USO DE OBSERVADORES DINÂMICOS NA INVESTIGAÇAO DE PROBLEMAS INVERSOS EM CONDUÇAO DE CALOR

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1 5º POSMEC - Smpóo do Programa de Pó-raduação em Egeara Mecâca Uverdade Federal de Uberlâda Faculdade de Egeara Mecâca USO DE OBSERVADORES DIÂMICOS A IVESIAÇAO DE PROBLEMAS IVERSOS EM CODUÇAO DE CALOR Prcla Ferrera Barboa de Soua Uverdade Federal de Uberlâda Faculdade de Egeara Mecâca Bloco M Campu ata Môca prcla@mecaca.ufu.br lmar umarãe gguma@mecaca.ufu.br Reumo: Apreeta-e ete trabalo uma ova abordagem para problema vero em codução de calor atravé do uo da teora de tema e cotrole. A propota baea-e a teora do obervadore dâmco de etado e apreeta uma ova terpretação o domío da freqüêca. O problema vero, ou eja, um fluo decoecdo mpoto a uma da etremdade do codutor é etmado a partr de dado meddo de temperatura. O a de temperatura ão terpretado por um fltro paa baa que rejetam o ruído erete à medção epermetal. Am o obervador, é capa de mmar com êto o do compoete preete o erro de medção: o erro aleatóro (erete à medção) e o erro determítco (erete ao algortmo). Uma comparação com o método de etmação eqüecal é também apreetada. Oberva-e ada uma grade potecaldade do método do obervador dâmco para aplcaçõe em problema multdmeoa. Palavra-cave: problema vero, obervadore dâmco, cotrole, fluo de calor, codução. IRODUÇÃO O problema vero ão ecotrado em vára área da cêca e egeara. Para egeero mecâco, aeroepaca ou químco, matemátco, médco e dema área, o problema vero podem er aplcado ob dferete forma. A prcpal caracterítca dete tpo de abordagem é a obteção da olução do problema fíco de maera dreta, como por eemplo a determação de campo térmco em uperfíce em aceo, a obteção da fução repota em frequêca de uma etrutura complea ou ada, o dagótco de alguma doeça por tomografa computadorada. Em todo o cao, a codçõe de cotoro dete problema ão ão coecda ou ão de dfícl aceo. Date do, o problema pode er reolvdo a partr de formaçõe oruda de eore localado em poto aceíve. o problema vero de codução de calor o uo de termopare e fa preete. ee etdo, o uo de temperatura epermeta permte a obteção da olução do problema térmco, que pode er: a obteção da propredade térmca, obteção do fluo de calor uperfcal, obteção da fote de calor tera ou ada a obteção da temperatura uperfcal uma face em aceo dreto, como por eemplo uma câmara de combutão ou a face de corte da ferrameta durate um proceo de uagem. eralmete, ete problema pouem olução dreta apromada e apreetam caracterítca dmeoa complea.

2 5 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-M, 5. a lteratura, uma varedade de oluçõe aalítca e umérca para o problema vero de codução de calor podem er ecotrada. Etretato, a maora dela e retrgem a problema udmeoa e bdmeoa. Stol fo um do prmero pequadore que deevolveu uma olução aalítca para um problema vero de codução de lear uado o teorema de Duamel. ee cao, a olução ecotrada era tável para pequeo tervalo de tempo (Beck et al., 985). Baeado o método de mímo quadrado e também o teorema de Duamel, Beck et al. (985) deevolveram o método de fução epecfcada eqüecal. Ete procedmeto apreeta reultado etáve em problema udmeoa. Em algu problema, o método equecal pode er etablado trodudo-e o crtéro de etablação propoto por kovov & Are (977). Outra técca que podem er uada é o método do gradete cojugado com equação adjuta, propota por Ök (993) e o método de marca - epacal propoto por Rayaud & Sa (994). Ma recetemete, técca de fltro como fltro de Kalma e obervadore dâmco (Marquardt ad Auracer, 99) tem do empregado para a olução de problema vero em codução de calor. Ee trabalo e dedca a vetgar o uo de obervadore dâmco em problema vero e baea-e o trabalo apreetado por Blum ad Marquardt (997). O prcpal objetvo é a ua comparação com técca vera bem cooldada como a técca de fução epecfcada (Beck et al., 985). Objetva-e ada a verfcação da pobldade de etedêla para a aplcação em modelo multdmeoa vado amplar o campo de aplcação do problema vero de codução de calor.. MODELO MAEMÁICO Uma da caracterítca da técca de problema vero é a ecedade de e obter uma equação que foreça uma correlação de uma varável a er medda (ee cao (,t) ) em fução do parâmetro a er etmado, q(t). Am, tora-e eceáro, calmete, obter-e a olução do problema dreto em quetão..- Modelo propoto problema dreto A técca propota baea-e um problema de codução de calor udmeoal lear, ormalado como motra a Fgura. q(t) Fgura : Equema do problema udmeoal A equação da dfuão de calor que govera o problema pode er ecrta como: θ t θ < <, t > (a) ujeta à codçõe de cotoro θ θ t > q( t) t > (b) (c)

3 5 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-M, 5. 3 e à codção cal ), ( t θ (d) Uma ve coecdo o fluo de calor q(t) o problema decrto pela Eq. () é camado problema dreto que erá reolvdo umercamete...- Solução umérca A Equação () é etão dcretada uado-e a técca de dfereça fta com o método mplícto, ou eja ap ap b ae aw W () ode aw, ae e ap ão coefcete que depedem da mala e do pao de tempo, W um fator de covergêca defdo pelo olver SOR.. - Problema vero Oberva-e que o fluo de calor mpoto em é decoecdo e deve er etmado. ota-e ada que o problema dado pela Eq. () também pode er reolvdo aplcado-e a traformada de Laplace ou a traformada, ou eja: ( ) ( ) ( ) Equação Cotíua q e ) ( co, θ (3) ou também aplcado-e a traformada de Laplace a equação dcretada epacalmete. ee cao, obtém-e a olução em forma matrcal ( ) ) ( Λ Λ Λ Λ Λ Λ Ο Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Ο (4) ou reolvedo para um ó qualquer, pode-e obter a equação traferêca o domío como ( ) Dcreta Equação a b m ) (, (5) Am, pode-e defr como a fução de traferêca de calor que relacoa a temperatura medda ao fluo decoecdo:

4 m 5 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-M, 5. b Fução trafereca (6) a A equação (6) pode etão er repreetada o domío defdo por d como: traformação blear (7) b b Λ ( ) a Λ b a ( ) b a (8) ou b a, ( ) ma ( ) Da Eq. (9) e da defção de um modelo dâmco tpo etrada/aída pode-e obter a equação dfereça, ( ) a ( ) b ( ) () ou ada ( k) bq( k ) a ( k ) Equação dfereça que é equvalete à Eq.(). A Equação () é bae a cotrução do algortmo baeado em obervadore dâmco para a olução do problema vero. 3. Problema Ivero 3.-Método eqüecal com fução epecfcada O método de etmação eqüecal propoto por Beck et all (985) baea-e o egute coceto báco: (9) () - uma forma fucoal para q(t) é aumdo para o tempo t M, t M,..., t Mr- edo que para t< t M o fluo de calor é coecdo; - uma fução erro quadrátca é uada para ee tempo; 3- compoete de fluo de calor ão etmado para a forma fucoal aumda; 4- omete a prmera compoete q M é retrada; 5- M é aumetado em pao e o procedmeto é repetdo. O algortmo eqüecal (Beck et al.,985) pode ecrto como 4

5 q M ou q M r Y r M ˆ K Y M q M... r M Φ ˆ M Φ qm... 5 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-M, 5. () edo Φ K r j Φ j e Φ (3) q ode K repreeta o coefcete de gao e Φ o coefcete de ebldade. 3. Método do obervador dâmco Codere a etrutura do problema vero de codução de calor como decrto o dagrama de bloco. H M * M c ^ Ĝ H ^ M ^ Fgura : Dagrama de bloco de um tema dâmco o domío da freqüêca. O problema vero de codução de calor cote em dua parte: ) o fluo de calor decoecdo aplcado ao codutor, reulta a temperatura medda * M corrompda por um ruído (), * M M (4) ) um fluo de calor etmado ˆ é calculado a partr de uma etrada de valore meddo de temperatura * M. O etmador pode etão er repreetado pela fução de traferêca em mala fecada, ˆ C * M (5) C que caractera o comportameto do algortmo de olução. A fuçõe de traferêca do al e do ruído e ão ecotrada combado a Eq.(4) e (5), 5

6 5 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-M, 5. ˆ C C (6) c c Da Eq. (6) obtém-e: ou ( jω) H ( jω) ( jω) (7) H Oberva-e que a Eq. (7), etem pobldade para a amplfcação do ruído, que depedem de : ) e a frequêca ω, e ecotra detro da bada e, ( jω) ( jω) H. ) e a frequêca ω, etá além ωc e. O, e ma rápdo que H. uato ma rápda for a ateuação de além de ωc, meor a ebldade do algortmo a ruído. Deta forma a equação que e refere ao etmador pode er ecrta como, * () () () ˆ (8) M Como o obervador é um equema o-le,.e. etma o fluo requerdo com bae em medda de temperatura do tempo, atual e paado, o acarreta uma mudaça ou atrao de fae, terferdo o valore etmado. A correção dee fato requer uma fltragem do dado etmado para a remoção do atrao e permtr maor etabldade ao algortmo. 3.. Cotrução do fltro Coclu-e am que a amplfcação do ruído meddo para um dado fltro paabada do al da fução traferêca pode er mmado, mamado o roll-off de. Am a formulação da fução de traferêca do fltro deve er tal que atfaça a propredade de fltragem deejada: ) comportameto paa-baa; ) curva mootôca; ) queda o al ma acetuada poível a partr da freqüêca de corte. O prcpa crtéro para ecola de um fltro aproprado ão: ) a ua etrutura (recurvo ou ão recurvo); ) o eu tpo e; ) ua ordem. uato à formulação, o fltro ecoldo é o recurvo (IIR),.e., a aída depede ão ó do valor da etrada, ma também do valor da aída ateror. uato ao tpo, opta-e pelo Cebycev tpo I, po a repota da magtude da freqüêca ca mootocamete além da freqüêca de corte como aterormete requerdo. A magtude do fltro Cebycev tpo I é repreetada como: ( jω) k ceby (9) δ ( ω) ode, δ determa a ampltude do rpple, ou eja, a tolerâca que e permte à magtude da freqüêca oclar ao redor do valor deal até atgr a freqüêca de corte, e é o polômo de Cebycev de ordem. o domío de Laplace a fução traferêca do fltro Cebycev tpo I aume a egute forma: 6

7 ( ) ( k )( ceb ) Λ ( Ceb, Ceb, Ceb, ) 5 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-M, 5. () Oberva-e que para e atfaer a codção de lm ω, a ordem do deomador de deve er maor que a do umerador, ou eja, > m () Se e m ão a ordem do deomador e do umerador de repectvamete, e e ordem do deomador e do umerador do modelo do codutor de calor dcretado, logo m e m ão a m () e m depede do equema da dcretação epacal e a ordem, da dcretação epacal, depede da poção de medção de temperatura (ee eemplo,.5), Oberva-e a egute relação etre o umero de ero m e o umero de pólo : m ( par) e m ( ímpar) (3) Para o cao métrco propoto (.5), o ero ão cacelado por um úmero correpodete de pólo, (*, otação para e m depo de cacelado pólo e ero) m ; ( par ) e portato obtém-e ; ( ímpar) (4) > (5) como edo a codção eceára para decar atotcamete. 3.. O Algortmo Com o fltro ecoldo obtém-e a fução de traferêca,. A fução de traferêca do obervador, é obtda atravé da relação etre a fução traferêca do modelo codutor e a fução traferêca do fltro, Eq. (7). A Equação (8) que decreve o etmador pode er ecrta a forma, () () () ˆ (6) * M e repreetada o domío como, b, (7) a 7

8 obtedo-e 5 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-M, 5. * qˆ( k) b M ( k ) aqˆ( k ) Equação dfereça (8) Se o problema vero for reolvdo off-le, o atrao de fae pode er removdo, adaptado uma fltragem de trá para frete. Pela fltragem revera de um al o tempo, etedemo fltrar a eqüêca do tempo revera por: fk F( ) e f k F ( ) * pao: F ( ) ( ) M ( ) ; pao: B ( ) ( ) F ( ) ; 3 pao: ˆ ( ) F ( ) O pao acma decrevem o fucoameto do algortmo. Logo aplcado traformada a equação do egudo pao, obtemo ma uma equação dfereça. qˆ( k) bq( k ) aqˆ( k ) Equação dfereça (9) È poível e etmar o fluo decoecdo, a partr da equaçõe (8) e (9). Com o valore meddo de temperatura a poção.5, fa-e uma prmera etmatva do fluo, atravé da Eq.(9). Reverte-e a eqüêca obtda o tempo e fltra-e ete fluo com a Eq.(8). Revertedo a eqüêca de fluo fltrada, têm-e o fluo etmado. 4 - RESULADOS Para a aále do problema propoto obtém-e a temperatura epermeta atravé da mulação umérca. Ou eja, upõe-e que o fluo de calor, q(t) eja coecdo obtedo-e etão a olução do problema dreto. Eta temperatura, acrecda de um ruído, ε, é aumda como a temperatura medda e é uada para a etmação do fluo de calor cujo valor cal é ero, ou eja, Y (, t) (, t) ε A Fgura 3 apreeta a dtrbução de temperatura epermetal o cetro da amotra. Fgura 3: Dado de etrada, temperatura a poção.5. 8

9 5 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-M, 5. A Fgura 4 apreeta uma comparação etre o fluo de calor etmado uado-e a técca de etmação eqüecal com fução epecfcada e o obervador dâmco. Aume-e em ambo o cao como dado de etrada, a dtrbução de temperatura motrada a Fgura 3, em a preeça de ruído. Fluo real Beck Obervadore Fgura 4: Comparação etre fluo de calor real e etmado uado-e uado-e a técca de etmação eqüecal com fução epecfcada e o obervador dâmco em a preeça de ruído. A Fgura 5 apreeta uma comparação mlar, porém agora coderado a preeça de ruído epermetal em toro de % do al da temperatura. Oberva-e que uma ve que o método do obervador fltra o dado mmado o erro aleatóro e erro temátco, ele apreeta um melor reultado a etmatva do fluo de calor. 4. COCLUSÃO O método do obervadore e motrou um método efcete para a oluçao de problema vero em codução de calor e com grade potecal para er aplcado em problema multdmeoa uma ve que a fução traferêca pode er obtda faclmete atravé de formulação tegral ou ére de potêca..5.5 Fluo real Beck Obervadore Fgura 5: Comparação etre fluo de calor real e etmado uado-e a técca de etmação eqüecal com fução epecfcada e o obervador dâmco a preeça de % de ruído. 9

10 5 POSMEC. FEMEC/UFU, Uberlâda-M, REFERÊCIAS ALIFAOV, O. M., 975 Soluto of a Ivere Problem of Heat Coducto by Iterato Metod, Joural of Egeerg Pyc, ov.. BECK, J.V., BLACKWELL, B. & S. CLAIR, C. R., 985, Ivere Heat Coducto, Ill-poed Problem, Wley Itercece Publcato, ew York. Blum, J.W. Marquardt, W., 997 A optmal oluto to vere eat coducto problem baed o frequecy-doma terpretato ad oberver, umercal Heat rafer, Part B: Fudametal, 3, December 997, ÖZISIK, M.., 993, Heat Coducto, Jo Wley & So, ew York. RAYAUD, M. & SASSI, M., 994, Étude de Faablté de la Détermato de empérature et Flu Surfacque ratore D ue Eveloppe Spérque a Partr de Meure de empérature Itere, Rapport Fal, Ittut atoal de Scece Applquee de Lyo, 994. IKHOOV, A.. & ARSEI, V. Y., 977, Soluto of Ill-poed Problem, Wto, Wagto, DC, 977. USE OF DYAMIC OBSERVERS I HE SUDY OF IVERSE HEA CODUCIO PROBLEM Prcla Ferrera Barboa de Soua Uverdade Federal de Uberlâda Faculdade de Egeara Mecâca Bloco M Campu ata Môca prcla@mecaca.ufu.br lmar umarãe gguma@mecaca.ufu.br Abtract: work preet a ew way to olve vere eat coducto problem troug of ue te flter teory ad cotrol ytem. e dervato of optmal oberver equato follow drectly from a ovel terpretato o vere eat coducto te frequecy doma: olvg te IHCP vewed a a flter deg problem wc te recotructed eat flu obtaed by lowpa flterg of te true eat flu. It demotrated tat te oberver are eaer to tue, yeld a better trade-off betwee te determtc ba ad te etvty to meauremet, ad lead to maller-e computatoal problem te oter oluto approace. I order to evaluate te tecque a comparo wt te equetal pecfcato metod of Beck preeted. Keyword: Oberver, vere eat coducto, cotrol, eat flu etmato, coducto