os (3.47) O lado diio d (3.47) ospod a ua foça d xiação dada po od f ( s (3.48) )
14 VIBAÇÕE MECÂNICA - CAPÍTULO 3 VIBAÇÃO OÇADA 4 (3.49) a (3.50) Lbado qu a apliud d dsloao da assa é dada po a a (3.5) subsiui-s a apliud da foça dfiida (3.49) (3.5) paa s ob a (3.5) ou ) a ( (3.53) Logo a asissibilidad dfiida (3.44) é dada po T ( ) a ( ) (3.54) ( ) ( ) qu é igual a (3.43), sdo psada poao plos gáfios da figua 3.6. Assi os dois oios são psados pla sa quação. Po ouo lado, alguas vzs é ssáio s oh o opoao do isolado, ss asos, dfi-s a asissibilidad laiva oo o quoi a apliud do dsloao da assa lação ao supo a apliud do dsloao do supo, ou sja: T (3.55) Da quação (3.45), dfiido x x x, obê-s: x x ( x x ) (3.56) ou
15 VIBAÇÕE MECÂNICA - CAPÍTULO 3 VIBAÇÃO OÇADA 4 x x x x (3.57) ubsiuido (3.57) a alação ospod ao dsloao dado do supo x ( ) s, obê-s x x x s (3.58) uja solução é dada po x s( ) (3.59) od a a a Logo a asissibilidad laiva oo dfiida (3.55) é dada po T a (3. 60) ( ) ( ) 5 aoio T igua Tasissibilidad laiva T.
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